V E K T O R Y. F b) pomocou hrubo vyznačených písmen ( hlavne v tlačenom texte ): a b c d v F

Transkript

1 Fyzikálne veličiny delíme n sklárne vektorové. V E K T O R Y SKALÁRNE FYZIKÁLNE VELIČINY skláry ( lt. scle stupnic ) sú jednoznčne určené veľkosťou ( = číselná hodnot + jednotk ). Sklármi sú npríkld čs, hmotnosť, teplot, energi... VEKTOROVÉ FYZIKÁLNE VELIČINY vektory ( lt. vector vedúci, smerujúci ) sú jednoznčne určené veľkosťou ( = číselná hodnot + jednotk ) smerom. Vektormi sú npríkld sil, rýchlosť, zrýchlenie... Vektory zpisujeme nsledovne: ) pomocou písmen, nd ktorým je šípk: c d v F ) pomocou hruo vyznčených písmen ( hlvne v tlčenom texte ): c d v F Veľkosť vektor zpisujeme pomocou solútnej hodnoty leo pomocou písmen ez šípky. Zápis F = F = 7 N čítme veľkosť vektor ef s rovná 7 N. Veľkosť vektor je jednoznčne určená číselnou hodnotou jednotkou ( číselnou hodnotou jednotkou je jednoznčne určený sklár ), veľkosť vektor je ted sklár. Grfické znázornenie vektorov Vektor možno grficky zkresliť pomocou orientovnej úsečky ( úsečky so šípkou ). 1 dielik ˆ 1 N F = F = 7 N Sil F má veľkosť 7 N, smer sily F je dný orientovnou úsečkou. Veľkosť orientovnej úsečky zodpovedá veľkosti dného vektor. Nulový vektor je vektor, ktorého veľkosť je 0, zpisujeme 0 leo 0. Nulový vektor nemá smer, grficky ho nemožno zkresliť. Jednotkový vektor je vektor, ktorého veľkosť je 1. Rovnosť vektorov Vektory, s rovnjú, k mjú rovnkú veľkosť rovnký smer. Zpisujeme =. Poznámk: V mtemtike môžeme porovnávť ľuovoľné vektory, vo fyzike môžeme porovnávť len vektory toho istého druhu. Vektorová primk vektor je primk preložená zčitočným koncovým odom dného vektor, je to primk, n ktorej vektor leží.

2 Poznámk: Vektor môžeme ľuovoľne premiestniť, le nesmieme zmeniť jeho smer veľkosť. N orázku sú znázornené rôzne umiestneni toho istého vektor u. O p e r á c i e s v e k t o r m i Podone ko s číslmi možno vykonávť isté číselné operácie ( sčítť, odčítť, násoiť, deliť,... ), j s vektormi možno vykonávť vektorové operácie. A) sčítnie vektorov B) násoenie ( delenie ) vektor reálnym číslom násoenie ( delenie ) vektor sklárom C) odčítnie vektorov D) rozkld vektor do dných smerov E) násoenie vektorov Poznámk: Delenie sklár leo vektor vektorom nie je definovné. Npríkld: F = m. F m chyný zápis! Správne: F = m. F = m. A) sčítnie ( skldnie ) vektorov - sčítnie vektorov nzývme tiež skldnie vektorov ( vektorový súčet vektorov ) - sčítnie ( skldnie ) vektorov je iná operáci ko sčítnie čísel - výsledkom skldni vektorov je vektor A 1) skldnie vektorov súhlsného smeru F m c = c = - výsledný vektor má smer ooch vektorov jeho veľkosť s rovná súčtu veľkostí ooch vektorov A ) skldnie vektorov opčného smeru c = c = - výsledný vektor má smer väčšieho vektor jeho veľkosť s rovná rozdielu veľkostí ooch vektorov

3 - špeciálnym prípdom skldni vektorov opčného smeru je skldnie dvoch rovnko veľkých vektorov opčného smeru, kedy je ich výsledný vektor nulový c = = 0 c = = = 0 A 3) skldnie vektorov rôzneho smeru - výsledný vektor nájdeme tk, že orzec doplníme do rovnoežník výsledným vektorom je orientovná uhlopriečk tohto rovnoežník c = - špeciálnym prípdom skldni vektorov rôzneho smeru, sú nvzájom kolmé vektory Veľkosť výsledného vektor vypočítme pomocou Pytgorovej vety. c B) násoenie vektor reálnym číslom B 1) násoenie vektor kldným reálnym číslom - k vynásoíme vektor kldným reálnym číslom k, dostneme vektor, ktorý má rovnký smer jeho veľkosť s rovná k násoku veľkosti dného vektor. = 4. ; = 4.

