e en loh 1. kola 43. ro n ku fyzik ln olympi dy. Kategorie C Auto i loh: I. Volf (1, 7), J. J r (4, 5), R. Hor kov (3), P. ediv (2) a V. V cha 1.a) Pohyb puku je rovnom rn zpomalen sezrychlen m o velikosti a = F t m = fmg m = fg =1 47 m : s;2 =1 5m s ;2 : P ed odrazem od hrazen jsou velikost rychlosti puku a jeho vzd lenost od hrazen pops ny vztahy: Vokam iku odrazu plat d =0, (6) v = v 0 ; at d = d 0 ; v 0 t + 1 2 at2 : t = v 0 p v 2 0 ; 2ad 0 a = h 18 9s 2 88 s : loze vyhovuje men ko en t 1 =2 88 s. Rychlost dopadu puku na hrazen je v 1 = v 0 ; at 1 =11 8m s ;1. e en na z klad rovnosti bytku kinetick energie puku a pr ce vykonan p i p ekon n t en. Plat : 1 2 mv2 0 = 1 2 mv2 1 + mgfd 0 v 1 = p v 2 0 ; 2gfd 0 =11 8m s ;1 t 1 = v 0 ; v 1 = v 0 ; v 1 =2 88 s : a gf B hem odrazu se velikost rychlosti puku zm n na v 2 =0 7v 1 =8 24 ms ;1. Po odrazu popisuje z vislost velikosti rychlosti puku na ase vztah v = v 2 ; a(t ; t 1 ) : Rychlost to n ka v je konstantn. Grafy rychlosti to n ka a puku jsou na obr. R1. b) V okam iku odrazu je to n k ve vzd lenosti d 1 = d 0 ; v t 1 = 31 4 m. Ozna me = t ; t 1 as, kter uplynul od odrazu puku. Vzd lenosti puku a to n ka od hrazen z vis na ase podle vztah d t = v 2 ; 1 2 a 2 d = d 1 ; v : Puksepoodrazuzastav p soben m t en za brzdnou dobu b = v 2 a = 5 60 s ve vzd lenosti d b = v2 2 = 23 m od hrazen. Z graf 2a dr hy na obr. R2 je z ejm, e to n k dostihne puk p ed jeho zastaven m. c) e en m rovnice 1

d t = v 2 ; 1 2 a 2 = d = d 1 ; v dostaneme: = (v + v 2 ) (v + v 2 ) 2 ; 2ad 1 = h 11 6s a 3 67 s : loze vyhovuje men ko en 2 = 3 67 s. to n k dostihne puk v ase t 2 = t 1 + 2 = 6 6 s ve vzd lenosti d 2 = d 1 ; v 2 = 20 3 m od zadn ho hrazen. d) V aset 2 je velikost rychlosti puku v 3 = v 2 ; a 2 =2 8m s ;1 a relativn rychlost to n ka a puku m velikost v r = v + v 3 =5 8m s ;1. 1 bod v m s ;1 v 0 15 10 5 v 1 v 2 v v 3 0 1 2 t 1 4 5 6 t 2 7 8 9 Obr. R1 t s 2

d m 40 d 0 30 d 1 d d b 20 10 d 2 d t d t 0 1 2 t 1 4 5 6 t 2 7 8 9 t s Obr. R2 3

2. Grack e en (Obr. R3) Nejprve nahrad me t hovou s lu ty e F 1 p sob c v jej m st edu at hu b emene F 2 p sob c vbod B jedinou silou F o velikosti F = F 1 + F 2. P sobi t P, nalezneme zn mou konstrukc na z klad vztahu jpj : jpbj = F 2 : F 1. Po et sil p sob c ch naty t m zredukujeme na t i. Proto e jsou v rovnov ze, proch zej jejich vektorov p mky spole n m bodem Q, kter nalezneme jako pr se k p mky CD svektorovou p mkou s ly F. laf A m sm r p mky AQ. Vektorov sou et sil F F A a F C je nulov.tyto s ly mus tedy tvo it uzav en obrazec { troj heln k ur en podle v ty usu, kter sestroj me v ur it m m tku jako pomocn obr zek. Z n j m eme odm it velikosti sil F A a F C. Po etn e en (zaokrouhl me a kone n v sledek) 5 bod Ozna me vodorovn a svisl sou adnice sil F A, F C jako F Ax, F Ay, F Cx, F Cy. Podle momentov v ty proosuvbod A plat F Cy jacj = F 1 jaj+f 2 jabj Z podobnosti troj heln k plyne F Cy = m 1g jaj + m 2 g jabj jacj =367 5N: ; F Cx F Cy = jacj jadj Z podm nek rovnov hy dostaneme F Ax = ;F Cx =275 625 N Velikosti sil F A a F C jsou q F A = F 2 + F 2 Ax Ay F Cx = ; jacj jadj F Cy = ;275 625 N : F Ay = F 1 + F 2 ; F Cy = ;122 5N: q : = 300 N F C = F 2 + F 2 Cx Cy : = 460 N : la, kterou st na p sob na ty v bod A, sm uje ikmo dol pod hlem = arctg F Ay F Ax = ;24 : 5 bod 4

