Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie), výrokem již dokázaným nebo vznikl z předchozích členů posloupnosti pomocí definovaných odvozovacích pravidel. Důkaz výroku Φ: Důkaz, jehož posledním členem je Φ. Důkaz výroku Φ sporem:důkaz,jehožprvnímčlenemjevýrok Φavněmžsevyskytují výrokyθa Θ. Komentář: Velká řecká písmena označují libovolný správně utvořený výrok, symbol Φ označuje negaci výroku Φ. Axiomy: Výrokové logiky v1) Φ Ψ Φ) v2) Φ Ψ Θ) ) Φ Ψ) Φ Θ) ) v3) Φ Ψ) Φ Ψ) Φ ) v4) Φ Φ Modální logiky m1) Φ Ψ) Φ Ψ) m2) Φ Φ m3) Φ Φ m4) Φ Φ, Φ Φ Predikátové logiky p1) ξ)φ Φ p2) ξ)φ ξ) Φ, ξ)φ ξ) Φ Komentář: Symbol označuje implikaci. Pomocí implikace a negace jsou definovány další výrokovéspojky & konjunkce)a ekvivalence):φ & Ψjedefinovánajako Φ Ψ); Φ ΨjedefinovánajakoΦ Ψ) & Ψ Φ). Axiomyv1) v4) jsou axiomy klasického výrokového počtu. To znamený, že všechny výrokové tautologie lze dokázat a dokazatelný výrokneobsahující kvantifikátory ani modality) je tautologií. Modální symboly, resp., označují nutnost, resp. možnost. Axiomym1) m3) jsou axiomy modálního výrokového počtu S5. Druhá formule vm4) je důsledkem první a naopak; tyto formule vyjadřují vztah mezi nutností a možností. Podobně druhá formulep2) je důsledkem první a naopak; vyjadřují vztah mezi obecným a existenčním kvantifikátorem. Axiomp1) se nazývá axiom specifikace. Pokud se proměnná ξ ve formuli Φ vyskytuje, lze každý její výskyt v konsekventuna pravé straně implikace) nahradit libovolnou jinou proměnnou nebo konstantou. Keklasickémupredikátovémupočtupatříještěaxiomdistribucetj. ξ)φ Ψ) Φ ξ)ψ ) pokudproměnná ξneníveformuliφpodstatněvolná)aaxiomyrovnosti.axiomdistribuce nebudeme potřebovat, potřebné důsledky axiomů rovnosti jsou shrnuty v odvozovacím pravidle op3). 1

Odvozovací pravidla: op1) Φ Ψ,Φ Ψ. op2) Φ & Ψ Φ. Φ & Ψ Ψ. Φ,Ψ Φ & Ψ. op3) Je-li Φ Ψ dokazatelným výrokem, axiomem, postulátem nebo definicí, pak každý výskyt ΦlzenahraditΨ. op4) Φ Φ. op5) Φ ξ)φ. op6) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu dosud neobjevil. op7) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu objevil před výrokem ξ)φξ). Komentář:ZápisΦ 1,Φ 2... Ψ 1,Ψ 2,...vyjadřuje,ževýrokyΨ 1,Ψ 2,...lzeodvoditzvýroků Φ 1,Φ 2...,tj.ževýrokyΦ 1,Φ 2...jsouvdůkazupředvýrokyΨ 1,Ψ 2,.... Pravidloop1) je klasický modus ponens. Pravidlaop2) pro odvození pomocí konjunkce jsou důsledkemop1) a definice konjunkce. Pravidloop3) vyjadřuje substituci výroků. Pravidloop4) je odvozovacím pravidlem modálního výrokového počtu S5. Pravidloop5) je pravidlem generalizace klasického predikátového počtu. Proměnná ξ musí samozřejmě být ve výroku Φ volná. Pravidlaop6) aop7) jsou pravidly konkretizace. Jako cvičení dokážeme tři tvrzení, která budou v dalších úvahách potřebná. Důkazy zapisujeme pořádcích,každýřádekmásvéčísloajekněmupřipojenkomentář,kterýaxiomnebotvrzení bylo použito nebo z kterých řádků a jakého odvozovacího pravidla daný řádek plyne. Při použití pravidlaop3) je také uvedena použitá ekvivalence. Cv1 Φ Φ D.:1. Φ Φ m3) 2. Φ Φ 1.op3) a b b a 3. Φ Φ 2.op3)m4) 4. Φ Φ 3.op3)m4) 5. Φ Φ 4.op3) a a q.e.d. 2

