PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 32131, 2N187 Názov predmetu : Teória grafov Typ predmetu : Povinne voliteľný Študijný odbor: Biomedicinske inžinierstvo, Telekomunikácie, Aplikovaná mechanika Ročník : 1. Ing. Semester: zimný Počet hodín týždenne : prednášky : 2 cvičenia : 2 laboratórne cvičenia : 0 Počet týždňov : 13 Zakončenie predmetu : skúška Anotácia predmetu Teória grafov, jej využitie - algoritmický prístup. Garant predmetu: Doc.RNDr.E.Wisztová,CSc. Prednášajúci: Doc.RNDr.E:Wisztová,CSc. Dňa : 20.9.2013 Doc.RNDr.Elena Wisztová, CSc. vedúca katedry
a. Časový plán výučby: Týždeň : Téma prednášky: 1. Príklady použitia grafov, definícia grafu, všeobecné grafy, grafy špeciálne-základné pojmy. 2. Neorientované grafy - základné pojmy. 3. Orientované grafy - základné pojmy. 4.-5. Ako popísať a určiť graf - matica incidencie, susednosti, vzdialenosti, problém izomorfizmu grafov. Časové nároky algoritmov. 6. Prehľadávanie grafov. 7. Cesty v grafoch - najkratšia cesta, najspoľahlivejšia cesta, kritická cesta, cesta s maximálnou kapacitou, algoritmy na ich určenie. 8. Aplikácie úloh o cestách. 9. Stromy, kostry grafu. Algoritmus na zostrojenie minimálnej (maximálnej) kostry. Aplikácie. Analýza elektrickej siete. 10. Eulerovské a hamiltonovské grafy, ich použitie. 11. Siete, toky v sieťach, algoritmus zostrojenia maximálneho toku v sieti, využitie na riešenie úloh. 12. Rovinné grafy a farbenie grafov. 13. Využitie grafov pri určovaní spoľahlivosti zložitých systémov. Týždeň : Téma cvičenia: 1. Definícia grafu, všeobecné grafy, grafy špeciálne - základné pojmy. 2. Neorientované grafy - základné pojmy. 3. Orientované grafy - základné pojmy. Koreňové stromy, binárne stromy, binárne prehľadávacie stromy. 4.-5. Ako popísať a určiť graf - matica incidencie, susednosti, vzdialenosti, problém izomorfizmu grafov. 6. Prehľadávanie grafov. 7. Cesty v grafoch - najkratšia cesta, najspoľahlivejšia cesta, cesta s maximálnou kapacitou, algoritmy na ich určenie. 8. Riadenie a koordinovanie zložitých procesov - metóda kritickej cesty (metóda CPM). 9. Stromy, kostry grafu. Algoritmus na zostrojenie minimálnej (maximálnej) kostry. Riešenie elektrických sietí pomocou grafov. 10. Eulerovské a hamiltonovské grafy, ich použitie. 11. Siete, toky v sieťach, algoritmus zostrojenia maximálneho toku v sieti, využitie na riešenie úloh. 12. Rovinné grafy a farbenie grafov. 13. Hodnotenie.
Hodnotenie Každý predmet je hodnotený známkou: - ak predmet nemá predpísanú skúšku, hodnotia sa aktivity počas semestra - ak predmet má predpísanú skúšku, hodnotia sa aktivity počas semestra + skúška Za každú aktivitu je možné získať určitý počet bodov, pričom: - hodnota MIN: vyjadruje minimálny počet bodov, kedy sa ešte daná aktivita považuje za splnenú - hodnota MAX: vyjadruje maximálne možný počet získaných bodov (pri najlepšom splnení danej aktivity) Nutnou podmienkou pre úspešné absolvovanie predmetu je splnenie každej aktivity aspoň na MIN. Súčet všetkých maximálnych hodnôt za všetky predpísané aktivity počas semestra: 100 bodov Zo súčtu získaných bodov dostáva študent známku podľa tejto tabuľky: Známka Počet bodov A 93 100 B 85 92 C 77 84 D 69 76 E 61 68 FX < 61 Požiadavky na študentov a ich hodnotenie stanovuje garant predmetu a vyučujúci ich oznámia študentom na začiatku semestra. Meno študenta Pridelené body za jednotlivé aktivity Ročníkový Skúška projekt MAX=80 MAX=12 Aktívna účasť na cvičeniach MAX=8 Súčet bodov Známka Pozn. MIN=5 MIN=7 MIN=48 Účasť na cvičeniach Neúčasť na cvičeniach - počet Pridelené body >3 0 3 5 2 6 1 7 0 8
