MODÁLNÍ ANALÝZA ZVEDACÍ PLOŠINY S NELINEÁRNÍ VAZBOU Autoři: Ing. Jan SZWEDA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB-Technická univerzita Ostrava, e-mail: jan.szweda@vsb.cz Ing. Zdeněk PORUBA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB-Technická univerzita Ostrava, e-mail: zdenek.poruba@vsb.cz Bc. Petr GÁL, Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB-Technická univerzita Ostrava, e- mail: petr.gal.st2@vsb.cz Ing. Ondřej FRANTIŠEK, Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB-Technická univerzita Ostrava, e-mail: ondrej.frantisek@vsb.cz Anotace: Cílem práce je modální analýza testovací zvedací plošiny využívané v divadelní technice. Vedení zvedací plošiny při jejím vertikálním pohybu je realizováno sdruženým ložiskem s nelineární charakteristikou. Příspěvek popisuje postup výpočtu vlastních tvarů a vlastních frekvencí s ohledem na přítomnost těchto nelineárních členů v soustrojí. Annotation: The topic of the work is modal analysis of the testing platform used in the theatre technics. The leading of the testing platform during its vertical motion is realized by combined bearings with nonlinear characteristics. The contribution describes the process of determination of eigen-shapes and eigen-values with regard to the presence of those nonlinear members. Úvod Předmětem práce je testovací zvedací plošina užívaná v divadelní technice. Zařízení sestává z vodorovného základového rámu pevně ukotvenému k podložce, dvou svislých sloupů a dvou plošin. Zvedání plošin je z testovacích důvodů realizováno dvěma zařízeními i) tzv. spiraliftem a ii) erektivním řetězem, tzv. serapidem. Podélné i příčné vedení plošin je zajištěno vodícími U-profily pevně uchycenými ke sloupům a kombinovanými ložisky spojenými s vlastními lavicemi. Cílem práce je zjištění modálních vlastností vlastních tvarů a vlastních frekvencí popsaného celku zvedací plošiny. Jelikož spojení obou plošin a vodicích profilů nedovoluje přenos tahových sil v podélném směru, je tato vazba nelineární. S ohledem na tuto skutečnost je nutno navrhnout odpovídající způsob výpočtu. Jeho popisem se zabývají následující odstavce. Modální analýza je prováděna metodou počítačového modelování v programu ANSYS Mechanical APDL v12.0. 1
Předmětné zařízení je zobrazeno na obr. 1. Sloup Lavice Vodicí U-profil Základový rám Obr. 1: CAD model testovací zvedací plošiny Výpočet Před vlastním výpočtem modálních vlastností byl mechanismus zvedací plošiny analyzován z hlediska možných zjednodušení při tvorbě konečnoprvkového modelu. Pomocí metody konečných prvků byla vypočtena tuhost zvedacích zařízení (spiraliftu a erektivního řetězu) obr. 2, která byla následně srovnána s tuhostmi ostatních dílů (lavice, sloupy). Jelikož tuhost obou zvedacích zařízení je řádově vyšší, bude vliv obou zařízení v konečnoprvkovém modelu nahrazen příslušnou okrajovou podmínkou odebráním stupňů volnosti ve svislém směru v místě uchycení zvedacího zařízení k lavici [1], viz obr. 3. Příslušnou okrajovou podmínkou byl nahrazen rovněž základový rám, který je pevně spojen s podložkou (zabetonován do podlahy). Jeho vliv na modální vlastnosti celé konstrukce je zanedbatelný. V místě spojení sloupů a základového rámu byly příslušným uzlům na sloupech odebrány stupně volnosti ve všech směrech, viz obr. 4. Při realizaci konečnoprvkového modelu byly s výhodou využity nosníkové prvky BEAM188 (sloupy) a skořepinové prvky SHELL93 (lavice, výztuhy). Zatížení plošiny bylo provedeno pomocí prvku MASS21 umístěného uprostřed obou lavic bylo uvažováno 2
souměrné zatížení lavic o velikosti 1000 kg. Část vytvořeného MKP modelu je na obr. 5. Model obsahoval 12726 konečnoprvkových elementů a 33662 uzlů. Obr. 2: Zvedací zařízení. Vlevo: erektivní řetěz, vpravo: spiralift Obr. 3: Místa spojení lavic a zvedacích zařízení odebrány stupně volnosti ve svislém směru 3
Obr. 4: Odebrány stupně volnosti v místě styku základového rámu a sloupů Obr. 5: Část užitého konečnoprvkového modelu Ve výpočtovém modelu byly uvažovány dva typy materiálů konstrukční ocel E = 210000 MPa, µ = 0.3, ze které je vyrobena převážná část konstrukce zvedací plošiny a dřevo E = 10000 MPa, µ = 0. 2, jež se v zařízení vyskytuje v podobě desky umístěné na horní straně lavic zvedací plošiny [2]. Samostatnou kapitolu tvoří realizace nelineární vazby lavic a vodicích U-profilů v konečnoprvkovém modelu. Způsob uložení lavice ve vodicím profilu je patrný z obr. 1 a obr. 6. Obr. 6. Způsob uchycení lavic zvedací plošiny ve vodicích profilech 4
