Podobné dokumenty
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl

p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j


6. Matice. Algebraické vlastnosti

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

Matematický model kamery v afinním prostoru

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

1.7. Mechanické kmitání

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

3. Polynomy Verze 338.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

4. Připoutejte se, začínáme!

10 je 0,1; nebo taky, že 256

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

Obsah. Trocha právničiny

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

( x ) 2 ( ) Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

Úlohy domácího kola kategorie C

Osvětlovací modely v počítačové grafice

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady:

4.5.1 Magnety, magnetické pole

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Pokyn D Sdělení Ministerstva financí k rozsahu dokumentace způsobu tvorby cen mezi spojenými osobami

1 Matematické základy teorie obvodů

Kočí, R.: Účelové pozemní komunikace a jejich právní ochrana Leges Praha, 2011

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012

Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky

Příklad 1.3: Mocnina matice

5.2.1 Matematika povinný předmět

Čl. 3 Poskytnutí finančních prostředků vyčleněných na rozvojový program Čl. 4 Předkládání žádostí, poskytování dotací, časové určení programu

Zadání. Založení projektu

Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25

Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny *

Cvi en 86: Najd te nutn a posta uj c podm nky pro kompaktnost mno iny M v diskr tn m metrick m prostoruè! ë M je kompaktn, pr v kdy je kone n. ë Cvi e

STANDARD 3. JEDNÁNÍ SE ZÁJEMCEM (ŽADATELEM) O SOCIÁLNÍ SLUŽBU

Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III

1 3Statistika I (KMI/PSTAT)

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash Vibrio

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

Zadávací dokumentace

Meze použití dílčího hodnotícího kritéria kvalita plnění a problematika stanovování vah kritérií

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Odůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: jan.skrbek@tul.cz tel.: Konzultace: úterý

PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA

Měření změny objemu vody při tuhnutí

Řetězovka (catenary)

Analýza oběžného kola

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m.

VZDĚLÁVÁNÍ A OSOBNOST KNIHOVNÍKA


Dne obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace:

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

Příspěvky poskytované zaměstnavatelům na zaměstnávání osob se zdravotním postižením Dle zákona č. 435/2004 Sb., o zaměstnanosti, v platném znění.

1.2.7 Druhá odmocnina

V Černošicích dne Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ.

Microsoft Office Project 2003 Úkoly projektu 1. Začátek práce na projektu 1.1 Nastavení data projektu Plánovat od Datum zahájení Datum dokončení

řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta

pracovní list studenta

170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010

Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.

A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14

SMLOUVA O PODMÍNKÁCH A PRAVIDLECH ÚČASTI NA ELEKTRONICKÝCH AUKCÍCH DŘÍVÍ

Algoritmizace a programování

-1- N á v r h ČÁST PRVNÍ OBECNÁ USTANOVENÍ. 1 Předmět úpravy

Brusel 8. června 2012 (OR. en) RADA EVROPSKÉ UNIE 10274/1/12 REV 1. Interinstitucionální spis: 2011/0195 (COD) LIMITE PECHE 179 CODEC 1405

MMEE cv Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem

P O K Y N Y P R O ZADAVATELE

ODŮVODNĚNÍ VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Dostavba splaškové kanalizace - Prostřední Bečva a Horní Bečva, zhotovitel, dle vyhlášky č. 232/2012 Sb.

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK

R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y

KAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2

Názory na bankovní úvěry

Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

FAKULTNÍ NEMOCNICE KRÁLOVSKÉ VINOHRADY. Šrobárova 1150/50, Praha 10, IČ:

29 Evidence smluv. Popis modulu. Záložka Evidence smluv

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

Fotogrammetrie a DPZ soustava cílů

VLÁDA ČESKÉ REPUBLIKY. Příloha k usnesení vlády ze dne 13. února 2013 č Stanovisko

Instrukce Měření umělého osvětlení

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD

Modul Řízení objednávek.

Transkript:

Matematick anal za na variet ch Luk Krump Vladim r Sou ek Jakub A. T nsk

P EDMLUVA i P edmluva P edkl dan skripta jsou z znamem p edn ky vod do anal zy na variet ch, kterou m l v l tech 1990 { 1995 na MFF UK jeden z autor. V sou asn ch studijn ch p edpisech pat tato p edn ka do studijn ch pl n n kolika studijn ch sm r. Je proto u ite n m t k dispozici text p edn ky ve tvaru, v jak m se nyn p edn. Text skript se sna z rove zachovat styl p edn ky, v etn vodn neform ln kapitoly, kterou p edn ka za n. Tato skripta nejsou jedin, kter obsahuj z kladn pojmy t kaj c se variet a diferenci ln ch forem. Star skripta O. Kowalsk ho [13] a jejich n meck verze [14] tuto a dal l tku obsahuje, ste n je pokryta i v nov ch skriptech O. Kowalsk ho o Riemannov geometrii [15]. Kr tk shrnut z pln jin ho pohledu lze naj t tak ve skriptech J. Luke e a J. Mal ho [16] a v p ipravovan ch skriptech J. Mal ho [17]. Stru n v et z kladn ch denic a v t v etn mnoha p klad je mo no tak nal zt ve skriptech P klady z matematiky pro fyziky III [12]. Teorie variet a diferenci ln ch forem je z kladn sou st diferenci ln geometrie, kter se dlouho vyv jela od klasick ho sou adnicov ho popisu a k sou asn mu bezsou adnicov mu jazyku. Ten je po sv m pochopen a za it velmi elegantn a inn, ale na prvn poslech nesnadno srozumiteln. Ve v t in sou asn ch text je od za tku v klad veden pomoc bezsou adnicov ch denic; nav c se sou asn zav d j dva obt n pojmy { varieta, resp. jej te n prostor a diferenci ln formy. K tomu je je t t eba sou asn vylo it z klady multiline rn algebry (kter v sou asn nen sou st z kladn ho kurzu line rn algebry v prvn ch dvou ro n c ch). V sledkem asto b v dojem obt nosti a t k pochopitelnosti. Tato skripta se li od v e zm n n ch text t m, e nejd ve ten e sezn m s kalkulem diferenci- ln ch forem na R n a pak teprve zav d pojem variety a u v multiline rn algebru k bezsou adnicov denici diferenci ln ch forem a jejich integrace na variet ch. ten (resp. poslucha ) si tak m e nejd ve zvyknout na po t n s diferenci ln mi formami v sou adnic ch a je pak pro n j leh s porozum n m p ijmout abstraktn j v klad v n sleduj c kapitole. Dok zan vlastnosti diferenci ln ch forem na R n (v etn Stokesovy v ty) pak v n sleduj c kapitole umo n snadno dok zat analogick tvrzen pro formy na variet ch. vodn kapitola skript je odli n od ostatn ch. Pou it zp sob v kladu se li od ostatn ch kapitol a p ipom n sp styl pou van b n v matematick fyzice (p edpoklady v t nejsou formulov ny, d kazy nejsou form ln odd leny a jsou sou sti v kladu). Jej m c lem je uk zat ten i, jak d vody vedou k pojm m studovan m v dal ch kapitol ch, pro jsou p irozen a jak se daj odvodit postupy b n mi v matematice, resp. fyzice. B n precizn formulace matematick ch text je obvykle z v re n m st diem v voje, kter vede k nejl pe formulovan m pojm m a k nejkrat mu a nejelegantn j mu zp sobu dokazov n jejich vlastnost. V sledek je sice form ln dokonal a esteticky velice p sobiv, ale velmi asto neobsahuje podstatn sti intuitivn ho pochopen, kter bylo nutn p i vytv en odpov daj c teorie. ten i je obvykle p i prvn m sezn men s oborem nepochopiteln, jak vlastn takov teorie mohla v bec vzniknout. Hlavn m c lem vodn kapitoly je tedy ilustrovat, jak je mo n teorii diferenci ln ch forem a obecnou Stokesovu v tu vyvodit z n kolika jednoduch ch a n zorn ch geometrick ch obr zk. Na konci t to kapitoly by m l ten intuitivn ch pat, jak mus denice diferenci ln ch forem vypadat, jak ozna en je v hodn (to je velmi d le it sou st teorie!) a kter jsou nejd le it j vlastnosti zav d n ch symbol a pojm. Formalizmus diferenci ln ch forem v R n a denice jejich integrace je z ejm realizace programu vysv tlen ho v vodn kapitole. T et kapitola se sv m form ln perfektn m (ale u abstraktn m) v kladem pak ten i poskytne tu spr vnou matematickou formulaci cel teorie nejen na R n ; ale i na obecn ch variet ch a z rove p id p esn matematick smysl form ln m symbol m ( dx i ) u van m v p edchoz ch kapitol ch. V sledn elegantn teorie diferenci ln ch forem na variet ch je v sou asn dob standardn a bez dal ho koment e pou van ve v t in matematick literatury a pat mezi z kladn kameny matematick ho vzd l n. Skripta obsahuj mnoho p klad spolu s n vody, v sledky, ev. e en mi. vodn dv kapitoly a tyto p klady snad p isp j k tomu, aby form ln konstrukce prezentovan ve t et kapitole nebyla jen

