Úloha 12: Účinnost tepelného stroje

Úloha 12: Účinnost tepelného stroje FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 5.10.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 12 Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Spolupracovníci: Štěpán Timr Hodnocení: Abstrakt Zabývali jsme se schopností tepelného stroje přeměňovat teplo na mechanickou práci. Pracovní plyn tepelného stroje po zahřátí zdvihal závaží, čímž mu dodával potenciální energii. Práci konanou plynem jsme měřili tlakovým a rotačním senzorem. Asi 80% této práce stroj přeměnil v potenciální energii závaží, zbytek disipovala na teplo. Dále jsme zkoumali účinnost Peltierova aparátu, jako tepelného stroje. Ukázalo se, že pokud by byly součástky dobře odizolovány a nedocházelo by k obcházení tepla mimo součástku a do okolí, blížila by se účinnost Peltierova aparátu k účinnosti Carnotova cyklu. 1 Úvod Tepelné stroje mají pro svou schopnost přeměnit tepelnou energii na užitečnou mechanickou práci velký význam. Takové stroje se nazývají motory. Každý tepelný stroj se chová v souladu se dvěma základními principy termodynamiky: 1. Zákon zachování energie: dq = du + dw (1) 2. Teplo nemůže samovolně přecházet z chladnějšího tělesa na teplejší. Z těchto zákonů lze dokázat [1], že žádný tepelný stroj odebírající teplo Q 1 při teplotě T 1 a odevzdávající teplo Q 2 při T 2 nemůže vykonat víc práce, než vratný stroj, pro nějž platí: čímž je dána maximální teoretická účinnost tepelného stroje W = Q 1 Q 2 = Q 1 T 1 T 2 T 1, (2) ε max = T 1 T 2 T 1 (3) Při reálném pracovním cyklu však dochází ke ztrátám. Bylo by jistě zajímavé změřit pracovní parametry skutečného tepelného stroje, výsledky pak porovnat s teoretickými odhady pro daný cyklus. Za tím účelem jsou stanoveny tyto pracovní úkoly Měření práce tepelného stroje PASCO TD-8572 [3] 1. Zkalibrovat tlakoměr, zkontrolovat čidlo pro odečítání polohy pístu 2. V domácí přípravě rozebrat pracovní cyklus, popsat jeho jednotlivé fáze, načrtnout do p - V diagramu. 3. Provést opakovaně popsaný cyklus s různými závažími 50-200 g. Získat pro každé měření plochu uzavřenou křivkami v p - V diagramu a spočítat rozdíl potenciálních energií pro dané závaží. Vynést obě hodnoty do grafu, výsledné hodnoty proložit přímkou W = a E p + b (4) Diskutovat, jaké mají být hodnoty koeficientů a, b teoreticky, a jak se liší od hodnot námi zjištěných. 1

Měření účinnosti Peltierova aparátu [4] 1. Změřit hodnotu vnitřního odporu Peltierovy součástky 2. Změřit účinnost Peltierova aparátu. Srovnat s účinností Carnotova cyklu pro lázně stejných teplot (teploty lázní změřit pomocí ohmmetru). Opakovat několik měření pro různé teploty horké lázně. Vynést hodnoty ε carnot, ε do grafu, kde na ose x bude teplota horké lázně. 3. Započítat k účinnosti vnitřní odpor a výkon obcházející součástku. K energii rozptýlené na zátěžovém odporu je třeba přidat energii rozptýlenou na vnitřním odporu. 2 Experimentální uspořádání a metody 2.1 Práce tepelného stroje 2.1.1 Pomůcky Tepelný stroj PASCO TD-8572, sada plastových trubiček a ventilů, skleněná nádoba, velká a malá kovová nádoba na vodu, dva stojany, elektrický vařič, sada závaží, plastová baňka na plyn, tlakový senzor PASCO CI-6534A, rotační senzor PASCO CI-6538, SCSI rozhraní PASCO SW 750, PC, SW Data Studio. 2.1.2 Schéma experimentu Tepelný stroj PASCO TD-8572 (obr. 1) je speciální zařízení umožňující provádět základní experimenty termiky. Stroj přichází do styku s lázněmi prostřednictvím baňky B, která je naplněna plynem. Rozpínající se plyn zdvihá píst P s plošinkou, na které je umístěno závaží. Aktuální výšku zdvihu je možné měřit rotačním senzorem, který je přes kladku a protizávaží Z připojen k plošině. Na plošině jsme po celou dobu měli umístěné malé vyrovnávací závaží (m=10g) tak, aby se hmotnost pístu P a protizávaží Z přesně vyrovnala (po otevření baňky B zůstal systém v rovnováze). Tlak uvnitř prostoru V bylo možné měřit tlakovým senzorem T S. Tepelou lázeň tvořila voda o teplotě 100 C za mírného varu, studená lázeň byla směs vody a ledu v poměru přibližně 1:2. Tato směs má za laboratorních podmínek a v termodynamické rovnováze teplotu 0 C Pracovní cyklus tepelného stroje (viz obrázky 2, 3) je následující: 1. Baňka s plynem ve studené lázni, píst nezatížený (stav 1). Obrázek 1: Schéma tepelného stroje 2. Na plošinu přidáno závaží (adiabatická komprese do stavu 2). 3. Baňka s plynem dána do horké lázně (izobarická expanze do stavu 3). 4. Odejmutí závaží z pístu (adiabatická expanze do stavu 4). 5. Baňka s plynem dána zpět do studené lázně (návrat do stavu 1). 2.1.3 Základní vztahy Pro tento cyklus lze vypočítat teoretickou účinnost: ε = W 12 + W 23 + W 34 + W 41 Q h, (5) kde W ij značí práci vykonanou strojem při přechodu ze stavu i do stavu j. Integrací dostaneme: 2