Cv2 Φ Ψ) Φ Ψ) D.: 1. Φ Ψ) Φ Ψ) ) 2. Ψ Φ) Φ Φ) m1) 3.Φ Ψ) & Φ Ψ) 1.op3) a b) a & b 4. Φ Ψ) 3.op2) 5. Φ & Ψ 4.op3) a b) a & b 6. Φ 5.op2) 7. Ψ 5.op2) 8. Ψ 7.m4) 9.Φ Ψ 3.op2) 10. Ψ Φ 9.op3) a b b a 11. Ψ Φ) 10.op4) 12. Ψ Φ 2.11.op1) 13. Φ 8. 12.op1) 14. Φ 13.m4) 6.14.spor,q.e.d Cv3 Φξ) Ψ ) ζ)φζ) Ψ ) Φξ) ) ) D.: 1. ) Ψ ζ)φζ) Ψ 2. Φξ) Ψ ) & ζ)φζ) Ψ ) 1.op3) a b) a & b 3. ζ)φζ) Ψ ) 2.op2) 4. ζ)φζ) & Ψ 3.op3) a b) a & b 5. ζ)φζ) 4.op2) 6. Φα) 5.op6) 7. Ψ 4.op2) 8.Φξ) Ψ 2.op2) 9. Ψ Φξ) 8.op3) a b b a 10. Φξ) 7. 9.op1) 11. ξ) Φξ) 10.op5) 12. Φα) 11.op7) 6. 12. spor, q.e.d. 3

Gödelův systém: Abeceda:Objekty: a, b, c,...,x, y, z Vlastnostiobjektůunárnípredikáty): A, B, C,..., X, Y, Z Vztahy mezi vlastnostmi a objektybinární predikát): X Rel y ap. Vlastnosti vlastnostípredikáty druhého řádu): A, B, C,... Primitivní predikát druhého řádu: P Definice: Gx) X) PX) Xx) ) XEssa Xa) & Y) Ya) z) Xz) Yz) )) Na) X) XEssa x)xx) ) Postuláty:A1) PX) P X) A2) PX) & x) Xx) Yx) )) PY) A3) PX) PX) A4) PG) A5) PN) Komentář: Symboly z konce abecedy budou označovat proměnné, symboly ze začátku abecedy konstanty. Mlčkysepředpokládá,žepokud Xjevlastnost,paktaké Xjevlastnost;lzejichápatjako nepřítomnost vlastnosti X. Interpretacejedinéhopredikátudruhéhořádu P: PX) vlastnost Xjedobrá positive).[alternativně: vlastnost Xjeperfekcedokonalost), vlastnost Xjepotencionalitaschopnost).] Vlastnost Gjebožskost,vlastnost býtibohem.bůhjeten,kterýmávšechnydobrévlastnosti dokonalosti, potencionality). Vztah XEssxvyjadřuje,ževlastnost X jeessencíobjektu x.essencejetakovávlastnost, kterou objekt má, a každá jeho vlastnost je nutným důsledkem této essence. Vlastnost N lze interpretovat jako nutnou existenci, příčinu sebe samacausa sui). Objekt má tuto vlastnost, pokud má essenci a jeho bytí je nutným důsledkem této essence. PostulátyA1) A3) zavádějí používání primitivního predikátu P. Nepřítomnost dobré vlastnosti není dobrá, nutný důsledek dobré vlastnosti je dobrá vlastnost, dobrá vlastnost je nutně v každém možném světě) dobrá. Analogicky lze postuláty číst, pokud P interpretujeme jako perfekce nebo potencionality. PostulátA4) říká, že mít všechny dobré vlastnosti je dobré, postuláta5) vyjadřuje, že být nutněvdůsledkutoho,čímje,stručně býttím,čimje jedobrávlastnost. Při důkazech budeme používat nejen definice a postuláty, ale také jejich bezprostřední důsledky. Např. X) PX) Xa) ) Ga)jebezprostřednímdůsledkemdefinicevlastnosti G, P X) P X) je bezprostředním důsledkem postulátua1) a podobně. Gödelův systém je teorie v predikátovém počtu druhého řádu, tj. kvantifikujeme proměnné a vlastnostipredikáty prvního řádu), k němuž jsou přidány modální operace. Modality nutnosti a možnosti však budeme přiřazovat pouze formulím prvního řádu; odvozovací pravidloop4) budeme aplikovat pouze v případě, že formule Φ je prvního řádu.jinak řečeno, s modalitou nutnostipočítámejenna bezpečnépůdě logikyprvníhořádu.)jedinouvýjimkoujevyjádření nutné platnosti predikátu druhého řádu P explicitně vyjádřené v postulátua3). Pokud bychom připustili neomezené používání modálních operátorů a,a3) by nebyl nezávislým postulátem, ale důsledkem pravidlaop4).přesněji, negace postulátua3) by vedla ke sporu.) 4

T1 Věta PX) x)xx) Je-li nějaká vlastnost dobrá, může existovat objekt, který ji má.) D.: 1. PX) )Xx) ) 2. Xx) Xx) Xx) ) v1) 3. x) Xx) ) x) Xx) m2) 4. x) Xx) Xx) p1) 5. PX) P X) A1) 6. PX) & x) Xx) Xx) )) P X) A2) 7. PX) & x)xx) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. x)xx) 7.op2) 9. x)xx) 8.m4) 10. x) Xx) 9.p2) 11. x) Xx) 3. 10.op1) 12. Xx) 4. 11.op1) 13. Xx) Xx) 2.12.op1) 14. x) Xx) Xx) ) 13.op5) 15. x) Xx) Xx) ) 14.op4) 16. PX) 7.op2) 17. PX) & x) Xx) Xx) )) 15.16.op2) 18. P X) 6. 17.op1) 19. P X) 5. 16.op1) 18. 19. spor, q.e.d. C1Důsledek x)gx) Je možné, že Bůh existuje.) D.: 1. PG) A4) 2. PG) x)gx) T1 3. x)gx) 1. 2.op1) q.e.d. 5

