Trivium z optiky 23 4 Šíření světla prostorem V této kapitole se zabýváme především rychlostí šíření světla ve vakuu (či ve vzduchu) a uvádíme stručný přehled metod určení této významné fyzikální konstanty jakož i její přesnou číselnou hodnotu Dále zavádíme v dalším textu často používaný pojem indexu lomu prostředí a také některé další užitečné pojmy související se šířením světla látkami 41 Rychlost světla ve vakuu 411 Galileova metoda 412 Römerova metoda 413 Fizeauova metoda 414 Určení rychlosti světla pomocí Maxwellovy teorie 415 Přesná hodnota rychlosti světla 42 Homoenní a nehomoenní prostředí 43 Disperze 44 Izotropní a anizotropní prostředí 41 Rychlost světla ve vakuu Světlo se šíří vakuem přímočaře a konečnou, ač velmi vysokou rychlostí 1 A právě určení rychlosti světla ve vakuu bylo jednou z největších intelektuálních výzev pro evropskou experimentální vědu V následujících poznámkách si na vybraných příkladech ukážeme, jak složitá cesta vedla k dnešní velmi přesné hodnotě 2 411 Galileova metoda První experiment, který měl vést k určení rychlosti světla, navrhl pravděpodobně GALILEO GA- LILEI Měření podle jeho návrhu byla ale provedena až v roce 1667, tedy po jeho smrti (1642) Idea experimentu je velmi jednoduchá - rychlost jakéhokoliv objektu, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře, tedy i světla, je dána jako podíl dráhy a času potřebného k uražení této dráhy 3 s c = t 1 K této lakonické větě stojí za to doplnit pár rozvíjejících a upřesňujících poznámek: a) Především, nebude-li řečeno jinak, míníme pod rychlostí světla jeho fázovou rychlost b) Dále, podobné tvrzení platí i pro ostatní homoenní prostředí (viz dále v této kapitole) Výsledky jen nepatrně kvantitativně odlišné od těch, které uvedeme pro vakuum, platí i pro řídké plyny (např vzduch) Však také mezi vakuem a vzduchem nebudeme v následujícím výkladu rozlišovat c) Postulát o přímočarém šíření světla vakuem platí jen za nepřítomnosti (silných) ravitačních polí Jedním z nejdůležitějších výsledků Einsteinovy obecné teorie relativity je předpověď ohybu světelného paprsku v ravitačním poli d) Až do druhé poloviny 17 století se mělo všeobecně za to, že rychlost světla je nekonečná, i když spekulace o její konečné hodnotě se objevovaly již dříve (např Galileo Galilei) To souviselo s její velmi vysokou hodnotou Experimentálně se podařilo rychlost světla ve vakuu změřit (a tím i potvrdit její konečnost) až roku 1675 dánskému astronomovi O Römerovi (viz dále v této kapitole) e) Rychlost světla ve vakuu je stejná ve všech bodech prostoru a navíc je podle Einsteinovy teorie relativity nezávislá na pohybovém stavu pozorovatele 2 Rychlost světla ve vakuu je základní fyzikální konstantou, a proto je požadováno její určení s velmi vysokou přesností Dnes uváděná přesnost je kolem,1 m/s (viz níže) 3 Rychlost světla ve vakuu se obvykle značí písmenem c
24 Šíření světla prostorem Galilei proto navrhl (viz obrázek), aby se na dva vzdálené kopce postavili pozorovatelé s lucernami, jejichž průzor je možno zakrýt První pozorovatel odkryje průzor své lucerny a zaznamená si čas t 1, kdy tak učinil Druhý pozorovatel, jakmile zpozoruje záblesk lucerny prvního pozorovatele, odkryje průzor své lucerny První pozorovatel pak odečte čas t 2, odpovídající záblesku přicházejícímu od druhého pozorovatele Je-li vzdálenost obou pozorovatelů L, můžeme rychlost světla určit pomocí jednoduchého vzorce 2L c = t t 2 1 Všem je jistě jasné, že podobný, až přespříliš jednoduchý experiment nemohl být vzhledem k velmi vysoké hodnotě rychlosti světla úspěšný 4 A to proto, že čas, který světlo potřebuje k uražení jakékoliv pozemské vzdálenosti, je o mnoho řádů menší než časy reakce prvního i druhého pozorovatele na vnější podnět 5 Rychlost světla si proto musela na své experimentální určení počkat ještě nějakých osm let - do roku 1675, kdy svá měření provedl Olaf Römer 412 Römerova metoda OLAF RÖMER byl dánský astronom, který se v 7 