Keith Devlin: Jazyk matematiky 1 Keith Devlin Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné Argo a Dokořán, Praha, 2002 preklad: Jan Švábenický 11 V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. 13 Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou (...). Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, aˇz kdyˇz ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba oˇzije a my ji můˇzeme proˇzít. Hudba nevzniká okamˇzikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéˇz platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obˇzivly. Matematika pak ˇzije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie. 16 Vysoká úroveň abstrakce v matematice a z toho plynoucí nutnost pouˇzívat symbolické zápisy bohuˇzel znamená, ˇze mnohé oblasti zůstanou laikům navˇzdy nedostupné. Dokonce i ty přístupnější části, popsané v populárně naučných knihách, jakou je i tato, skrývají před laikem většinu své vnitřní krásy. Proto by se měl kaˇzdý, kdo byl obdařen schopností vnímat a ocenit vnitřní krásu matematiky, snaˇzit alespoň něco z její čistoty a elegance předat ostatním. 22 (...) Pojem abstraktního čísla si musí člověk osvojit postupně. Malé děti jej zřejmě začnou chápat ve chvíli, kdy se naučí počítat. Názor, ˇze pojem čísla není vrozený, potvrzují studie kultur, které se vyvíjely izolovaně od moderní společnosti. Když chce například příslušník kmene Vedda ze Srí Lanky spočítat kokosové ořechy, vezme nejprve několik hůlek a ke každému ořechu položí jednu. Pokaždé, když přidává další, řekne: To je jeden.. Ale jestliže se ho zeptáme, kolik vlastní ořechů, jednoduše ukáže na hromadu hůlek a řekne: Tolik.. Tento početní systém má ale k abstraktním číslům daleko; domorodec počítá v pojmech zcela konkrétních hůlek. Veddové pouˇzívají početní systém, který byl objeven jiˇz na úsvitu lidského věku. Jeden soubor předmětů řekněme hůlek nebo oblázků slouží k určení počtu prvků jiného souboru tak, že se hůlky či oblázky spárují s předměty, které je třeba spočítat. 24 (...) V období rozvoje státní byrokracie od roku 3300 př. n. l. do 3250 př. n. l. byly hliněné ˇzetony uchovávány dvěma běˇznými způsoby. Označené ˇzetony se proděravěly, navlékly na šňůrku a navázaly do obdélníkového hliněného rámečku, na němˇz bylo vyznačeno mnoˇzství a druh ˇzetonů. Jednoduché ˇzetony se ukládaly do hliněných nádob dutých koulí o průměru 5 aˇz 7 centimetrů, které byly označeny počtem vloˇzených ˇzetonů a poté zapečetěny. Jak rámečky s navázanými ˇzetony, tak zapečetěná pouzdra slouˇzily k účetním záznamům. Zapečetěná hliněná pouzdra měla jednu zřejmou nevýhodu kdyˇz někdo chtěl prozkoumat jejich obsah, musel pečet porušit. Sumerští účetní proto začali na nádoby ještě před jejich uzavřením vyrývat symbolické značky. Tím se samotné ˇzetony staly nadbytečnými, protoˇze se všechny poˇzadované informace nacházely na vnější straně pouzder. A tak během několika následujících generací ˇzetony zmizely ze světa úplně. Nakonec se začaly pouˇzívat hliněné tabulky s vyrytými symboly. V dnešní terminologii bychom mohli říci, ˇze sumerští účetní nahradili fyzická počítadla psanými číslicemi. Z historického pohledu na vývoj poznání je zajímavé, ˇze Sumerové nepřikročili k označování mnoˇzství na jediné tabulce okamˇzitě, ale poměrně dlouho pouˇzívali označená pouzdra s jiˇz nadbytečnými ˇzetony. Původní ˇzetony vyjadřovaly mnoˇzství zrní, počet ovcí atd., zatímco symbolické znaky na povrchu pouzder nepředstavovaly konkrétní mnoˇzství reálných objektů, ale reprezentovaly počet a typ vloˇzených ˇzetonů. Sumerům trvalo velmi dlouho, neˇz pochopili, ˇze jsou ˇzetony pro vyjádření určitého mnoˇzství v podstatě nadbytečné. Proto můˇzeme povaˇzovat přechod od