Lavice jsou po obou stranách opatřeny dvěma nad sebou umístěnými rolnami (obr. 6 vpravo), které jsou vedeny v U-profilu. Je tak zajištěno podélné i příčné vedení lavice. Dle tvaru U-profilu je při snaze lavice kmitat v příčném směru tomuto kmitání bráněno v obou směrech. V případě snahy lavice o kmitání v jejím podélném směru je přenášena pouze síla tlakového charakteru, jelikož dochází ke styku rolny a vodicího profilu pouze na jedné jeho straně ( viz obr. 6 vlevo). Toto bylo nutno zohlednit při vytváření MKP modelu. Přenos sil mezi rolnami a vodicím U-profilem byl realizován svázáním stupňů volnosti uzlů náležejícím oběma těmto částem tzv. couplingem. V příčném směru je vznik tlakové přenášené síly zajištěn vždy (na jedné či druhé z rovnoběžných stran U-profilu). Jak bylo popsáno výše, přenos sil v podélném směru je uskutečněn pouze, je-li přenášená síla tlaková. V případě umístění couplingu v podélném směru na obou stranách lavic (může docházet k přenosu tahových sil) může docházet k výpočtu vlastních frekvencí a vlastních tvarů, které u reálné konstrukce nemohou nastat. Další výpočet byl tedy prováděn v těchto krocích: i) Coupling v podélném směru byl umístěn na obou stranách obou lavic a byly vypočteny vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání v tab. 1 sloupec Coupling všude, ii) Coupling v podélném směru byl umístěn pouze na jedné straně lavice. U druhé lavice byl coupling v podélném směru umístěn na protilehlé straně a byly vypočteny vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání - v tab. 1 sloupec Coupling do kříže, iii) Coupling v podélném směru byl umístěn pouze na jedné straně lavice. U druhé lavice byl coupling v podélném směru umístěn na stejné straně jako u lavice sousední a byly vypočteny vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání - v tab. 1 sloupec Coupling rovnoběžně. Výsledky Realizací kroku i) až iii) popsaných na konci předcházející kapitoly byly vypočteny vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání konstrukce reálné i nereálné pro všechny možné konfigurace vazeb (coupling) v podélném směru. Vypočtené hodnoty jsou shrnuty v tab. 1. Fyzikálně možné jsou však pouze ty, u kterých se nevyskytuje tahová přenášená síla mezi rolnou a vodicím U-profilem v podélném směru. Tato vlastnost byla testována na základě vizualizace jednotlivých vlastních tvarů kmitání. Příklad vypočtených hodnot je na obr. 7 zachycujícím první vlastní tvar kmitání varianta Coupling všude vykazovala přítomnost tahových sil, byla tedy nereálná. První reálný vlastní tvar byl tedy vyhodnocen ze sloupce Coupling do kříže s frekvencí 6.5Hz. Vlastní tvary a vlastní frekvence pro všechny popsané konfigurace okrajových podmínek tak mohly být rozděleny do dvou skupin reálné 5
a nereálné. Vypočtené reálné hodnoty vlastních frekvencí a vlastních tvarů byly následně vzestupně seřazeny a mohly být použity pro následný popis dynamického chování konstrukce zvedací plošiny. Reálné hodnoty vlastních frekvencí a vlastních tvarů jsou shrnuty v tab.2. Tab. 1: Vypočtené vlastní frekvence a vlastní tvary pro různé konfigurace umístění podélných vazeb 6
Tab. 2: Prvních deset reálných vlastních tvarů 7
Obr. 7: Vizualizace prvního reálného vlastního tvaru s frekvencí 6.5Hz Závěr Článek popisuje výpočet vlastních tvarů kmitání a vlastních frekvencí zvedací plošiny obsahující nelineární vazbu mezi lavicí zvedací plošiny a vodicím U-profilem. Nelineární vazba se projevuje přenosem pouze tlakových sil v podélném směru mezi lavicemi a vodicím U-profilem. Tento fakt byl zohledněn při konečnoprvkové analýze vhodným nastavením okrajových podmínek tak, aby byly zachyceny všechny možnosti, reálné i nereálné, kmitání zvedací plošiny. Ze získaných hodnot byly jako reálné vyhodnoceny ty vlastní tvary a vlastní frekvence, při kterých docházelo k přenosu pouze tlakových sil mezi lavicemi a vodicími U- profily. LITERATURA: [1] SZWEDA, Jan, PORUBA, Zdeněk, SIKORA, Roman, BILOŠOVÁ, Alena. Dynamical Analysis of Lifting Platform. TRANSACTIONS of the VŠB - Technical University of Ostrava, Mechanical Series. 2010, in print, ISSN 1210-0471. [2] GÁL, Petr. Modelování a simulace dynamických dějů 4-osého zvedacího mechanizmu. Ostrava, 2010. 39 s. Bakalářská práce. VŠB-TU Ostrava. 8
PODĚKOVÁNÍ: The work has been supported by the research project MSM6198910027 of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic what is highly appreciated. 9