Obrázek 2: Pracovní cyklus tepelného stroje Obrázek 3: p - V diagram je tvořen dvěma izobarami a dvěma adiabatami. W 12 = nc V (θ 2 θ 1 ) W 23 = +nr (θ 3 θ 2 ) W 34 = nc V (θ 4 θ 3 ) W 41 = +nr (θ 1 θ 4 ) (6) Teplo dodané během cyklu teplou lázní je: Q h = nc p (θ 3 θ 2 ) Odtud dosazením do (5) a s využitím stavové rovnice a vztahu pv κ = const. pro adiabatický děj dostaneme: 2.1.4 Kalibrace přístrojů ε = 1 + θ 1 θ 4 θ 3 θ 2 = 1 Nejprve jsme provedli kalibraci tlakoměru. Při tom jsme předpokládali kalibrační křivku p = kv + q, což vyjadřuje závislost tlaku na napětí senzoru. Dva body na přímce pro určení koeficientů k, q jsme dostali změřením napětí V pro 1. prázdný píst: p 0 = 0, ( p1 p 2 ) κ 1 κ 2. zatížený píst: p 1 = 4mg πd 2, kde m=100g, d = 32, 5mm je průměr pístu. (7) 3

DataStudio pak spočítalo ze znalosti dvou tlaků kalibrační křivku automaticky. Při analýze dat jsme ale zjistili, že jsou hodnoty tlaků všech měření asi dvakrát větší, než by odpovídalo příslušnému závaží. Proto bylo třeba dodatečně překalibrovat tlak přímo z naměřených dat. Využili jsme toho, že první krok cyklu pokládání závaží na píst je stejný proces jako samotná kalibrace tlaku. Při pokládání závaží na píst došlo k změně tlaku p = 4mg πd, která se ale projevila jako p měřený = konst p skutečný. Zprůměrováním přes všechna dostupná měření jsme dostali 2 konst = 2, 03 ± 0, 03, tedy p měřený = 2, 03 p skutečný. Je velmi pravděpodobné, že jsme při kalibraci položili na píst závaží s poloviční hmotností m = 50g. Všechny výsledky jdou dále uváděny pro p skutečný. Rotační senzor již nebylo třeba kalibrovat, pouze jsme se přesvědčili, že jeho snímací frekvence je nastavena na 5Hz. 2.2 Účinnost Peltierova aparátu 2.2.1 Pomůcky Peltierův aparát, 2x voltmetr, 1x ampérmetr, 1x ohmmetr, zdroj napětí, nádoba na studenou lázeň s čerpadlem a termostatem. 2.2.2 Základní vztahy Naším hlavním cílem je změřit účinnost tepelného motoru, která je definována jako ε = θ 1 θ 2 θ 1 pro naše potřeby však bude výhodnější modifikovaný vztah ε = P W P h, kde P W je výkon rozptýlený na zátěžovém odporu a P h výkon dodávaný teplou lázní. Přitom veličinu P h snadno určíme podle vztahu P h = U h I h Teploty obou lázní budeme měřit přímo pomocí termistorů, které jsou zabudované v každé lázni. Pro přesnější převod změřeného odporu na hledanou teplotu použijeme interpolační vztahy: θ = k R + q, k = θ2 θ1 R 2 R 1, q = θ1r2 θ2r1 R 2 R 1, kde R 1, R 2, θ 1, θ 2 jsou tabulkové hodnoty uvedené na přístroji. Vzhledem k tomu, že velikost zátěžového odporu R W závisí jen málo na teplotě, můžeme vyjádřit užitečný výkon: Hodnotu U W změříme přímo. 2.2.3 Měření vnitřních parametrů přístroje P W = U 2 W R W Pro splnění třetího úkolu je nutné znát dva charakteristické vnitřní parametry přístroje. Jednak vnitřní odpor R s (obrázek 4) a tepelný výkon P h který kvůli tepelné vodivosti materiálu obchází součástku, aniž by měl vliv na funkčnost tepelného stroje. Pro stanovení R s zapojíme stroj bez zátěže, čímž změříme napětí U s. R s vypočteme podle vztahu ( ) Us U W R s = U W R W 4