Keith Devlin: Jazyk matematiky 2 fyzických prostředků k abstraktním symbolům za skutečný pokrok v poznání. Samozřejmě že symbolické vyjádření množství obilí ještě neznamenalo úplné osvojení pojmu čísla tak, jak jej chápeme dnes, kdy na čísla pohlížíme jako na věci či abstraktní předměty. Kdy přesně učinilo lidstvo tento krok, nevíme, stejně tak jako nezjistíme přesně na den, kdy se malé dítě naučilo počítat. Jisté ovšem je, ˇze jakmile sumerská společnost přestala uˇzívat pro vyjádření určitého počtu fyzické předměty, začala se opírat o takové pojmy jako jednonásobek, dvojnásobek nebo trojnásobek, jejichˇz symboly zaznamenávala na tabulkách. 70 Převedením logických struktur do algebraického jazyka se nic podstatného nezmění. Ale co se opravdu změní, je způsob, jakým o těchto strukturách uvaˇzujeme. To, co je v jedné oblasti nepřirozené a těˇzko zvládnutelné, se můˇze jinde jevit jako snadné a přirozené. Nejenom v matematice, ale i v ˇzivotě není často podstatné, co říkáme, ale to, jak to říkáme. 78 Vývoj predikátové logiky poskytl matematikům formální prostředky k zachycení struktur matematického důkazu. Neznamená to však, že je nutné otrocky lpět na pravidlech predikátové logiky. Nikdo netrvá na tom, aby se matematická tvrzení vyjadřovala v predikátové logice nebo aby byly všechny důkazy formulovány pomocí pravidla modus ponens a dedukčních pravidel s kvantifikátory. Kdyby se mělo takto postupovat, pak by se jednalo kromě nejjednodušších důkazů o nesmírně namáhavou práci a výslednému důkazu bychom téměř nerozuměli. Nicméně detailním rozborem struktury predikátové logiky si matematici lépe osvojili koncepci formálního důkazu a navíc se ujistili, ˇze disponují spolehlivými prostředky ke stanovení matematické pravdy. To se ukázalo díky vývoji v jiných oblastech matematiky jako neobyčejně důleˇzité. 79 V matematice se pravdivost neověřuje experimentem, většinovou volbou ani diktátem, i kdyby byl diktátor nejuznávanějším matematikem na světě. Matematická pravda je dána důkazem. 82 (...) Kdykoli stanovíme nějakou množinu axiomů, obvykle se najde více než jedna soustava objektů, která by dané axiomy splňovala. 83 Matematikům nevadí, je-li jejich práce povaˇzovaná za hru, ale popudí je, jestliˇze ji někdo pokládá za nesmyslnou hru. Historie civilizace jim dává za pravdu pro výsledky matematických výzkumů se většinou najde uplatnění více neˇz dost. 84 (...) Posun směrem k vyšší a vyšší abstrakci za posledních asi sto let se netýkal jen matematiky. Ke stejnému vývoji došlo v literatuře, hudbě, malířství či sochařství, a tak i uměleckým dílům často porozumí jen jejich tvůrce. 93 Teorie modelů, kterou vytvořil především americký matematik polského původu Alfred Tarski, zkoumá v matematické struktuře vztah mezi pravdivostí a tvrzením. Věta o teorii modelů popisuje závěry, (...) ˇze jakýkoli axiomatický systém můˇze být pravdivý pro více neˇz jednu strukturu. V 50. letech 20. století pouˇzil americký logik a odborník na aplikovanou matematiku Abraham Robinson postupy teorie modelů k vypracování teorie infinitezimálních veličin (nekonečně malých veličin), a tím ukázal, jak dojít ke zcela odlišnému a v mnoha ohledech dokonalejšímu diferenciálnímu počtu (...). Do teorie