Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru

Transkript

1 Michal Řepík ZS 0/0 Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru Michal Řepík Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, BM, ZS 0/0, m.repik@ .cz Abstrakt Tato seminární práce pojednává o tématu přednášky Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru, kterou v rámci Didakticko matematického semináře KMDM přednesl dne prof. RNDr. Milan Koman, CSc. Práce je rozdělena do dvou částí. V první popisuji základní problematiku zlomkových kuželoseček a vlastnosti desetinného rozvoje zlomku, který generuje kuželosečku. Druhá část se zabývá otázkami, jak základní početní operace mezi zlomky ovlivňují vlastnosti kuželoseček. Úvod Téma zlomkových kuželoseček tvoří nádhernou ukázku toho, jak je matematika navzájem propojena. Vzájemná souvislost aritmetiky a analytické geometrie je vidět již na první pohled. Studujme vlastnosti desetinného rozvoje zlomku. = 0, 485 () Jde o periodické číslo s délkou periody šest. Tento desetinný rozvoj generuje kartézské souřadnice elipsy. Dvojice kartézských souřadnic jsou postupně (, 4), (4, ), (, 8), (8, 5), (5, ), (, ). () Syntetický důkaz tvrzení, že danými šesti body prochází právě jedna elipsa je proveden v []. Využíváme při něm středově souměrného šestiúhelníku, který je tvořen výše popsanou šesticí bodů a tudíž je do elipsy vepsán. Analytické vyjádření sedminové elipsy má potom tvar 9x + 36xy + 4y 333x 53y = 0. (3) Přirozená otázka, kterou si lze položit je, zda existují i jiná čísla, jejichž desetinné rozvoje generují kuželosečky, popř. jaké vlastnosti daný rozvoj musí splňovat, aby generoval kuželosečku. Ukázalo se, že rovněž zlomek generuje kuželosečku. V tomto případě je výsledkem hyperbola. Podívejme se na desetinný rozvoj = 0, (4) Obdobně, jako v předešlém případě se jedná o periodické číslo s délkou periody šest a stejným způsobem lze určit souřadnice šesti bodů, kterými křivka prochází. Důkaz, že šesti body prochází právě jedna hyperbola (resp. dvojice větví) je analogický s případem sedminové elipsy. Analytický popis třináctionové hyperboly má tvar 4x + 4xy + 9y 8x 684y = 0. (5) Klíčovým předpokladem k tomu, aby zlomek a b generoval kuželosečku (bezohledu na to, budeli výsledkem elipsa nebo hyperbola) musí dle závěrů profesora Komana splňovat kritéria, která jsem popsal v následujícím tvrzení.

2 Michal Řepík ZS 0/0 Tvrzení. Nechť a, b R b 0, a a b jsou nesoudělná, a b = k, p p p 3 p 4 p 5 p 6 je desetinný rozvoj čísla a b, kde k, p i N 0 p i 9, (i =,..., 6). Jestliže zlomek a b generuje v rovině zlomkovou kuželosečku, pak současně platí. p + p 4 = p + p 5 = p 3 + p 6 = konst.. Buď M = {(p, p ) ; (p, p 3 ) ;... ; (p 6, p )} R, pak (p i, p j ), (p k, p l ) M : (p i, p j ) = (p k, p l ) = i = k j = l. Tvrzení tedy říká, že pokud daný zlomek generuje kuželosečku, pak nutně toto číslo musí mít periodu délky šest a body, které vzniknou způsobem popsaným výše jsou navzájem různé. Součty jednotlivých složek podle. jsou si rovny. Důkaz. První část tvrzení plyne ze symetrie kuželosečky, do které prof. Koman vepisuje středově souměrný šestiúhelník. Dvojice bodů (p, p ) a (p 4, p 5 ) (p, p 3 ) a (p 5, p 6 ) (p 3, p 4 ) a (p 6, p ) určují jeho úhlopříčky, které se půlí právě v jednom bodě. Pak ale pro souřadnice tohoto bodu (s, s ) platí s = p + p 4 = p + p 5 = p 3 + p 6, odtud s = p + p 5 = p 3 + p 6 = p 4 + p, p + p 4 = p + p 5 = p 3 + p 6 = s = s = konst. generuje kuželosečku, tedy Druhou část tvrzení je možno dokázat sporem. Víme, že zlomek a b existuje právě pět různých bodů kterými je křivka určená jednoznačně. Volme šestý bod jako jeden ze zbývajících pěti. To ale znamená, že danými body není určen šestiúhelník s vlastnostmi požadovanými v první části tvrzení. Výsledný desetinný rozvoj potom nutně nesplňuje první část tvrzení, což je spor s tím, že zlomek a b generuje kuželosečku. Na obrázku vidíme znázorněnou sedminovou elipsu i třináctinovou hyperbolu. Je více než zajímavé, že obě kuželosečky mají stejný střed o souřadnicích ( 9, 9 ). V rámci přednášky provedl profesor Koman rozšíření na R 3, resp. na E 3. Ukazuje se, že rozšíření do prostoru není triviální a výběrem souřadnic jako za sebou jdoucích trojic čísel desetinného rozvoje není zaručena komplanárnost. Ve své seminární práci se prostorovým kuželosečkám hlouběji nevěnuji. Další vlastnosti čísel a Ukázali jsme, že čísly a je generována kuželosečka. V prvním případě jde o elipsu, ve druhém o hyperbolu. Otázky, které profesor Koman formuluje ve svém článku [] zní:. Jak vypadají kuželosečky, které generují dva zlomky, jejichž součet se rovná? Používám označení E 3 pro euklidovský prostor, neboť ke syntetickému studiu kuželoseček potřebujeme zavést geometrii. E 3 nám zaručuje existenci skalárního součinu a metriky.

