Elektřina a magnetismus věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium

Elektřina a magnetismus věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium kolektiv ÚFI FSI hypertextová verze vycházející z přepracovaných skript Fyzika II, autorů: Šantavý, Liška Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

Odkazy jsou v textu označeny modře a kliknutím odskočíte na příslušnou rovnici, obrázek, apod. Pokud se chcete v textu vrátit zpět, použijte klávesové zkratky Alt+Šipka vlevo nebo menu Zobrazení-Jít na-předcházející zobrazení (nebo ikonku ), pro dopředný pohyb Alt+Šipka vpravo ( ). Ve významných místech označeny symboly: odkazy na odpovídající části v knize [1] ve formátu: HRW kapitola, strana. odkazy do textů Vybrané kapitoly z fyziky a Fyzika 1. video nebo animace simulační program dokumentace k programu interaktivní příklad početní příklad interaktivní test Další texty a pomůcky ke studiu fyziky naleznete na http://physics.fme.vutbr.cz.

Obsah 1 Elektromagnetismus 7 1.1 Elektromagnetické interakce.............................. 7 1.1.1 Elektromagnetické jevy............................ 7 1.1.2 Elektrický náboj Q............................... 7 1.1.3 Elektromagnetické pole............................ 10 1.1.3.1 poznatky............................... 10 1.1.3.2 Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, E... 11 1.1.3.3 Intenzita elektrického pole E.................... 12 1.1.3.4 Magnetická indukce B. Lorentzova síla F L............ 14 1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu......................... 16 1.1.4.1 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon..... 16 1.1.4.2 Elektrické siločáry.......................... 17 1.1.4.3 Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól. 18 1.2 Elektrostatika...................................... 20 1.2.1 Gaussův zákon elektrostatiky......................... 20 1.2.1.1 Hlavní výsledek........................... 20 1.2.1.2 Tok N vektoru B orientovanou plochou.............. 21 1.2.1.3 Tok vektoru E uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového náboje................................ 22 1.2.1.4 Gaussův zákon elektrostatiky.................... 23 1.2.1.5 Užití Gaussova zákona....................... 23 1.2.2 Elektrický potenciál a napětí......................... 26 1.2.2.1 Úvod................................. 26 1.2.2.2 Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem. 26 1.2.2.3 Práce sil obecného elektrostatického pole............. 27 1.2.2.4 Energie bodového náboje v elektrostatickém poli, W e...... 28 1.2.2.5 Elektrický potenciál......................... 30 1.2.2.6 Elektrické napětí U......................... 32 1.2.2.7 Ekvipotenciální plochy a elektrické siločáry............ 33 1.2.3 Elektrostatické pole nabitých vodičů..................... 34 1.2.3.1 Vodiče a dielektrika......................... 34 1.2.3.2 Vodiče................................ 35 1.2.3.3 Elektrostatická indukce....................... 36 1.2.3.4 Rovnovážný stav nabitého vodiče................. 36 1.2.3.5 Kapacita vodiče. Kondenzátor................... 39 1.2.3.6 Kondenzátor............................. 41 1.2.4 Elektrostatické pole v látkách......................... 42 1.2.4.1 Interakce elektrického pole s látkou................ 42 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 3

OBSAH 1.2.4.2 Hlavní typy dielektrik........................ 43 1.2.4.3 Vektory elektrického pole v dielektriku.............. 44 1.2.4.4 Feroelektrika............................. 46 1.2.4.5 Elektrické pole v homogenním dielektriku............. 47 1.2.4.6 Energie elektrického pole, W e.................... 48 1.2.4.7 Příklady Elektrostatika..................... 50 1.3 Ustálený elektrický proud............................... 57 1.3.1 Ohmův zákon.................................. 57 1.3.1.1 Základní informace......................... 57 1.3.1.2 Definice elektrického proudu I................... 57 1.3.1.3 Ustálený elektrický proud...................... 59 1.3.1.4 Výkon elektrostatických sil v proudovodiči. Jouleovo teplo... 60 1.3.1.5 Ohmův zákon............................ 62 1.3.2 Obvody s elektromotorickým napětím.................... 64 1.3.2.1 Zdroje napětí a proudu....................... 64 1.3.2.2 Elektromotorické napětí....................... 66 1.3.2.3 Výkon zdroje elektromotorického napětí.............. 66 1.3.2.4 Ohmův zákon pro obvod se zdrojem elektromotorického napětí. 67 1.3.2.5 Ohmův zákon pro uzavřený obvod................. 69 1.3.2.6 Energetické poměry v obvodu stejnosměrného proudu...... 71 1.3.2.7 Příklady Ustálený elektrický proud............... 72 1.4 Časově neměnné magnetické pole........................... 77 1.4.1 Magnetické pole vodičů............................ 77 1.4.1.1 Základní vlastnosti magnetického pole............... 77 1.4.1.2 Relativnost elektromagnetického pole............... 78 1.4.1.3 Elektromagnetické pole buzené rovnoměrně se pohybujícím bodovým nábojem........................... 80 1.4.1.4 Magnetické pole lineárního proudovodiče............. 81 1.4.1.5 Magnetické pole lineárního proudového elementu (Biotův-Savartův- Laplaceův zákon).......................... 82 1.4.1.6 Magnetické pole vytvořené přímočarým lineárním vodičem a lineárním vodičem kruhového tvaru................. 84 1.4.2 Magnetické síly................................. 85 1.4.2.1 Základní poznatky.......................... 85 1.4.2.2 Ampérova síla působící na lineární proudový element...... 86 1.4.2.3 Definice ampéru........................... 88 1.4.2.4 Účinek homogenního magnetického pole na rovinnou proudovou smyčku................................ 88 1.4.3 Magnetické pole v látkách........................... 91 1.4.3.1 Úvod................................. 91 1.4.3.2 Magnetický moment atomu..................... 91 1.4.3.3 Vliv látek na magnetické pole. Vektor H............. 93 1.4.3.4 Hlavní typy magnetik........................ 94 1.4.3.5 Silové působení magnetického pole na látky............ 97 1.4.4 Obecné vlastnosti vektorů B, H....................... 98 1.4.4.1 Magnetický indukční tok φ. IV. Maxwellova rovnice....... 98 1.4.4.2 Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru H.............. 100 1.4.4.3 Příklady Časově neměnné magnetické pole........... 102 1.5 Časově proměnné elektromagnetické pole....................... 108 4 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

OBSAH 1.5.1 Elektromagnetická indukce.......................... 108 1.5.1.1 Základní jevy............................. 108 1.5.1.2 Definice indukovaného elektromotorického napětí E i....... 111 1.5.1.3 Indukční jevy ve vodičích, pohybujících se v časově neměnném magnetickém poli.......................... 111 1.5.1.4 Indukční jevy v nepohyblivých vodičích.............. 114 1.5.1.5 Faradayův zákon elektromagnetické indukce........... 116 1.5.1.6 Jev vlastní a vzájemné indukce................... 118 1.5.1.7 Energie magnetického pole, W m.................. 120 1.5.2 Maxwellova teorie elektromagnetického pole................. 121 1.5.2.1 Magnetomotorické napětí v obecném poli, ε m. Maxwellův proud 121 1.5.2.2 Maxwellovy rovnice......................... 124 1.5.2.3 Příklady Časově proměnné magnetické pole.......... 125 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 5

