MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

Transkript

1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná se zopakování některých pojmů, jejich definice v jiné souvislosti, zavedení nových pojmů a přiblížení matematického formalismu, který bude v přednášce používán. Tématický celek je rozdělen do následujících dílčích témat: 1. dílčí téma: relace (ekvivalence, uspořádání), uspořádané množiny 2. dílčí téma: kombinatorické počítání 1. dílčí téma: relace (ekvivalence, uspořádání), uspořádané množiny Uvědomte si, co je to diskrétní matematika zejména práce s konečnými, popř. spočetnými množinami. Zopakujte si operace s množinami: sjednocení, průnik a rozdíl, mohutnost množiny, počet podmnožin. Pochopte, co je relace a její matice sousednosti. Najděte si příklady relací. Uvědomte si definici ekvivalence a její vlastnosti a rozhodněte, zda vaše příklady relací jsou, či nejsou ekvivalence. Pamatujte, že uspořádání nemusí být jen větší, popř.větší nebo rovno a že jednu množinu lze uspořádat podle různých relací uspořádání různě. 2002; str Studijní materiál MaA3-1 pro první soustředění kombinovaného studia. 1

2 2. dílčí téma: kombinatorické počítání Formulujte kombinatorické úlohy pomocí funkcí a množin a jejich podmnožin. Zopakujte si permutace, faktoriály a kombinační čísla. Pro další výklad budou užitečné odhady faktoriálů a kombinačních čísel pro větší a velká čísla, zapamatujte si je. 2002; str Studijní materiál MaA3-1 pro první soustředění kombinovaného studia. 2

3 Metodický list č. 2 Název tématického celku: Úvod do teorie grafů Cíl: cílem tohoto tématu je seznámení se s pojmy graf, podgraf, souvislost, metrika a matice sousednosti v grafu. Pochopit a umět nalézt isomorfismus mezi grafy. Osvojit si Dijkstrův algoritmus nalezení nejkratší cesty v grafu. Seznámit se s matematickou formulací jednotažek, neboli eulerovských grafů a poznat podmínky pro jejich řešitelnost. Osvojit si algoritmus na kreslení grafu jedním tahem. Pochopit definici 2-souvislosti a umět vytvořit 2-souvislý graf syntézou z trojúhelníku. Tématický celek je rozdělen do následujících dílčích témat: 1. dílčí téma: graf a jeho vlastnosti 2. dílčí téma: eulerovské grafy 3. dílčí téma: 2-souvislost 1. dílčí téma: graf a jeho vlastnosti V tomto dílčím tématu se seznamte s různorodými grafy a co je sjednocuje a co je isomorfismus. Co jsou vrcholy, hrany (oblouky) jejich váha, kružnice, co je to podgraf, souvislost, metrika a matice sousednosti v grafu. Osvojte si Dijkstrův algoritmus nalezení nejkratší cesty v grafu a pochopte jeho omezenost. 2002; str ,. Studijní materiál MaA3-2 pro druhé soustředění kombinovaného studia. 3

4 2. dílčí téma:eulerovské grafy Eulerovské grafy představují to, co znáte z dětských let získejte na ně matematický náhled a poznejte, kdy je jednotažka řešitelná. Osvojte si rovněž algoritmus nalezení jednotažky. 2002; str Studijní materiál MaA3-2 pro druhé soustředění kombinovaného studia. 3. dílčí téma: 2-souvislost Seznamte se s definicí 2-souvislosti a naučíte se některé (jednoduché) grafové operace. Pomocí těchto operací se naučte vytvořit 2-souvislý graf syntézou z trojúhelníku. 2002; str Studijní materiál MaA3-2 pro druhé soustředění kombinovaného studia. 4