Ak bude mať študent viac ako 3 absencie na cvičeniach, bude to riešiť cvičiaci individuálne. Po splnení podmienok cvičiaceho získa 5 bodov z prvej aktivity. Prenesená povinnosť Ak študent nemá skúšku z predmetu Teória grafov a získal na cvičení z tohto predmetu aspoň 10 bodov, nemusí ( ale môže ) chodiť na cvičenia z Teórie grafov a do hodnotenia predmetu sa mu zaráta 12 bodov. Študent, ktorý nezískal na cvičení aspoň 10 bodov, musí chodiť na cvičenia z Teórie grafov. Požiadavky na skúške z predmetu Teória grafov Definícia grafu - obecné grafy, špeciálne grafy. Základné pojmy - vrchol, hrana, orientovaná hrana, slučka, násobné a rovnobežné hrany. Základné pojmy pre neorientované grafy - rovnosť grafov, izomorfizmus grafov, Špeciálne grafy ( kompletné, kompletné bipartitné, prázdne, diskrétne, cesta, kružnica ). Stupeň vrchola, pravidelné grafy, sled, ťah, cesta, súvislé grafy, ohodnotené grafy. Podgrafy grafu - podgraf, faktor, komponent. Artikulácia a most grafu. Stromy - vlastnosti, kostra grafu, algoritmus na nájdenie kostry v súvislom grafe. Základné pojmy pre orientované grafy Vzťah medzi orientovaným a neorientovaným grafom. Stupeň vrchola - vstupný a výstupný stupeň vrchola. Sledy, ťahy, cesty v orient. grafe. Súvislosť, silná súvislosť, komponenty, silné komponenty. Acyklické grafy - vlastnosti. Orientované stromy - koreňový strom,binárny koreňový strom, usporiadaný binárny koreňový strom. Spôsoby zadávania grafu Zoznam vrcholov a zoznam hrán. Zoznam okolí vrcholov. Matica incidencie, matica susednosti, Laplaceova matica susednosti. O algoritmoch - časové nároky Efektívny algoritmus - algoritmus pracujúci v polynomiálne ohraničenom čase. Nedeterministické algoritmy. Triedy problémov - trieda P, trieda NP, NP - úplné problémy. Prehľadávanie grafov Algoritmus prehľadávania grafov. Prehľadávanie grafov do hľbky a do šírky. Úlohy vedúce na hľadanie ciest v grafe Algoritmus na určenie minimálnej cesty medzi dvoma vrcholmi v grafe i v digrafe. Najlepšia cesta, najspoľahlivejšia cesta, šírenie porúch. Matica vzdialenosti - Floydov algoritmus Kritická cesta - metódy časového plánovania, algoritmus na určenie kritickej cesty v acyklickom grafe. Stromy a kostry Minimálna kostra - algoritmus na jej určenie, príklady použitia. Analýza elektrickej siete
Cyklomatické číslo grafu. Fundamentálny systém kružníc grafu vzhľadom ku kostre. Hranový rez grafu - fundamentálny systém hranových rezov grafu prislúchajúci kostre. Využitie na riešenie elektrických sietí. Eulerovské grafy Definícia eulerovského grafu, vety o eulerovských grafoch, algoritmus na hľadanie uzavretého eulerovského ťahu. Využitie pri riešení praktických úloh. Hamiltonoské grafy Definícia hamiltonovského grafu. Využitie pri riešení praktických úloh. Algoritmy na hľadanie hamiltonovskej kružnice v grafe. Toky v sieťach Základné pojmy - sieť, tok v sieti, maximálny tok, hranový rez siete, priepustnosť hranového rezu. Algoritmus zostrojenia maximálneho toku v rovinnej sieti. Veta Forda a Fulkersona. Ford-Fulkersonov algoritmus Využitie tokov v sieťach pri riešení praktických úloh. Rovinné grafy Pojem rovinného grafu. Eulerova a Kuratowského veta. Príklady použitia. Farbenie grafov n - zafarbiteľný graf, chromatické číslo grafu, algoritmus farbenia grafov. Príklady použitia. Písomná časť skúšky obsahuje 7 úloh. Ústna časť je rozprava o písomke. Študijná literatúra: 1. Demel: Grafy / MVŠT XXXIV / 2. Plesník: Grafové algoritmy (učebnica) 3. Fronc: Teória grafov (skriptá) 4. Fronc: Operačná analýza I ( skriptá ) 5 Sedláček: Úvod do teórie grafov 6. Kučera: Kombinatorické algoritmy / Matematický seminár 18 / 7. Bosák: Grafy a ich aplikácie