množin vneslo nový impuls pouˇzití technik teorie modelů na Zermelovu-Fraenkelovu teorii. Podstatný zlom přišel v roce 1963, kdy mladý americký matematik Paul Cohen nalezl způsob, jak jednoznačně dokázat, ˇze je určitý matematický výrok nerozhodnutelný přesněji řečeno, ˇze u daného výroků nemůˇzeme na základě Zermelových-Fríenkelových axiomů dokázat ani jeho pravdivost, ani nepravdivost. Tento objev měl daleko širší dosah neˇz Gödelova věta, která neříká více neˇz to, ˇze v jakémkoli axiomatickém systému (tedy i v Zermelově-Fraenkelově teorii mnoˇzin) nerozhodnutelná tvrzení existují. Cohenův postup umoˇznil nerozhodnutelnost určitého tvrzení přímo dokázat. Sám Cohen pouˇzil tuto metodu při formulaci hypotézy kontinua, velmi známého problému, který předloˇzil v roce 1900 Hilbert. Cohen ukázal, ˇze hypotéza kontinua je nerozhodnutelná. Ve 30. letech se objevuje teorie vyčíslitelnosti. K rozvoji tohoto oboru významně přispěl sám Gödel. Z dnešního hlediska je zajímavé vrátit se k pojmu vyčíslitelnost, který byl definován asi dvacet let před zavedením prvního skutečného počítače a padesát let před nástupem osobních počítačů. Vůdčí osobností tohoto oboru byl anglický matematik a logik Alan Turing, jenˇz vytvořil teorii abstraktního univerzálního počítače tzv. Turingova stroje, který by byl schopen
Keith Devlin: Jazyk matematiky 3 provádět běžné aritmetické operace. Krátce poté americký logik Stephen Cole Kleene přišel s další abstraktní teorií, která dokazovala, že program pro takovýto stroj není podstatně odlišný od samotných dat, která stroj zpracovává. Všechny tyto oblasti matematické logiky měly společný charakter byly skutečně matematické. Matematika nebyla jen nástrojem zkoumání, ale i samým předmětem výzkumu. (...) 102 Je zajímavé, ˇze v době, kdy mnozí lidé prohlašují, ˇze na matematiku nemají buňky, lingvisté a statistici dokládají, ˇze řeč sama obsahuje matematické struktury, aniˇz bychom si to běˇzně uvědomovali. 102 Matematika není jenom jazykem vesmíru, jak tvrdil Galilei, ale můˇze nám pomoci, abychom pochopili sami sebe. 110 Zenonova hádanka je skutečným paradoxem jedině tehdy, pokud předpokládáme, že nekonečná řada musí mít také nekonečný součet. 135 Základní věta diferenciálního a integrálního počtu je zářným příkladem obrovského přínosu, který pramení z hledání hlubšího, obecnějšího a abstraktnějšího modelu. 142 Matematici totiž nikdy nezavrhnou krásnou matematiku, i když popírá všechny jejich dosavadní zkušenosti musí být ovšem postavena na pevných základech. 160 Na první pohled vypadají tři kuˇzelosečky jako zcela rozdílné typy křivek: jedna tvoří uzavřenou smyčku, druhá jednoduchý oblouk a třetí se skládá ze dvou oddělených částí. Teprve když vidíme, jak vznikají řezem dvojitého kužele, uvědomíme si, že všechny mají cosi společného společnou strukturu. Abychom tuto strukturu objevili, musíme vstoupit do vyšší dimenze. Všechny tři kuželosečky leží v dvojrozměrné rovině, zatímco sjednocující struktura je trojrozměrná. 167 Stojí za povšimnutí, že na každé řešení [tří problémů antické geometrie] se přišlo teprve tehdy, když byl původně čistě geometrický problém přeloˇzen do algebry, coˇz umoˇznilo jeho zkoumání jinými metodami. V původní formulaci se tyto tři problémy týkaly struktur (posloupností) geometrických konstrukcí za pouˇzití určitých nástrojů. Jejich konečné řešení spočívalo v transformaci problémů do ekvivalentních algebraických struktur. 