4 B ) násoenie vektor záporným reálnym číslom - k vynásoíme vektor záporným reálnym číslom k, dostneme vektor, ktorý má opčný smer jeho veľkosť s rovná k násoku veľkosti dného vektor. = ( 4 ). ; - k vynásoíme vektor číslom 1, dostneme rovnký vektor = 4. = 4. = 1. = - k vynásoíme vektor číslom ( - 1 ), dostneme opčný vektor Opčný vektor k dnému vektoru je tký vektor, ktorý má rovnkú veľkosť, le opčný smer. = ( 1 ). = B 3) delenie vektor kldným reálnym číslom - k vydelíme vektor kldným reálnym číslom k, dostneme vektor, ktorý má rovnký smer jeho veľkosť je k 1 násokom veľkosti dného vektor = : = = 1. = 1. B 4) delenie vektor záporným reálnym číslom - k vydelíme vektor záporným reálnym číslom k, dostneme vektor, ktorý má opčný smer 1 jeho veľkosť je násokom veľkosti dného vektor k = : ( ) = = 1. = 1. = 1. Poznámk: Kždé delenie možno uprviť n násoenie nopk.

5 Poznámk: 1.).). 0 = 0 Ak vynásoíme vektor číslom nul, dostneme nulový vektor. 0. k = 0 Ak vynásoíme nulový vektor ľuovoľným reálnym číslom, dostneme nulový vektor. C) odčítnie vektorov = + ( 1 ). = + ( ) Odčítť vektor od vektor znmená pripočítť k vektoru ( 1 ) násook vektor, ted odčítť vektor od vektor znmená pripočítť k vektoru opčný vektor k vektoru. Postup: Zostrojíme vektor, potom vektorovo sčítme vektory, doplnením do rovnoežník. Vektor c je výsledný vektor. Vhodným posunom vektor c zistíme, že vektor je vektor, ktorý má zčitočný od v koncovom ode vektor koncový od v koncovom ode vektor ( smeruje od ku ), nie je nutné zostrojovť rovnoežník.

6 C) rozkld vektor do dných smerov - pri rozklde vektor do dných smerov postupujeme opčne ko pri skldní vektorov - dný je vektor dve rôznoežné primky, určíme jeho zložky rovnoežné s dnými primkmi - zložky vektor sú vektory, ktorých vektorový súčet s rovná dnému vektoru Príkld: Dný je vektor primky p, q. Rozložte tento vektor do dvoch smerov určených primkmi p, q. Riešenie: Zčitočným koncovým odom vektor vedieme primky p, q, ktoré sú rovnoežné s primkmi p, q ( p p, q q ). Strny vzniknutého rovnoežník sú zložky vektor, ted vektory Príkld: Rozložte vektor n zložky x, y rovnoežné s osmi x, y súrdnicového systému O( x, y )., p. q ) )

7 c) d) e) f) g) h)

8 Poznámk: Sčítť ( skldť ) môžeme ľuovoľný počet vektorov. Nie je nutné zostrojovť rovnoežníky. Vektorový súčet vektorov nájdeme tk, že zčitočný od nsledujúceho vektor umiestnime do koncového odu predchádzjúceho vektor výsledný vektor dostneme spojením zčitočného odu prvého vektor s koncovým odom posledného vektor v dnom vektorovom súčte. Príkld: Nájdite vektor x, ktorý je vektorovým súčtom vektorov r, s, v. Riešenie: x = r + s + v Príkld: Dné sú vektory,, c, d. Nájdite vektor x = + c + d. Riešenie:

9 E) násoenie vektorov vektory, môžeme násoiť sklárne, zpisujeme vektorovo, zpisujeme. x E 1) sklárne násoenie nenulových vektorov ( sklárny súčin nenulových vektorov ). =.. cos Uhol je uhol, ktorý zvierjú nenulové vektory, je to konvexný uhol určený vektormi po ich premiestnení do spoločného zčitku. Výrz.. cos je reálne číslo, ted sklár. Sklárny súčin nenulových vektorov je sklár. E ) vektorové násoenie vektorov ( vektorový súčin vektorov ) Vektorový súčin vektorov, ( v tomto pordí ) je vektor x, pre ktorý pltí 1. Ak sú vektory, lineárne závislé ( rovnoežné ), potom x = 0. Ak sú vektory, lineárne nezávislé ( rôznoežné ), potom pltí x =.. sin, kde uhol je uhol vektorov, vektor x je kolmý n vektor j n vektor vektor x má smer pohyu prvotočivej skrutky, ktorú otáčme v smere od ku. Vektorový súčin vektorov je vektor. Poznámk: x = ( x ) x = x x = x Poznámk: N SŠ s so sklárnym vektorovým súčtom vektorov stretávme hlvne v mtemtike.