5 Metodický list č. 3 Název tématického celku: Speciální třída grafů - stromy Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s významnou speciální třídou grafů, tj. se stromy a charakterizací stromů. Pochopit definici kostry grafu a problém minimální kostry. Osvojit si algoritmy na hledání minimální kostry. Ukázat užitečnost stromů na praktických příkladech. Věnujte pozornost definici stromu a jejím ekvivalentním vyjádřením, který charakterizují tuto třídu grafů. Uvědomte si co jsou kořenové a pěstěné stromy a jak se liší jejich isomorfismy. Zapamatujte si kódování a dekódování pěstěného stromu. Všimněte si co to je kostra grafu a osvojte si algoritmus jejího nalezení. Věnujte se problému minimální kostry a algoritmům jejího nalezení. 2002; str Studijní materiál MaA3-3 pro třetí soustředění kombinovaného studia. 5

6 Metodický list č. 4 Název tématického celku: Speciální třída grafů rovinné grafy Cíl: smyslem tohoto tématického celku je pochopení problematiky speciální třídy grafů, jejichž hrany se nekříží. Pozornost je věnována rozdílu mezi rovinnými grafy a grafy na jiných plochách. Z formalismu rovinných grafů vyplyne Eulerův vztah. Je rozebrána problematika barevnosti mapy. Tématický celek je rozdělen do následujících dílčích témat: 1. dílčí téma: Kreslení grafů do roviny a na další plochy 2. dílčí téma: Eulerův vztah 3. dílčí téma: barevnost mapy problém čtyř barev 1. dílčí téma: Kreslení grafů do roviny a na další plochy Pochopte, co je rovinné kreslení, co jsou stěny grafu. Rozmyslete si kreslení na jiných plochách, než je rovina na kouli, na anuloidu, Möbiově listu, na kou s ušima a ukažte, že některý graf, který nelze nakreslit bez křížení hran v rovině, se na těchto plochách nemusí křížit. Naučte se stereografickou projekci z koule na rovinu. Seznamte se s topologickou kružnicí v rovinných grafech. 2002; str Studijní materiál MaA3-4 pro čtvrté soustředění kombinovaného studia. 6

7 2. dílčí téma: Eulerův vztah Naučte se Eulerův vztah a seznamte se s jeho aplikací na tzv. platónská tělesa pomocí stereografické projekce. 2002; str Studijní materiál MaA3 4 pro čtvrté soustředění kombinovaného studia. 3. dílčí téma: barevnost mapy problém čtyř barev Seznamte se s problematikou barevnosti rovinné mapy klasickým kombinatorickým problémem čtyř barev. Jaká je maximální barevnost grafů na jiných plochách? 2002; str Studijní materiál MaA3-4 pro čtvrté soustředění kombinovaného studia. Způsob zakončení: Zápočet + Zkouška 7

8 Metodický list č. 5 Název tématického celku: Základy diskrétního matematického modelování Cíl: cílem tohoto tématického celku je ukázat jakým způsobem souvisí matematické modely s reálným světem, jak jsou cyklicky zdokonalovány, popsat jednotlivé fáze tohoto cyklu. Jako příklad třídy diskrétních matematických modelů stochastických procesů lze uvést Markovovy řetězce. Tématický celek je rozdělen do následujících dílčích témat: 1. dílčí téma: cykly matematického modelování 2. dílčí téma: Markovovy řetězce 1. dílčí téma: cykly matematického modelování Všimněte si rozdílu mezi čistou matematickou teorií a matematickým modelováním. Uvědomte si cyklickou povahu matematického modelování. Zapamatujte si jednotlivé fáze matematického modelování a přechody mezi nimi. Nalezněte příklady matematického modelování. Studijní materiál MaA3-5 pro páté soustředění kombinovaného studia. Roberts,F.S., Discrete Mathematical Models, Prentience-Hall Inc., New Jersey 1976; str dílčí téma: Markovovy řetězce 8

9 Seznamte se se stochastickými procesy. Naučte se definici Markovových řetězců a procvičte si rozhodování, co je Markovovým řetězcem a co nikoli. Pochopte, co je přechodová pravděpodobnost a přechodová matice. Naučte se kreslit přechodové grafy. Seznamte se s klasifikací stavů a řetězců. Uveďte příklady Markovových řetězců. Studijní materiál MaA3-5 pro páté soustředění kombinovaného studia. Roberts,F.S., Discrete Mathematical Models, Prentience-Hall Inc., New Jersey 1976; str Způsob zakončení: Zápočet + Zkouška 9