176 Zvláště fascinující je, ˇze Einsteinova teorie relativity a astronomická pozorování, která prokázala její nadřazenost nad Newtonovou teorií, se objevily více neˇz půl století po objevu neeukleidovské geometrie. I tato skutečnost dobře ilustruje, jak vývoj matematiky předbíhá poznání našeho světa. První abstrakce geometrických modelů, odvozené z pozorování vnějšího světa, přivedly Řeky k vývoji bohaté matematické teorie eukleidovské geometrie. Během 19. století vedly čistě matematické otázky, které se týkaly axiomů a potřebných důkazů, k objevení dalších geometrických teorií. Původně se zdálo, ˇze tyto alternativní geometrie jsou čistě abstraktními axiomatickými teoriemi, které zdánlivě nemají ˇzádné uplatnění ve skutečném světě. Později se však ukázalo, ˇze pro studium vesmíru s jeho obrovskými dimenzemi jsou daleko vhodnější než eukleidovská geometrie. 185 David Hilbert Stejně tak by platilo, kdyby slova bod a přímka byla nahrazena slovy pivní džbánek a stůl a slovní spojení ležet na přímce a protínat se v jediném bodě by vystřídaly výrazy stát na stejném stole a být pod stejným pivním džbánkem. 190 Dokonce i velmi zkušený matematik se těžko orientuje ve zdlouhavých algebraických postupech, ale každý z nás si v duchu snadno představí obrazy a tvary. Této základní lidské schopnosti vyuˇzíváme, kdyˇz převádíme sloˇzité problémy do oblasti geometrie. 220 Čtenáře, kteří si již zvykli na stále se objevující různé numerické struktury za zdánlivě nesouvisejících okolností, asi mnoho nepřekvapí, ˇze číslo zlatého řezu φ (přibliˇzně 1, 618) se objevuje i (...) [u Penrosova dláˇzdění]. Mají-li všechny strany obou kosočtverců (...) délku 1, pak delší úhlopříčka v kosočtverci na levé straně má délku φ a kratší úhlopříčka v druhém kosočtverci má délku 1/φ. Jestliˇze je celá rovina vydláˇzděna těmito dvěma obrazci, pak poměr počtu širších dlaˇzdic ku počtu zkosenějších dlaˇzdic vyjádřený limitou je právě φ.
Keith Devlin: Jazyk matematiky 4 221 Odborníci na krystalografii si povšimli, ˇze určitá slitina manganu a hliníku má molekulární strukturu, která se vyznačuje lokální pětinásobnou symetrií. Protoˇze krystalová mříˇzka má jen jednonásobnou, dvojnásobnou, trojnásobnou, čtyřnásobnou nebo šestinásobnou symetrii, nemohla být slitina krystalem v obvyklém slova smyslu. Odtud tedy pochází nový pojem kvazikrystal. Obecně je kvazikrystal sloučenina, která sice nemá pravidelnou mřížkovou strukturu obyčejných krystalů, nicméně její atomy jsou velmi organizovaně uspořádány způsobem, který se vyznačuje lokální symetrií. Zda je struktura libovolného kvazikrystalu strukturou Penrosova dláˇzdění, není známo, protoˇze studium kvazikrystalu je dosud v plenkách a závěry nejsou zatím jednoznačné. Fakt, ˇze rovina můˇze být vyplněna vysoce pravidelným, a přesto nemříˇzkovým stylem vyznačujícím se lokální pětinásobnou symetrií, nabízí matematický rámec, který poslouˇzí jako východisko pro porozumění těmto novým materiálům. Nakonec jsme tedy došli k dalšímu příkladu zdánlivě neuˇzitečného vývoje v čisté matematice, na který navazuje praktická aplikace. 