Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Transkript

1 Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Osnova přednášky Staticky neurčité konstrukce, stupeň statické neurčitosti Silová metoda Jednostranně vetknutý nosník v příčné úloze Osnova přednášky 2 / 63

3 Pohybové možnosti volných hmotných objektů Stupeň volnosti n v : možnost vykonat jednu pravoúhlou složku posunu nebo pootočení. volný hmotný bod v rovině: n v =2, určen [x, y], 2 různých poloh +x volný hmotný bod v prostoru: n v =3, určen [x, y, z], 3 různých poloh volná tuhý prut (deska) v rovině: n v =3, určen [x, y, g], 3 různých poloh tuhé těleso v prostoru: n v =6, určeno [x, y, z, a, b, g], 6 různých poloh +z m[x m,z m ] g z x Stavební statika téma č.3 3 / 63

4 Vnější vazby proti posunům Vazba proti posunu znemožňuje posun podepřeného bodu prutu v zadaném směru. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Jednoduché a sdružené vazby proti posunům znázorněné pomocí kyvných prutů (a) (b) (c) (d) (e) Vazby proti posunům znázorněné pomocí jehlanů a trojúhelníčků Stavební statika téma č.3 4 / 63

5 Vnější vazby proti pootočení Vazba proti pootočení znemožňuje pootočení podepřeného bodu prutu v zadané rovině. (a) (b) (c) Jednoduché vazby proti pootočení Úplné vetknutí v prostoru nebo rovině, posuvné vetknutí v rovině. (a) (b) (c) Sdružené vazby proti posunu i pootočení Stavební statika téma č.3 5 / 63

6 Násobnost vazeb Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti. n násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti (n=1, 2, 3) Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině a jejich složek reakcí Název vazby Kyvný prut Posuvný kloub, posuvná vazba Neposuvný pevný kloub, pevná vazba Posuvné vetknutí Dokonalé vetknutí Násobnost vazby a a Označení vazby, složky reakcí a Raz R az R az R ax a R az M ay a R az R ax M ay Stavební statika téma č.3 6 / 63

7 Zajištění nehybnosti prutu K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti n v. v = n v v < n v v > n v Podepření objektu je kinematicky určité a staticky určité, zajištěna nehybnost objektu. Podepření objektu je kinematicky neurčité a staticky přeurčité, nehybnost objektu není zajištěna, (nedostatečný počet vazeb). Podepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky neurčité, nehybnost objektu zajištěna (větší počet vazeb než je nezbytně nutné). Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu. Stavební statika téma č.3 7 / 63

8 Staticky určitá konstrukce v = n v v = 3, n v = 3 Podepření objektu je kinematicky i staticky určité P 1 P 2 R ax a b R az R bz R ax M ay P 1 P 2 a R az Použitelné jako stavební konstrukce. Stavební statika téma č.3 8 / 63

9 Staticky určité případy podepření prutů (a) (e) (i) n v = 6 n v = 1 n v = 3 Osová úloha (b) n v = 3 (f) n v = 1 (j) n v = 3 Krutová úloha (c) n v = 3 (g) n v = 3 (k) n v = 3 (d) n v = 2 (h) n v = 3 (l) n v = 6 Příčná úloha Stavební statika téma č.3 Kinematicky určité případy podepření prutů 9 / 63

10 Staticky neurčitá konstrukce v > n v Podepření objektu je kinematicky přeurčité a staticky neurčité R ax a P 1 P 2 b R bx v = 4 n v = 3 R az R bz R ax M ay P 1 P 2 a b M by R bx v = 6 n v = 3 R az R bz Použitelné jako stavební konstrukce. Stavební statika téma č.3 10 / 63

11 Kinematicky neurčitá konstrukce v < n v Podepření objektu je kinematicky neurčité a staticky přeurčité P 1 P 2 a b R az R bz Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení Ve stavební praxi nepoužitelné. Stavební statika téma č.3 11 / 63

12 Výjimkové případy podepření Vazby musí být vhodně uspořádány nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné. R ax a P 1 P 2 b R bx R az a P 1 P 2 b c R az R bz R cz Stavební statika téma č.3 12 / 63