D 98 N F A F C F F C F Cy A F Ax F Cx C P B F A F 1 F Ay F 2 F Obr. R3 Q 5

3.a) Velikost s ly, kterou p sob na v ko vzduch uvnit sklenice, ozna me F 1, velikost s ly, kterou p sob okoln vzduch, ozna me F 2. V sledn s la m velikost F = F 2 ; F 1 = 4 (p 2d 2 2 ; p 1d 2 1)=626N: 2 body b) Pro tlak na sty n plo e v ka a sklenice plat p = F, kde = 4 (d2 2 ; d 2 1). p = d2 2 p 2 ; d 2 1 p 1 d 2 2 ; d2 1 =0 42 MPa : 2 body c) Line rn interpolac tabulkov ch hodnot atmosf rick ho tlaku v nadmo sk ch v k ch 8 024 m a 9 073 m ur me atmosf rick tlak v nadmo sk v ce Mount Everestu 8 850 m: p 3 =0 311 10 5 Pa. V t to v ce p sob na v ko sklenice sm rem dovnit v sledn s la o velikosti F 0 = F 3 ; F 1 = 4 (p 3d 2 2 ; p 1d 2 1)=85N: Proto e v sledek v po tu je kladn, sklenice se neotev e. d) klenice se otev e v okam iku, kdy je v slednice sil p sob c chnav koza ne p sobit ven. To nastane, jestli e p 2 < d2 1 d 2 p 1 =0 202 10 5 Pa : 2 V tabulk ch jetlak200hpauveden pro nadmo skou v ku 11 686 m. P ibli n v t to v ce a vy ch nadmo sk ch v k chby se sklenice samovoln otev ela. 6

4. Zave me ozna en daj nalezen ch v tabulk ch: pr m r lunce D = 1 391 000 km, pr m r Venu e d = 12 100 km, st edn vzd lenost Zem od lunce r 0 =1AU = 149 600 000 km, st edn vzd lenost Venu e od lunce r =0 7233 AU, periodu ob hu Zem T 0 =365 24 d a periodu ob hu Venu e T = 224 7d. a) Pr m ry Venu e a lunce uvid me v dob p echodu pod zorn mi hly 1 = d r 0 ; r 2 = D : r 0 Hledan pom r je 1 r = 0 d =0 031 : 2 body 2 (r 0 ; r)d b) Ozna me a vzd lenost od lunce, ve kter se nach z pr se k p mek spojuj c ch st edy obou planet na za tku a na konci p echodu (obr. R4). D le ozna me v 0, v po ad kruhov rychlosti, se kter mi ob h Zem a Venu e kolem lunce a t dobu trv n p echodu. Podle obr zku je D a = v 0t a ; r 0 = vt a ; r : D r 0 ; r r a ; r 0 Zrovnosti 2. a 3. v razu plyne Obr. R4 a = vr 0 ; v 0 r v ; v 0 : (1) Zrovnosti 1. a 2. v razu za pou it rovnice (1) dostaneme t = D r 0 ; r vr 0 ; v 0 r : Dosazen m v 0 = 2r 0 v = 2r T 0 T 7