létech 17 století zabýval pozorováním čtyř největších Jupiterových měsíců 6 Měřil především jejich oběžnou dobu kolem mateřské planety 7 Tato měření jsou poměrně jednoduchá, protože čtyři největší Jupiterovy měsíce jsou viditelné i v malém hvězdářském dalekohledu Navíc roviny jejich oběžných drah téměř splývají s rovinou oběhu Jupitera (a Země) kolem Slunce Mateřská planeta je proto pozemskému pozorovateli periodicky zakrývá a ze dvou sousedních zákrytů je možno určit jejich oběžnou dobu To Römer učinil a pomocí takto určené oběžné doby předpověděl i okamžiky zákrytů jednotlivých měsíců v budoucnosti Když se však pokusil svou předpověď ověřit pozorováním, zjistil, že se pozorované zákryty oproti předpovědi opožďují, přičemž maximální zpoždění, která naměřil, činila kolem 22 minut Römer správně usoudil, že pozorovaná zpoždění jsou důsledkem konečné rychlosti světla Vše plyne z připojeného obrázku, ve kterém je situace během roku zakreslená v soustavě pevně spojené s Jupiterem a Sluncem 8 Pozorujeme-li první zákryt v opozici Jupitera vůči Slunci (bod označený na dráze Země nulou), musíme od okamžiku pozorování zákrytu na Zemi odečíst čas t l / c =, abychom dostali čas, v němž skutečně zákryt nastal Pro další zákryt (Země se nachází v bodě 1) již musíme odečíst čas t1 = l1/ c atd Časy, které je nutno odečíst pro jednotlivé pozorované zákryty ( t, t1, ), se pochopitelně navzájem liší ( t < t1 < ) Vždyť se liší dráhy, které musí světlo urazit od Jupitera k pozorovateli na Zemi Zatímco odlišnost korekcí pro dva po sobě následující zákryty je 4 Prozraďme si již nyní, že rychlost světla ve vakuu (a tedy i ve vzduchu) je přibližně 3 km/s 5 Ve 2 století bylo Galileovo měření zopakováno s radarovým paprskem odraženým od povrchu Měsíce Tentokrát úspěšně 6 Jedná se o Io, Europu, Ganymed a Kallisto Tyto měsíce objevil roku 161 Galilei 7 Io (1,8 dne), Europa (3,6 dne), Ganymed (7,2 dne) a Kallisto (16,7 dne) 8 V této soustavě je tedy Jupiter klidný a Země oběhne kolem Slunce za dobu nepatrně delší než jeden rok
Trivium z optiky 25 zanedbatelně malá 9, kumulace těchto rozdílů mezi zákryty a n již může nabýt pozorovatelných hodnot Suma těchto rozdílů totiž odpovídá době, kterou světlo potřebuje na uražení dráhy rovné průměru oběžné dráhy Země kolem Slunce 1 Maximální zpoždění pozorovaného zákrytu vzhledem k teoretické předpovědi by měla tedy být D t max =, c kde D je již zmíněný průměr oběžné dráhy Země Po dosazení Römerem určené hodnoty t max 22 min dostaneme pro rychlost světla c 226 m/s 11 413 Fizeuova metoda S trochou nadsázky je Fizeauovo měření rychlosti světla (1849) pouhým technickým zdokonalením původního návrhu Galileiho (viz obrázek) To jen první pozorovatel je nahrazen otáčejícím se ozubeným kolem K, druhý zrcadlem Z, myšlenka však zůstává stejná - rychlost je dráha dělená časem Jak by tedy probíhalo samotné měření? Paprsky vycházející ze zdroje (vlevo na obrázku) jsou soustředěny spojnou čočkou C 1 do jednoho bodu ležícího na obvodu otáčejícího se ozubeného kola Polopropustná deska D slouží k odklonění paprsků vracejících se od zrcadla Z k pozorovateli a nemá v tento okamžik žádný význam Pokud se v místě soustředění paprsků nachází mezera mezi zuby kola, světlo prochází, je čočkou C 2 změněno na svazek rovnoběžných paprsků a odráží se, po opětném soustředění do jednoho bodu čočkou C 3, od zrcadla Z umístěného ve vzdálenosti L od kola 12 Při návratu je opět svazek světla soustředěn na obvod ozubeného kola, tentokrát čočkou C 2 Kolo se během doby, kterou světlo potřebuje na proběhnutí dráhy K - Z - K, pootočí a vracejícímu se světelnému paprsku se postaví do cesty část zubu sousedící s mezerou, kterou tento paprsek procházel na cestě od kola k zrcadlu Pozorovatel P tedy zareistruje osvětlení menší než v případě, kdy se kolo neotáčí S rostoucí frekvencí otáček ozubeného kola pozorované osvětlení dále klesá, až při jistých otáčkách f dosáhne nulové hodnoty To nastane tehdy, pootočí-li