13 Staticky neurčité případy podepření prutů (c) prut není zajištěn proti rotaci 1 vazba proti vodorovnému posunu nadbytečná (d) tři vazby proti posunutí, jejichž směry se protínají v jednom bodě (e) tři vazby proti svislému posunutí v bodech, ležících v jedné přímce (a) (d) (b) (c) (e) Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů Stavební statika téma č.3 13 / 63

14 Podmínky rovnováhy uvolněného zatíženého prutu Podepřený prut musí být nehybný a v rovnováze. Počet podmínek rovnováhy záleží na typu řešené úlohy, shoduje se s počtem stupňů volnosti nepodepřeného prutu n v. Kolik stupňů volnosti v odebírají objektu vazby, tolik vzniká složek reakcí. v = n v v < n v Počet neznámých složek reakcí se shoduje s počtem podmínek rovnováhy, prut je staticky určitý a použitelný jako stavební konstrukce. Počet neznámých složek reakcí je menší než počet podmínek rovnováhy, prut je staticky přeurčitý a nepoužitelný jako stavební konstrukce (rovnováha nemůže být obecně zajištěna). v > n v Počet neznámých složek reakcí je větší než počet podmínek rovnováhy, prut je staticky neurčitý a může sloužit jako stavební konstrukce (podmínky rovnováhy musí být doplněny podmínkami přetvárnými-deformačními, předmět Pružnost a plasticita). Pokud je determinant soustavy roven nule jde o výjimkový případ. Stavební statika téma č.3 14 / 63

15 Podmínky rovnováhy uvolněných zatížených prutů soustavy Pro každý samostatný prut lze sestavit 3 podmínky rovnováhy. Počet vnějších a vnitřních vazeb: v = v e + v i Kolik stupňů volnosti odebírají soustavě vazby v, tolik vzniká složek reakcí. v = n v v < n v v > n v Počet neznámých složek reakcí se shoduje s počtem podmínek rovnováhy, soustava je staticky určitá a použitelná jako stavební konstrukce. Počet neznámých složek reakcí je menší než počet podmínek rovnováhy, soustava je staticky přeurčitá a nepoužitelná jako stavební konstrukce (rovnováha nemůže být obecně zajištěna). Počet neznámých složek reakcí je větší než počet podmínek rovnováhy, soustava je staticky neurčitá a může sloužit jako stavební konstrukce. Stupeň statické neurčitosti s = v - n v Pokud je determinant soustavy roven nule jde o výjimkový případ. Stavební statika téma č.3 15 / 63

16 Statická určitost příhradového nosníku Praktické pojetí výpočtový model tvořen hmotnými body (ve styčnících) a vnitřními vazbami (pruty), které brání vzájemnému posunutí obou spojovaných styčníků. Podmínka statické určitosti: 2. s p v e Rovinný kloubový příhradový nosník jako soustava hmotných bodů, vnitřních a vnějších vazeb Stavební statika téma č.7 16 / 63

17 Statická určitost F 1 F 2 N 4 N 8 e f g F 3 N 1 N 5 N 9 N 3 N 7 N 11 R ax a N 2 N 6 N 10 c d b R az 2. s p a 2. a R bz s=7 počet styčníků (v každém z nich 2 podmínky rovnováhy) p=11 počet vnitřních prutů (v každém z nich 1 neznámá osová síla) a 1 =1 a 2 =1 počet jedno a dvojnásobných vazeb (1 nebo 2 neznámé složky reakcí) Stavební statika téma č.7 17 / 63

18 Statická určitost F 1 F 2 c N 5 d s=4 N 1 N 3 N 4 p=5 R ax a N 2 b a 1 =1 a 2 =1 R az R bz 2. s 8 p a. a s p a1 2. a2 Stavební statika téma č.7 Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový příhradový nosník Staticky přeurčitý, kinematicky neurčitý rovinný kloubový prutový nosník 18 / 63

19 Statická určitost F 1 F 2 Není kloubový styčník c N 1 N 5 N 3 N 6 d N 4 s=4 p=6 a 1 =0 R ax a N 2 b R bx a 2 =2 R az R bz 2. s 8 p a. a x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) Stavební statika téma č.7 19 / 63