6 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně OBSAH

1. Elektromagnetismus 1.1 Elektromagnetické interakce 1.1.1 Elektromagnetické jevy Elektromagnetické jevy tvoří důležitou skupinu fyzikálních jevů, jejichž význam v denním životě i v elektrotechnické praxi vzrůstá. Přesto, že elektrotechnická zařízení jsou většinou velmi složitá a podrobné porozumění jejich činnosti vyžaduje důkladné studium, využívá se v nich relativně malého počtu jevů a zákonitostí elektromagnetismu. Studium fyzikálních základů elektromagnetismu je pro studenta strojního inženýrství důležité jednak proto, aby rozuměl fyzikální podstatě technických dějů, v nichž se elektromagnetické jevy uplatňují, jednak proto, aby si vytvořil předpoklady pro studium jiných částí fyziky optiky, atomistiky, fyziky pevných látek a teoretických a technických předmětů, které na fyziku navazují. `v 1 È 1 ~F È 2 `v 2 Obrázek 1.1 Elektromagnetické děje v makroskopickém měřítku a elektromagnetické vlastnosti těles jsou podmíněny elektromagnetickými vlastnostmi některých částic, z nichž jsou tělesa složena. Na tyto částice působí v okolí jiných podobných částic, kromě síly gravitační, ještě další síly, tzv. síly elektromagnetické. Tyto síly se liší od síly gravitační velikostí, směrem a zejména tím, že jsou závislé nejen na vzájemné poloze částic, nýbrž také na jejich rychlostech. Vznik síly F, působící např. na částici 1, pohybující se rychlostí v 1 (obr. 1.1) se vysvětluje tím, že na ni působí elektromagnetické pole, vytvořené částicí 2. Naopak také částice 1 vytváří ve svém okolí elektromagnetické pole, které působí na částici 2, Částice, které mají tyto vlastnosti, se nazývají elektricky nabité. Jsou to např. protony, elektrony, pozitrony atd. Vzájemné působení elektricky nabitých částic se nazývá elektromagnetická interakce. Na rozdíl od sil gravitačních nesplňují síly elektromagnetické v obecném případě zákon akce a reakce. 1.1.2 Elektrický náboj Q Při výkladu elektromagnetických jevů budeme vycházet z fyzikální veličiny elektrický náboj. V soustavě SI je sice základní veličinou v elektromagnetismu elektrický proud, definovaný na základě vzájemného silového působení vodičů, v nichž se pohybují elektricky nabité částice, z hlediska, fyzikálního má však základní význam fyzikální veličina elektrický náboj, který se označuje buď Q nebo q. Při jeho zavedení se vychází z těchto vlastností nabitých částic: Uvažujme o elektromagnetickém poli, vytvořeném v inerciální vztažné soustavě S (obr. 1.2) nabitými částicemi 1, 2,..., n, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 7

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS È 1 ~F' ~F p ~F P proton `v È2 S Obrázek 1.2 È n jež jsou trvale v klidu. Takovéto pole se nazývá elektrostatické. Je-li v některém bodě tohoto pole, např. v bodě P (obr. 1.2), proton, působí na něj určitá síla F p, která nezávisí na tom, zda a jak se proton pohybuje. Na jinou nabitou částici působí v témže místě P síla F, která rovněž nezávisí na pohybu částice a která se od síly F p může lišit velikostí, leží však ve stejné přímce jako síla F p. Síla F je pro některé částice orientována souhlasně jako F p. Tyto částice označíme jako kladně nabité. Pro jinou skupinu částic, které označíme jako záporně nabité, je síla F orientována opačně síla F v (obr. 1.2). Do první skupiny patří proton, pozitron, částice alfa atd., do druhé např. elektron. Elektrický náboj Q částice (krátce jen náboj ) je veličina, která je přímo úměrná velikosti síly, která na ni působí v elektrostatickém poli. Náboj protonu označíme e a nazveme elementární náboj. Náboj Q libovolné kladně nabité částice je dán vztahem Q e = F F p, (1.1) kde F p je velikost síly působící v libovolně zvoleném bodě P elektrostatického pole na proton a F velikost síly působící v tomtéž bodě na uvažovanou částici (obr. 1.3). ~F = 3~F p ~F p e elektrické Q = 3e pole È Obrázek 1.3 Veličina F / F p udává číselnou hodnotu náboje částice, měřeného v elementárních nábojích e. Pro elektrický náboj je tedy proton normálem, právě tak jako pro hmotnost je normálem jisté přesně určené těleso. Je známo, že jednotka 1e je pro technické účely příliš malá a že se jí užívá většinou jen v atomové fyzice. V praxi se užívá jednotky soustavy SI 1coulomb = 1C. Tato jednotka je definována jako náboj částic, které projdou za 1s průřezem vodiče, kterým prochází proud 1 A. Platí 1 C = 1 A s 1. Přitom ampér je v SI definován na základě silových účinků proudu. Z měření plyne e = 1,602 19 10 19 coulombů. Náboj částic, na které elektrostatické pole nepůsobí, je roven nule, Q = 0, takže pro ně platí rovněž rovnice (1.1). Tyto částice nazýváme elektricky neutrální nebo nenabité (např. 8 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE neutron). Elektrický náboj záporně nabitých částic (tj. těch, na něž působí opačně orientovaná síla než na proton) lze zavést podobně. Náboj elektronu se označí Q e. Pro náboj Q libovolné záporně nabité částice, na níž působí v určitém bodě elektrická sila F, je dán vztahem Q = Q e F / Fe, kde F e je velikost síly působící ve stejném bodě na elektron. Vztah mezi nábojem protonu a elektronu Experimentálně bylo zjištěno, že pro elektrický náboj Q libovolného tělesa (částice), sestávajícího buď z kladně nabitých a neutrálních částic nebo ze záporně nabitých a neutrálních částic, platí vztah Q = Q 1 + Q 2 +... + Q n additivnost el. nábojů, (1.2) kde Q 1, Q 2,..., Q n jsou náboje jednotlivých částic. Většina objektů, které se zkoumají ve fyzice, obsahuje současně kladně i záporně nabité částice. Nejjednodušší taková soustava atom vodíku sestává z jednoho protonu, který tvoří jádro a z jednoho elektronu, který tvoří elektronový obal. Na atom vodíku nepůsobí elektrická síla, takže jeho elektrický náboj je nulový, Q = 0. Postulujeme-li platnost vztahu (1.2) i pro soustavu složenou z protonu a elektronu, dostaneme: Q = 0, Q = e + Q e = Q e = e. (1.3) Elektron a proton mají tedy stejně velké náboje opačných znamének. Prohlásíme-li jeden z obou nábojů buď Q e nebo e za kladný, je zbývající záporný. Z historických důvodů se volí náboj protonu kladný, tj. e = 0. Náboj elektronu Q e = e je pak záporný. Je zřejmé, že na náboji protonu ani elektronu není nic, co by jeden nebo druhý předurčovalo k tomu, aby byl kladný nebo záporný. Ze vztahů (1.2), (1.3) plyne, že všechny částice (a všechny soustavy) složené z kladně nabitých částic mají náboj kladný a že soustavy sestávající z částic záporně nabitých mají náboj záporný. Zákon additivnosti elektrických nábojů Z uvedených experimentálních výsledků a úvah plyne: Elektrický náboj Q soustavy, sestávající z částic o libovolných nábojích Q 1, Q 2,..., Q n, kde Q k 0, je dán vztahem (1.2) Tento výsledek se nazývá zákon additivnosti elektrických nábojů. Je zřejmé, že to, že některé těleso nebo některá jeho část je elektricky neutrální, neznamená, že neobsahuje elektricky nabité částice, nýbrž jen to, že součet jeho kladných nábojů je roven absolutní hodnotě součtu jeho nábojů záporných. Zákon kvantování elektrických nábojů Experimentálně bylo zjištěno, že náboj žádné elektricky nabité částice (nebo jakéhokoliv objektu) není v absolutní hodnotě menší než e a že náboj Q libovolné soustavy (částice, tělesa) je vždy roven celistvému násobku elementárního náboje e, tj. že platí Q = n e, n = 0, ±1, ±2,... kvantování nábojů Tento výsledek se nazývá zákon kvantování elektrického náboje. Poznámky: 1. Náboj libovolného tělesa se může změnit jen tak, že těleso získá nebo ztratí elektricky nabité částice (nebo obojí současně). Náboj tělesa se může měnit pouze nespojitě, po kvantech náboje o velikosti e nebo jeho celistvých násobcích. Název elementární náboj je proto oprávněný. 2. Náboj Q elektricky nabitých těles, je téměř vždy mnohem větší než e, tj. platí Q e. Náboj předávaný při nabíjení a vybíjení těles je ve srovnání s nábojem e tak velký, že jeho nespojitost, tj. kvantový charakter, je většinou nepozorovatelná a běžnými přístroji nezjistitelná. Náboj Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 9

` ` ` KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS těles se tedy mění přibližně spojitě, právě tak, jako se přibližně spojitě mění např. hmotnost plynu obsaženého v nádobě při jeho vypouštění. 3. Celkový náboj všech jader atomu v tělese je vždy nesrovnatelně větší než celkový náboj tělesa. Platí tedy: celkový náboj jader atomů tělesa celkový náboj tělesa elementární náboj. Ra, Q = 88e 1 Rn, Q = 86e 2, Q = 2e 3 Obrázek 1.4 Zákon zachování elektrického náboje. Tento zákon zní: Elektrický náboj izolované soustavy je stálý. Zobecňuje výsledky zkoumáni dějů probíhajících v atomárním světě i v měřítku makroskopickém. Je-li náboj izolované soustavy na začátku jakéhokoliv děje v ní probíhajícího roven Q 1, je její náboj na konci děje rovněž Q 1. Např. při jednom typu radioaktivní přeměny jádra atomu radia (Ra), jehož náboj je Q 1 = 88e, vyletí z něho částice alfa o náboji Q 2 = 2e a zbytek jádra (jádro radonu Rn) má náboj Q 3 = 86e, tj. platí Q 1 = Q 2 +Q 3 (obr. 1.4). Uvedli jsme také, že náboj makroskopického tělesa se mění jen tehdy, když těleso ztratí nebo přijme elektricky nabité částice. Zákon invariance elektrického náboje Elektrický náboj Q je fyzikální veličina, která charakterizuje elektrické vlastnosti částic a těles, podobně jako hmotnost m charakterizuje jejich vlastnosti setrvačné. Hmotnost m tělesa závisí na jeho pohybovém stavu, charakterizovaném jeho rychlostí v. S rostoucí rychlostí tělesa jeho hmotnost roste podle vztahu m = m 0 (1 v 2 /c 2 ) 1 2. Podobně jako hmotnost m by mohl i elektrický náboj tělesa záviset na jeho pohybovém stavu. Pokusy však ukazují, že tomu tak není. Náboj tělesa nezávisí na jeho rychlosti, s rychlostí se nemění, je invariantní. Tento výsledek se nazývá zákon invariance elektrického náboje. 1.1.3 Elektromagnetické pole 1.1.3.1 poznatky atom pøed vyzáøením `p = 0 pole `p' `p'' `p'+`p''= 0 atom po vyzáøení, `p' è 0 Obrázek 1.5 Pole, vytvořené pohybujícími se nabitými částicemi, se nazývá pole elektromagnetické. Toto pole působí v obecném případě jak na nabité částice tak na proudovodiče, magnety atd. Neprojevuje se však jen silovými účinky, nýbrž má i jiné vlastnosti, které svědčí o jeho existenci: 1. Elektromagnetické pole má hybnost. To se projevuje např. tím, že když volný atom 10 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE vyzáří elektromagnetickou vlnu, tj. elektromagnetické pole, změní svoji hybnost (obr. 1.5). Součet hybnosti atomu po vyzáření a hybnosti elektromagnetického pole je roven hybnosti atomu před vyzářením. Perspektivní využití: fotonové rakety. 2. Elektromagnetické pole má energii. Příklady: ohřívání povrchu Země slunečním zářením, přenos televizních signálů atd. 3. Elektromagnetické pole působí na lidský organismus: elektromagnetické vlny s frekvencí z intervalu (4 10 14 7,5 10 14 ) Hz vyvolávají světelné vjemy. Elektromagnetické pole působí na krevní oběh, na nervovou soustavu atd. Elektromagnetické pole je jednou z forem hmoty. energie elmag. pole energie Obrázek 1.6 Zdrojem elektromagnetického pole jsou, jak jsme uvedli, pohybující se elektricky nabité částice. V technické praxi je elektromagnetické pole vytvářeno nejčastěji proudovodiči a magnety. I v těchto případech jsou vlastním zdrojem elektromagnetického pole ty pohybující se elektricky nabité částice, jež vytvářejí elektrický proud. Elektromagnetické pole vytvořené nabitou částicí je jakýmsi jejím prodloužením do okolního prostoru. Elektricky nabitá částice bez elektrického pole neexistuje. Na druhé straně však je elektromagnetické pole relativně samostatné, může se od svého zdroje odpoutat a šířit se prostorem nezávisle na svém zdroji. Jestliže se pohybuje nabitá částice se zrychlením, např. kmitá, budí pole, které se šíří okolním prostorem rychlostí světla a má hybnost a energii. Toto pole postupuje prostorem dál, i když částice přestane kmitat nebo když přestane jako samostatný objekt existovat. Na Zemi dopadá z vesmíru elektromagnetické záření, emitované ve vzdálených oblastech vesmíru před miliardami let ze zdrojů, které dnes už vůbec nemusí existovat. Pole, buzené kmitající nabitou částici, je nesmírné slabé a vyzařovaný výkon je malý. Kmitá-li však částice dosti dlouho, je celková vyzářená energie libovolné velká. Zdrojem této energie je to zařízení, které částici udržuje v kmitavém pohybu (obr. 1.6) a koná práci. 1.1.3.2 Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, E elmag. pole `v P Q ~F E ~F ~F B Obrázek 1.7 Obecné ektromagnetické pole je buzeno (v určité inerciální vztažné soustavě) pohybujícími se nabitými částicemi a nabitými tělesy, pohybujícími se magnety atd. a má dvě složky (nebo Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 11