ii nesrozumiteln mi, form ln mi p smenky, ale aby se spojila ten i s p edchoz m intuitivn m vysv tlen m v jeden srozumiteln celek. Skripta jsou opravdu jen vodem do anal zy na variet ch a z cel teorie je zde vylo eno nezbytn minimum; obsahuj jen tolik l tky, kolik je mo n srozumiteln vylo it b hem jednoho semestru (dv hodiny t dn ). Cel teorie existuje za obecn j ch p edpoklad (zde jsou v echny formy hladk, integrace je denov na jen p es kompaktn variety). Mnoho dal ch d le it ch pojm a vlastnost (nap. Lieovy derivace tenzorov ch pol, distribuce a jejich integrabilita) zde chyb. Dal kr sn partie z diferenci ln geometrie (Riemannovy variety, brovan prostory, konexe) nebo z glob ln anal zy (eliptick oper tory na kompaktn ch variet ch, Atiyah-Singerova v ta o indexu) nebo z harmonick anal zy na homogenn ch prostorech ekaj na z jemce v dal literatu e (nap. viz [6], [9], [11], [13], [14], [18], [21]). Leden 1998 L. Krump, V. Sou ek, J. A. T nsk P edmluva ke druh mu vyd n Druh vyd n skript je opravenou verz vyd n prvn ho. Text byl zachov n bez v t ch zm n, byly v ak do n j zapracov ny zejm na opravy drobn ch i v t ch chyb a nedod lk, na kter jsme b hem pou v n skript p i li bu sami nebo n s na n upozornili na i studenti n kolika r zn ch ro n k. D kujeme t mto student m za v raznou pomoc, kter sv d o tom, e skripta d kladn tou a jsou jim tedy dobr m pomocn kem ve studiu. Na konci skript jsme rovn doplnili n kolik nov ch bibliograck ch odkaz, z nich bychom r di upozornili zejmn na na nov vyd n klasick Conlonovy knihy [5], kter je na emu pojet velice bl zk, av ak m ir z b r. Rovn upozor ujeme na anglickou verzi J nichovy knihy [10] a nov vyd n n Kowalsk ho skript [15]. Douf me, e skripta z stanou i nad le kvalitn m pr vodcem student po anal ze na variet ch. 2002 auto i Adresy autor : L.K.: Matematick stav Univerzity Karlovy, Sokolovsk 83, 186 00 Praha 8, e-mail: krump@karlin.m.cuni.cz V.S., Matematick stav Univerzity Karlovy, Sokolovsk 83, 186 00 Praha 8, e-mail: soucek@karlin.m.cuni.cz J.A.T., Grack 30, 150 00 Praha 5, e-mail: gorn@karlin.m.cuni.cz

Obsah P edmluva P edmluva ke druh mu vyd n i ii Kapitola I. vod 1 1. Stokesova v ta v R 3 2 Newton v vzorec v R 1 2 Analogie Newtonova vzorce v R 2 2 Analogie Newtonova vzorce v R 3 5 Vy dimenze 9 P klady, lohy a cvi en 10 Kapitola II. Diferenci ln formy v R n 13 2. Vn j algebra R n 14 Hodge v oper tor 17 P klady, lohy a cvi en 18 3. Diferenci ln formy na R n 20 Diferenci ln formy 20 P en en diferenci ln ch forem pomoc zobrazen 22 De Rham v komplex 24 P klady, lohy a cvi en 25 4. et zce 27 et zce, singul rn krychle 27 P klady, lohy a cvi en 29 5. Stokesova v ta 30 Stokesova v ta (v R n ) 30 P klady, lohy a cvi en 32 Kapitola III. Diferenci ln formy na variet ch 33 6. P ehled multiline rn algebry 34 Tenzorov algebra vektorov ho prostoru 34 Vn j algebra vektorov ho prostoru 36 obrazen indukovan line rn m zobrazen m 39 P klady, lohy a cvi en 39 7. Variety a zobrazen 39 Variety 39 Variety s krajem 42 Hladk zobrazen 44 P klady, lohy a cvi en 45 8. Te n a kote n prostor 47 Te n vektory, te n prostor, te n brovan prostor. 47 Vektorov pole 51 Te n zobrazen 52 Kote n prostor, kote n zobrazen 53 Diferenci l funkce 53 Orientace te n ho prostoru a variety 54 P klady, lohy a cvi en 55 9. Tenzorov pole 55 iii

iv OBSAH Tenzorov pole na variet. 55 Vn j diferenci l 57 P en en diferenci ln ch forem pomoc zobrazen 58 10. Integrace forem 59 Rozklad jednotky 59 Integrace diferenci ln ch forem na variet. 60 P klady, lohy a cvi en 62 11. Integrace funkc na Riemannov ch variet ch 63 Integrace na Riemannov ch variet ch. 63 P klady, lohy a cvi en 66 12. Algebraick a topologick vlastnosti diferenci ln ch forem 66 Algebra forem 66 Gradovan derivace na algeb e forem 67 De Rhamovy kohomologick grupy, homotopick invariance. 71 P klady, lohy a cvi en 73 Kapitola IV. e en loh a n vody ke cvi en m 75 Vn j algebra R n 76 Diferenci ln formy na R n 77 et zce 78 Stokesova v ta 79 P ehled multiline rn algebry 80 Variety a zobrazen 80 Te n a kote n prostor 85 Integrace forem 86 Integrace funkc na Riemannov ch variet ch 88 Rejst k 91 Literatura 93

Kapitola I vod

1. Stokesova v ta v R 3 Newton v vzorec v R 1 D le it matematick teorie m vaj obvykle z klad v n kolika jednoduch ch, intuitivn pochopiteln ch a n zorn ch my lenk ch. N kdy se dokonce st v, e takov to z kladn idea je vod tkem pro vytvo en takov to teorie. Tak se vlastn tvo v t ina zaj mav matematiky. Hledat tyto ideje, nach zet ne ekan souvislosti a pracovat na intuitivn rovni pat mezi z bavu a pot en matematik. Vypracovat z j dra matematick my lenky p esn denice pojm, tvrzen a v ty o nich je sp pr ce jako ka d jin. Kalkulus diferenci ln ch forem je p kladem, na kter m se v e uveden tvrzen daj velmi dob e ilustrovat. C lem tohoto vodu je uk zat, e sta zn t z kladn informace o integraci funkc a nechat si klidnou chv li na p em len o mo n ch analogi ch integrace funkc ve vy ch dimenz ch. V sledek m e p i tro e t st a matematick intuici b t velmi zaj mav { n kolik obr zk, ze kter ch v e ostatn (p i vynalo en p slu n pr ce a sil ) ji v ce m n plyne. a n me tedy popisem toho, co je netrivi ln matematick n pad, z blesk analogie i syst mu, roz i- uj c ho ji zn m v ci. integr ln ho po tu je pot eba jen to z kladn { Newtonova formule pro v po et ur it ho integr lu pomoc primitivn funkce: b f 0 (x)dx f(b)? f(a): a Tahle formulka se d obracet z mnoha stran. kusme to geometricky. Na lev stran rovnice je integr l z derivace funkce f ve v ech bodech se ky ha; bi: Napravo hodnoty funkce f v krajn ch bodech se ky. To v e pro funkce na se ce, tj. podmno in R: Je mo n naj t n co analogick ho tak pro funkce na R 2? Analogie Newtonova vzorce v R 2 Co kdy lov ka t eba napadne, e mno ina fa; bg; v n uva ujeme hodnoty f; je pr v hranic se ky ha; bi? V R 2 je m sta dost hned na dv analogie { prvn je otev en mno ina R 2 a k ivka <'> @; kter tvo hranici ; druhou je k ivka <'> a jej okraj, tj. jej koncov body (viz obr. 1). V Newtonov v t jsou pot eba tyto pojmy { funkce f; jej derivace f 0 ; integr l f 0 p es se ku a hodnoty f v bodech hranice. Je mo n denovat analogie t chto ty pojm tak aby platila analogie Newtonova vzorce pro '; @'; resp. ; @? 1.1. K ivka a jej hranice v R 2. To nejjednodu, co lze zkusit je k ivka ' a jej dvoubodov hranice. Nejd v je t kontroln ot zku { co je to vlastn k ivka. Intuitivn odpov je jasn { prost k iv ra v rovin, jednodimenzion ln podmno ina R 2 : Trochu p esn j vyj d en m e b t, e k ivka <'> je obraz '(ha; bi) jednodimenzion ln ho intervalu ha; bi p i (hladk m) zobrazen ' : ha; bi! R 2 (viz obr. 2). Aby se vylou il degenerovan p pad (nap. konstantn ho zobrazen ), je t eba p idat n jakou podm nku regularity pro ': To je velmi uspokojiv, ale m to jednu vadu { mnoho zobrazen ' m tent obraz; jedna podmno ina <'> m nekone n mnoho parametrizac. Pro tuto chv li v ak akceptujeme pr v uvedenou denici k ivky a k ot zce parametrizac se vr t me pozd ji. Jen si zapamatujeme, e na e hledan pojmy by pokud mo no nem ly z viset na volb parametrizace k ivky, aby v sledn tvrzen m lo opravdu geometrick obsah. Na za tku vahy je tedy jasn, e k ivka ' : ha; bi! R 2 je analogi intervalu a jej koncov body '(a); '(b) analogi koncov ch bod ha; bi R: Funkce f na okol U; ha; bi U R lze z ejm nahradit funkc f na okol U; <'> U R 2 : To co zb v, je nal zt, co je to derivace Df a jak je t eba denovat R integr l ' Df tak, aby platilo Df f('(b))? f('(a)): ' Tady by n zv dav matematik asi str vil krat i del dobu p em len m, aby ho nakonec napadlo pou t parametrizaci ' na k ivky a p en st probl m do R; kde ho u vy e il Newton. Vskutku, pro zobrazen f ' na ha; bi plat ha;bi (f ') 0 f('(b))? f('(a)) (1) a tak sta vz t levou stranu jako denici R ' Df (co z rove nazna uje velmi dob e, co Df mus b t) a hledan tvrzen plat.