se kolo za dobu, kterou světlo potřebuje k uražení dráhy kolo zrcadlo kolo tak, aby mezeru vystřídal sousední zub Při dalším zvyšování frekvence otáček ozubeného kola se bude 9 To souvisí s krátkými oběžnými dobami pozorovaných měsíců Během těchto časových intervalů totiž Země na oběžné dráze svou polohu příliš nezmění 1 Přibližně 298 km 11 Maximální zpoždění naměřené Römerem je nadhodnoceno Pozdější měření ukázala, že toto zpoždění je zhruba 16,5 min, což vede k správné hodnotě rychlosti světla ve vakuu Navíc v době Römerově by uvedený výsledek byl, vzhledem k chybě v určení průměru oběžné dráhy Země, 21 m/s 12 Některé prameny uvádějí pro Fizeauova měření L = 8,6 km, jiné zase poněkud odlišnou hodnotu L = 14 km
26 Šíření světla prostorem osvětlení rovněž zvětšovat, a to až do okamžiku, kdy je maximální Tehdy se kolo bude otáčet tak rychle, že se během času, po který světlo překonává vzdálenost mezi kolem a zrcadlem a zpět, pootočí o takový úhel, že mezeru na cestě tam vystřídá při cestě zpět sousední mezera A tak dále (viz obrázek) Z prvního pozorovaného zatmění můžeme snadno určit rychlost c, se kterou světlo překonává vzdálenost kolo zrcadlo a zpět Označme jako výše frekvenci otáček kola, při kterých dojde k prvnímu poklesu osvětlení na nulovou hodnotu, symbolem f a vzdálenost mezi kolem K a zrcadlem Z symbolem L Dále nechť z je počet zubů (mezer) na obvodu kola Pak pro čas, který potřebuje světlo na uražení dráhy K Z K, můžeme psát Za tento čas se kolo pootočí o úhel t = 2 L/ c ϕ= 2πf t Pokud ovšem frekvenci f odpovídá první pokles osvětlení na nulu, musí být ϕ rovno úhlu, který svírají polopřímky vedené středem kola a zubem resp sousední mezerou (viz obrázek) Musí tedy platit 13 ϕ = 2π/ 2z Porovnáním tohoto a výše uvedených vztahů získáme již snadno konečný vzorec c = 4 fzl Fizeau dospěl k poměrně přesnému odhadu rychlosti světla ve vzduchu c = 315 m/s 414 Určení rychlosti světla pomocí Maxwellovy teorie Podle Maxwellovy teorie je fázová rychlost elektromanetických vln (a tedy i světla) ve vakuu dána vzorcem c = 1/ ε µ, kde ε a µ jsou elektrická permitivita a manetická permeabilita vakua Její velikost můžeme proto určit též nepřímo pomocí přesných měření elektrické permitivity 14 415 Přesná hodnota rychlosti světla Výše uvádíme jen stručný a značně neúplný výčet metod navržených pro měření rychlosti světla ve vakuu Zájemce o podrobnosti odkazujeme do doporučené literatury jakož i do zde necitovaných učebnic optiky, kde je možno seznámit se s mnoha dalšími metodami i výsledky měření této velmi důležité fyzikální konstanty 15 Kritické zhodnocení všech měření rychlosti světla ve vakuu vykonaných před rokem 1964 umožnilo E R Cohenovi a J W M DuMondovi (1964) stanovit její nejpravděpodobnější hodnotu c = 2997925 ± 3 m/s = 2,997925 ±, 3 1 8 m/s ( ) ( ) 13 Zubů a mezer je dohromady 2z a jsou rovnoměrně rozloženy po obvodu kola, kterému odpovídá plný úhel 14 Hodnota manetické permeability je v soustavě jednotek SI stanovena definičně na 15 Viz např J BROŽ, V ROSKOVEC, Základní fyzikální konstanty, 1 vyd, SPN, Praha 1987 4π 1 7 A/m
Trivium z optiky 27 Přesnost uvedené hodnoty je obdivuhodná odhadovaná relativní chyba výsledku činí,1 % S ještě větší přesností uvádějí hodnotu rychlosti světla Valouchovy Tabulky z roku 198 8 c = 2, 997924 58 1 m/s, kde by chyba neměla přesáhnout,1 m/s neboli 3 1 8 % 42 Homoenní a nehomoenní prostředí V homoenním prostředí nezávisí rychlost šíření světla na místě (poloze) Obvykle takové prostředí charakterizujeme poměrem rychlosti světla ve vakuu ( c ) a v tomto prostředí ( c ) n = c/ c Tento poměr se nazývá index lomu a je pro dané prostředí charakteristickou konstantou 16,17 Rychlost světla v zadaném prostředí určíme tedy pomocí zadaného indexu lomu z jednoduchého vztahu c = c/ n Světelné paprsky jsou v homoenním prostředí přímočaré V nehomoenním prostředí závisí rychlost šíření světelného sinálu (a tedy i index lomu) na poloze c = c ( r ) resp n = n( r ) Tato závislost může být obecně spojitá i nespojitá Speciálním případem nehomoenního prostředí je takové prostředí, v němž je index lomu po částech konstantní funkcí s nespojitostmi typu konečného skoku na zadaných hladkých plochách Pak obvykle hovoříme o rozhraních mezi homoenními prostředími 18 Paprsky jsou obecně v nehomoenním prostředí zakřivené 19 43 Disperze Fázová rychlost světla závisí v zadaném prostředí vždy na frekvenci použitého monochromatického světla 2 Tento jev se nazývá diperzí a znamená, že i index lomu látek je frekvenčně závislý V optické oblasti je pro většinu látek index lomu rostoucí funkcí frekvence záření (normální disperze) Pokud je index lomu funkcí klesající, hovoříme o disperzi anomální 21 16 V prostředí o relativní permitivitě ε r a relativní permeabilitě µ r je rychlost světla dána podle Maxwellovy teorie vztahem c = 1/ εεµµ r r Pro index lomu takového prostředí můžeme tedy psát n = εµ r r 17 V souvislosti s indexem lomu se často hovoří o optické hustotě prostředí Prostředí s větším indexem lomu se označují jako opticky hustší, prostředí s nižším indexem lomu jako opticky řidší 18 Podrobně se tímto speciálním případem zabýváme v kapitole 7 19 Pokud zadaný paprsek, který je reprezentován hladkou křivkou ϕ, prochází body A a B (počáteční a koncový bod křivky), pak se křivkový interál prvního druhu n dϕ obvykle označuje jako optická dráha světla mezi body ϕ A a B V homoenních prostředích je ϕ vždy úsečkou a odpovídající optická dráha je dána součinem n AB, kde AB je vzdálenost bodů A a B Podle Fermatova principu (viz kap 11) odpovídá reálnému paprsku minimální optická dráha 2 S jedinou výjimkou Tou je vakuum, v němž je rychlost světla pro libovolnou vlnovou délku stále stejná 21 Tento případ ale není pro náš účel příliš zajímavý Jednak je anomální disperze doprovázena velmi vysokou absorpcí, a prostředí není proto v oblasti anomální disperze pro elektromanetické záření průhledné Navíc leží obvykle oblast anomální disperze mimo rozsah vlnových délek viditelného světla
28 Šíření světla prostorem Pro některá prostředí je tato závislost natolik slabá (zředěné plyny, např vzduch), že ji můžeme bez rozpaků zanedbat Pak hovoříme o prostředích bezdisperzních Naopak u mnoha látek je tato závislost poměrně silná a zanedbat ji nelze V takovém případě hovoříme o prostředích disperzních Pojem fázové rychlosti má v disperzních prostředích smysl jen pro monochromatické záření Pro nemonochromatické záření není možno fázovou rychlost v disperzním prostředí definovat, protože se každá monochromatická složka šíří rychlostí více či méně odlišnou od rychlostí ostatních složek Pouze pro nemonochromatická záření, jejichž monochromatické složky se liší svými frekvencemi jen málo (téměř monochromatické záření), je možno hovořit o společné rychlosti jejich šíření prostorem Jedná se o tzv rychlost rupovou v = dω/ dk (viz též kap 1, odst 16) Pro frekvenčně závislý index lomu n( ω ) můžeme pro rupovou rychlost psát 22 1 v c = ( ω) 1 n + ω d( ω) n( ω) dω V oblasti normální disperze ( d( n ω)/dω> ) je tedy rupová rychlost téměř monochromatického záření vždy menší než fázová rychlost dominantní monochromatické složky: v < c ( ω) 44 Izotropní a anizotropní prostředí Prostředí, v němž se z daného bodu šíří světlo všemi směry stejnou rychlostí, nazýváme izotropní Jeho optické vlastnosti jsou zadány jediným indexem lomu Speciálním příkladem izotropního prostředí je vakuum Pokud rychlost šíření světla závisí na směru, hovoříme o prostředí anizotropním Optické vlastnosti anizotropních prostředí popisujeme pomocí několika indexů lomu (dvou nebo tří) V tomto kurzu se přednostně zabýváme prostředími izotropními Anizotropním prostředím je věnována kapitola 8 22 1 1 dk d ω d ωn( ω) 1 d 1 d n( ω) ω d v d /d d d ( c ( )) d ( c ) c d ( n( )) c ( n( ) d n( )) c ( 1 n( ) d n( ) k ω ω ω ω ω ω ω ω + ω ω ω ω + ω ω ω ) = = = = = = = = = 1 + ( ) 1 ω d c ( ω) n( ω) dωn ω