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS části ): elektrickou a magnetickou. Elektrická složka elektromagnetického pole je ta jeho část, která působí na elektricky nabité objekty částice, tělesa silou, nezávislou na jejich pohybu. Tato síla se nazývá elektrická a označuje se obvykle F e. Závisí v určitém místě prostoru pouze na elektrickém náboji objektů, na něž působí. Magnetická složka elektromagnetického pole se projevuje rovněž silou, která však působí na nabité objekty pouze když se pohybují. Na rozdíl od síly F e závisí magnetická síla F m jak na elektrickém náboji tělesa nebo částice, na které působí, tak na velikosti a směru jejich rychlosti. Na klidnou nabitou částici magnetické pole nepůsobí. Výsledná síla F, působící v libovolném bodě P na nabitou částici, pohybující se rychlostí v v elektromagnetickém poli, je rovna F = F e + F m (obr. 1.7). Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole se v prostoru překrývají a jsou na sobě závislé: změna jedné z nich je doprovázena změnou druhé. Ve zvláštních případech však lze vytvořit elektromagnetické pole, které obsahuje buď jen elektrickou složku nebo jen magnetickou složku. První typ pole, tzv. elektrostatické pole, je vytvořeno (v určité inerciální vztažné soustavě Oxyz) náboji, které jsou v Oxyz trvale (nebo po určitou dobu) v klidu. Vyznačuje se zejména tím, že a) působí na elektricky nabitá tělesa (částice) silou nezávislou na jejich pohybu, b) nepůsobí na permanenetní magnety ani na proudovodiče (pokud ovšem nejsou elektricky nabity). Druhý typ pole, tzv. magnetostatické, je buzeno (v určité inerciální vztažné soustavě Oxyz) klidnými permanentními magnety nebo proudovodiči, kterými prochází stálý proud. Vyznačuje se zejména tím, že a) působí na permanentní magnety, na elektrické proudy a na pohybující se elektricky nabité částice, b) nepůsobí na náboje v klidu. Elektrostatické a magnetostatické pole je stálé, tj. s časem neměnné. 1.1.3.3 Intenzita elektrického pole E ~E P Q > 0 ~F E ~F E ~E Q <0 a) b) Obrázek 1.8 Elektrickým polem se rozumí buď elektrická složka elektromagnetického pole nebo elektrostatické pole. Jeho mohutnost se posuzuje podle jeho silových účinků na elektrické náboje a charakterizuje se veličinou E, nazvanou intenzita elektrického pole. K definici vektoru E zavedeme nejprve pojem elektrický bodový náboj. Bodový náboj je buď elementární částice elektron, proton atd. nebo iont, nebo malé nabité tělísko, tak malé, že jeho rozměry a tvar nejsou v dané situaci z fyzikálního hlediska podstatné. Je analogií hm. bodu mechaniky. Definice elektrické intenzity E spočívá na této důležité vlastnosti elektrického pole: Vložíme-li do bodu P elektrického pole postupně kladné bodové náboje Q 1, Q 2, Q 3,... (obr. 1.8a), působí na ně elektrické síly F 1, F 2, F 3,... Tyto síly mají stejný směr a orientaci a pro jejich velikosti platí F 1 : F 2 : F 3 :... = Q 1 : Q 2 : Q 3 :... V tomtéž bodě působí na záporné bodové náboje síly orientované opačně, jejichž velikosti jsou opět úměrny nábojům (obr. 1.8b). Odtud plyne: Nechť na bodový náboj Q (kladný nebo záporný, a libovolně velký, který je v klidu nebo pohybu) působí v bodě P elektrická sila F. Pak vektorová veličina F /Q nezávisí na náboji a na jeho rychlosti a má v bodě P velikost a směr, jež závisí jen na elektrickém poli. Podílem F /Q je definována intenzita 12 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE elektrického pole v bodě P. Tedy Diskuse: E = F Q. definice vektoru E (1.4) [volt metr 1 = newton coulomb 1 ]. ~F E,1 Z 1 Q 0 Z 2 ~E 1 ~E 2 ~F = ~F + ~F ~F E,2 ~E = ~E + ~E 1 2 E,1 E,2 Obrázek 1.9 1. Veličina E je součin skaláru Q 1 a vektoru F, Je-li Q > 0, jsou vektory E a F paralelní, je-li Q < 0, jsou E a F antiparalelní (obr. 1.8b). 2. Veličina E je vektor, neboť splňuje podmínky kladené na vektory. Např. platnost zákona vektorového sčítání plyne v případě, že pole je vytvořeno dvěma zdroji Z 1, Z 2 (obr. 1.9) z toho, že pro intenzitu výsledného pole E v libovolném bodě P platí E = F Q 0 = F 1 + F 2 Q 0 = F 1 Q 0 + F 2 Q 0 = E 1 + E 2, kde F je síla, působící v bodě P na libovolný náboj Q 0 a kde význam ostatních veličin je zřejmý. Tento výsledek zůstává v platnosti i v případě elektrického pole buzeného libovolným počtem zdrojů. Pro pole n-zdrojů platí E = E 1 + E 2 +... + E n. zákon superpozice el. polí (1.5) Vztah vyjadřuje současně zákon superpozice elektrických polí. platí i pro magnetickou složku elektromagnetického pole. Analogický zákon `s ~B N `v Ï ~F B P Q S Obrázek 1.10 3. Je-li ve vztahu (1.4) Q = 1 coulomb, platí číselně {E} = {F }. Jednotka E : [E] = newton coulomb 1. Lze ukázat (viz odstavec 1.2.2, rovnice (1.39)), že platí 1 N C 1 = 1 volt metr 1 = 1 V m 1, což je jednotka, které se užívá nejčastěji. Velikost vektoru E: kolem svorek akumulátoru E 10 2 V m 1, průraz vzduchu E 3 10 6 V m 1. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 13

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 4. Z definičního vztahu (1.4) plyne, že v bodě P, kde je elektrická intenzita E, působí na bodový náboj Q síla F = Q E elektrická síla (1.6) [N = C V m 1 ] 1.1.3.4 Magnetická indukce B. Lorentzova síla F L ~F (pro Q <0) B ~B Q > 0 `v ~B do dlanì Q `v ~F B `v Ð~B a) ~F B (pro Q > 0) b) Obrázek 1.11 Tak jako vektor E charakterizuje mohutnost a směrové vlastnosti elektrického pole, charakterizuje tyto vlastnosti u pole magnetického vektorová veličina zvaná magnetická indukce B. I v případě pole magnetického se za míru jeho mohutnosti považují jeho silové účinky na elektricky nabité částice. Magnetická síla, kterou působí magnetické pole na letící bodový náboj, se nazývá síla Lorentzova značí se buď F m nebo F L. Lorentzova síla má tyto hlavní vlastnosti: Nechť s je směr ustálené otočné magnetky v bodě P magnetického pole (obr. 1.10), orientované od jižního pólu S k severnímu N. Nechť Fm je magnetická síla, působící v bodě P na bodovou částici o náboji Q, která se pohybuje rychlostí v, ležící v rovině σ s, jinak však libovolně orientovanou. Měření vedou k výsledku, že pro tuto silu platí F m Q. v, takže veličina F m / Q. v závisí jen na magnetickém poli v bodě P. Magnetická indukce B v bodě P je pak definována takto: 1. Směr vektoru B je roven směru s 2. Velikost vektoru B je rovna B = F m Q. v 1. definice vektoru B (1.7) Výsledky experimentálního zkoumání síly F m, která působí v bodě P magnetického pole na bodovou částici o náboji Q, pohybující se libovolnou rychlostí v lze shrnout do jediného vztahu: F L = Q( v B). Lorentzova síla (1.8) [N = C ms 1 T][N = C m s 1 T] 14 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE Diskuse: 1. Rozměr vektoru B plyne z definičního vztahu: [B] = [F ][Q 1 ][v 1 ] = N C 1 m 1 s 2 = kg A 1 s 2. Jednotkou B je 1 tesla = 1 T = kg A 1 s 2. Velikost vektoru B: zemské pole B 5 10 5 T, pole mezi póly elektromagnetu B 1 T až 10 2 T. 2. Směr a velikost Lorentzovy síly: a) Směr. Ze vztahu (1.8) plyne, že platí FL v, B, tj. že síla F L je kolmá na rovinu, danou vektory v, B (obr.1.11a). Je-li Q < 0, míří FL na opačnou stranu než vektor ( v B). Ježto platí FL v, je síla F L vždy kolmá na trajektorii částice. Z definice práce pak plyne, že Lorentzova síla nekoná práci. Působením síly F L se mění pouze směr, nikoliv velikost rychlosti volné částice. Ze vztahu (1.8) plyne známé pravidlo levé ruky pro určení magnetické síly (obr. 1.11b). b) Velikost. Ze vztahu (1.8) plyne F L = Q vb sin α, velikost Lorentzovy síly (1.9) kde α(0 α 180 ) je úhel sevřený vektory v a B. Síla F L má maximální velikost pro α = 90 a minimální ( F L = 0) pro α = 0, 180. Je-li v=0, je F L = 0, tj. magnetické pole nepůsobí na klidný nábor. N P ~B 1 ~B 2 ~B Z1 Z S 2 I Obrázek 1.12 3. Veličina B splňuje požadavky kladené na vektory, tedy je vektor. Experimenty vedou např. k tomuto výsledku: Je-li magnetické pole vytvořeno n zdroji Z 1, Z 2... Z n a je-li Bk magnetická indukce pole vytvořeného k-tým zdrojem, pak magnetická indukce výsledného pole, B, je dána vztahem B = B 1 + B 2 +... + B n. zákon superpozice magnetických polí (1.10) Tento vztah vyjadřuje zákon superpozice magnetických polí (viz obr. 1.12). 4. Celková síla působící na náboj v obecném elektromagnetickém poli. Obecné elektromagnetické pole ve vakuu je charakterizováno v každém bodě vektory E, B. Na bodovou částici o náboji Q, pohybující se rychlostí v, působí celková síla F = Q[ E + ( v B)]. celková síla v elektromagnetickém poli (1.11) Tato celková síla se někdy rovněž nazývá Lorentzova. My budeme užívat názvu Lorentzova síla pouze pro její magnetickou složku. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 15