L1Lemma Gx) X) Xx) PX) ) Každá vlastnost, kterou Bůh má, je dobrá.) D.: 1. Gx) X) Xx) PX) )) 2. GX) X) PX) Xx) ) definice G 3. Gx) & X) Xx) PX) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) 3.op2) 5. X) Xx) PX) ) 3.op2) 6. X) Xx) PX) ) 5.p2) 7. X) Xx) & PX) ) 6.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. Ax) & PA) 7.op6) 9. Ax) 8.op2) 10. PA) 8.op2) 11. P A) P A) A1) 12. PA) P A) 11.op3) Φ Φ 13. P A) 10. 12.op1) 14. X) PX) Xx) ) 2.4.op1) 15. P A) Ax) 14.op7) 16. Ax) 13. 15.op1) 9. 16. spor, q.e.d. L2Lemma Gx) & Yx) PY) D.: 1. Gx) & Yx) PY) ) 2. PY) PY) A3) 3. Gx) X) Xx) PX) L1 4. Gx) & Yx) ) & PY) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 5. Gx) & Yx) 4.op2) 6. Gx) 5.op2) 7. X) Xx) PX) 3.6.op1) 8. Yx) PY) 7.op7) 9. Yx) 5.op2) 10. PY) 8.9.op1) 11. PY) 2.10.op1) 12. PY) 4.op2) 11. 12. spor, q.e.d. 6

L3Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) )) 2. PY) PY) m2) 3. P Y) P Y) A1) 4. Gx) & Yx) PY) L2 5. Gx) & Yx) ) & z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 6. Gx) & Yx) 5.op2) 7. z) Gz) Yz) ) 5.op2) 8. z) Gz) Yz) ) 7.p2) 9. z) Gz) & Yz) ) 8.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 10. Ga) & Ya) 9.op6) 11. Ga) 10.op2) 12. Ga) X) Xa) PX) ) L1 13. X) Xa) PX) ) 11.12.op1) 14. Ya) P Y) 13.op7) 15. Ya) 10.op2) 16. P Y) 14.15.op1) 17. P Y) 3.16.op1) 18. PY) 4.6.op1) 19. PY) 2.18.op1) 20. Py) 19.op3) Φ Φ 17. 20. spor, q.e.d. L4Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z)) Gz) Yz) )) 2. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) L3 3. Gx) & Yx) ) & z)) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) & Yx) 3.op2) 5. z)) Gz) Yz) ) 3.op2) 6. z) Gz) Yz) ) 2.4.op1) 7. z)) Gz) Yz) ) 6.op4) 5.7.spor,q.e.d. 7

L5Lemma Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) ))) 2. Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 3. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 2.op2) 4. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 3.p2) 5. Ax) z) Gz) Az) ) 4.op6) 6. Ax) & z) Gz) Az) ) 5.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. z) Gz) Az) ) 6.op2) 8. Gx) & Ax) z) Gz) Az) ) L4 9. z) Gz) Az) ) Gx) & Ax) ) 8.op3)Φ Ψ Ψ Φ 10. Gx) & Ax) ) 7.9.op1) 11. Gx) 2.op2) 12. Ax) 6.op2) 13. Gx) & Ax) 11.12.op2) 10. 13. spor, q.e.d. T2Věta Gx) GEssx Všechny vlastnosti Boha nutně plynou z jeho božství.) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) L5 2. Gx) Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) )) 1.op3)Φ Ψ Φ Φ & Ψ) 3. Gx) GEssx 2.op3)definicerelaceEss q.e.d. 8

L6 Lemma Gx) y)gy) Je-li Bůh myslitelný, pak nutně existuje.) D.: 1. Gx) y)gy) ) 2. PN) A5) 3. Gx) X) PX) Xx) ) definice G 4. Nx) X) XEssx y)xy) ) definice N 5. Gx) GEssx T2 6. Gx) & y)gy) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. Gx) 6.op2) 8. X) PX) Xx) ) 3.7.op1) 9. PN) Nx) 8.op7) 10. Nx) 2.9.op1) 11. X) XEssx y)xy) ) 4.10.op1) 12. GEssx y)gy) 11.op7) 13. GEssx 5.7.op1) 14. y)gy) 12. 13.op1) 15. y)gy) 6.op2) 14. 15. spor, q.e.d. T3Věta y)gy) Bůh existuje nutně.) D.: 1. z)gz) 2. Gx) y)gy) L6 3. y)gy) y)gy) Cv1 4. z)gz) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv2 5. Gx) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv3 6. z)gz) y)gy) C1 2. 5.op1) 7. z)gz) y)gy) 4. 6.op1) 8. y)gy) 1. 7.op1) 9. y)gy) 3. 8.op1) q.e.d. 9