Cyklické grupy a grupy permutací

Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26

Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace: 1 Řád prvku v grupě ( logaritmování v grupách), Eulerova věta. 2, šifrovací stroj Enigma, Change Ringing. 3 A řada dalších aplikací... Možná doplňující literatura: Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha 2002. Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol I, Dover Publications, 2009. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 2/26

Definice Ať X,, e, ( ) 1 je grupa. Podmnožině W X říkáme podgrupa, když pro každé x, y platí: 1 Jestliže x W a y W, pak x y W (uzavřenost W na operaci ). 2 e W (uzavřenost W na nulární operaci e). 3 Jestliže x W, pak x 1 W (uzavřenost W na operaci ( ) 1 ). Příklad Z, +, 0, ( ) je grupa. Definujte pro přirozené číslo m množinu W m = {km k Z} Pak W m je podgrupa Z, +, 0, ( ). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 3/26

Tvrzení (abstraktní počítání modulo) Ať W je podgrupa grupy X,, e, ( ) 1. Relace W definovaná následovně x W y iff x y 1 W je relace ekvivalence na X. Příklad Pro Z, +, 0, ( ) a W m je x Wm y iff x y = km pro nějaké k Z Tudíž pro m 2 je Z/ Wm množina Z m. Z/ W1 je jednoprvková množina a Z/ W0 je množina Z. Poznámka Skutečné počítání modulo: faktorisace okruhu. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 4/26

Lagrangeova věta Ať W je podgrupa konečné grupy X,, e, ( ) 1. Potom počet prvků W dělí počet prvků X. Důkaz. Ukážeme: pro a X platí: počet prvků [a] W = počet prvků W. Důvod: zobrazení f : [a] W W, x a x 1, je bijekce. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 5/26

Tvrzení Ať M,, e je monoid. 0značte jako M množinu všech invertibilních prvků v M. Potom M je grupa vzhledem k operaci. Důkaz: 1 Uzavřenost M na operaci. Socks & Shoes Theorem: (x y) 1 = y 1 x 1 (součin invertibilních prvků je invertibilní). 2 Uzavřenost M na operaci e. e M, protože: e 1 = e (e je invertibilní prvek). 3 Existence inversí: M je definována tak, že inverse v M existují, a platí: (x 1 ) 1 = x (inverse invertibilního prvku je invertibilní). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 6/26

Problém logaritmu 1 Z 8,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 8, prvky jsou 1, 3, 5, 7. Počítejme mocniny: 3 1 = 1, 3 2 = 1, atd. Tudíž: v Z 8,, 1, ( ) 1 nelze logaritmovat se základem 3. 2 Z 7,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 7, prvky jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6. Počítejme mocniny: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, 3 4 = 4, 3 5 = 5, 3 6 = 1, 3 7 = 2, 3 8 = 6,... Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 7/26

Problém logaritmu 1 Z 8,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 8, prvky jsou 1, 3, 5, 7. Počítejme mocniny: 3 1 = 1, 3 2 = 1, atd. Tudíž: v Z 8,, 1, ( ) 1 nelze logaritmovat se základem 3. 2 Z 7,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 7, prvky jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6. Počítejme mocniny: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, 3 4 = 4, 3 5 = 5, 3 6 = 1, 3 7 = 2, 3 8 = 6,... Takže: např. logaritmus 2 se základem 3 v Z 7 je 2, ale také 7. Logaritmus má periodu 5? Řešení: log 3 2 = 2 v Z 5 Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 7/26

Definice Grupa X,, e, ( ) 1 je cyklická, když existuje g X (tzv. generátor) tak, že platí X = {g k k Z} kde k-tá -mocnina x k prvku x je definována takto: e, pro k = 0 x k = x x k, pro k 0 (x ( k) ) 1, pro k < 0 Příklad Z, +, 0, ( ) je cyklická grupa, číslo 1 je generátor. Každá grupa Z m, +, 0, ( ), m 2, je cyklická. Až na isomorfismus jiné konečné cyklické grupy nejsou. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 8/26

