V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.

Transkript

1 Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze popsat různé fyzikální a chemické jevy - např okamžitou rychlost automobilu, zamoření chemickou látkou, šíření nákazy V ekonomii můžeme pomocí tohoto pojmu určit okamžité tempo růstu národního důchodu Limitu funkce lze však také použít pro studium různých vlastností funkcí - určení sklonu grafu funkce v daném bodě, výpočet plošného obsahu nějakého obrazce Hlavním cílem této kapitoly bude zavést pojem ita funkce a uvést její základní vlastnosti,které se dají požít při výpočtu it Především se budeme soustředit na praktické výpočty it různých funkcí 7 Definice ity funkce V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem ita posloupnosti pro libovolné funkce Intuitivní představy o pojmu ita Ještě před zavedením korektní inice si pro názornost ilustrujeme pojem ita na příkladu Příklad 7 Podíváme se, jakých hodnot nabývá funkce f : y = 3, jestliˇze se hodnoty nezávisle proměnné přibliˇzují k číslu Přesto ˇze číslo nepatří do iničního oboru dané funkce, není pro odpověd na naši otázku podstatné Nezajímá nás, jak se funkce chová přesně v bodě, ale pouze v blízkosti tohoto bodu Základní přehled o hodnotách f) si můˇzeme udělat pomocí následující tabulky, kdy se k hodnotě = blíˇzíme zleva a zprava Aby se nám počítalo snadněji, všimněme si, ˇze pro R \ { } platí f) = 3 = 3 + 0, 8 0, 9 0, 95 0, 99 0, 999, 00, 0, 05, f ) 4, 4 4, 7 4, 85 4, 97 4, 997 5, 003 5, 03 5, 5 5, 3 Z tabulky je zřejmé, ˇze funkční hodnoty f) dosahují k číslu 5, pro stále více se blíˇzícímu k číslu z libovolné strany Toto chování popisujeme slovy ita funkce f pro jdoucí k je 5 a zkráceně píšeme Konečná ita funkce f) = 3 = 3 + = 5 Při intuitivním popisu ity funkce v bodě jsme používali představu blízkých bodů Tuto představu je však třeba upřesnit Blízkost dvou libovolných bodů R a a R lze posuzovat pomocí jejich vzdálenosti a 50

2 Chceme-li říci, že funkce f má v bodě a R itu A R, je třeba ukázat, že k tomu, aby byla vzdálenost f) A libovolně malá, stačí nalézt body R takové, že a je dostatečně malé Na hodnotě funkce f v bodě a vůbec nezáleží - může i nemusí eistovat, nezajímá nás to Definice 7 Konečná ita v reálném bodě) Funkce f má v bodě a R itu A R právě tehdy, když k libovolnému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, ˇze f) A < ε, jestliˇze 0 < a < δ Poznámka 7 Předchozí inici lze zapsat symbolicky ve tvaru ε > 0 δ > 0 R : 0 < a < δ = f) A < ε) Jako ukázku použití této inice uvedeme následující příklad Příklad Příklad 7 Uvažujme funkci f : y = + 3 a zabývejme se otázkou, jak se tato funkce chová pro jdoucí k Řešení: 7 Pomocí výpočtu několika hodnot usoudíme, ˇze + 3) = 5 Podle inice je nyní třeba nalézt vztah mezi vzdálenostmi a f) 5 : Necht je dáno libovolné ε > 0, pak jestliže < δ = ε f) 5 = = < ε, Vzhledem k tomu, že se v tomto tetu zaměříme především na výpočet it, formulujeme následující větu, která výpočty it umožní Věta 7 O aritmetických operacích s itami) Necht f) = A a g) = B, kde A, B R, pak f) + g)) = A + B, f)g)) = AB, f) 3 g) = A, je-li B 0 B Poznámka 7 Slovně lze tvrzení věty?? stručně formulovat takto: pravidlo součtu: ita součtu funkcí je rovna součtu it těchto funkcí, pravidlo součinu: ita součinu funkcí je rovna součinu it těchto funkcí, 3 pravidlo podílu: ita podílu funkcí je rovna podílu it těchto funkcí, pokud je podíl inován Příklad Příklad 73 Určíme Řešení: 7 Protože =, platí podle pravidla součinu = = = Podobně lze získat 3 = Pro konstantní funkci y = k platí k = k Podle pravidla součtu tedy platí ) = 5 a ) = 3 Nakonec podle pravidla podílu tedy ) = ) = 5 3 5