dostaneme kone n v sledek t = D(r 0 ; r) 2rr 0 T 0 T T 0 ; T =7 93 h = 7 h 56 min : 4 body c) Hled me dobu T, po jej m uplynut se Zem a Venu e op t ocitnou na polop mce s po te n m bodem ve st edu lunce. Plat 2 T T = 2 T 0 T +2 T = T 0T T 0 ; T =584dn : Pokud by byly spln ny zjednodu uj c podm nky, nastal by p edch zej c p echod 2. listopadu 2002. d) Rovina trajektorie Venu e je vzhledem k ekliptice sklon na o hel 3 4, m se v dob mo n ho p echodu p i pohledu ze Zem Venu e v t inou neocitne na pozad slune n ho disku, n br nad n m nebo pod n m. 1 bod Pozn mka: kute n p echod p es slune n disk nast v st dav po 121,5 a 8,0 letech.pouveden m datu 8. 6. 2004 n sleduje dal p echod 6. 6. 2012. 5.a) Na obou stran ch je stejn l tkov mno stv plynu n. P i zm n teploty T se kapka vych l tak, aby tlakp na obou stran ch byl stejn. Plat p = nrt V 0 + x = nrt 0 V 0 ; x T = V 0 + x V 0 ; x T 0 : (2) b) Krajn teploty nam me, je-li kapka na jednom nebo druh m konci trubi ky. Tedy T max = V 0 + l V 0 ; l T 0 =315 4K T min = V 0 ; l V 0 + l T 0 =285 4K: c) tupnice je nerovnom rn, nebo T je line rn lomenou funkc x. d) Rovnici (2) uprav me: 1 bod T = V 0 + x V 0 ; x T 0 = ; x + V 0 x ; V 0 x ; V 0 +2V 0 T 0 = ; x ; V T 0 = 0 ; 2 V 0 T 0 x ; V 0 ; T 0 : 8

V0 Grafem je st hyperboly s deni n m oborem x 2h;l li. t ed hyperboly je bod P = ;T 0. Obecn n kres je na obr. R5. Z grafu vypl v, e stupnice se zhu uje od x = ;l do x = l. Je-li V 0 l, m eme stupnici pova ovat t m za rovnom rnou. P i dan ch seln ch hodnot ch je l = 0 025V 0. Na lev p lce trubi ky nam me teplotn rozd l 14,6 K, na prav p lce 15,4 K (obr. R6). T T 0 ; V 0 ;l 0 l V 0 x ;T 0 P T K 320 Obr. R5 310-20 -10 290 10 20 x cm 280 Obr. R6 9

Pozn mka: Po prav T = V 0 + x V 0 ; x T 0 = (V 0 + x) 2 0 ; 2 x 2 T 0 = V 2 0 +2V 0 x + 2 x 2 V 2 V 2 0 ; 2 x 2 T 0 azanedb n kvadratick ch len 2 x 2 vzhledem k V 0 dostaneme T T 0 + T 0 2 V 0 x = (300 + 60fxg)K x 2h;l li : 6. Uk zka typick ho m en vlas dvou osob d l 0 l F " 10 ;2 mm mm mm N % MPa Arit. pr m. 1. vlas osoby A 7,5 102 30 0,75 29 220 2. vlas osoby A 7,5 165 45 0,90 27 259 248 MPa 3. vlas osoby A 7,5 126 48 0,85 38 266 1. vlas osobyb 5,5 115 45 0,49 39 287 2. vlas osobyb 5,5 115 35 0,39 30 214 253 MPa 3. vlas osobyb 5,5 125 45 0,45 36 258 Mez pevnosti vlas je srovnateln nap. s edou litinou (200 MPa a 560 MPa), duralem (150 MPa a 520MPa), m d (180 MPa a 450MPa), zinkem (120 MPa a 500MPa). Mez pevnosti vlas je v t ne nap. u hlin ku (70 MPa a 190 MPa), c nu (30 MPa a 70MPa), olova (15MPaa 20MPa), skla (30 MPa a 90MPa). Maxim ln relativn prodlou en se pohybuje zhruba mezi 30 % a 40 %. Vlas je tedy nejen velmi pevn, aleivelmi pru n. Pokud p ijmeme daj, e lov k m na hlav pr m rn 100 000 vlas, unesl by cop osoby Az va o hmotnosti 8,5 t a u osoby Bz va 4,5 t. p 10

7.a) kupensk teplo pot ebn na vyva en 30 g vody je V kon va i e je L v = ml v =0 030kg 2 300 kj kg ;1 =69kJ: P = L v Zah v n prob h s innost 69 kj = 60 s =1150W: = P P 0 = ml v P 0 = 1150W 1 800 W =0 64 = 64 % b) Pro veden tepla dnem n doby plat P = Alt x kde t je rozd l teplot na vn j a vnit n stran dna, plo n obsah dna a x tlou ka dna. t = Px Al = 1150W 0 0025 m : =0 7 K: 210 W m ;1 K ;1 0 020 m 2 Na vn j stran dna bude teplota 100 7 C. 4 body c) Podobn pro rozd l t 0 teplot na vn j a vnit n stran vrstvy vodn ho kamene plat t 0 = Px0 k = 1 150 W 0 0005 m 2 33 W m ;1 K ;1 0 020 m 2 =12 3K: Celkov rozd l teplot mezi vrouc vodou a vn j stranou dna n doby pakje t +t 0 = 13 K. Na vn j stran dna n doby zanesen vodn m kamenem je teplota 113 C. 11