1. STOKESOVA V TA V R 3 3 Obr zek 1. K ivka a jej okraj { koncov body, otev en mno ina a jej okraj { k ivka Obr zek 2. K ivka a jej parametrizace Uveden prvn p klad dob e ilustruje obecn postup. Ji zn m v ty v dimenzi 1 vyu it m parametrizace jako p echod z vy ch dimenz do ni ch vedou p irozen k nalezen spr vn analogie i toho, co je derivace funkce i toho, co je integr l z t to derivace. Nav c m me zadarmo n vrh d kazu t to nov v ty. V na em p pad k ivky v R 2 sta pod vat se na z v r na levou stranu vztahu (1): b 2 (f ') 0 @f dt ('(t)) d' i (t) dt: ha;bi a @x i dt n je vid t, e spr vn analogie derivace f je gradient rf ( @f @x 1 ; @f @x 2 ); a je to tedy vektorov pole v R 2 a ne funkce jako v dimenzi 1: D le je tak ihned vid t, e spr vn denice integr lu R ' ~ F d~s vektorov ho pole ~ F (F 1 ; F 2 ) pod l k ivky <'> je ' ~F d~s ' F 1 dx 1 + F 2 dx 2 : V sledkem je tzv. v ta o potenci lu vektorov ho pole. b 2 [ a F i ('(t)) d' i dt (t)]dt:

4 Obr zek 3. Odvozen Greenovy v ty 1.2. V ta [o potenci lu]. Nech ' : ha; bi?! R 2 je hladk zobrazen, nech U je hladk funkce na okol mno iny '(ha; bi): Pak ' @U dx 1 + @U dx 2 U('(b))? U('(a)): @x 1 @x 2 Ta (podobn jako Newtonova v ta) k, e integr l pod l <'> z vektorov ho pole ~ F ; kter je gradientem funkce U (U se obvykle naz v potenci lem vektorov ho pole ~ F ), se vypo te jako rozd l hodnot potenci lu U v koncov ch bodech k ivky '. 1.3. Oblast a jej hranice v R 2. kusme, jestli nyn nebude mo n odvodit takov mto zp sobem analogii p edchoz ch dvou v t i v p pad oblasti R 2 a jej hranice @: Dvojn integr l z funkce p es oblast je standardn integr l. Co se t e prav strany budouc rovnice, objekt za integra n m znamen m (analogie funkce ) nen apriori jasn. P irozen a nab zej c se mo nost je pova ovat za funkci vektorov pole a za jej integr l pr v denovan k ivkov integr l z vektorov ho pole. V rovnosti DF @ F 1 dx 1 + F 2 dx 2 zb v tedy zjistit, co znamen derivace DF pod integr lem nalevo (a dok zat pak p slu nou rovnost). Ned se pochybovat o tom, e DF by m la b t jedna z mysliteln ch parci ln ch derivac komponent F 1 ; F 2 nebo jejich vhodn kombinace. kusme t st a pod vejme se, co se d ct o integr lu @F 1 @x 2 : Pro na e ely m eme p edpokl dat, e oblast m jednoduch tvar { e existuj dv hladk funkce f 1 ; f 2, denovan na intervalu ha; bi takov, e jak je zn zorn no na obr zku 3. Fubiniova v ta k, e b @F 1 @x 2 a f[x 1 ; x 2 ]; x 1 2 ha; bi; f 2 (x 1 ) x 2 f 1 (x 1 )g; f1(x 1) @F 1 ( )dx 2 )dx 1 f 2(x 1) @x 2 Budeme-li denovat k ivky ' 1 ; ' 2 na ha; bi; pomoc b ' 1 (t) (t; f 1 (t)); ' 2 (t) (t; f 2 (t)); a [F 1 (x 1 ; f 1 (x 1 ))? F 1 (x 1 ; f 2 (x 1 ))]dx 1 :

1. STOKESOVA V TA V R 3 5 Obr zek 4. Orientace k ivky pak rozd l ' 2? ' 1 popisuje (aspo intuitivn ) hranici @ a podle denice k ivkov ho integr lu z vektorov ho pole b [F 1 (x 1 ; f 1 (x 1 ))? F 1 (x 1 ; f 2 (x 1 ))]dx 1 F 1 dx 1? F 1 dx 1 F 1 dx 1 : a ' 2 ' 1 ' 2? ' 1 Plat tedy, e @F 1 F 1 dx 1 ; @x 2 <@> pokud snad v n jak m rozumn m smyslu plat @ ' 2? ' 1 : (Analogicky se z sk vzorec pro zam n n sou adnice.) T m jsme narazili na velmi delik tn bod cel konstrukce. P i tro e pozornosti jsme si ho mohli v imnout ji d ve. Hranice k ivky je tvo ena dv ma body. jak hosi nejasn ho d vodu jsme integr l p es tuto hranici nenapsali jako sou et funk n ch hodnot dan funkce, jak by bylo p irozen, ale jako jejich rozd l. Geometrick p edstava k ivky a jej hranice tedy z ejm nen zcela p esn. I kdy se rozhodneme pro rozd l funk n ch hodnot v kraj ch bodech m sto jejich sou tu, zbyde po d je t probl m, kter z krajn ch bod se vezme se znam nkem plus a kter se znam nkem minus. To mus n jak souviset s k ivkou, p es kterou integrujeme na lev stran vztahu. K ivka tedy nen jen n jak jednodimenzion ln podmno- ina, ale mus me m t nav c n jakou strukturu, kter by odli ila od sebe jej koncov body. Jednoduch e en je vz t k ivky orientovan, tj. ty kter maj ur en sm r prob h n (obvykle se kresl se ipkou nazna uj c sm r prob h n { viz obr. 4). Je-li ' takto orientovan k ivka, v me jednozna n, kter bod je po te n a kter je koncov. V tomto smyslu orientace k ivky ur uje orientaci jej hranice (kde orientac bodu mysl me p id n znam nka ; kter ur uje znam nko p slu n funk n hodnoty). V imn te si z rove, e p i zm n orientace k ivky se zm n znam nko integr lu vektorov ho pole p es k ivku. Podobn v p pad a @ se mus me rozhodnout, jak budeme denovat orientaci @: Pokud ji budeme denovat proti sm ru hodinov ch ru i ek pro vn j okraj a po sm ru hodinov ch ru i ek pro vnit n okraj (viz obr. 5) a p id me-li konvenci, e integr l p es opa n orientovanou parametrizaci je opa n, pak jsme dok zali tvrzen 1.4. V ta [Greenova]. Nech je oblast v R 2 a nech @ je jej orientovan hranice (viz obr. 5), pak pro hladk vektorov pole F ~ v okol plat @F2? @F 1 dx 1 dx 2 @x 1 @x 2 @ F 1 dx 1 + F 2 dx 2 : Analogie Newtonova vzorce v R 3 V trojrozm rn m prostoru je m sto na t i r zn typy obr zk (viz obr. 6).

6 Obr zek 5. Orientace okraje oblasti IR 3 IR 3 IR 3 k k k Obr zek 6. K ivka, plocha a oblast v R 3 1.5. K ivka a jej hranice v R 3. cela obdobn jako v R 2 se odvod v ta o potenci lu v R 3 : 1.6. V ta [o potenci lu]. Nech ' : ha; bi?! R 3 je hladk zobrazen, nech U je hladk funkce na okol U mno iny '(ha; bi): Pak ' @U @x 1 dx 1 + @U @x 2 dx 2 + @U @x 3 dx 3 U('(b))? U('(a)): 1.7. Plocha a jej hranice v R 3. Nejzaj mav j je p pad plochy v prostoru. Podobn jako tomu bylo pro k ivky, tak plocha pro n s bude nejen jak si podmno ina v prostoru maj c dimenzi 2, ale mno ina i s jej parametrizac. P esn ji, ekneme, e S (O) je dvoudimenzion ln parametrick plocha, pokud O je otev en podmno ina v rovin a : O! R 3 je hladk zobrazen, denovan v n jak m okol uz v ru O: P edpokl dejme d le, e hranice @O je pops na kladn orientovanou (proti sm ru hodinov ch ru i ek) k ivkou '; tj. '(ha; bi) @O: kusme op t, jako v naho e, p en st cel probl m pomoc paramatrizace do roviny a pou t Greenovu v tu. Kupodivu, je to mo n a ekne n m to v e pot ebn. Jen u je k tomu pot eba trochu po t n. Pro zjednodu en z pisu budeme pou vat vektorov ozna en ~ F ; ~x a h ~ F ; ~xi P 3 1 F ix i : Vyjdeme z toho, e vhodn objekt pro integraci p es okraj @S '(ha; bi) (pozor { nen to topologick hranice!) plochy S (O) (viz t obr. 7), tj. p es k ivku v R 3, je vektorov pole ~ F.