Při měření výkonu obtékajícího součástku využijeme toho, že po odpojení zátěžového odporu R W (zátěžový odpor je nekonečný) nedochází ke konání práce a celý výkon P h se rozptyluje v chladné lázni, nebo v okolí. Označme tento výkon P h. Pokud po zapojení odporu R W vyladíme teplou lázeň tak, aby měla stejnou teplotu, jako při měření Ph, můžeme předpokládat že: P h = P h P h. Dále je třeba použít vztah, který uvažuje odpor R s. Pro skutečný výkon stroje tedy máme: P W = P W + IW 2 R s = U W 2 RW 2 (R W + R s ) Odtud pro účinnost dostáváme Obrázek 4: Vnitřní odpor Peltierova aparátu ε = P W P h = U W 2 R W + R s RW 2 P h P h 2.3 Výpočet chyby měření Shrneme použité metody pro výpočet chyby měření. Čerpali jsme především z [2]. Chyby přímo měřených veličin (které měříme pouze jednou) odhadujeme velikostí dílku příslušného měřícího přístroje. Digitálně měřené veličiny bereme jako přesné. Chyby opakovaně měřených veličin vypočítáme jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru sā = 1 N (a i ā) 2 (8) N(N 1) Pro nepřímo měřené veličiny f = f(x 1, x 1,, x k ) stanovujeme chybu jako uā = k ( ) f (u xi ) (9) x i i=1 i=1 K vnitřnímu odporu Peltierova aparátu jsou k dispozici jednak odhady chyb měřících přístrojů y p (zpracované vzorcem pro chybu nepřímého měření) a jednak směrodatná odchylka aritmetického průměru sā více měření. Celkovou chybu pak vyjádříme jako s 2 ā + yp 2 (10) 3 Výsledky 3.1 Práce tepelného stroje uā = Měření jsme provedli se závažími o hmotnostech 50, 100 a 150 gramů. Přímým měřením jsme získali výšku zdvihu h, závislosti tlaku p a objemu V na čase, které jsme v průběhu cyklu odečítali frekvencí 5Hz. Označíme-li délku záznamů p, V jako n a položíme-li V n+1 := V 1, p n+1 := p 1 (pro uzavření cyklu), můžeme práci W, kterou plyn vykonal, vyjádřit podle rovnice 11. W = n i=1 1 2 (p i + p i+1 ) (V i V i+1 ). (11) 5

Takto získané hodnoty jsou vyneseny v tabulce 1 : # m [g] h[mm] E p [mj] W [mj] 1 50 47 23 35 2 50 52 25 39 3 100 46 45 63 4 100 46 45 61 5 150 39 57 79 Tabulka 1: Práce tepelného stroje 3.1.1 p-v diagramy pracovních cyklů Obrázek 5: p-v diagram pracovního cyklu se závažím o hmotnosti m = 50g. Obrázek 6: p-v diagram pracovního cyklu se závažím o hmotnosti m = 100g. 6