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS 1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu Elektrostatické pole je zvláštním případem obecného elektromagnetického pole. Je to pole, které je vytvořeno v inerciální vztažné soustavě elektrickými náboji v klidu. V technické praxi se setkáváme s elektrostatickým polem např. v okolí zdrojů stejnosměrného napětí, v prostoru kondenzátorů, při vzniku statické elektřiny na vozidlech, letadlech, na látkách z umělých hmot atd. Všechny zákonitosti elektrostatického pole ve vakuu lze vyvodit ze základního zákona elektrostatiky z Coulombova zákona. V zákonech elektrostatického pole v látkách se uplatňují i specifické vlastnosti atomů a molekul. V této části bude vyšetřeno elektrostatické pole ve vakuu (tj. přibližně i ve vzduchu). 1.1.4.1 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon. Bodový náboj Q, který je v bodě M v klidu, vytváří kolem sebe elektrostatické pole, které se vyznačuje tím, že v libovolném jeho bodě P (obr.1.13) působí na jiný bodový náboj Q o, který tam vložíme a který je buď v klidu nebo se libovolně pohybuje, síla F, daná vztahem F = 1 4πε 0 QQ 0 r 2 r 0 Coulombův zákon (1.12) [N = (F m 1 ) 1 C 2 m 2 ] Q,Q > 0 0 Q 0 `r 0 1 P ~F E Q `r 0 r M ~F E,1 ~F E,1 = -~FE Obrázek 1.13 Zde je r vzdálenost nábojů Q, Q 0, veličina r 0 je jednotkový vektor ležící ve spojnici bodů M a P, orientovaný od zdroje pole Q do bodu P, v němž síla na náboj Q 0 působí. Veličina ε 0 se nazývá permitivita vakua. Její hodnota byla získána experimentálně a je ε 0 = 8,854 10 12 C 2 N 1 m 2. permitivita vakua Poznamenejme bez důkazu, že platí 1 C 2 N 1 m 2 = F m 1. Síla daná vztahem (1.12) se někdy nazývá síla Coulombova a vztah (1.12) vyjadřuje Coulumbův zákon. Diskuse: 1. Síla, působící na Q 0, leží ve spojnici nábojů Q, Q 0 a je orientována buď od Q (je-li QQ 0 > 0) nebo ke Q (je-li QQ 0 < 0). V (obr. 1.13) znázorněn případ, kdy platí QQ 0 > 0. 2. Náboj Q 0 vytváří kolem sebe rovněž elektromagnetické pole. Je-li Q 0 v klidu, je i jeho pole elektrostatické a působí na Q silou F 1, danou vztahem analogickým ke vztahu (1.12), lišícím se od něho tím, že vektor r 0 je nahražen vektorem r 0, orientovaným od Q 0 ke Q. Platí tedy F 1 = F. Pro Coulombovy síly platí zákon akce a reakce. Vztah (1.12) vyjadřuje i známý poznatek, že souhlasné náboje se odpuzují a nesouhlasné přitahují. 3. Velikost Coulumbovy síly je dána vztahem F = 1 QQ 0 4πε 0 r 2 16 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE Q > 0 Q> 1 0 ~F E,2 Q<0 2 ~E 2 ~E 1 ~F E,1 Obrázek 1.14 ~E 1 ~E 2 Q <0 ~F E,1 Q> 0 1 Q> 0 2 ~F E,2 Intenzita elektrického pole buzeného nábojem Q v bodě P je dána vztahem E = F /Q 0. Je tedy E = 1 Q 4πε 0 r 2 r 0 intenzita el. pole. (1.13) bodového náboje Vektor E leží na spojnici bodu M, P a míří buď od Q (je-li Q > 0) anebo ku Q (je-li Q < 0). V (obr. 1.14) jsou zakresleny vektory sil a intenzit el. pole buzeného nábojem Q pro různé kombinace znamének nábojů. 1.1.4.2 Elektrické siločáry Průběh elektrického pole lze znázornit elektrickými siločárami. Elektrické siločáry jsou definovány jako orientované křivky, jejichž orientovaná tečna v každém jejich bodě má směr a orientaci shodnou se směrem a orientací příslušného vektoru E. V obr. 1.15 je naznačeno několik elektrických siločar obecného pole a polí, vytvořených kladným záporným bodovým nábojem. Z definice siločar a z Coulombova zákona a jeho důsledků vyplývají tyto obecné vlastnosti siločar elektrostatického pole: S 2 Q > 0 E S 1 Q < 0 Obrázek 1.15 1. Každým bodem, v němž není náboj, prochází právě jedna siločára. Body, v nichž je elektrický náboj, prochází nekonečně mnoho siločar. 2. Siločáry elektrostatického pole nejsou uzavřené. Začínají buď na kladných nábojích nebo v nekonečnu a končí buď na záporných nábojích nebo v nekonečnu. Poznamenejme k tomu, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 17

` ` KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS že elektrické siločáry obecného elektromagnetického pole (tj. nikoliv elektrostatického), mohou být i uzavřené. 3. Jednotlivé siločáry udávají směr vektoru E, nikoliv jeho velikost. Ukazuje se však, že velikost intenzity v různých místech prostoru je úměrná počtu zakreslených siločar, protínajících jednotkovou plochu vedenou kolmo na směr siločar. Např. v obr. 1.15 v řezu S 1 je E asi 1,5 krát větší než v řezu S 2. 1.1.4.3 Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól. %Q %l %Q %S %Q %V %Q %Q %Q = = ² = %l %S %V a) b) c) Obrázek 1.16 Makroskopické elektrostatické pole je obvykle vytvořeno náboji spojitě rozloženými na křivkách (např. na hranách), plochách (např. na povrchu vodičů) nebo v objemu. Spojitě rozložené náboje charakterizují tyto veličiny: a) Lineární hustota elektrického náboje τ; definice: τ = dq dl (obr. 1.16a); [τ] = C m 1 ; b) Plošná hustota el. náboje σ; definice: σ = dq ds (obr. 1.16b); [σ] = C m 2 c) Objemová hustota elektrického náboje ϱ; definice: ϱ = dq dv (obr. 1.16c); [ϱ] = C m 3. Jako příklad uvedeme výpočet intenzity pole elektrického dipólu. Elektrický dipól Elektrický dipól je útvar sestávající ze dvou stejně velkých nábojů opačné polarity, tj. z nábojů Q > 0, Q, které jsou ve vzdálenosti l (obr. 1.17). `p `p = Q l Q > 0 l `p -Q a) b) Obrázek 1.17 Po stránce elektrické je el. dipól charakterizován vektorovou veličinou nazvanou moment elektrického dipólu, která se označuje p a která je definována vztahem p = Q l. Zde l je vektor o délce l orientovaný od Q ku Q (obr. 1.17a). Poznamenejme, že i soustava elektrických nábojů rozložených obecně v prostoru ohraničené oblasti, jejíž celkový elektrický náboj je nulový, tj. pro niž platí Q = 0, vytváří v dosti velké vzdálenosti elektrické pole shodné s polem elektrického dipólu o jistém elektrickém dipólovém momentu p, tj. chová se jako elektrický dipól. Takto je rozložen elektrický náboj např. v některých molekulách. Tyto molekuly, které se chovají po stránce elektrické jako elektrické dipóly, se nazývají polární molekuly. Vytvářejí elektrické pole, i když jsou neutrální. Platí [p] = C m. 18 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE Průběh elektrických siločar pole elektrického dípólu je naznačen na obr. 1.18. Intenzita E na ose dipólu (osa Ox) a na symetrále úsečky AB (osa Oy) je rovnoběžná s osou Ox a je dána obecným vztahem E v = E + E. Její velikost je: 1. Na ose dipólu pro x > l/2 E v = E E = Pro x 1 vychází po úpravě E v. = p/(2πε0 x 3 ) 2. Na ose Oy [ ] Q 1 4πε 0 (x l 1 2 )2 (x + l 2 )2 E v = 2E cos α = 2 Q 1 4πε 0 ( l 2 )2 + y 2 l 2 [( l 2 )2 + y 2 ] 1 2 = p 4πε 0 [( l 2 )2 + y 2 ] 3 2 ~E (+) y ~E (-) ~E ~E Q > 0 A O l/2 B -Q ~E (-) ~E ~E (+) x l Obrázek 1.18 p Pro y l vychází E v = (4πε 0. Elektrický dipól tedy vytváří elektrické pole i ve velké y 3 ) vzdálenosti, přesto, že je jako celek neutrální. Ve velké vzdálenosti platí E v r 3 Elektrický dipól ve vnějším elektrickém poli Je-li elektrický dipól vystaven vlivu vnějšího elektrického pole, působí na něj elektrické síly a otáčivý moment. Je-li elektrický dipól volný, natáčí se, případně se pohybuje jako celek se zrychlením. Je-li vázán ke svému okolí např. polární molekula v pevné látce natáčí se nebo posouvá jenom částečně a působí přitom na své okolí. a) Dipól v homogenním elektrickém poli. Na dipól, sestávající z bodových nábojů Q, Q ve vzdálenosti l (obr. 1.19), působí v homogenním elektrickém poli o intenzitě E výsledná síla F = F 1 + F 2 = Q E + ( Q) E = 0. Síly F 1, F 2 tvoří silovou dvojici o otáčivém momentu M, jehož velikost je M = F 1 l sin α = QEl sin α = pe sin α, kde p = Ql je velikost elektrického momentu dipólu. Ve vektorovém tvaru lze otáčivý moment působící na dipól vyjádřit ve tvaru M = p E. otáčivý moment působící na el. dipól (1.14) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 19

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~F 2 ~F 1 `p Q > 0 l ~E -Q `p ~E ~M = `p Ð ~E Obrázek 1.19 Obrázek 1.20 ~F ~E Je zřejmé, že při proměnném α je M maximální pro α = 90 a minimální (nulový) pro α = 0, 180. Dipól je ve stabilní rovnovážné poloze pro α = 0 ; pro α = 180 je rovnovážná poloha labilní. b) Dipól v nehomogenním elektrickém poli. Působí-li na dipól nehomogenní elektrické pole, nejsou síly F 1 a F 2 (obr. 1.19) stejně velké. Jejich výslednice je nenulová. Nepůsobí-li přitom na dipól jiné síly, pohybuje se jeho hmotný střed se zrychlením mířícím ve směru výsledné síly. Toho se využívá např. k odstraňování prachových částic z plynu: v nehomogenním elektrostatickém poli nabudou prachové částice vlivem posunutí nábojů uvnitř látky dipólový moment a působením sil nehomogenního pole jsou přitahovány k elektrodám, na nichž se usazují (obr.1.20). 1.2 Elektrostatika 1.2.1 Gaussův zákon elektrostatiky 1.2.1.1 Hlavní výsledek E n ~E Q 4 ǹ Q 2 Q 1 Q Q3 S Obrázek 1.21 Jedním z nejdůležitějších důsledků Coulombova zákona je tzv. Gaussův zákon elektrostatiky, který zní takto: Nechť S je libovolná uzavřená plocha vedená v elektrostatickém poli, charakterizovaném v každém bodě vektorem E (obr. 1.21). Pak platí E n ds = S Q ε 0, Gaussův zákon (1.15) 20 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.2. ELEKTROSTATIKA kde E n je průmět vektoru E do vnější jednotkové normály n k ploše S v místě plošky ds (E n = E. n) a symbolem Q je označen součet všech nábojů, které leží uvnitř plochy S. Platnost tohoto zákona dokážeme a na příkladech ukážeme jeho význam a užití. 1.2.1.2 Tok N vektoru B orientovanou plochou ǹ ¾S E n ¾~S ǹ ~E S Obrázek 1.22 Nechť S je libovolná (myšlená nebo fyzicky realizovaná) orientovaná plocha vedená v elektrickém poli charakterizovaném vektorem E (obr. 1.22). Orientovanou plochou přitom rozumíme takovou, na které je jednotkovou normálou n vyznačena strana, považovaná za kladnou. Tuto plochu rozdělíme na plošné elementy tak malé, aby na každém z nich byl vektor E přibližně konstantní. Nechť S je plošný obsah jednoho z nich. Pak veličina N, definovaná vztahem N = E(cos α) S (1.16) se nazývá tok vektoru E elementární orientovanou plochou S. Poznámky: 1. Veličina N se nazývá tok v analogii s hydrodynamikou: kdyby v obr. 1.22 byla namísto elektrického pole naznačena proudící nestlačitelná kapalina a namísto elektrických siločar by v něm byly zakresleny proudnice, tj. křivky udávající v každém bodě směr vektoru rychlosti v proudící kapaliny, udávala by veličina v(cos α) S objem kapaliny, která projde ploškou S za jednotku času z její záporné strany na kladnou. Tato veličina se nazývá tok kapaliny ploškou. V analogii i veličina daná vztahem (1.16) se nazývá tok. 2. Znaménko veličiny N dané vztahem (1.16) závisí na orientaci plošky S. Kdyby jednotková normála n v obr. 1.22 byla orientována opačně, veličina N by měla opačné znaménko. 3. Veličinu (1.16) lze psát ve tvaru N = E n S = E n S = E S, kde je E n = E cos α a S = ns. Tok vektoru E orientovanou plochou S (obr. 1.22) je definován jako součet toků N elementárními ploškami S, na něž je S rozdělena, tj, je dán vztahem N =.. N k = E k (cos α k ) S k ; N = E(cos α)ds; (1.17) k k V součtu se sčítá přes všechny plošky, na něž je plocha S rozdělena. Poslední integrál udává tento součet jako limitní případ, ke kterému se dojde, jestliže se dělení plochy S na plošky S zjemňuje tak, že jejich rozměr i plošný obsah jde k nule, tj. S 0, přičemž jejich počet současně roste nade všechny meze. Integrál ve vztahu (1.17) lze zapsat i takto: N = E n ds = E nds = Ed S. S S Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 21 S S