Definice Ať X,, e, ( ) 1 je konečná grupa, ať g X. Množině S(g) = {g k k N} říkáme cyklická podgrupa generovaná prvkem g. Řád prvku g je počet prvků podgrupy S(g). Cyklické podgrupy aditivní grupy Z m Z m, +, 0, ( ) je konečná cyklická grupa řádu m. Ať g Z m. 1 Řád prvku g je nejmenší kladné k N takové, že kg = 0, tj. kg = lcm(g, m). 2 Protože lcm(g, m) = gm/gcd(g, m), platí k = m/gcd(g, m). 3 Tedy S(g) = Z m iff řád g je m iff gcd(g, m) = 1. 4 Existuje tedy ϕ(m) prvků v Z m, které mají řád m (tzv. primitivní elementy). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 9/26

Příklad v aditivní grupě Z 10 1 S(4) = {4, 8, 2, 6, 0} Z 10, tj. řád 4 je 5. 2 S(7) = {7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0} = Z 10, tj. řád 7 je 10. 3 Existují ϕ(10) = 4 prvky řádu 10, konkrétně 1, 3, 7, 9. 4 Ostatní prvky mají řád menší. Konkrétně S(0) = {0}, S(5) = {0, 5} a S(2) = S(4) = S(6) = S(8) = {0, 2, 4, 6, 8}. Tvrzení Pro každého dělitele d čísla m 2 má grupa Z m, +, 0, ( ) právě jednu cyklickou podgrupu řádu d. Důsledek (Möbiův vzorec) Pro přirozené číslo m 2 platí: m = {d d dělí m} ϕ(d). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 10/26

Příklad: logaritmování v Z 11 Generátor Z 11,, 1, ( ) 1 je 7: e 7 e v Z 11,, 1, ( ) 1 x log 7 x v Z 10, +, 0, ( ) 0 1 1 0 1 7 7 1 2 5 5 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 10 10 5 6 4 4 6 7 6 6 7 8 9 9 8 9 8 8 9 10 1 1 10 Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 11/26

Příklad: logaritmování v Z 11 (pokračování) e 7 e je isomorfismus grup Z 11,, 1, ( ) 1 a Z 10, +, 0, ( ). Jednoduché aplikace: 1 Spočtěte 10 3 8 12 v Z 11. V Z 10 : log 7 (10 3 8 12 ) = 3 log 7 10 + 12 log 7 8 Tedy 10 3 8 12 = 7 3 = 2 v Z 11. = 3 5 + 12 9 = 15 + 108 = 3 2 Vyřešte 3x = 10 v Z 11. Platí: log 7 3 + log 7 x = log 7 10 v Z 10. Tedy: log 7 x = log 7 10 log 7 3 = 5 4 = 1 v Z 10. Tedy: x = 7 1 = 7 v Z 11. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 12/26

Složitější aplikace řádu prvku Například Shorův faktorisační algoritmus: Peter W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, http://fr.arxiv.org/abs/quant-ph/9508027 Faktorisace čísel na kvantovém počítači v polynomiálním čase. Viz předmět Kvantové počítání, Libor Nentvich & Jiří Velebil. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 13/26

Eulerova věta v konečných grupách Ať X,, e, ( ) 1 je libovolná konečná grupa. Označme jako n počet prvků množiny X. Pak pro každé a X platí a n = e Důkaz: Vezměme libovolné a X. Ať řád a je m. Tedy a m = e. Lagrangeova věta: m n. Tedy n = m k, pro nějaké k. Takže: x n = (x m ) k = e k = e. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 14/26