3 Michal Řepík ZS 0/0. Co vznikne součtem a součinem zlomků a? Řešení jsem provedl v prostředí programu GeoGebra. Pro řešení první úlohy jsem použil zlomky a 5 ; 3 a 0. Desetinné rozvoje zlomků jsou: = 0, = 0, 485 a 3 = 0, = 0, Všimněme si, že v obou případech jsou desetinné rozvoje permutacemi číslic, ze kterých se skládají. Ze zlomků a 5 získáme souřadnice: := (, 8) ; (8, 5) ; (5, ) ; (, ) ; (, 4) ; (4, ) 5 := (, ) ; (, 4) ; (4, ) ; (, 8) ; (8, 5) ; (5, ) A je tedy více než zřejmé, že oba zlomky určují stejnou kuželosečku. Porovnáním s () zjistíme, že se jedná o sedminovou elipsu. Se zlomky 3 a 0 je situace podobná. Zajímavou vlastností součtu čísel a je, že výsledná elipsa má střed shodný se středem jednotlivých kuželoseček, ze kterých je vytvořena. Její analytické vyjádření je + = 0 = 0, , 5x + 39xy + 406, 5y 55, 5x 45684y = 0. Elipsa je zobrazena na obrázku. Studujme součin čísel = = 0, I v tomto případě získáváme elipsu s analytickým předpisem 9x + xy + 9y 90x 90y + 8 = 0. Všimněme si, že výsledná kuželosečka, která je na obrázku 3 má také střed totožný se středy dílčích kuželoseček, neboť podle tvrzení. platí = + 8 = = 9. Stejný součet obdržíme jak pro sedminovou elipsu, tak i pro třináctinovou hyperbolu. 3

4 Michal Řepík ZS 0/0 Závěr V závěru své seminární práce bych se chtěl zmínit o obecných záležitostech týkajících se přednášky, které jsem se mohl zúčastnit. V prvé řadě věci, které mě velice zaujaly, jsou přistupování k úloze zlomkových kuželoseček. Uchopení úlohy tak, jak bylo ukázáno je velice inspirativní. Pokládáme si o daném tématu otázky, zodpovídáme je a tím vytváříme ucelený systém nových a nových poznatků. Dále osobní přístup pana profesora, který se této problematice věnuje již několik let. Rozpracovanost úlohy a mnoho grafického materiálu podtrhuje mravenčí práci, kterou bylo nutno pro zpracování projektu vynaložit. Samotná přednesená problematika byla pro mě velikým překvapením. V tradičních matematických textech se s pojmem prakticky nesetkáme. Rovněž ani v internetových (recenzovaných) matematických encyklopediích danou problematiku nenalezneme. Jediným světlým příkladem je zahraniční encyklopedie Wolfram [], ze které sám profesor čerpal na počátcích své práce. Z mého pohledu se jedná o téma tak unikátní, že by si zasloužilo více pozornosti. Nezapomínejme, že matematiku, jako i každou jinou vědu je nutné v přijatelné podobě zprostředkovávat široké veřejnosti. Mluvím teď o popularizaci vědy. Domnívám se, že téma máme nyní před sebou. Dovedu si představit přednášku o zlomkových kuželosečkách jako součást seminářů, které se u nás pořádají (např. semináře pořádané JČMF). Přednáška byla velice obsáhlá a je škoda že různá tvrzení, která byla formulována, nemohla být řádně dokázána. Doufám, že se s touto problematikou budeme setkávat v časopisech a na seminářích i v budoucnu. Reference [] KOMAN, Milan. O sedminové elipse a třináctinové hyperbole II : Řešení úlohy s odkazem na webové stránky. MFI. 00,, 3, s [] HALL, Jay. One-Seventh Ellipse [online]. 986 [cit. 0--0]. Wolfram Mathworld. Dostupné z WWW: < 4

5 Michal Řepík ZS 0/0 Obrázek : Sedminová elipsa a třináctinová hyperbola. Na obrázku je navíc vyznačen středově souměrný šestiúhelník používaný v důkazu. 5

6 Michal Řepík ZS 0/0 Obrázek : Součtem čísel a 0 získáváme zlomek 9, který rovněž generuje kuželosečku, elipsu. Na obrázku je znázorněna poloha sedminové elipsy, třináctinové hyperboly a výsledné elipsy, vzniklé výše popsaným způsobem. 6

7 Michal Řepík ZS 0/0 Obrázek 3: Zlomek 9 vznikne jako součin čísel a. Výslednou kuželosečkou je elipsa se středem totožným se sedminovou elipsou a třináctinovou hyperbolou.