Obrázek 7: p-v diagram pracovního cyklu se závažím o hmotnosti m = 150g. 3.1.2 Závislost práce plynu W na změně kinetické energie E p Pro ideální tepelný stroj platí E p = pdv = W. (12) V porovnání s tím chování reálného tepelného stroje je znázorněno na obrázku 8. Z těchto dat jsme dostali závislost W = 1, 25 E p + 0, 006. (13) Obrázek 8: Závislost práce plynu W na změně kinetické energie E p 7

3.2 Účinnost Peltierova aparátu # T h [kω] T c [kω] U h [V ] I h [A] U W [V ] U s [V ] Ũ h [V] Ĩ h [A] 1 45,0 265,7 6,4 1,30 0,50 0,88 5,9 1,2 2 27,7 256,9 7,4 1,48 0,65 1,14 6,7 1,35 3 19,0 244,9 8,1 1,65 0,76 1,36 7,4 1,5 4 15,7 237,9 8,6 1,70 0,82 1,46 7,6 1,55 5 12,7 227,6 8,8 1,75 0,87 1,56 8,0 1,6 6 7,8 214,4 9,5 1,93 1,02 1,87 8,75 1,75 Tabulka 2: Práce tepelného stroje: měřená data. Chyby byly odhadnuty velikostí dílků měřících přístrojů. Z přímo měřených hodnot z tabulky 2 jsme vypočítali hledané veličiny (tabulka 3) # T h [K] T c [K] P h [W ] P W [W ] R s [Ω] P W [W ] P h [W ] ε[%] ε [%] ε car. [%] 1 316,1 278,4 8,3 ±0,4 0,13±0,01 1,52±0,08 0,22±0,01 1,24±0,5 1,5±0,1 18±7 11,9 2 327,9 279,0 10,9±0,4 0,21±0,01 1,51±0,06 0,37±0,01 1,87±0,5 1,9±0,1 20±6 14,9 3 337,6 279,9 13,4±0,4 0,29±0,01 1,58±0,06 0,52±0,02 2,27±0,6 2,2±0,1 23±6 17,1 4 342,7 280,5 14,6±0,5 0,34±0,01 1,56±0,05 0,60±0,02 2,84±0,6 2,3±0,1 21±5 18,2 5 348,5 281,4 15,4±0,5 0,38±0,01 1,59±0,05 0,68±0,02 2,60±0,6 2,4±0,1 26±7 19,3 6 362,7 282,5 18,3±0,5 0,52±0,01 1,67±0,05 0,95±0,02 2,98±0,7 2,8±0,1 32±8 22,1 Tabulka 3: Veličiny vypočítané z naměřených dat. Chyby jsou počítány podle vzorce 9 pro výpočet chyby nepřímého měření Aritmetický průměr vnitřního odporu Peltierova aparátu byl z tabulky 3 a podle rovnice 10 vypočítán jako R s = (1, 57 ± 0, 06)Ω Změřené účinnosti ε a ε jsou pro různé teploty porovnány na obrázku 9 Obrázek 9: Závislost práce plynu W na změně kinetické energie E p 8

