Posloupnosti a jejich konvergence

Transkript

1 a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály. 511 Těch daných hodnot musí být (teoreticky) nekonečně mnoho a nejjednodušší případ je samozřejmě pro spočetně mnoho takových hodnot konvergence v tomto případě se pak nazývá konvergence posloupnosti. 511 součtu,... a uspořádání a monotonie

2 POSLOUPNOSTI Spočetné množiny se poznají tak, že se dají všechny její prvky přiřadit přirozeným číslům, každému číslu jeden prvek. Protože se s přirozenými čísly dobře pracuje, je vhodné za posloupnosti brát rovnou prvky indexované těmito čísly, tj., pokud se pracuje např. v R, každému přirozenému číslu n se přiřadí nějaké reálné číslo x n. DEFINICE. Posloupnost v množině X (nebo posloupnost prvků množiny X) je soubor {x n } n N prvků X indexovaný přirozenými čísly, tj. posloupnost {x n } n N je zobrazení f : N X, kde f(n) = x n. Někdy se posloupnost značí jako {x n } n=1 nebo {x n } n nebo jen {x n } (např. { n} n N, resp. { n} N, nebo { n}, je-li zřejmé, pro která čísla n se odmocniny berou); v některých případech (většinou konkrétních) se píše i {x 1, x 2, x 3,...} (např. posloupnost sudých přirozených čísel {2, 4, 6, 8,...}). Není-li uvedeno přesné indexování, vždy se chápou indexy z N. součtu,... a uspořádání a monotonie

3 DEFINICE. Podposloupnost posloupnosti {x n } n N je posloupnost {x kn } n N, kde {k n } je nějaká posloupnost přirozených čísel s vlastností k 1 < k 2 < k 3 < k 4 < součtu,... a uspořádání a monotonie

4 VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ DEFINICE. Posloupnost {x n } reálných čísel se nazývá, jestliže (k n x k = x n )., jestliže (k n x k x n ). (resp. shora nebo zdola ), jestliže množina všech bodů x n má uvedenou vlastnost jako podmnožina R. rostoucí (resp. klesající), jestliže (k < n x k < x n ), (resp. (k < n x k > x n )). neklesající (resp. nerostoucí), jestliže (k < n x k x n ), (resp. (k < n x k x n )). Posloupnost, která je bud rostoucí nebo klesající nebo nerostoucí nebo neklesající, se nazývá. Posloupnost se nazývá ryze, jestliže je bud rostoucí nebo klesající. Je-li P nějaká vlastnost posloupností, pak výrok posloupnost {x n } n=1 má skoro P znamená, že existuje k N tak, že posloupnost {x n } n=k má P. 511 Podobně budeme říkat, že množina obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti, když obsahuje prvky posloupnosti od určitého indexu součtu,... a uspořádání a monotonie

5 KONVERGENCE POSLOUPNOSTÍ Jak bylo popsáno na začátku této části, hlavním důvodem práce s posloupnostmi je jejich použití např. k aproximaci řešení rovnic nebo k definicím či charakterizacím nových pojmů jako jsou spojitost a derivace. K tomu je potřeba mít zaveden pojem konvergence posloupností. Při grafickém znázornění některých posloupností v předchozích příkladech bylo vidět, že se příslušné body přibližují k nějaké hodnotě. Např. u {1 1 n } se při znázornění na přímce přibližovaly body k číslu 1, při znázornění v rovině se graf přibližoval k přímce y = 1 potom se říká, že posloupnost {1 1 n } konverguje k 1. DEFINICE. Posloupnost {x n } v R konverguje k bodu a R (nebo má za limitu bod a), jestliže každé okolí U bodu a obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti. Značí se lim n x n = a nebo x n a pro n. součtu,... a uspořádání a monotonie

6 Je-li zřejmé, že se jedná o limitu posloupnosti, je možné použít značení lim n x n = a nebo dokonce lim x n = a, jsou-li i indexy zřejmé součtu,... a uspořádání a monotonie