3 Limita sloˇzené funkce Další věta, která je při výpočtu it funkcí užitečná se týká složených funkcí Uvedeme ji v následujícím tvaru Věta 7 O itě sloˇzené funkce) Necht f, g : R R Jestliže, gy) = B a f) A y A pro dostatečně blízká k a taková, že a, pak g f)) = B Příklad 74 Vypočítáme itu sin + sin sin 3 sin + Řešení: 73 Je že sin = /, takˇze sin = /4 a sin +sin ) = 0 Podobně zjistíme, sin 3 sin + ) = 0 Zlomek 0/0 není inován, takže pro výpočet ity zadané funkce nelze pouˇzít pravidlo podílu Uvaˇzujme však vnitřní funkci f : y = sin, pro kterou platí / a vnější funkci g : z = y + y )/y 3y + ), pro kterou podle předchozí úvahy platí gy) = y y y + y y 3y + = y ) y y + ) ) y y ) y + = y y = y + ) y y ) = y 3 f) = = 3 Protoˇze pro blízká π/ a π/ je f) = sin /, můˇzeme pouˇzít větu o itě sloˇzené funkce a získáme sin + sin sin 3 sin + = y + y y y 3y + = 3 Jednostranné ity Vzhledem k tomu, že je často třeba rozlišit, zda se zajímáme o hodnoty funkce f v blízkosti bodu a R pro > a, resp < a, je potřebné zavést další nové pojmy Definice 7 Jednostranné konečné ity v reálném bodě) Funkce f má v bodě a R itu A R zprava právě tehdy, kdyˇz k libovolnému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, ˇze f) A < ε, jestliˇze a < < a + δ Funkce f má v bodě a R itu A R zleva právě tehdy, kdyˇz k libovolnému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, ˇze f) A < ε, jestliže a δ < < a Poznámka 73 Předchozí inice lze symbolicky zapsat ve tvaru + Nekonečná ita ε > 0 δ > 0 R : 0 < < a + δ = f) A < ε), ε > 0 δ > 0 R : a δ < < a = f) A < ε) Definice 73 Nekonečná ita v reálném bodě) Funkce f má v bodě a R itu + právě tehdy, kdyˇz k libovolnému reálnému číslu K, K > 0 eistuje δ > 0 tak, ˇze f) > K, jestliˇze 0 < a < δ Funkce f má v bodě a R itu právě tehdy, kdyˇz k libovolnému reálnému číslu L, L < 0 eistuje δ > 0 tak, ˇze f) < L, jestliˇze 0 < a < δ 5

4 Poznámka 74 Předchozí inici lze zapsat symbolicky ve tvaru f) = + Analogicky můˇzeme psát f) = Příklad 75 Typ ) Ukáˇzeme, ˇze 0 + = + K > 0 δ > 0 R : 0 < a < δ = f) > K L < 0 δ > 0 R : 0 < a < δ = f) < L Řešení: 74 Podle inice je třeba ke kaˇzdému reálnému číslu K, K > 0 nalézt δ > 0 takové, ˇze pro δ, 0) 0, δ) platí > K Poloˇzme δ = / K, pak pro R, pro která 0 < < δ, platí < /K a jsme hotovi Zkráceně budeme o itách tohoto typu s tímto výsledkem mluvit jako o itách typu /0 + Příklad 7 Typ ) Ukáˇzeme, ˇze 0 0 = e Řešení: 75 Podle inice je třeba ke kaˇzdému L < 0 nalézt δ > 0 takové, ˇze pro δ, 0) 0, δ) platí < L e Poloˇzme pak platí δ = ln L 0 < < δ < ln ) L, ) e < L L < e < L e To však bylo třeba ukázat Zkráceně budeme o itách tohoto typu s tímto výsledkem mluvit jako o itách typu /0 K tomu, abychom mohli počítat i s nekonečnými itami, je účelné zavést následující vztahy: Je-li A R, pak Neinujeme výraz typu A ± = ±, + + = +, = +, resp + 53