1. STOKESOVA V TA V R 3 7 IR [u,u ] 2 1 2 IR [x,x,x ] 3 1 2 3 IR[t] a b S S Obr zek 7. Plocha a jej hranice v R 3 b [F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 ] h F ~ ; d~x ' a dt idt b a kde f h F ~ ; @~x i; @u 1 Podle Greenovy v ty je tedy tento integr l roven O kde " h @ ~ F @u 1 ; @~x @u 2 i + h ~ F ; @ 2 ~x i? h @ F ~ ; @~x @u 1 @u 2 @u 2 To vede k n sleduj c denici: O O 0 @ i;j 0 @ i;j;i6j O h F ~ ; @~x i du 1 @u 1 dt + h F ~ ; @~x i du 2 @u 2 dt @u 1 i? h ~ F ; g h ~ F ; @~x @u 2 i: @F j @u 1 @x j @u 2? @F j # @ 2 ~x i du 1 du 2 @u 1 @u 2 1 @x j A du1 du 2 @u 2 @u 1 @F j @xi @u 1 @x j @u 2? @u 2 @x j @u 1 1 A du1 du 2 dt G 1 det @(x 2; x 3 ) @(u 1 ; u 2 ) + G 2 det @(x 3; x 1 ) @(u 1 ; u 2 ) + G 3 det @(x 1; x 2 ) @(u 1 ; u 2 ) G 1 : @F 3 @x 2? @F 2 @x 3 ; G 2 : @F 1 @x 3? @F 3 @x 1 ; G 3 : @F 2 @x 1? @F 1 @x 2 ; det @(x i; x j ) @(u 1 ; u 2 ) : @u 1 @x j @u 2? @u 2 @x j @u 1 ; i 6 j: ' fdu 1 + gdu 2 ; du 1 du 2 ; 1.8. Denice rotace. Je-li F ~ vektorov pole, pak denujeme rotaci rot F ~ pole F ~ jako vektorov pole rot F ~ @F3? @F 2 ; @F 1? @F 3 ; @F 2? @F 1 ; @ @x 2 @x 3 @x 3 @x 1 @x 1 @x 2 @~x F ~ : Je-li S (O) dvoudimenzion ln parametrick plocha a ~ F je hladk vektorov pole na okol uz v ru S, pak denujme plo n integr l R S ~ F d ~ S z ~ F p es plochu S takto:

8 Obr zek 8. Oblast v R 3 a jej hranice @ S 2? S 1 S ~F d ~ S S F 1 dx 2 ^ dx 3 + F 2 dx 3 ^ dx 1 + F 3 dx 1 ^ dx 2 : : (F 1 ) det @(x 2; x 3 ) @(u 1 ; u 2 ) + (F 2 ) det @(x 3; x 1 ) @(u 1 ; u 2 ) + (F 3 ) det @(x 1; x 2 ) @(u 1 ; u 2 ) O du 1 du 2 Pozd ji si uk eme, e takto denovan integr l nez vis na volb parametrizace, ale e jeho znam nko z vis na volb orientace plochy, co je pojem, kter je t eba v budoucnu p esn ji denovat, stejn jako symbol ^, kter je v denici plo n ho integr lu zat m bez v znamu. Pr v uveden v po et je tedy d kazem n sleduj c v ty. 1.9. V ta [Stokes]. Je-li ~ F hladk vektorov pole v okol plochy S v R 3 ; pak S rot ~ F d ~ S @S F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 1.10. Oblast a jej hranice v R 3. kusme si nyn rozmyslet je t posledn p pad, kter m e nastat v trojrozm rn m prostoru { oblast v R 3 a jej hranice @ (viz obr. 8). Uva ujme jednoduch p pad, kdy je oblast R 3 ohrani ena zdola i shora grafem funkce, tj. f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 ; f 1 (x 1 ; x 2 ) x 3 f 2 (x 1 ; x 2 )g: P edpokl dejme d le, e je v okol uz v ru d no vektorov pole ~ F : Pak (op t s pou it m Newtonova vzore ku) vypo teme pomoc Fubiniho v ty @F 3 @x 3 " f(x1;x 2) f(x 1;x 2) # @F 3 dx 3 dx 1 dx 2 @x 3 [F 3 (x 1 ; x 2 ; f 2 (x 1 ; x 2 ))? F 3 (x 1 ; x 2 ; f 1 (x 1 ; x 2 ))] dx 1 dx 2 S 2 F 3 dx 1 ^ dx 2? S 1 F 3 dx 1 ^ dx 2 @ F 3 dx 1 ^ dx 2 ; kde jsme pou ili v e denovan plo n integr l z vektorov ho pole a vzali jsme v vahu, e plocha S 2 je orientov na pomoc vn j norm ly a plocha S 1 je orientov na pomoc vnit n norm ly. Plocha @ je tedy orientov na pomoc vn j norm ly v ude. P esn stejn v po et lze prov st pro derivace @F2 @x 2 a @F1 @x 1 : To vede k n sleduj c denici:

1. STOKESOVA V TA V R 3 9 1.11. Denice divergence. Je-li ~ F vektorov pole, pak denujeme divergenci div ~ F pole ~ F jako funkci div F ~ @F1 + @F 2 + @F 3 : @x 1 @x 2 @x 3 V e uveden v po et je pak d kazem n sleduj c v ty. 1.12. V ta [Gauss-Ostrogradski]. Je-li ~ F hladk vektorov pole v okol uz v ru ; pak [div ~ F ]dx 1 dx 2 dx 3 Vy dimenze Je vid t, e tento zp sob odvozov n skute n funguje a je snadn si p edstavit, jak postupovat d l, do dimenze 4 a vy ch. Na druhou stranu nelze takto probrat v echny p pady jeden po druh m, nebo jich je nekone n mnoho. To je dal m sto, kde m matematik p le itost projevit svoje matematick nad n a intuici. Je toti te t eba v dosud zn m ch p padech naj t n jak syst m, kter by umo nil popsat obecn p pad kone n, le libovoln dimenze. Hled n z konitost, struktury, vytv en abstraktn ch struktur ze zn m ch speci ln ch p pad { to je prav pr ce (a pot en ) pro matematika. Pokud by snad dosud zn m p pady (dimenze 1, 2 a 3) nesta ily, je v dy mo n se je t pod vat na dimenzi 4, kter je dal na ad. kusme si ale zopakovat to, co dosud v me a p em let o mo n m syst mu. Nejd ve daje o integr lech v jednotliv ch dimenz ch a objektech, stoj c ch pod znamen m integr lu. V prostoru R 2 : (i) dimenze 0 { funkce f; (ii) dimenze 1 { vektorov pole F 1 dx 1 + F 2 dx 2 ; (iii) dimenze 2 { funkce fdx 1 dx 2 fdx 1 ^ dx 2 V prostoru R 3 : @ ~F d ~ S: (i) dimenze 0 { funkce f; (ii) dimenze 1 { vektorov pole F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 ; (iii) dimenze 2 { vektorov pole F 1 dx 2 ^ dx 3 + F 2 dx 3 ^ dx 1 + F 3 dx 1 ^ dx 2 ; (iv) dimenze 3 { funkce fdx 1 dx 2 dx 3 fdx 1 ^ dx 2 ^ dx 3 Jist by ka d ze ten u snadno odpov d l na ot zku, kolik komponent maj integrovan objekty v R 4 pro jednotliv p pady (postupn 1; 4; 6; 4; 1) nebo pro R? n n a dimenzi k (kombina n slo k ). V tom je jasn syst m. aj mav j a t je ot zka, jak je syst m p i denici derivace objektu pod integr lem. Pro to je t eba si vyhradit je t trochu asu, zopakovat si z kladn informace z skan naho e, vz t si tu ku a pap r a spo tat si n sleduj c ch n kolik jednoduch ch p klad. Nejd ve opakov n postatn ch bod : (i) Pro funkci f f(x 1 ; : : : ; x n ) plat df @f @x 1 dx 1 + : : : + @f @x n dx n : To je derivace funkce v R n : (ii) Symbol ^ pro n soben diferenci lu m n sleduj c fundament ln vlastnost: dx i ^ dx j?dx j ^ dx i ; dx i ^ dx i 0: (iii) Plat d(dx i )) 0: (iv) V e je p irozen line rn a distributivn. Ukazuje se, e tyto vlastnosti u umo uj vypo tat derivaci d objekt pod integra n m znamen m jednotn m zp sobem a tak, e souhlas s v e uveden mi p pady: V R 2 plat d(f 1 dx 1 + F 2 d 2 ) df 1 ^ dx 1 + df 2 ^ dx 2 @F1 @x 2? @F 2 @x 1 dx 1 ^ dx 2 :

