1) Spočítejte limitu pomocí l Hospitalova pravidla, pokud selˇze, spočítejte ji klasicky:

Transkript

1 Příklady k desátému cvičení ) Spočítejte itu pomocí l Hospitalova pravidla pokud selˇze spočítejte ji klasicky: π π sin 2 + ln(cos(3)) 3 2) Upravte na zlomek a pouˇzijte l Hospitalovo pravidlo: (návod ve výsledcích) ln + ln 3 Uved me klasický způsob na konci je červeně uveden návrh na chytřejší variantu. Nejprve je potřeba ověřit zda vůbec můžeme zkusit použít l Hospitalovo pravidlo. Podíváme se jak vypadá ita jmenovatele. 3 = = 3. (je doufám jasné proč: 3 = 3 = ). Tím pádem je splněna druhá varianta podmínky ( g() = + ) a můˇzeme pouˇzít l Hospitalovo pravidlo. Snadno ověříme ˇze se jedná o typ. ln 3 l = H 3 ln + 3 = 3 ln =

2 3.. 3 ( ln + ) =. 3 V druhém sčítanci jsme použili jen pravidla pro počítání s eponenty = = 3. Vypadá to ˇze jsme si nijak nepomohli protoˇze dostáváme itu výrazu. Bude ale stačit převést si naši funkci opět na zlomek ln +. Lze ověřit ˇze opět dostáváme typ (jako uˇzitečné opakování doporučuji zkusit si vypočítat itu jmenovatele nebo kouknout do Herbáře funkcí). Opět zkusíme l Hospitala: ln l H = = 9 3 =. U posledního kroku opět doporučuji spočítat itu pořádně nebo kouknout do Herbáře. Nabízí se důvtipnější varianta řešení která se opět opírá o počítání s eponenty. Můˇzeme si na úvod převést naši funkci na následující tvar ln 3 = ln 3 ln = 3 ln =. Tady stačí provést l Hospitala jen jednou a dopadne to stejně. ( sin ) e ln( ) tg Nejprve musíme převést naši funci na zlomek zase se vyplatí poslat do jmenovatele spíše funkci tangens protože její převrácenou hodnotou je cotangens. ln( ) ln( ) ln( ) tg = = cotg. Jmenovatel tentokrát nebude tak snadný cotg totiž neeistuje stačí si nakreslit graf funkce cotangens. Nás naštěstí zajímá ita tg cotg 2 3 3

3 protoˇze tato se objevuje v předpokladech věty. Tady si můˇzeme pomoci jednostrannými itami: takˇze eistuje i klasická ita a cotg = + = + + cotg = = + cotg =. Limita čitatele zde není podstatná ale není od věci si ji cvičně vypočítat. Máme splněnu druhou variantu podmínky a můžeme použít l Hospitala: ln( ) cotg l H = 3 sin 2 = ( ) sin2. Zase dostáváme neurčitý výraz ovšem jedná se o typ takže můžeme zkusit dalšího l Hospitala: ( )sin2 l = H 2 sin cos ( ) =. 5. (π ) tg π 2 3) Vyjádřete pomocí sloˇzené funkce a pouˇzijte l Hospitalovo pravidlo: (návod ve výsledcích). 2. (e 3) tg + Za zmínku stojí že vlastně počítáme itu. Nejprve bude užitečné náši úlohu převést na něco co umíme spočítat. Vyplatí se použít úpravu z minulého cvičení tg = etg ln. + + Nyní je potřeba použít větu o itě složené funkce. 3

4 Nejprve koukneme na vnitřní funkci a její itu ln tg ln = + + cotg. Použili jsme stejné úvahy jako v předchozím řešeném příkladu. Tentokrát ani nebude problém s itou funkce ve jmenovateli protože máme jen jednostrannou itu a víme že cotg =. + Totéˇz platí i pro itu z absolutní hodnoty funkce cotg (pravidla pro počítání s itami). Můˇzeme pouˇzít l Hospitala: + ln cotg l H = + sin 2 = ( ) + sin 2. Dostáváme typ a použijeme znovu l Hospitala: ( ) + sin 2 Můˇzeme počítat itu vnější funkce = ( ) + 2 sin cos y ey = e =. Vnitřní funkce je spojitá stačilo jen dosadit. =. Zbývá ověřit podmínka na spojitost nebo eistenci příslušného prstencového okolí. Tady to bude snadné funkce e y je spojitá všude tím pádem samozřejmě i v nule. Máme splněny všechny předpoklady věty o itě sloˇzené funkce tedy tg = ( ) ln + Nejprve opět klasicky s tipem na zjednodušení na konci. Funkci zase převedeme + ( Opět nás čeká věta o itě složené funkce ) ln = ln( eln ) +.

5 Vnitřní funkce bude celý eponent a bude nás zajímat její ita ( ) ln ln. + Zase převádíme na zlomek a v čitateli například necháme ten složitější logaritmus. ( ln ). + Musíme se pořádně podívat na jmenovatel máme výhodu jednostranné ity. Výraz ln a navíc ln > pro >. Můžeme se opřít o poslední větu. přednášky (sice je pro posloupnosti ale ity funkcí s nimi nápadně souvisí). Platí tedy Můˇzeme tedy pouˇzít l Hospitala: ln + ) ( ln ln + ln = = + ln. l H = + ( ) ( ) ( ) 2 ( ) (ln ) 2 Dostáváme a pouˇzijeme znovu l Hospitala: (ln ) 2 + l = H 2(ln ) + (ln )2 + = + (ln ) 2. =. Pro vnější funkci to bude stejné jako v předchozím příkladu g(y) = e y a její ita v bude e =. Poslední podmínka bude opět splněna stejně eponenciála je spojitá všude tím spíše v nule. Z věty o itě složené funkce pak máme ( ) ln =. + Za zmínku stojí ˇze u takovýchto it bude vnější funkce a argumentace spojitostí pokaždé úplně stejná. Situaci šlo trochu vylepšit stačilo si na začátku zjednodušit složitější z logaritmů pomocí pravidel pro počítání s logaritmy jak jsme to provedli na cvičení. 5

6 Výsledky ) Základní příklady: l Hospital je špatná volba výpočet se zacyklí. Vyplatí se vytknout nejvyšší mocninu ve jmenovateli protoˇze jdeme k nekonečnu... 2) Úprava na zlomek:. upravit na ln. Ověřit zda můžeme zkusit l Hospitala: 5 5 = + (nakreslete si obrázek) tím pádem i 5 = (vzorce pro itu). + Tím je splněna druhá verze podmínky a jedná se o variantu ale s tím je pak víc práce. upravit na 5 ln 2. Viz řešení.. Lze také 3. převést na společného jmenovatele dostanete variantu 2 použít l Hospitala dostanete zase variantu použít podruhé l Hospitala.. Viz řešení 5. 2 upravit na π tg Lze také upravit na tg π = π cotg typ. pak bude nutné počítat z obrázku pomocí π jednostranných it nebo pomocí věty z posledního slidu přednášky o itách posloupností. Dostanete. (podobně jako u předchozího příkladu) 3) Složená ita:. e 2 přepsat do tvaru e ln(e 3) postupovat podle věty o itě sloˇzené funkce na itu vnitřní funkce použít l Hospitala poslední podmínka splněna díky spojitosti funkce e y. 2. Viz řešení. 3. Viz řešení. 6