5 Pro libovolná A > 0 nebo A = + a B < 0 nebo B = inujeme ± A = ±, ± B = Neinujeme výraz typu 0 ± Je-li A R, inujeme Neinujeme výrazy typu Zlomek typu A ± = 0 0 0, se obecně neinuje, nicméně pro A 0 lze pro hodnotu ity podílu symbolicky psát A 0 = +, viz příklady uvedené v závěru kapitoly A 0 Příklady Pro výpočet it jsme dosud používali větu?? Vezmeme-li v úvahu inované vztahy pro symboly + a, lze ukázat, že podobná věta o aritmetice it platí i pro nekonečné ity Ukážeme to na několika příkladech Příklad 77 Vypočítáme 3 +4 Řešení: 7 Nejdříve si všimněme, ˇze zlomek 0/0 není inován, provedeme tedy úpravy výrazu tak, abychom mohli pouˇzít větu o algebře it a případně vztahy inované pro nekonečno Pro 0 platí Nyní můžeme použít pravidlo podílu a psát = = =, protoˇze 0 + 4) = 4, 0 = 0 a jedná se o typ /0 + Limita v nekonečnu Definice 74 Konečná ita v nekonečnu) Funkce f má v bodě + itu A R právě tehdy, když k libovolnému ε > 0 eistuje k > 0 tak, že f) A < ε, jestliže > k Funkce f má v bodě itu A R právě tehdy, kdyˇz k libovolnému ε > 0 eistuje l < 0 tak, ˇze f) A < ε, jestliže < l Poznámka 75 Předchozí inici lze zapsat symbolicky ve tvaru a analogicky + ε > 0 k > 0 R : > k = f) A < ε) ε > 0 l < 0 R : < l = f) A < ε) 54

6 Poznámka 7 Podobným způsobem lze inovat nekonečnou itu v nekonečnu, např f) = + + K > 0 k > 0 R : > k = f) > K) Již jsme poznali, že práce se symboly + a má svá specifika V následujících příkladech si ukážeme, jak vypočítat některé typy it Limity typu 0/0) a / ) Příklad 78 Vypočtěte itu 4 Řešení: 77 Jedná se o itu typu 0/0) čitatel i jmenovatel zlomku je po dosazení roven ) Zlomek 0/0 není inován Limitu můžeme zkrátit, dostáváme 4 = )+) = + Poslední itu lze vypočíst dosazením a tak platí 4 = 4 Příklad 79 Vypočtěte itu 3 4 Řešení: 78 Jedná se o itu typu / ) Narozdíl od předcházejícího příkladu nelze zkrátit V tomto případě můˇzeme postupovat, tak ˇze ji upravíme na součet it Vyuˇzijeme vlastností ity a vztahu = 0 Budeme postupovat, tak ˇze čitatele i jmenovatele podělíme s největší mocninnou n vyskytující se ve zlomku Platí 3 4 = Příklad 70 Vypočtěte itu Řešení: 79 Jedná se o itu typu 0/0) Limitu lze vypočíst pomocí rozšíření zlomku, úprava podle vzorce a + b)a b) = a b Tedy lze počítat následujícím způsobem = = 0 ++ = = = Limity typu sin α α pro α 0 sin Je-li úhel vyjádřen v radiánech, pak platí = Této vlastnosti budeme využívat při výpočtu následujících it Příklad 7 Vypočtěte itu sin 3 Řešení: 70 Tuto itu lze snadno upravit tak, aby u funkce sinus v čitateli byl stejný argument jako 3 je číslo vyskytující se ve jmenovateli = 3 = 3 sin 0 Příklad 7 Zjistěte, zda eistuje ita cos Řešení: 7 Upravíme na typovou itu za pomocí vzorců pro počítání s goniometrickými funkcemi cos = cos sin a = cos + sin resp z něj odvozeného cos = sin ) Pro itu platí cos sin ) 0 + cos = 0 sin 3 3 = 0 sin = sin Vzhledem k tomu, ˇze se nám při úpravě objevila absolutní hodnota, záleˇzí na tom, zda se blíˇzíme k nule zleva od záporných čísel) nebo zprava od kladných čísel) Pro ity zleva a zprava platí cos = sin = sin + = a + 0 cos neeistuje = sin = sin = Nejsou si rovny a přestože obě eistují, ita 55

7 Limity typu Příklad 73 Vypočtěte itu + 4 Řešení: 7 Pro jdou oba dva výrazy +, 4 do Můžeme postupovat tak, že itu rozšíříme a pouˇzijeme úpravu podle vzorce a + b)a b) = a b a pak dále upravujeme itu + 4 = + 4 ) = +4 = 4 Příklad 74 Vypočtěte itu π Řešení: 73 Postupně upravujeme ) sin π cos tan = π sin cos tan ) sin sin cos = π sin sin ) sin =) = π q ++ 4 sin + sin = Limity s číslem e Eulerovo číslo e se rovná následujícím itám + n n n) = + n n n) = + α) α = e α 0 n n Příklad 75 Vypočtěte itu n +n) Řešení: 74 Limitu upravíme následujícím způsobem +n ) /n n n = + n ) n n) = e ) Příklad 7 Vypočtěte itu + Řešení: 75 Limitu upravíme následujícím způsobem ) ) = + ) + ) e + ) = + ) = 5