4 Diskuze 4.1 Práce tepelného stroje Kdyby byl náš stroj ideální, platilo by W = 1 E p + 0. Námi nalezený tvar závislosti potenciální energie E p na dodané práci W je: W = 1, 25 E p + 0, 006. Ukázalo se, že absolutní člen závislosti lze velmi dobře odhadnout nulou. Skutečnou hodnotu směrnice zvyšuje zejména tření pístu, v menší míře i kladek rotačního senzoru. Pracovní plyn pak dodá do systému více práce, než kolik se projeví jako změna potenciální energie závaží. Rozdíl těchto energií disipuje ve formě tepla.u těžšího závaží (m = 150g) se projevuje netěsnost pístu, což snižuje účinnost cyklu, ale zajímá-li nás poměr veličin W / E p, lze tento jev zanedbat. Rozdíl hmotnosti pístu a protizávaží jsme pro zpřesnění experimentu kompenzovali malým závažím, takže změna potenciální energie samotného pístu byla při jeho pohybu nulová. Pokud bychom chtěli určit i účinnost tohoto cyklu, museli bychom znát množství tepla Q h, které dodá teplá lázeň baňce s plynem. 4.2 Účinnost Peltierova aparátu Účinnost Peltierova článku bez korekce udává čistou účinnost, tedy poměr výkonu, který do stroje opravdu dodáme a výkonu, který můžeme opravdu zužitkovat. Takto je účinnost mizivá (< 3%), protože kvůli špatné izolaci se velká část tepla rozptýlí do okolí, nebo obejde součástku aniž by přispívalo k napětí U W. Provedené korekce nám dávají představu, jakou účinnost má samotná součástka v nejlepším možném případě, tj. bez tepelných ztrát vedením a se zanedbatelným vnitřním odporem. Tato korekce je však zatížena velkou chybou vinou odečítání dvou sobě blízkých čísel P W a P W. I přes velkou chybu výsledky naznačují nepřípustně velkou účinnost větší než účinnost Carnotova cyklu. Je to způsobeno tím, že použitá korekce není tak úplně korektní. Je-li článek připojený k zátěžovému odporu, tepelný výkon rozptýlený na odporu R s zčásti ohřívá samotný článek. Vzhledem k tomu, že není R s << R W, je rozložení teplot uvnitř článku různé pro R W = 2Ω a R W +. Předpoklad, že stejný tepelný výkon obchází zatížený i nezatížený článek, je pravděpodobně chybný. 4.2.1 Korekce korekce Na základě předchozího odstavce je možné napsat tvar korektnějšího vztahu pro účinnost. Položíme ε = P W k 1 P s P h + k 2 P s, (14) kde k 1,2 (0, 1) a P s = (U s U W ) 2 /R s je výkon rozptýlený na vnitřním odporu. Od výkonu P W jsme odečetli část tepelného výkonu, které ohřívá samotný stroj. Ten jsme naopak částečně přičetli k celkovému výkonu teplé lázně. Položíme-li k 1,2 = 0, 6, dostaneme následující účinnosti ε : # ε [%] ε carnot [%] 1 13±8 12 2 14±7 15 3 16±7 17 4 15±7 18 5 18±8 19 6 21±9 22 Tabulka 4: Srovnání ε pro k 1,2 = 0, 6 s ε carnot Vztah 14 sice kvalitativně zdůvodňuje vysoké hodnoty veličiny ε, nelze jej však použít pro výpočet skutečné účinnosti, nebot neznáme koeficienty k 1,2. 9

5 Závěr 5.1 Práce tepelného stroje Ověřili jsme, že pracovní cyklus tepelného stroje se skládá ze dvou izobar a dvou adiabat. Získali jsme data z pěti měření pro různá závaží od 50g do 150g. Z p-v diagramů pracovních cyklů jsme vypočetli práci W, kterou vykonal plyn, výška zdvihu pístu se závažím určila změnu potenciální energie E p. Mezi těmito veličinami jsme našli experimentální vztah W = 1, 25 E p + 0, 006. 5.2 Účinnost Peltierova aparátu Provedli jsme měření účinnosti Peltierova aparátu, jakožto tepelného stroje, pro teploty teplých lázní od 43 C do 90 C. Účinnost stroje bez započítání vnitřního odporu a tepelného výkonu obcházejícího součástku nepřesáhla 3%. Po provedení příslušných korekcí vyšla účinnost mnohem vyšší, ale byla zatížena značnou chybou kvůli odečítání dvou velkých blízkých hodnot. Diskutovali jsme možnou systematickou chybu korekce způsobenou chováním vnitřního odporu R s. Reference [1] R. P. FEYNMAN: Feynmanovy přednášky z fyziky, díl 1. Fragment, 2000. ISBN 80-7200-405-0. [2] FJFI ČVUT: Chyby měření a zpracování naměřených výsledků [online], [cit. 11. října 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/provpokyny/chybynav/chyby1n.pdf [3] FJFI ČVUT: Cyklus tepelného stroje [online], [cit. 11. října 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/tepelnystroj [4] FJFI ČVUT: Účinnost tepelného stroje [online], [cit. 11. října 2009], http://fyzika.fjfi.cvut.cz/peltier [5] PASCO: Heat engine/ Gas law apparatus [online], [cit. 11. října 2009], ftp://ftp.pasco.com/support/documents/english/td/td-8572/012-06014c.pdf [6] PASCO: Thermal efficiency apparatus [online], [cit. 11. října 2009], ftp://ftp.pasco.com/support/documents/english/td/td-8564/012-05443a.pdf 10