10 V R 3 plat V R 3 plat d(f 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 ) df 1 ^ dx 1 + df 2 ^ dx 2 + df 3 ^ dx 3 @F3? @F 2 @F1 dx 2 ^ dx 3 +? @F 3 @F2 dx 3 ^ dx 1 +? @F 1 dx 1 ^ dx 2 : @x 2 @x 3 @x 3 @x 1 @x 1 @x 2 d(f 1 dx 2 ^ dx 3 + F 2 dx 3 ^ dx 1 + F 3 dx 1 ^ dx 2 ) df 1 ^ dx 2 ^ dx 3 + df 2 ^ dx 3 ^ dx 1 + df 3 ^ dx 1 ^ dx 2 @F1 @x 1 + @F 2 @x 2 + @F 3 @x 3 dx 1 ^ dx 2 ^ dx 3 Je z ejm, e i ve zd nliv nahodil a r znorod denici derivace objektu pod integra n m znamen m existuje v probran ch p padech jasn z konitost a syst m. Je z nich ji snadn vyvodit obecnou abstraktn denici, platnou v jak koliv dimenzi. To d v n vod k denici de Rhamova diferenci lu d v n sleduj c kapitole. V e uveden v po ty tak ukazuj jednotn syst m, jak denovat integr l z diferenci ln ch forem pomoc jejich p enesen do prostoru parametr. Je vid t, e z kladem je op t denice diferenci lu funkce (p enesen formy fdx i pomoc zobrazen ' (' 1 ; : : : ; ' n ) je (f ')d' i ) a vlastnosti vn j ho n soben : pokud x i ' i (u 1 ; u 2 ); pak nap. dx i ^ dx j det @(' i; ' j ) @(u 1 ; u 2 ) du 1 ^ du 2 @'i @u 1 du 1 + @' j @u 2 du 2 ^ @'i @u 2 du 2 + @' i @u 1 du 1 To je z ejm inspirace pro denici p en en obecn ch diferenci ln ch forem pomoc hladk ch zobrazen, zaveden v p t kapitole. T m ji vlastn z bavn a pot en p in ej c st pr ce kon. Pr v uveden cvi en jasn ukazuj, jak denovat nov druh n soben (vn j n soben ), jak denovat objekty pod integr lem (budou se jmenovat diferenci ln formy), jak denovat jejich derivace (tzv. vn j diferenci l) a kone n jak denovat integr l z diferenci ln formy (s u it m p en en diferenci ln ch forem pomoc zobrazen ). Pokud n kdo odolal poku en si text p e st a poda ilo se mu na uveden syst m p ij t samostatn, jist m za odm nu velmi p jemn pocit objevu n eho nov ho a p kn ho. Dal st u je technika a pr ce { vytvo it ze v eho ucelen a p esn logick syst m, napsat funguj c denice pojm, zvolit vhodn p edpoklady a dok zat p slu n v ty. Tuto st u (p inejmen m z asov ch d vod ) podrobn popisovat nebudeme, ale uvedeme ji v p t kapitole rovnou hotov v sledek { teorii diferenci ln ch forem na R n ; kterou pro n s p ipravili na i p edch dci. Po p e ten tohoto vodu se snad budou zd t zav d n pojmy srozumiteln a v sti n. Vr t me-li se nazp t k za tku t to kapitoly, je na ten i, aby posoudil, zda tvrzen tam uveden ( e n pad d vat se na Newtonovu formuli jako na integr l p es podmno inu a jej hranici a z toho vypl vaj c v cedimenzion ln geometrick obr zky vedou v podstat jednozna n k teorii diferenci ln ch forem) je p ehnan i nikoliv. Pokud je toto uk zka, jak odvod obecnou Stokesovu v tu matematik, je t eba se zm nit, e tak fyzikov odvodili sv m zp sobem tyt pojmy a v ty v trojdimenzion ln m prostoru. Jejich motivace byla um t vypo tat pr ci vykonanou silou po zak iven dr ze i tok vektorov ho pole plochou. Podrobnosti je mo n naj t v n sleduj ch cvi en ch. P irozen ch a struktu e odpov daj ch pojm a tvrzen nen obvykle v dan struktu e p li a tak nen fakt, e odli n zp soby odvozov n p ivedly i matematiky i fyziky k t mu, neobvykl. Je to sp v c, kter se b n st v. P klady, lohy a cvi en V n sleduj c ch p kladech se pod v me na k ivkov a plo n integr l prvn ho a druh ho druhu zp sobem, jak m se ch pou a odvozuj ve fyzice. 1.13. Pr ce s ly pod l dr hy. astou fyzik ln lohou je spo tat pr ci, kterou vykon jist (prom nliv ) s la ~F po jist (zak iven ) dr ze ' v prostoru R n. Je-li dr ha p m (a rovna vektoru ~v) a s la konstantn, ekne n m st edo kolsk fyzika, e pr ce je rovna W h ~ F ; ~vi; kde z vorka zna skal rn sou in v R n.

1. STOKESOVA V TA V R 3 11 V p pad zak iven dr hy p edpokl dejme, e ' je regul rn zobrazen z intervalu ha; bi do R n (tj. ' 0 je v ude v ha; bi denov na a r zn od nuly) a pro jednoduchost p edpokl dejme rovn, e zobrazen ' je prost. K ivku ' aproximujeme lomenou rou proch zej c hodnotami ' v bodech d len : a a 0 ; a 1 ; : : : ; a N b. Potom p ibli n pr ce je W N h ~ F i ; ~v i i N h ~ F ('(a i )); '(a i )? '(a i?1 )i N n j1 Podle v ty o st edn hodnot existuj sla j i v intervalech ha i?1; a i i tak, e a tedy ' j (a i )? ' j (a i?1 ) ' 0 j (j i )(a i? a i?1 ) W N n F j ('(a i ))' 0 j (j i )(a i? a i?1 ): F j ('(a i ))(' j (a i )? ' j (a i?1 )): j1 Nyn si v imn me, e tento v raz je vlastn tzv. Riemannova suma p slu n k integr lu b n j1 a F j ('(t))' 0 j (t) dt: (2) Denujeme tedy nyn k ivkov integr l druh ho druhu z vektorov ho pole F ~ pod l k ivky ' p edpisem (2) a ozna me jej symbolem ' ~F d~s Pr ce s ly ~ F pod l dr hy ' se tedy spo t jako ' W F 1 dx 1 + + F n dx n : ' ~F d~s: Pozn mka: Riemannova suma integr lu (2) je ve skute nosti denov na jako N n j1 F j ('( j i ))'0 j (j i )(a i? a i?1 ); v na em p pad je tedy hodnota funkce F j ' v bod j i nahrazena hodnotou v bod a i. To v ak nem n hodnotu limity t to sumy pro kk! 0 (rozmyslete si!). 1.14. Hmotnost nehomogenn ho dr tu s line rn hustotou %. Jinou obvyklou lohou je spo tat hmotnost dr tu R n. Je-li dr t se ka (rovn vektoru ~v) a hustota konstantn, je hmotnost rovna m %k~vk; kde k~vk zna euklidovskou normu v R n. V p pad zak iven ho dr tu aproximujeme ' stejn jako v p edchoz m p pad lomenou rou proch zej c hodnotami ' v bodech d len. Potom p ibli n hmotnost je m N % i k~v i k N %('(a i ))k'(a i )? '(a i?1 )k Dost v me op t Riemannovu sumu, tentokr t k integr lu b a N %('(a i ))k' 0 ( j i )k(a i? a i?1 ) %('(t))k' 0 (t)k dt: (3) Denujeme tedy nyn k ivkov integr l prvn ho druhu z funkce % pod l k ivky ' p edpisem (3) a ozna me jej symbolem % ds: ' Hmotnost dr tu ' s hustotou % se tedy spo t jako m ' % ds:

12 1.15. Tok vektorov ho pole plochou. Rozmysleme si nyn analogickou situaci v dvojrozm rn m p pad. Ve fyzice se denuje tok vektorov ho pole ~ F plochou S. Je-li plocha S rovnob n k ur en vektory ~v a ~w v R 3 a na t to plo e p sob konstantn s la ~ F, je tok denov n pomoc sm en ho sou inu T h~v ~w; ~Fi det(~v; ~w; ~F ); kde znamen vektorov sou in dvou vektor. V zak iven m p pad je op t nutno aproximovat. P edpokl dejme, e plocha S je parametrizov na zobrazen m : ha; bi hc; di?! R 3, kter je v ude regul rn a prost. D len bude tentokr t obd ln kov s dan d len mi interval a a 0 ; a 1 ; : : : ; a N b a c c 0 ; c 1 ; : : : ; c N d. Chyst me se pou t stejn ch idej jako v jednorozm rn m p pad, ozna en je zde ov em slo it j. Ozna me pro jednoduchost Nyn ~v ij (a i ; c j )? (a i?1 ; c j ); ~w ij (a i ; c j )? (a i ; c j?1 ): T N N j1 h~v ij ~w ij ; ~ F ij i U it m v ty o st edn hodnot najdeme i a j tak, e plat ~v ij u ( i ; c j )(a i? a i?1 ) a ~w ij v (a i ; j )(c j? c j?1 ), kde u ; v ozna uje derivaci zobrazen podle prvn resp. druh prom nn. Dost v me T N N h u ( i ; c j ) v (a i ; j ); ~ F ((a i ; c j ))i(a i? a i?1 )(c j? c j?1 ): j1 Obdobnou vahou o Riemannov ch sum ch dosp v me k integr lu b d T h u (u; v) v (u; v); F ~ ((u; v))i du dv: (4) a c Denujeme plo n integr l druh ho druhu z vektorov ho pole F ~ p es plochu S p edpisem (4) a ozna me jej symbolem S ~F d ~ S Tok s ly ~ F plochou S se tedy spo t jako S F 1 dy dz + F 2 dz dx + F 3 dx dy T S 1.16. Hmotnost nehomogenn plochy s plo nou hustotou %. Nyn ji sami dok ete odvodit vzorec pro hmotnost plochy S s plo nou hustotou %. Obdobnou aproximac jako v p pad toku plochou lze dosp t k integr lu m ~F d ~ S: b d k u (u; v) v (u; v)k%((u; v))) du dv: (5) a c Denujeme plo n integr l prvn ho druhu z funkce % p es plochu S p edpisem (5) a ozna me jej symbolem S % ds: Hmotnost plochy S s hustotou % se tedy spo t jako m S % ds:

Kapitola II Diferenci ln formy v R n

2. Vn j algebra R n V obecn m vektorov m prostoru um me n sobit vektory sly, ale neum me n sobit vektory mezi sebou. Existuje v ce zp sob, jak roz it vektorov prostor V tak, aby na p slu n v t m vektorov m prostoru u byl denov n sou in libovoln ch dvou prvk (tj. jak vno it V do n jak asociativn, ale ne nutn komutativn, algebry). Univerz ln roz en v tomto smyslu je tenzorov algebra vektorov ho prostoru (viz podkapitola 6). My bychom cht li vno it R n do algebry, jej n soben nen nutn komutativn, ale ve kter je n soben vektor z p vodn ho vektorov ho prostoru antikomutativn. V sledn mu n soben budeme kat vn j n soben a odpov daj c algebra se bude naz vat vn j algebra R n : V prostoru R n existuje v zna n, kanonick b ze. Konstrukce, kter by odpov dala vlastnostem odvozen m v p edchoz kapitole, je mo n nejen na R n ; ale na libovoln m vektorov m prostoru V s vybranou v zna nou b z fe 1 ; : : : ; e n g: Ozna me hledan vn j n soben symbolem ^: Form ln denice je okam it m d sledkem z kladn vlastnosti e i ^ e j?e j ^ e i : K b zi fe 1 ; : : : ; e n g mus me p idat jako nov nez visl gener tory postupn sou iny e i ^ e j ; i < j; i; j 1; : : : ; n e i ^ e j ^ e k ; i < j < k; i; j; k 1; : : : ; n atd. U ite n ozna en m e b t e I e i1 ^ : : : ^ e ik ; kde I fi 1 ; : : : ; i k g; i 1 < : : : < i k : Prvky roz en b ze jsou tedy indexov ny pomoc podmno in I f1; : : : ; ng: Prvky e fig se ztoto uj s p vodn mi vektory e i a e ; je t eba ztoto nit s jedni kou 1 2 R: Pro prvky takov to roz en b ze je t eba denovat n soben p irozen m zp sobem a to pak line rn roz it na odpov daj c line rn obal. Popsan konstrukce za nala volbou pevn b ze v p slu n m vektorov m prostoru. Je ot zka, zda v sledn algebra z vis na t to volb. Dalo by se uk zat, e ne, tj. e v echny takto z skan algebry jsou izomorfn. Tuto pr ci si u et me; v podkapitole 6 si budeme denovat vn j ho algebru obecn ho vektorov ho prostoru pomoc multiline rn algebry bez jak koliv volby b ze a uk eme si z rove, e p i libovoln volb b ze je algebra denovan v t to kapitole izomorfn vn j algeb e sestrojen pomoc multiline rn algebry. V imn te si, e tento postup je typick pro obvykl v voj matematick ch pojm { na e nyn j intuitivn srozumiteln denice (kter vznikla p m m zobecn n m vodn ch n zorn ch idej ) je po ase nahra ena elegantn, abstraktn denic, kter nejl pe odpov d dan struktu e, kter v ak je m n intuitivn pochopiteln a m n srozumiteln. 2.1. Denice vn j algebry vektorov ho prostoru. Nech V je libovoln n-dimenzion ln vektorov prostor nad R a nech fe 1 ; : : : ; e n g je pevn zvolen b ze V. Uva ujme kone nou mno inu symbol e I ; kde I f1; : : : ; ng; prvky mno iny I jsou uspo d ny vzestupn podle velikosti a kde plat e ; 1 2 R a e fig e i 2 V: Vn j algebra vektorov ho prostoru V je algebra (V ); jej b z je mno ina symbol fe I ; I f1; : : : ; ngg: Tedy vn j algebra je mno ina v ech form ln ch sum (V ) f If1;:::;ng I e I ; I 2 Rg: Operace s t n vektor a n soben vektoru skal rem denujeme takto: If1;:::;ng I e I + c 0 @ If1;:::;ng If1;:::;ng I e I : I e I 1 A : If1;:::;ng If1;:::;ng ( I + I )e I (c I )e I (6) kde I ; I ; c 2 R. N soben vektor denujeme pro prvky b ze takto: e I ^ e J : ( 0 pokud I \ J 6 ;; sgn? I;J I[J ei[j pokud I \ J ;, (7)

2. VN J ALGEBRA R n 15 kde sgn zna znam nko permutace 1. N soben obecn ch vektor je d ky bilinearit operace vektorov ho n soben ^ jednozna n ur eno vztahy (7). Algebra (V ) je tedy jako to vektorov prostor (tj. a na vektorov n soben ^) izomorfn s R 2n. Stejn jako R 2n toti obsahuje prvky tvaru P I e I ; kde I 2 R, e I jsou prvky b ze a I je index prob haj c n jakou 2 n -prvkovou mno inu index. Operace s t n a n soben skal rem jsou denov ny stejn jako v R 2n (viz (6)). Na rozd l od R 2n je v ak (V ) algebra; pro ka d dva jej prvky je denov n jejich sou in, pat c do (V ). To, e index I prob h mno inu P(f1; : : : ; ng) v ech podmno in mno iny f1; : : : ; ng a ne mno inu f1; : : : ; 2 n g, je konvence, kter zna n usnad uje denici vektorov ho n soben v (V ). Index I n kdy naz v me t multiindex a v konkr tn ch p padech vynech v me slo en z vorky (tj. e f1;3;7g zkracujeme na e 1;3;7 ) nebo dokonce i rky (tj. p eme e 137 ). kracov n pou ijeme v hradn tam, kde nem e doj t k nedorozum n. 2.2. Pozn mky. (i) Pro k 2 0; : : : ; n ozna me k (V ) line rn obal symbol e I, kde I je p esn k-prvkov. Prvk m k (V ) k me k-vektory a prostor k (V ) se naz v k-t vn j mocnina prostoru V. ejm (V ) a e 1 ; e 2 ; e 3 b ze V, pak 0 (V ) R m b zi e ; 1 a je n k0 k (V ). Je-li tedy nap klad V R 3 jednodimenzion ln, 1 (V ) V je vektorov prostor s b z e 1 ; e 2 ; e 3 a je tedy 3-dimenzion ln, 2 (V ) m dimenzi 3 a b zi e 12 ; e 13 ; e 23 a kone n 3 (V ) je jednodimenzion ln s b z e 123. (ii) Vektor e ; 1 2 (V ) je opravdu podle denice jednotkou vzhledem k n soben, nebo pro libovoln I f1; : : : ; ng je I; ; e I ^ e ; sgn e I [ ; I[; sgn I e I e I : I Obdobn e ; ^ e I e I a tedy 8! 2 (V ) :! ^ e ;! e ; ^!. T leso R je tedy p irozen vno eno do (V ) jako R ' 0 (V ) (V ): (iii) Podle denice vektorov ho n soben plat : e I e i1 ^ e i2 ^ : : : ^ e ik ; (8) kde I fi 1 ; : : : ; i k g; 1 i 1 < < i k n. Tyto dva z pisy budeme st dat dle pot eby. Vztah (8) tak ukazuje, pro jsme denovali n soben ^ pr v vztahem (7). Doka me nyn n kolik z kladn ch vlastnost vn j ho n soben ^: 2.3. V ta. Bu V vektorov prostor dimenze n nad R s b z e 1 ; : : : ; e n. Bu te k; l 2 f1; : : : ; ng libovoln, pak plat :? (i) dim k n (V ) k ; dim (V ) 2 n : (ii) ^ je asociativn. (iii) Je-li! 2 k (V ); 2 l (V ), pak! ^ (?1) kl ^!: (iv) Bu te v 1 ; : : : ; v k 2 P n V vektory. api me je ve tvaru v i j1 vj i e j, kde vi j 2 R, i 2 f1; : : : ; kg, j 2 f1; : : : ; ng. Pro ka dou k-prvkovou podmno inu I f1; : : : ; ng ozna me V I : (v j i ) i2f1;:::;kg;j2i matici k k, kter vznikne z matice koecient W:(vi j ) i2f1;:::;kg;j2f1;:::;ng vynech n m sloupc jejich index j nen v mno in I. P i tomto ozna en plat : 2 v 1 ^ : : : ^ v k If1;:::;ng;jIjk D kaz. ad (i) jednoduch, viz t pozn mku 2.2(i). det V I e I? 1? I;J Symbol sgn I[J ozna uje znam nko permutace i1 ;:::;ip;j 1 ;:::;jr k, kde i1 < < ip jsou set d n prvky mno iny 1 ;:::;kp+r I fi 1 ; : : : ; ipg, j 1 < < jr jsou set d n prvky mno iny J fj 1 ; : : : ; jrg a k 1 < < k p+r jsou set d n prvky mno iny I [ J fk 1 ; : : : ; k p+r g. 2 sla fdet V I g jijk se obvykle naz vaj Pl ckerovy sou adnice k-vektoru v 1 ^ : : : ^ v k.

16 ad (ii) Doka me asociativitu nejprve pro prvky b ze. Bu te I; J; K f1; : : : ; ng. V p pad, e jsou I; J; K po dvou disjunktn, plat J; K e I ^ (e J ^ e K ) e I ^ (sgn J [ K J; K sgn sgn J [ K I; J; K sgn I; J [ K sgn I; J; K I [ J [ K sgn J; K e J[K ) sgn I; J [ K I [ J [ K I; J [ K I [ J [ K e I[J[K : J [ K e I[J[K e I[J[K e I ^ e J[K V p pad, e I; J; K nejsou po dvou disjunktn, pak bu J \ K 6 ; nebo I \ (J [ K) 6 ;, z eho snadno zjist me postupem podobn m p edchoz m rovnostem, e e I ^ (e J ^ e K ) 0. (0 ch peme jako 0e ; ve smyslu odstavce 2.2(iii).) Analogicky se dok e i (e I ^ e J ) ^ e K sgn (9) I; J; K e I [ J [ I[J[K (10) K pokud jsou I; J; K po dvou disjunktn a (e I ^ e J ) ^ e K 0 jinak. e vztah (9),(10) ji plyne platnost tvrzen pro prvky b ze. Pro obecn prvky dostaneme tvrzen d ky linearit operace ^, nebo If1;:::;ng I e I ^ ( Jf1;:::;ng J e J ) ^ ( If1;:::;ng Jf1;:::;ng Kf1;:::;ng If1;:::;ng Jf1;:::;ng Kf1;:::;ng If1;:::;ng I e I ^ Jf1;:::;ng Kf1;:::;ng K e K )! I J K e I ^ (e J ^ e k ) I J K (e I ^ e J ) ^ e k J e J! ^ Kf1;:::;ng K e K : Dok zav e, e ^ je asociativn, m eme na mnoha m stech vynech vat z vorky a ps t nap klad e I ^ e J ^ e K. ad (iii) Stejn jako v bod (ii) dok eme tvrzen nejd ve pro prvky b ze. Je-li I; J f1; : : : ; ng; I\J ;; jij k; jjj l; pak e I ^ e J sgn I; J e I [ I[J sgn J I; J J; I sgn e J; I I [ I[J sgn J? I;J p itom permutace J;I m znam nko (?1) kl. Pro obecn!; ji tvrzen plyne, obdobn jako v (ii), z linearity n soben ^. ad (iv) Plat n i 11 v i1 1 e i 1! ^ : : : ^ n i k 1 v i k k e ik! n i 11 n i k 1 I; J e J ^ e I J; I v i1 1 v i k k e i1 ^ : : : ^ e ik ; p itom s tanec na prav stran je nula pokud i a i b pro n jak a; b 2 f1; : : : ; kg, a 6 b. stanou jen ty s tance, kde i 1 ; : : : ; i k jsou vz jemn r zn a tedy fi 1 ; : : : ; i k g je k-prvkov podmno ina mno iny f1; : : : ; ng. Sou et tedy b p es v echny k-prvkov podmno iny mno iny f1; : : : ; ng a jejich v echny mo n permutace. Po tan v raz je tedy roven jijk v i(1) 1 v i (k) k e i(1) ^ : : : ^ e i(k) 2S k jijk sgn v i(1) 1 v i (k) k 2S k! e i1 ^ : : : ^ e ik jijk det V I e I