7 Obecné limity posloupnosti Následující tvrzení jsou snadná a budou se používat bez odkazu (snad jen pro první vlastnost rada: dva různé body z R mají disjunktní okolí). POZOROVÁNÍ. 1. {x n } má nejvýše jednu limitu; Necht {x n } je posloupnost reálných čísel. Platí: 2. je-li posloupnost {x n }, x n =a, pak lim x n =a; 3. jestliže lim x n = a, pak lim x kn = a pro každou {x kn } posloupnosti {x n }; 4. jestliže z každé i {x n } lze vybrat konvergující k a, pak {x n } konverguje k a. 5. jestliže {x n } konverguje v R, pak {x n } je posloupnost. součtu,... a uspořádání a monotonie

8 Dvě další tvrzení jsou sice jednoduchá z hlediska důkazu, ale důležitá z hlediska uvědomění si různých možností přístupu ke konvergenci. 511 VĚTA. Následující podmínky pro posloupnost {x n } reálných čísel a bod a R jsou ekvivalentní: 1. lim x n = a; 2. lim(x n a) = 0; 3. lim x n a = 0; 4. ε > 0 n 0 N (n > n 0 x n a < ε); ( 5. sup inf x ) ( ) n = inf sup x n = a. k N n k k N n k DŮSLEDEK. lim x n = 0 lim x n = 0. POZNÁMKA. Je možné dodat obdobu (4) pro nevlastní body (dokažte): lim x n = + (resp. ) právě když p R n 0 (n > n 0 x n > p) (resp. x n < p). Ekvivalence (1) a (5) předchozího tvrzení a ekvivalence (1) a (3) následujícího tvrzení) platí i pro nevlastní a. součtu,... a uspořádání a monotonie

9 VĚTA. Následující podmínky pro posloupnost {x n } reálných čísel jsou ekvivalentní: 1. {x n } konverguje v R; 2. ε > 0 n 0 N (n, k > n 0 x n x k < ε); ( 3. sup inf x ) ( ) n = inf sup x n R. k N n k k N n k Podmínka 2 ( ε > 0 n 0 N (n, k > n 0 x n x k < ε)) se nazývá Bolzanova Cauchyova podmínka a posloupnost splňující tuto podmínku se nazývá. Bolzanova Cauchyova podmínka bude často použíta v situacích, kdy bude potřeba ukázat, že posloupnost (např. integrálů, funkcí) konverguje, aniž je možné nebo nutné zjistit její limitu součtu,... a uspořádání a monotonie

10 Limita a aritmetické operace Následující tvrzení ukazuje, že se posloupností chová přirozeně k aritmetickým operacím reálných čísel. Součet, součin a podíl posloupností se definuje po indexech, tj., např. pro součet, {x n } + {y n } = {x n + y n }. VĚTA. Necht {x n }, {y n } jsou posloupnosti reálných čísel. Pak platí 1. lim(x n + y n ) = lim x n + lim y n, pokud má pravá strana smysl; 2. lim(x n y n ) = lim x n lim y n, pokud má pravá strana smysl; 3. lim x n y n = lim x n lim y n, pokud má pravá strana smysl; součtu,... a uspořádání a monotonie

11 Limita a uspořádání Tato část ukazuje chování konvergence posloupností k uspořádání na reálných číslech a existenci limity ch posloupností. VĚTA. Necht {x n }, {y n } jsou posloupnosti reálných čísel. 1. Jestliže lim x n < lim y n, potom je x n < y n pro skoro všechna n. 2. Jestliže x n y n pro skoro všechna n, potom lim x n lim y n pokud obě limity existují. DŮSLEDEK. Necht {x n }, {a n }, {y n } jsou posloupnosti reálných čísel a x n a n y n pro skoro všechna n. Jestliže existují lim x n, lim y n a rovnají se, pak existuje i lim a n a rovná se předchozím limitám. součtu,... a uspořádání a monotonie

12 DŮSLEDEK. lim x n y n = 0 Necht {x n } je posloupnost a {y n } konverguje k 0. Potom VĚTA. Necht {x n } je posloupnost reálných čísel. 1. Je-li {x n } neklesající, pak lim x n = sup x n. 2. Je-li {x n } nerostoucí, pak lim x n = inf x n. DŮSLEDEK. Monotónní posloupnost má vždy limitu. Omezená posloupnost vždy konverguje v R součtu,... a uspořádání a monotonie