223 Proslulá mapa londýnského metra (...) vznikla v roce 1931. Jejím autorem byl devětadvacetiletý projektant Henry C. Beck, který příleˇzitostně pracoval pro londýnské metro. Stálo ho dva roky nepřetrˇzitého úsilí, neˇz se mu podařilo přesvědčit nadřízené, aby alespoň na zkoušku vydali nyní všeobecně známý plán sítě jednotlivých tras. I tak vydalo oddělení pro veřejnost mapu jen v malém nákladu zodpovědní úředníci se totiž obávali, že mapa je tak nepřesná, že jí většina cestujících nebude rozumět. Mýlili se. Lidé si mapu přímo zamilovali a po roce užívání byla její zvětšená verze umístěna ve všech stanicích metra. Každý cestující se v tomto ryze topologickém znázornění sítě londýnského metra snadno zorientoval bez jakéhokoli návodu a vysvětlivek, a navíc si většina lidí okamžitě uvědomila výhody tohoto zpracování před klasickým geometrickým zobrazením. 250 Studium uzlů je klasickým případem matematického přístupu k nové oblasti studia. Nejprve se zkoumá určitý jev zde je to způsob, jakým je uzel uvázán. Potom matematici oddělí od zkoumaného pojmu všechny nepodstatné věci, které nemají pro další studium význam, a formulují exaktní definice důležitých pojmů. V tomto případě jsou podstatnými pojmy uzel a uzlová ekvivalence. Další krok spočívá v nalezení způsobu, jak popsat a analyzovat různé druhy uzlů různé uzlové struktury. 268 Matematika je jediná věda, v níž teorie formulované v 17. století na základě poznatků starověkých Řeků mají dodnes stejnou platnost, jakou se vyznačovaly již dříve. Matematika je jedinečná v tom, že během svého vývoje nezpochybňuje již dokázané teorie, ale naopak na nich staví. Od Pythagorovy věty a Diofantovy Aritmetiky vede dlouhá cesta aˇz k Fermatově odkazu a k dnešní bohaté a významné teorii završené Wilesovým konečným důkazem. K tomuto vývoji přispělo mnoho skvělých matematiků. Žili a ˇzijí po celém světě, hovořili a hovoří rozmanitými jazyky. Většina z nich se nikdy nesetkala ani nesetká. To, co je spojuje, je láska k matematice. Navzájem si pomáhají a nové generace matematiků přijímají a dále rozpracovávají myšlenky svých předchůdců. Ačkoli je rozděluje čas, prostor i kultura, všichni se účastní tohoto jedinečného závodu. V tomto směru snad matematika slouˇzí jako příklad celému lidstvu. 270 V čistě náhodné události, kterou posuzujeme izolovaně, ˇzádnou pravidelnost nenajdeme. Abychom nalezli v náhodě nějaký řád, tj. objevili její matematickou strukturu, musíme zkoumat děj, který se mnohokrát opakuje. 276 Tabulky pravděpodobné délky života se koncipují prostřednictvím statistického průzkumu obyvatelstva. První takový průzkum provedl v Londýně roku 1662 obchodník John Graunt. Detailně analyzoval počty narozených a zemřelých obyvatel Londýna v letech 1604 1661 a své výsledky publikoval v knize Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality (Přirozené a politické postřehy odvozené z týdenního seznamu zemřelých). Hlavním zdrojem, z nějˇz čerpal informace, byl seznam zemřelých nazvaný Bills of Mortality, který město Londýn začalo shromaˇzd ovat od roku 1603. V seznamu zemřelých se po jednotlivých týdnech uváděla všechna hlášená úmrtí ve městě včetně jejich příčin. Seznam byl doplněn o počet pokřtěných dětí. Speciální pozornost věnoval Graunt příčinám úmrtí, mezi nimiˇz převládal mor, který v té době zuřil v celé Evropě. Obyvatele dnešního Londýna by asi překvapilo, ˇze během celého roku 1632, který Graunt také analyzoval, došlo ve městě pouze k sedmi vraˇzdám. V témˇze roce dle Graunta zapříčinilo smrt 1 pokousání vzteklým psem a 1 úlek. Není známo, co vedlo Graunta k jeho výzkumu. Mohlo jít jenom o intelektuální zvídavost. Ve svém díle uvádí, ˇze v analýze opomíjeného týdenního seznamu zemřelých nacházel velké potěšení proto, ˇze přicházel na různé záhadné a neočekávané spojitosti. Na druhé straně se zdá, ˇze sledoval také obchodničil. Píše totiˇz, ˇze mu průzkum umoˇznil