2. VN J ALGEBRA R n 17 kde S k je mno ina v ech permutac mno iny f1; : : : ; kg a I fi 1 ; : : : ; i k g, kde i 1 ; : : : ; i k jsou prvky I ozna en tak aby i 1 < < i k. Posledn rovnost plyne p mo z denice determinantu matice V I. 2.4. Pozn mky. (i) Pro vektorov prostor v dimenze n z ejm plat dim k (V ) dim n?k (V ). Izomorsmus mezi t mito dv ma prostory sestroj me v odd le o Hodgeov oper toru. (ii) tvrzen 2.3(iv) plyne (p i ozna en z v ty) pro k n vztah v 1 ^ : : : ^ v n det W e 1 ^ : : : ^ e n. Hodge v oper tor Uva ujme n-dimenzion ln vektorov prostor V se zvolenou orientac (viz denice 8.22) a se zadan m skal rn m sou inem h ; i. Sestroj me tzv. Hodge v oper tor, kter bude izomorsmem mezi k (V ) a n?k (V ). Nejprve v ak zavedeme skal rn sou in na vn j mocnin k (V ) prostoru V se skal rn m sou inem: pro prvky tvaru e I ; e J 2 k (V ) polo me he I ; e J i he i1 ^ : : : ^ e ik ; e j1 ^ : : : ^ e jk i he i1 ; e j1 i : : : he ik ; e jk i: Snadno se ov, e takto denovan sou in je pozitivn denitn symetrick biline rn forma na k (V ). 2.5. Lemma. Je-li V line rn prostor se skal rn m sou inem a f : V! R line rn zobrazen, existuje pr v jeden prvek u 2 V takov, e f(v) hu; vi pro v echna v 2 V. D kaz. Bu e 1 ; : : : ; e n ortonorm ln b ze V a polo me Potom pro ka d v P n a ie i 2 V je f(v) n u n a i f(e i ) f(e i )e i : Prvek u je p itom zobrazen m f z ejm jednozna n ur en. n a i hu; e i i hu; vi: volme nyn kladn orientovanou ortonorm ln b zi e 1 ; : : : ; e n prostoru V a ozna me e 1^: : :^e n 2 n (V ): Pro ka d 2 k (V ) je zobrazen n?k (V )! n (V ) 7! ^ line rn. Tedy existuje pr v jedno line rn zobrazen f : n?k (V )! R takov, e ^ f (): Podle lemmatu 2.5 existuje pr v jeden prvek prostoru n?k (V ) takov, e pro v echna 2 n?k (V ) je f () h; i neboli ^ h; i: 2.6. Denice. Line rn zobrazen se naz v Hodge v oper tor. : k (V )! n?k (V ) 7! 2.7. Pozn mka. Je-li V vektorov prostor dimenze n a k n, je Hodge v oper tor izomorsmus k (V ) ' n?k (V ). Ke ka d mu toti existuje jedin zprost edkuj c line rn zobrazen f a k n mu op t jedin prvek, zobrazen je tedy prost, a jeliko oba prostory maj stejnou dimenzi, je izomorsmus.

18 P klady, lohy a cvi en 2.8. Vn j algebra v n zk ch dimenz ch. Uv domte si, jak vypadaj vn j mocniny k (R n ) a vn j algebra (R n ) pro n 2; 3; 4. Jak vypadaj kanonick b ze t chto prostor, jak jsou jejich dimenze? 2.9. Geometrick v znam vn j ho sou inu n? 1 vektor na R n. Bu te v 1 ; : : : ; v n?1 vektory v R n, e 1 ; : : : ; e n kanonick b ze. Pak lze ps t v 1 ^ : : : ^ v n?1 n (?1) i+1 a i e 1 ^ : : : ^ e i?1 ^ e i+1 ^ : : : ^ e n pro n jak a 1 ; : : : ; a n 2 R. Denujme vektor [v 1 ; : : : ; v n?1 ] 2 R n p edpisem [v 1 ; : : : ; v n?1 ] : (a 1 ; : : : ; a n ): na -li hx; yi : P n x iy i standardn skal rn sou in, uka te, e 8w 2 R n : h[v 1 ; : : : ; v n?1 ]; wi det(w; v 1 ; : : : ; v n?1 ): Speci ln, h[v 1 ; : : : ; v n?1 ]; v i i 0 pro v echna i 1; : : : ; n? 1. Pro n 3 je [u; v] uv (u 2 v 3? u 3 v 2 ; u 3 v 1? u 1 v 3 ; u 1 v 2? u 2 v 1 ), co je obvykl vektorov sou in na R 3. 2.10. Rozlo iteln k-vektory a jejich geometrick interpretace. V zde bude zna it vektorov prostor R n, e 1 ; : : : ; e n jeho kanonickou b zi. Rozmyslete si, kter z tvrzen lze zobecnit na p pad obecn ho vektorov ho prostoru. (a) D sledek v ty 2.3(iv): p i ozna en z v ty plat pro k n v 1 ^ : : : ^ v n det W e 1 ^ : : : ^ e n : (Viz pozn mku 2.4(ii).) Analogicky se dok e obecn j tvrzen : P jsou-li v 1 ; : : : ; v n a v1 0 ; : : : ; v0 n dv b ze prostoru V, bu A (a j i ) regul rn matice takov, e v n i aj i v0 j (tj. matice p echodu mezi t mito b zemi); pak plat v 1 ^ : : : ^ v n det A v 0 1 ^ : : : ^ v 0 n : (b) Doka te: Vektory v 1 ; : : : ; v k 2 V jsou line rn z visl () v 1 ^ : : : ^ v k 0. (c) Denice: Bu k 2 f1; : : : ; ng. ekneme, e k-vektor! 2 k (V ) je rozlo iteln, existuj -li vektory v 1 ; : : : ; v k 2 V takov, e! v 1 ^ : : : ^ v k. Mno inu v ech nenulov ch rozlo iteln ch k-vektor (pro pevn k) ozna me R. Pro! 2 R denujeme j dro Ker! : fv 2 V ; v ^! 0g. (d) Doka te: Je-li! v 1 ^ : : : ^ v k 2 R, je Ker! LO(v 1 ; : : : ; v k ), kde LO zna line rn obal. (e) Doka te: Jsou-li!;! 0 2 R, pak Ker! Ker! 0 () 9 2 R; 6 0;!! 0. (f) Denice: avedeme ekvivalenci na R takto:!! 0 () 9 2 R; 6 0;!! 0 : D le ozna me symbolem Gr k;n mno inu v ech k-dimenzion ln ch vektorov ch podprostor v R n. Tento objekt se naz v Grassmannova varieta neboli Grassmanni n. at m m me Grassmanni n pops n jen jako mno inu. Na Grassmanni nu v ak lze denovat rovn strukturu hladk variety a toto bude jeden z d le it ch netrivi ln ch p klad takov struktury { viz 7.16(e). (g) Geometrick interpretace rozlo iteln ch k-vektor : (e) a (f) plyne, e pro!! 0 je Ker! Ker! 0 ; tj. existuje bijekce R ' Gr k;n : (h) Denice: Je-li! P jjjk! Je J 2 k (V ), pak f! J g jjjk 2 R (n k) se naz vaj Pl ckerovy sou adnice k-vektoru!. Speci ln, je-li! v 1 ^ : : : ^ v k 2 R, jsou Pl ckerovy sou adnice vektoru! rovny fdet V J g jjjk, kde V J jsou k k-podmatice matice koecient W vektor v 1 ; : : : ; v k ur en multiindexy J d lky k (viz v tu 2.3(iv)). P i azen! 7! fdet V J g jjjk je tedy vno en m R,! R ( n k). Pozn mka o projektivn ch prostorech: Denujme n-dimenzion ln (re ln ) projektivn prostor takto: RP n P(R n+1 ) : (R n+1? f0g) ;