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS Poznamenejme, že v tomto textu budeme provádět pouze takové úvahy a řešit takové problémy, při nichž lze integrály typu (1.17) řešit elementárními matematickými prostředky. 1.2.1.3 Tok vektoru E uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového náboje Q' `n ¾S 1 ¾» ~E1 ¾S 2 `n ~E 2 S 1» 1 ¾» P Q(>0) r ¾S 0 ¾S ǹ ~E Obrázek 1.23 ~E n Nechť S je libovolná uzavřená plocha, vedená v elektrostatickém poli bodového náboje Q. Uzavřená plocha ohraničuje určitý objem, může to být např. povrch tělesa. Uzavřená plocha nemá okraj. Náboj Q nechť je v jejím vnitřku a nechť je orientována, tak, že jednotková normála n míří ven z plochy (obr. 1.23). Pro určitost budeme předpokládat, že platí Q > 0. Tok vektoru E plochou S je dán vztahem (1.17). Přitom z obr. 1.23 plyne pro libovolnou plošku S : N = E(cos α) S = E S 0, kde S 0 = S cos α je průmět plošky S do roviny kolmé na průvodič r. Ježto E = 1 Q 4πε 0, platí r 2 N = 1 4πε 0 Q r 2 S 0 = Q 4πε 0 S 0 r 2 = Q 4πε 0 ω, kde ω = S 0 r 2 je elementární prostorový úhel, pod kterým je vidět z bodu P plošky S a S o. Tok N celou plochou S je dán součtem přes všechny plošné elementy S, tj. výrazem N = N = Q 4πε 0 ω = Q 4πε 0 4π = Q ε 0 (1.18) Diskuse: 1. Veličina N je vždy rovna Q/ε 0, tj. nezávisí na tvaru a velikosti, plochy S. 2. Je-li Q < 0, míří v bodě P vektor E směrem ku Q, platí α > 90 a cos α < 0, takže N < 0. Celkový tok N je dán opět vztahem (1.18) a platí N = Q ε 0 < 0. 3. Je-li bodový náboj Q = Q vně plochy S (obr. 1.23), plyne z uvedených úvah pro toky N 1, N 2 ploškami S 1, S 2 vztah N 1 = N 2, tj., N 1 + N 2 = 0. Ježto pro náboj Q vně plochy S lze celou plochu S rozdělit na podobné dvojice a pro každou z nich platí N 1 + N 2 = 0, docházíme k výsledku N = N = S E nds = 0. Závěr: Je-li E intenzita pole buzeného bodovým nábojem Q, pak pro každou uzavřenou plochu S orientovanou tak, že vnější strana je kladná, platí (N =) E n ds = S { Q ε 0 pro Q uvnitř plochy S 0 pro Q vně plochy S. (1.19) 22 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.2. ELEKTROSTATIKA 1.2.1.4 Gaussův zákon elektrostatiky Uvažujme o toku N uzavřenou plochou vedenou v elektrostatickém poli vytvořeném dvěma bodovými náboji Q 1, Q 2 (obr. 1.24) ve vakuu. Ježto podle zákona superpozice je intenzita výsledného pole E dána vztahem E = E 1 + E 2, platí N = E n ds = ( E 1 + E 2 ) n ds = E 1n ds + E 2n ds = N 1 + N 2, S S kde N 1 a N 2 jsou toky intenzit polí buzených nábojem Q 1 a nábojem Q 2. Tyto toky jsou dány vztahem (1.19), takže platí Q N = E n ds =, (1.20) ε 0 S kde Q je algebraický součet nábojů, které jsou uvnitř plochy, tj, buď 0, nebo Q 1, nebo Q 2, nebo Q 1 +Q 2. Platí-li např. Q 1 = Q 2 a jsou-li oba náboje uvnitř plochy, je Q = Q 1 +Q 2 = 0. ~E 2 S ~E S Q 1 ~E 1 Q 2 ǹ E 1n E 2n Obrázek 1.24 Výsledek (1.20) zřejmě zůstává v platnosti, i když elektrostatické pole je buzeno libovolným počtem libovolně rozložených nábojů, jak je naznačeno na obr. 1.24. Tím je platnost Gaussova zákona, vyjádřeného vztahem (1.15), dokázána. Uzavřená plocha v integrálu (1.15) se někdy nazývá Gaussova plocha. Gaussův zákon zde byl odvozen jako důsledek vztahu (1.13) s užitím zákona superpozice, tj. v podstatě jako důsledek Coulombova zákona. Zcela analogickou úvahou lze naopak z Gaussova zákona vyvodit zákon Coulombův. Každý z uvedených dvou zákonů lze tedy považovat za základní a druhý z nich za jeho důsledek. V klasické Maxwellově teorii elektromagnetického pole (odst. 1.5.2) se za základní považuje zákon Gaussův. Vztah (1.15) lze pak interpretovat jako definiční vztah pro elektrický náboj uvnitř plochy S. 1.2.1.5 Užití Gaussova zákona Gaussův zákon vyjadřuje velmi obecnou vlastnost elektrického pole. Plyne z něho jednak řada zajímavých a důležitých důsledků pro teorii elektromagnetického pole, jednak ho lze s výhodou užít k určení průběhu některých často se vyskytujících elektrických poli, které mají určitou symetrii kulovou, válcovou atd. Ukážeme to na následujícím příkladu. 1. Elektrické pole buzené nekonečnou rovnoměrně elektricky nabitou rovinou Budeme uvažovat o nekonečně velké rovině, rovnoměrně nabité elektrickým nábojem o plošné hustotě σ, která je ve vakuu a je v klidu. Dokážeme, že budí elektrické pole, které je na každé straně roviny homogenní a jehož intenzita E má velikost E = E = σ 2ε 0 (1.21) Přibližně takové pole budí i rovinná elektricky nabitá deska konečných rozměrů (např. deska rovinného kondenzátoru) v bodech blízkých desce a dosti vzdálených od jejího okraje. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 23