Keith Devlin: Jazyk matematiky 5... poznat, kolik zde žilo lidí obou pohlaví, věku, státní příslušnosti, náboženství, postavení a podobně, což by bylo užitečné i pro obchodníky a vládu. Kdyby byly známy počty uvedených lidí, mohla by se odhadnout jejich spotřeba a obchodníci by pak mohli tomu přizpůsobit svou nabídku.. At jiˇz byla jeho motivace jakákoli, stala se Grauntova práce jedním z prvních případů moderního statistického sběru dat a průzkumu trhu. 280 finančný expert Fischer Black Burziáni z Wall Street dobře vědí, ˇze se trh nechová zdaleka tak ideálně, jak se domnívají teoretici z univerzit. 283 Daniel Bernoulli Užitek vyplývající z malého nárůstu bohatství je nepřímo úměrný množství již dříve vlastněného majetku. 286 Uvědomme si, že o muži, který má hlavu v rozpálené troubě a nohy v ledničce, by se dalo říci, že se v průměru cítí dobře. Přesto by asi nikdo z nás nechtěl být na jeho místě vysoká směrodatná odchylka vylučuje pocit tepelné pohody. 299 Přes veškeré technické vymoženosti druhé poloviny 20. století se málokdo dokáže za jasné noci zahledět na oblohu, plnou zářících hvězd, bez jistého záchvěvu bázně. Přestože víme, že jasně blikající světla, která vidíme, jsou přírodními nukleárními reaktory stejnými jako naše Slunce, nijak to nesnižuje náš dojem z tohoto velkolepého představení. Pokud si navíc uvědomíme, ˇze světlo z mnohých hvězd k nám letělo miliony let, náš dojem z neomezené velikosti vesmíru se ještě znásobí. 302 (...) Heliocentrický model se ukazuje jako vhodnější, protože jeho matematický základ je mnohem jednodušší než u geocentrického modelu. Koperníkovská revoluce se trvale zapsala do matematické historie mimo jiné proto, že poprvé v dějinách převážilo prosté matematické vysvětlení nad tím, co vidíme na vlastní oči. 303 Matematický vzorec spojuje dvě nebo více (...) číselných veličin, čímˇz vytváří určitý popis zkoumaného jevu, ale nevysvětluje podstatu ani neodkrývá jeho příčiny. 311 (...) Musíme si připomenout, ˇze se při práci s Maxwellovými rovnicemi pohybujeme v galileovském matematickém světě, který jsme si sami vytvořili. Vztahy mezi různými matematickými veličinami se v našich rovnicích (jestliˇze jsme věci navrhli správně) shodují s odpovídajícími vlastnostmi skutečných jevů, které zkoumáme. Matematika nám tedy podává neobyčejně uˇzitečný popis, ale neposkytuje pravdivé vysvětlení. 330 Ve skutečnosti vlastně ani nemá smysl se ptát, zda je nějaká vědecká teorie správná. Člověk se můˇze pouze zamýšlet nad tím, jestli teorie odpovídá pozorováním a zda poskytuje přesnější odpověd neˇz kterákoli jiná teorie. 336 Kompaktnost je vlastnost topologických prostorů a znamená, že jestliže každý bod prostoru nám poskytuje informace o svém bezprostředním okolí, pak získáme informaci o celém prostoru propojením jednotlivých informací, jež získáme z konečného počtu bodů. 337 Matematické studium kaˇzdého jevu úzce souvisí se studiem jevu jiného. Na začátku provedeme zjednodušení, při kterém pojmenujeme a osamostatníme klíčové pojmy. Ty jsou pak analyzovány do větší a větší hloubky, přitom objevujeme a zkoumáme příslušné struktury a snažíme se stanovit výchozí axiomy. Úroveň abstrakce se zvyšuje. Formulujeme hypotézy, jejichž pravdivost se snažíme dokázat. Odkrývá se spojení s jinými oblastmi matematiky. Teorie je zobecňována, což vede k odhalení dalších souvislostí, které nás přivádějí k jiným matematickým oborům. Stano Krajči, 26. 7. 2. 8. 2008 typeset by LATEX