20 Určení stupně statické neurčitosti Rovinné rámové konstrukce a nosníky 1. Otevřené prutové soustavy: n s = v 3 p k = a a a 3 3 p k v počet vnějších vazeb (reakcí) a i počet i-násobných vnějších vazeb p k počet vnitřních kloubových připojení přepočtených na jednoduché připojení 2. Uzavřené prutové soustavy: n s = 3.u + v 3 p k u počet uzavřených příhrad 20 / 63

21 Architektonické a konstrukční řešení Kriteria firmitas omezeně; Nadměrný průhyb vyvolaný chybným umístěním výztuže v betonu Praskání skleněných výplní utilitas omezeně; venustas ANO. Vila Fallingwater, Pennsylvania, USA, autor. Frank L. Wright; foto: Ing. Cyril Fisher, Ph.D. Architektonické a konstrukční řešení 21 / 63

22 Architektonické a konstrukční řešení Vila Fallingwater, Pennsylvania, USA, autor. Frank L. Wright; foto: Ing. Cyril Fisher, Ph.D. Architektonické a konstrukční řešení 22 / 63

23 Silová metoda Silová metoda (SM) je: určena k řešení staticky neurčitých konstrukcí, ns 1, základní metodou k řešení staticky neurčitých prutových konstrukcí, metodou přímou. SM využívá vedle podmínek rovnováhy přetvárných podmínek, princip superpozice a princip úměrnosti. Silová metoda 23 / 63

24 Silová metoda Určení stupně statické neurčitosti Uvolnění nadbytečné vazby Výpočet přetvoření v místě uvolněné vazby: a) 0. zatěžovací stav - d 10 b) 1. zatěžovací stav - d 11 Výpočet neznámé reakce X 1 d 10 + d 11 X 1 =0 Výpočet ostatních reakcí (z podm. rovnováhy) Silová metoda 24 / 63

25 Jednoduchý staticky neurčitý nosník Předpoklady: a) přímý prut s průřezem proměnlivým nebo konstantním, b) osa prutu identická s osou x, jedna s hlavních rovin prutu leží v rovině xz, c) prut je podepřen ve dvou bodech, d) každá z vnějších vazeb proti posunutí je rovnoběžná s některou ze souřadných os, e) každá z vnějších vazeb proti potočení působí v rovině, jejíž normálou je některá ze souřadných os, f) prut může být zatížen prostorově. Jednoduchý staticky neurčitý nosník 25 / 63

26 Jednoduchý staticky neurčitý nosník Stupeň statické neurčitosti n s = v n v udává počet přebytečných vazeb, tj. počet vazeb, které je nutno odebrat, aby se nosník stal staticky určitým Prostorová úloha jednoduchého přímého nosníku Obr / str. 55 Jednoduchý staticky neurčitý nosník 26 / 63

27 Příklad 1 Jednoduchý staticky neurčitý nosník F=50 kn a 4 2 b E.I = konst. 27 / 63

28 Příklad 1 uvolnění nadbytečné vazby F=50 kn Základní staticky určitá soustava a 4 2 b E.I = konst. alternativa 28 / 63

29 Příklad 1 deformační podmínka Staticky neurčitá soustava F=50 kn w b =0 d 10 + d 11 X 1 =0 ( ) b 0. zatěžovací stav 1. zatěžovací stav F=50 kn 1 d 11 1 d 10 X 1 ~R b 29 / 63

30 Příklad 1 přetvoření d 10 0-zatěžovací stav Skutečné zatížení F=50 kn Virtuální zatížení 1 1 X 1 = M 0 M EI 6 30 / 63

31 Příklad 1 přetvoření d 11 1-zatěžovací stav Skutečné zatížení Virtuální zatížení 1 1 X 1 = 1 X 1 = M 1 M EI 6 31 / 63

32 Příklad 1 0. zatěžovací stav 1. zatěžovací stav F=50 kn Deformační podmínka w b =0 1 d 11 1 d 10 X 1 ~R b d 10 + d 11 X 1 =0 ( ) X EI 1 Rb X kN EI 32 / 63

33 Architektonické a konstrukční řešení Restaurace - studentská práce FAST Architektonické a konstrukční řešení 33 / 63

34 Architektonické a konstrukční řešení Restaurace - studentská práce FAST Architektonické a konstrukční řešení Kriteria firmitas s obtížení; podpora a tuhost stropní desky utilitas ANO; venustas ANO. 34 / 63