Poznámka: Eulerova věta a cykličnost grup Ať X,, e, ( ) 1 je konečná grupa. Označme jako n počet prvků množiny X. 1 Víme: pro každé a X platí a n = e (Eulerova věta v konečných grupách). 2 Exponent n nemusí být nejmenší takové k, že platí x k = e. Příklad: v Z 8,, 1, ( ) 1 je 1 1 = 1, 3 2 = 1, 5 2 = 1, 7 2 = 1, ale ϕ(8) = 4. To je: exponent v Eulerově větě nemusí být řád prvku. 3 Ale: Pokud v X,, e, ( ) 1 existuje prvek a řádu n, pak grupa X,, e, ( ) 1 je isomorfní grupě Z n, +, 0, ( ). Důkaz: víme S(a) = X. Pak postupujeme jako při definici logaritmu. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 15/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať n = {1,..., n}, n 1. Bijekci f : n n říkáme permutace na n. Příklad string diagrams pro permutace Permutaci f (1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 1 znázorníme buď jako matici ( ) 1 2 3 4 3 2 4 1 nebo jako string diagram 1 2 3 4 1 2 3 4 Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 16/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Příklad skládání permutací ( ) 1 2 3 4 Složení f = a g = 2 4 1 3 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 je 3 2 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 f g = 1 2 3 4 = = 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 neboli f g = 2 1 3 4 1 2 3 4 Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 17/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Tvrzení Označte jako S n množinu všech permutací na n = {1,..., n}. Potom S n = S n,, id, ( ) 1 tvoří grupu. Budeme jí říkat grupa permutací (nebo symetrická grupa). Cayleyho representace konečných grup Každá konečná grupa řádu n je isomorfní podgrupě grupy S n. Důkaz: Ať X,, e, ( ) 1 je grupa o prvcích {x 1,..., x n }. Pak zobrazení R xi : X X, x x x i je bijekce pro každé x i (vzpomeňte na Eulerovu větu). Zobrazení R xi určuje právě jednu permutaci f i na množině n. Zobrazení x i f i je hledaný isomorfismus grupy X,, e, ( ) 1 s podgrupou grupy S n. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 18/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať x 1, x 2 jsou různé prvky n. Transpozice (x 1 x 2 ) je taková permutace, že x 1 x 2 a x 2 x 1, ostatní prvky nechává na místě: 1... x 1... x 2... n 1... x 1... x 2... n Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 19/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať x 1, x 2,..., x r jsou navzájem různé prvky n. r-cyklus (x 1 x 2... x r ) je permutace (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 1 x r ) Dvěma cyklům (x 1 x 2... x r ), (y 1 y 2... y s ) říkáme disjunktní, pokud {x 1, x 2,..., x r } {y 1, y 2,..., y s } =. Tvrzení 1 Disjunktní cykly komutují, tj. f g = g f, pro disjunktní cykly f a g. 2 Řád cyklu (x 1,..., x r ) je r. 3 Každou permutaci lze vyjádřit jako součin transpozic. (Dokonce jako součin transpozic sousedních prvků.) 4 Každou permutaci lze zapsat jako součin disjunktních cyklů. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 20/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Příklad Permutace ( 1 2 3 4 5 6 7 ) 8 2 4 3 5 1 6 8 7 je součin (1 2 4 5) (3) (6) (7 8) = (1 2 4 5) (7 8). Tvrzení Ať f = f 1 f 2 f k je rozklad permutace na disjunktní cykly. Pak řád f je nejmenší společný násobek řádů f 1,..., f k. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 21/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definide Permutaci f nazveme lichou (resp. sudou), pokud ji lze vyjádřit jako součin lichého (resp. sudého) počtu transpozic. Poznámka Identická permutace id je sudá. Věta Každá permutace je buď lichá nebo sudá (nikdy ne obojí). Tj. liché permutace jdou vyjádřit pouze jako součin lichého počtu transpozic a sudé permutace sudého počtu transpozic. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 22/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Enigma Enigma je šifrovací přístroj používající symetrickou polyalfabetickou šifru. Chod přístroje je určen: 1 3 rotory permutace ϱ 1, ϱ 2, ϱ 3, počáteční nastavení a nastavení zarážek, 2 Plugboard součin disjunktních transpozic τ, 3 Reflektor součin disjunktních transpozic ϱ, Viz např. http://www.cryptomuseum.com/crypto/enigma/ Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 23/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné To znamená, že šifrování se odehrává permutací j-té písmeno zprávy je zašifrováno následovně: ε j = τ (σ i 1 ϱ 1 σ i 1 ) (σ i 2 ϱ 2 σ i 2 ) (σ i 3 ϱ 3 σ i 3 ) ϱ (σ i 3 ϱ 1 3 σ i 3 ) (σ i 2 ϱ 1 2 σ i 2 ) (σ i 1 ϱ 1 1 σ i 1 ) τ kde σ = (ABCD Z) a i 1, i 2, i 3 závisí na j a nastavení rotorů. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 24/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Change ringing Metoda vyzvánění zvonů ve Velké Británii (ze 17. století). Hrají se permutace, notový zápis je string diagram http://en.wikipedia.org/wiki/change ringing Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 25/26

Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Change ringing Viz také kniha Dorothy L. Sayers, The Nine Tailors, 1934 česky: Devět hran, Svoboda 1994 ve které Lord Peter Wimsey znalostí change ringing vyřeší vraždu. Název detektivky poukazuje na metodu zvonění umíráčku. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 26/26