2. VN J ALGEBRA R n 19 Obr zek 9. Konstrukce projektivn ho prostoru RP 2 kde relace ekvivalence je denov na na R n+1? f0g vztahem (x 1 ; : : : ; x n+1 ) (x 0 1; : : : ; x 0 n+1 ) () 9 2 R; 6 0; 8i : x i x 0 i: Ekvivalentn lze RP n denovat jako mno inu v ech jednodimenzion ln ch podprostor v R n+1. Je tedy RP n ' Gr 1;n+1. D le, jsou-li!! 0 2 R, je z ejm fdet V J g jjjk fdet V 0 Jg jjjk 2 R (n k). Tedy Gr k;n ' R,! (R (n k)? f0g) ' RP ((n k)?1) : Tedy? Grassmanni n Gr k;n je vno en pomoc Pl ckerov ch sou adnic do projektivn ho prostoru dimenze n k? 1. Uv domte si, e projektivn prostor RP n lze vyj d it rovn jako kvocient sf ry: RP n S n ; kde relace ekvivalence je denov na na sf e S n fx 2 R n ; kxk 2 1g vztahem x?x (viz obr zek 9). Na projektivn m prostoru lze rovn denovat strukturu hladk variety (viz 7.16(d)). 2.11. Dal vlastnosti rozlo iteln ch k-vektor. (a) Doka te: Jsou-li! 1 2 j (V ) a! 2 2 k (V ), j k,! 1 i! 2 rozlo iteln a je-li Ker! 1 Ker! 2, potom existuje 2 k?j (V ) takov, e! 2! 1 ^. (b) Doka te: Jsou-li! 1 2 j (V ) a! 2 2 k (V ) rozlo iteln, pak Ker! 1 \ Ker! 2 0 ()! 1 ^! 2 6 0: V p pad spln n t chto ekvivalentn ch podm nek je pak Ker(! 1 ^! 2 ) LO(Ker! 1 [ Ker! 2 ), kde LO zna line rn obal. (c) Trivi ln plat, e v echny 1-vektory i n-vektory jsou rozlo iteln. Doka te, e rovn v echny (n? 1)-vektory jsou rozlo iteln. (d) P klad nerozlo iteln ho k-vektoru: (c) plyne, e pro n 1; 2; 3 jsou v echny k-vektory rozlo iteln (pro v echna k 2 f1; : : : ; ng). Nejjednodu p klad nerozlo iteln ho vektoru je tedy nutno hledat v 2 (R 4 ). Doka te, e takov vektor skute n existuje. Na z klad tohoto v sledku uka te, e pro ka d n 4 a ka d k 2; : : : ; n? 2 existuje nerozlo iteln vektor! 2 k (R n ). (e) Obecn tvar 2-vektor : Uka te, e pro ka d nenulov! 2 2 (V ), n 4, existuje b ze v 1 ; : : : ; v n prostoru V a slo r takov, e! v 1 ^ v 2 + + v 2r?1 ^ v 2r. Potom z ejm plat (p i ozna en! r! ^ : : : ^! r-kr t), e! r 6 0 a! r+1 0. slo r tedy nez vis na volb b ze v 1 ; : : : ; v n a naz v se hodnost 2-vektoru. Je tedy! 2 2 (V )rozlo iteln () r 1. (f) Rozlo te dan k-vektory, tj. napi te je ve tvaru v 1 ^ : : : ^ v k : ) (ae 13 + be 24 ) ^ (ce 13 + de 24 ) 2 4 (R 4 )

20 ) (ae 1 + be 4 ) ^ (ce 123 + de 234 ) 2 4 (R 4 ) ) e 123 + e 124 + e 234 2 3 (R 4 ) ) e 12345 + e 12346 + e 12356 + e 12456 + e 13456 + e 23456 2 5 (R 6 ) (g) Jako trivi ln d sledek V ty 2.3(iii) plat! 2 k (V ); k lich )! ^! 0. Najd te (nutn a posta uj c ) podm nky na k a n, aby existovalo! 2 k (R n ) takov, e! ^! 6 0. Jak lze potom takov! zkonstruovat? 2.12. Hodge v oper tor v dimenzi 3. (a) volte orientaci R 3 pomoc vektoru e 123 2 3 (R 3 ) a vypo tejte hodnotu postupn pro e 23 ; e 13 ; e 12 a pro libovoln 2-vektor. (b) Doka te, e pro v echny vektory u; v 2 R 3 plat u v (u ^ v); kde uv [u; v] ozna uje vektorov sou in na R 3 (viz 2.9) a obecn ji, pro vektory u 1 ; : : : ; u n?1 2 R n je [u 1 ; : : : ; u n?1 ] (?1) n?1 (u 1 ^ : : : ^ u n?1 ): 3. Diferenci ln formy na R n Diferenci ln formy 3.1. Denice diferenci ln formy. Ozna me T (R n ) (zkr cen T ) vektorov prostor, jeho b zi tvo symboly dx 1 ; : : : ; dx n. P esn ji e eno T (R n ) : f n i dx i ; i 2 Rg; p i em s t n vektor a n soben skal rem je denov no po slo k ch, tedy takto: n i dx i + n i dx i : n ( i + i ) dx i ; c n i dx i : n c i dx i : mluva: Hladkou funkc budeme v cel ch skriptech rozum t v dy C 1 funkci, tedy funkci maj c parci ln derivace libovoln ho du. Diferenci ln forma stupn k (zkr cen k-forma) na otev en podmno in R n je hladk zobrazen do k (T ). Diferenci ln forma! :! k (T ) je tedy tvaru!(x 1 ; : : : ; x n ) jijk! I (x 1 ; : : : ; x n ) dx I ; kde! I (x 1 ; : : : ; x n ) jsou hladk funkce z do R. Mno inu v ech diferenci ln ch forem stupn k na mno in budeme ozna ovat E k (). D le ozna me E () mno inu v ech diferenci ln ch forem na, tj. mno inu v ech hladk ch zobrazen do (T ). Diferenci ln forma! 2 E () nem tedy obecn denov n stupe { m e b t sou tem diferenci ln ch forem r zn ch stup. Plat v ak E () nm k0 E k (); tedy rozklad obecn formy do homogenn ch s tanc (prvk E k ()) je jednozna n ur en. P ipome me, e je dx I dx i1 ^ : : : ^ dx ik, kde i 1 ; : : : ; i k jsou prvky I set d n podle velikosti.

3. DIFERENCI LN FORMY NA R n 21 3.2. Denice vn j ho diferenci lu. Bu R n otev en mno ina. Pro v echna p, 0 p n denujeme zobrazen d : E p ()! E p+1 () takto: (i) Je-li f 2 E 0 () (f je tedy funkce z do R), pak denujeme df :! 1 (T ) p edpisem df(a) : n @f (a) dx i ; 8a 2 : (ii) Bu! 2 E P p () diferenci ln forma stupn p. Forma! je tedy tvaru!(x) jijp! I(x) dx I ; kde x 2 a! I jsou hladk funkce z R n do R. Denujeme d! :! p+1 (T ) p edpisem d!(x) : jijp d! I (x) ^ dx I n jijp @! I (x) dx i ^ dx I ; 8x 2 : 3.3. Pozn mka o interpretaci symbolu dx i. V denici diferenci ln ch forem se pou vaj z hadn symboly dx i, kter tvo b zi vektorov ho prostoru ozna en ho T (R n ). denice vn j ho diferenci lu d vypl v jednoduch interpretace t chto symbol { je-li ' i (x 1 ; : : : ; x n ) x i i-t sou adnicov funkce na R n, pak d' i P n j1 @' i @x j dx j 1 dx i dx i. Je mo n tedy symbol dx i interpretovat jako vn j diferenci l z kladn sou adnicov funkce ' i a zvolen form ln ozna en se pak uk e jako vhodn mnemotechnick pom cka pro zapamatov n a jako p prava pro denici vn j ho diferenci lu d. Lze si tak ji te dop edu uv domit, jak dob e toto ozna en bude souhlasit s b n mi konvencemi p i ozna en integr lu z funkce p es podmno inu v R n. 3.4. V ta. Vn j diferenci l m n sleduj c vlastnosti (pro p; q 2 f0; : : : ; ng): (i) 8!; 2 E () : d(! + ) d! + d. (ii) 8! 2 E p (); 2 E q () : d(! ^ ) d! ^ + (?1) p! ^ d. (iii) 8! 2 E p () : d( d!) 0. D kaz. ad (i) Plyne p mo z denice. ad (ii) Nejd ve doka me tvrzen pro diferenci ln formy tvaru!! I dx I ; J dx J, kde I je p-prvkov a J q-prvkov podmno ina mno iny f1; : : : ; ng a I; J jsou disjunktn. d(! ^ ) d(! I J dx I ^ dx J ) d(! I J ) ^ dx I ^ dx J n n @! I J dx i ^ dx I ^ dx J + n! @(! I J ) dx i n ^ dx I ^ dx J! I @ J dx i ^ dx I ^ dx J! @! I n dx i ^ dx I ^ ( J dx J ) + (?1) p @J! I dx I ^ n d(! I dx I ) ^ J dx J + (?1) p! I dx I ^ d! ^ + (?1) p! ^ d! @ J dx i ^ dx J dx i ^ dx J postupu je t vid t, e pro I \ J 6 ; jsou ob strany 0 a rovnost je tedy spln na trivi ln. Pro obecn diferenci ln formy!; u tvrzen plyne z linearity operace ^, nebo d(! ^ ) d jijp jijp jjjq d! I dx I ^ J dx J d(! I dx I ^ J dx J ) jjjq jijp jjjq? d(!i dx I ) ^ J dx J + (?1) p! I dx I ^ d( J dx J ) jijp! I dx I ^ d! ^ + (?1) p! ^ d; jjjq J dx J + (?1) p jijp! I dx I ^ d jjjq J dx J