13 HROMADNÝ BOD Posloupnost {x n } nemusí konvergovat, ale některé její i konvergovat mohou. Jejich limity (nazývané hromadné body) mohou někdy nahrazovat neexistující limitu celé posloupnosti. Protože každá nekonečná množina obsahuje prosté posloupnosti, lze definovat hromadné body množiny (i nespočetné) jako hromadné body těchto posloupností. Jsou to body, které jsou k dané množině velmi blízko. součtu,... a uspořádání a monotonie

14 Hromadný bod posloupnosti Okolí limity musí obsahovat skoro všechny členy posloupnosti. U hromadného bodu je podmínka zeslabena na nekonečně mnoho členů posloupnosti. DEFINICE. Prvek a z R se nazývá hromadný bod posloupnosti {x n }, jestliže každé okolí U bodu a obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti {x n } (tj., existuje nekonečná podmnožina S N tak, že x n U pro s S). VĚTA. 1. Prvek a z R je hromadným bodem posloupnosti {x n }, právě když existuje její {x kn }, která konverguje k bodu a. ( 2. Hodnota sup inf x ) ( n (= limk inf x ) n ) je nejmenším hromadným bodem posloupnosti {x n } (značí se lim inf x n nebo lim x n a čte se limes k N n k n k inferior). ( ) sup x n ) je největším hromadným bodem posloup- n k ( ) 3. Hodnota inf sup x n (= limk k N n k nosti {x n } (značí se lim sup x n nebo lim x n a čte se limes superior). DŮSLEDEK. 1. Každá posloupnost má hromadný bod. 2. Posloupnost má limitu právě když má jediný hromadný bod. součtu,... a uspořádání a monotonie

15 Následují dvě důležitá tvrzení. To první je jednoduchým důsledkem předchozího důsledku (1) a tvrzení (1) předchozí věty pro omezené posloupnosti, ale vzhledem k jeho významu je uvedeno znovu. Důkaz druhého tvrzení je složitější a ukazuje princip používaný často pro důkaz existence. VĚTA. 1. (Bolzanova Weierstrassova věta) Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergující v R. 2. (ova věta) Je-li K n klesající posloupnost uzavřených omezených intervalů na R, pak K n. Jestliže navíc délky intervalů K n konvergují k 0, je k=1 jednobodový K n k=1 součtu,... a uspořádání a monotonie

16 Hromadný bod množiny Jednoduchou modifikací hromadného bodu posloupnosti se dostane hromadný bod množiny: DEFINICE. Prvek a z R se nazývá hromadný bod množiny A R, jestliže každé okolí bodu a obsahuje nekonečně mnoho prvků množiny A. Prvek a A, který není hromadným bodem množiny A se nazývá množiny A. POZOROVÁNÍ. 1. Prvek a z R je hromadný bod množiny A R právě když každé okolí bodu a obsahuje aspoň jeden bod množiny A různý od a. 2. Bod + je hromadný bod množiny A R právě když A není shora. Podobně pro. 3. Konečná množina nemá žádný hromadný bod. 4. Bod je hromadným bodem skoro prosté posloupnosti právě když je hromadným bodem množiny hodnot této posloupnosti. 5. Je-li a hromadným bodem množiny A a B A, je a hromadným bodem i množiny B. 6. a A je izolovaným bodem A právě když existuje okolí U bodu a takové, že U A = {a}. Předchozí vlastnost (4) ukázala vztah hromadných bodů posloupností k hromadným bodům odpovídajících spočetných množin. 511 VĚTA. Následující podmínky jsou ekvivalentní pro množinu A R a bod a R : součtu,... a uspořádání a monotonie

17 1. a je hromadný bod množiny A; 2. existuje posloupnost v A \ {a} konvergující k a; 3. existuje posloupnost v A konvergující k a; 4. existuje ryze posloupnost v A konvergující k a. DŮSLEDEK. Každá nekonečná podmnožina v R má hromadný bod a každá nekonečná podmnožina v R má vlastní hromadný bod součtu,... a uspořádání a monotonie