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS ~E (>0) ~E A 2 A 4 A 3 ~E P' ǹ P ǹ ~E ~E ǹ ~E ~E A 1 Obrázek 1.25 Důkaz vztahu (1.21). Budeme uvažovat o vektoru E v libovolně zvoleném bodě P (viz obr. 1.25). Z důvodů symetrie je vektor E kolmý na uvažovanou nekonečnou rovinu, kterou označíme α. Velikost vektoru E určíme úvahou o uzavřené Gaussově ploše A, sestávající z válcové obliny A 3 kolmé na rovinu α a dvou shodných základen A 1, A 2 libovolného tvaru rovnoběžných s rovinou α, z nichž jedna A 1, jde bodem P a druhá, A 2, bodem P, souměrně sdruženým k bodu P podle roviny α. Užijeme vztahu (1.15) na plochu A. Plošný obsah každé ze základen označíme S. Pro určitost budeme předpokládat, že rovina α je nabita kladně, tj. že platí σ > 0. Pak vektor E má na základnách A 1 A 2 směr shodný se směrem vnější normály n ke Gaussově ploše A a na válcové oblině A 3 platí E n. Integrál ve vztahu (1.15) bude tvaru E n ds = E n ds + E n ds + E n ds = ES + ES + 0 = 2ES. (1.22) A A 1 A 2 A 3 1 (>0) 2(>0) ~E 2 ~E = ~E + ~E 1 2 Obrázek 1.26 ~E 2 ~E 1 ~E 1 ~E = ~E + ~E 1 2 Uvnitř plochy A je náboj na ploše A 4, která je v obr. 1.25 vyšrafována, a to náboj Q = σs. Dosadíme-li do vztahu (1.15) Q = σs, dostaneme s užitím vztahu (1.22) po úpravě vztah E = σ/2ε 0. Předpokládáme-li, že rovina α je nabita záporně, tj. že platí σ < 0, je vektor E orientován k rovině α. Analogicky se dokáže, že platí E = σ/(2ε 0 ) = σ /(2ε 0 ). Tím je platnost vztahu (1.21) dokázána. 2. Elektrické pole dvou nekonečných rovin Dvě nekonečné rovnoběžné roviny, nabité rovnoměrně elektrickými náboji o plošných hustotách σ 1, σ 2, vytvářejí pole, jehož intenzita E je mezi nimi i v jejich vnějšku dána vztahem E = E 1 + E 2. Na obr. 1.26 je znázorněn případ, kdy platí σ 1 > σ 2 > 0. Pak pro body mezi deskami platí E = E 1 + E 2 = E 1 E 2 = (σ 1 σ 2 )/2ε 0 ; pro body vně desek platí E = E 1 + E 2 = E 1 + E 2 = (σ 1 + σ 2 )/2ε 0. Je-li σ 1 = σ 2 = σ(> 0), platí mezi deskami E = σ ε 0 (1.23) 24 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

1.2. ELEKTROSTATIKA (>0) 1 = - 2 1 E = ~E 1 1 0 ~E 2 ~E 2 Obrázek 1.27 E = 2~E ~E 1 ~E =~ 0 a vně desek E = 0. Přibližně takové pole budí deskový kondenzátor (obr. 1.27). 3. Elektrické pole náboje rozloženého s kulovou symetrií Náboj je rozložen s kulovou symetrií, je-li jeho objemová hustota ϱ nebo jeho plošná hustota σ pouze funkcí vzdálenosti od pevného bodu, např. od počátku O, tj. platí-li ϱ = ϱ(r), σ = σ(r) (viz obr. 1.28). Příkladem je třeba náboj rovnoměrně rozložený v objemu koule nebo na jejím povrchu. ~E ²(r) K O 0 `r r P ǹ M ~E R Obrázek 1.28 Elektrické siločáry pole buzeného takto rozloženým nábojem mají radiální směr. Vektor E míří v každém bodě prostoru (v němž je nenulový) buď do bodu O nebo v opačném směru. Jeho velikost E v obecném bodě P závisí na r. Určíme ji takto: Bodem P vedeme kouli K se středem v O o poloměru r, orientujeme ji vnější normálou n a užijeme pro ni Gaussova zákona. Tok N vektoru E kulovou plochou K je, podle definice, N = E n ds = E n ds = E n.4πr 2. K Zde je E n průmět (neznámého) vektoru E do n (na kouli K platí E n = konst). Podle Gaussova zákona (1) však je N = Q /ε 0, kde Q je náboj uvnitř koule K. Srovnáním obou vztahů vychází E n = Q /4πε 0 r 2, tj. E = Q 4πε 0 r 2 r 0, kde Q je celkový náboj uvnitř koule o poloměru r. Přitom r 0 je jednotkový vektor (viz obr. 1.27). Je-li náboj Q, rozložený s kulovou symetrií, celý uvnitř jisté koule o středu 0 a o poloměru R, pak vně této koule, tj. pro r > R (bod M v obr. 1.28), platí E = K Q 4πε 0 r 2 r 0 To je však vztah pro intenzitu elektrického pole buzeného bodovým nábojem Q umísténým Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 25

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS v bodě 0. Výsledek: Kulově souměrný náboj Q budí ve svém vnějšku stejné pole jako bodový náboj Q umísténý v jeho středu souměrnosti. Takové pole budí např. koule rovnoměrně nabitá v objemu nebo na povrchu. 1.2.2 Elektrický potenciál a napětí 1.2.2.1 Úvod Elektrický potenciál neboli potenciál elektrostatického pole je skalární fyzikální veličina, která charakterizuje energetické vlastnosti elektrostatického pole. Souvisí s prací, kterou vykonají síly elektrostatickéko pole působící na bodový náboj, který se v něm přesouvá a s potenciální elektrickou energií, kterou tento náboj v elektrostatickém poli má. Tato veličina, která je analogická potenciálu gravitačního pole, je jednou z nejdůležitějších v celé teorii elektromagnetismu a setkáváme se buď s ní nebo s rozdílem jejích hodnot ve dvou bodech, nazvaným elektrickým napětím, téměř denně. V dalším postupně zavedeme zmíněné veličiny a odvodíme vztahy mezi nimi. 1.2.2.2 Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem P 1 r 1 r %`r ~E 1 ~F Q 3 2%r C M Q 1 r P r 2 2 P'Ø P' 1 2 C' Obrázek 1.29 V elektrostatickém poli, vytvořeném klidným nábojem Q 1 > 0, umístěným v bodě M, nechť se přesune bodový náboj Q > 0 z bodu P 1 do bodu P 2 po křivce C (obr. 1.29). Určíme práci A, kterou přitom vykonají síly elektrostatického pole působící na náboj Q. Poznamenejme, že na náboj Q, tj. na částici nabitou nábojem Q, působí přitom i jiné sily (jinak by křivka C měla jiný tvar), práce těchto sil nás však nyní nezajímá. Práce A je podle definice, dána vztahem A = C da, kde da = F.d r = F ds cos α = QEds cos α = Q Q 1 4πε 0 ds cos α. r 2 Užili jsme vztahu r = ds. Z trojúhelníka 1, 2, 3 v obr. 1.29 plyne dr/ds = cos α, tj. ds cos α = dr, takže vychází da = Q 1Q 4πε 0 dr, r 2 A = C da = r2 r 1 ( Q 1 Q 4πε 0 r 2 dr = Q Q1 Q ) 1. (1.24) 4πε 0 r 1 4πε 0 r 2 Výsledek jsme napsali ve tvaru vhodném k dalším úvahám. Důležité poznatky: 1. Práce A nezávisí na tvaru trajektorie C, nýbrž jen na Q, Q 1 a na vzdálenostech r 1, r 2 (tj. na poloze bodů P 1, P 2 ). 2. Platí A Q; přenáší-li se náboj Q = 2Q, je A = 2A atd. 3. Obr. 1.29 je nakreslen pro Q 1 > 0, Q > 0 a pro r 2 > r 1. Výsledek (10) však zůstává v platnosti zcela obecně, tj. pro Q 1 0, Q 2 0, r 2 r 1. 26 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně