Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #11 Dynamika rotačního pohybu Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 24.11.2014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě odvoďte vzorec pro výpočet momentu setrvačnosti válce a dutého válce. Vyjděte z definice. (b) Změřte momenty setrvačnosti přiložených rotačních objektů experimentálně a porovnejte je s hodnotami z teoretických vzorců. Použijte disk, disk a prstenec. Pomocí nich stanovte moment setrvačnosti samotného prstence. (c) Změřte moment setrvačnosti disku, umístěného na dráze mimo osu rotace a pomocí výsledků z předchozího úkolu ověřte platnost Steinerovy věty. (d) Ověřte zákon zachování momentu hybnosti. Do protokolu přiložte graf závislosti úhlové rychlosti rotace na čase. (e) Změřte rychlost precese gyroskopu jak přímo senzorem, tak i nepřímo z měření rychlosti rotace disku. Obě hodnoty porovnejte. 2. Použité přístroje a pomůcky A base rotational adapter PASCO CI-6690, přídavný disk a prstenec, rotační dráha s dvěma závažími, Gyroskop PASCO ME-8960, přídavný disk gyroskopu ME-8961, dva rotační senzory PASCO PS-2120, USB link PASCO 2100, PC, program pro datový sběr Data Studio, nit, posuvné měřítko, stojan s kladkou, milimetrové měřítko, váhy. 3. Teoretický úvod 3.1 Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti I je veličina sloužící pro popis rotačních vlastností daného předmětu. Jedná se o symetrický tenzor, proto ho můžeme vyjádřit pouze jako tři diagonální složky. Tyto složky nazýváme hlavní momenty setrvačnosti. Každá složka odpovídá jedné ose rotace, které prochází těžištěm tělesa. Je-li náš zkoumaný objekt symetrický, můžeme výpočet zjednodušit na 2 i jenom 1 vztah. V domácí přípravě jsme odvodili vztah pro disk jako (1) a pro dutý válec jako (2). I= 1 2 M R2 (1) I= 1 2 M(R 2 1+R 2 2 ) (2) R1 představuje vnitřní poloměr a R2 je vnější poloměr. Pro experimentální stanovení momentu - 1 -
setrvačnosti použijeme vzorec (3). jeho odvození je možné nalézt v [2] I=mr ( g ϵ r) (3) V tomto vzorci m představuje hmotnost roztáčecího závaží, r je poloměr roztáčecí kladky, g tíhové zrychlení a ε úhlové zrychlení. Pokud těleso nerotuje kolem osy a prochází těžištěm tak můžeme použít Steinerovu větu (4), kde I o je moment setrvačnosti vzhledem k ose, procházející těžištěm a a je kolmá vzdálenost od osy rotace. I=I 0 +Ma 2 (4) 3.2 Moment hybnosti a úhlová rychlost Moment hybnosti definujeme jako L = Iω. Není-li soustava pod vlivem vnější síly, pak se moment hybnosti zachovává. Gyroskop je v našem případě setrvačník, upevněný na kolmé ose, která se může pohybovat. Vyvedeme-li setrvačník z rovnováhy pomocí závaží, tak začne vykonávat precesi a nutaci. Frekvence těchto jevů můžeme změřit. Odvození vzorce pro teoretický výpočet úhlové rychlosti precese nalezneme v [2] a samotný vzorec je (5). Kde I je moment setrvačnosti kotouče. 4. Postup měření Ω= m p gd Iω 4.1 Měření momentu setrvačnosti Teoretickou metodou zjistíme moment setrvačnosti podle vzorců (1) a (2). Poté přejdeme na experimentální metodu. Před začátkem měření jsme srovnali dráhu. Také jsme zvážili závaží, disk a prstenec. Změřili jsme průměry disku, oba průměry prstence a poloměr roztáčející kladky. Poté jsme umístili měřené těleso (nejdříve disk a poté disk s prstencem) na kladku. Zavěšením závaží na provázek začalo na kladku působit síla padajícího závaží k zemi a měřené těleso se začalo roztáčet. Tento proces jsme přes senzory PASCO zaznamenávali v programu Data Studio (kde jsme používali Obr. 1 Experimentální sestava měření momentu setrvačnosti, převzato z [2] šablonu udělanou pro toto měření) jako závislost rychlosti na čase. Proložením naměřených dat lineární funkcí zjistíme zrychlení. Pro každé měřené těleso jsme provedli 10 měření. 4.2 Ověření Steinerovy věty Na toto měření používáme podobnou soustavu jako na obrázku (Obr. 1). Místo měřeného tělesa nejdříve na kladku umístíme rotační dráhu a stejným způsobem jako v měření 4.1 změříme její moment setrvačnosti. Poté na kraj rotační dráhy umístíme disk tak, aby se mohli otáčet ale nepohyboval se po dráze a opět změříme její moment setrvačnosti (stejně jako v 4.1). Před rozebráním soustavy také změříme vzdálenost středu disku od osy rotace. 4.3 Zákon zachování hybnosti Experimentální soustava je opět stejná jako v úloze 4.1 a 4.2. Na konec rotační dráhy umístíme zarážky tak, aby z ní nic nespadlo a na ní umístíme dvě stejné závaží spojené provázkem. Nejdříve změříme moment setrvačnosti jsou-li obě závaží ve vzdálenější poloze od osy rotace a poté, když jsou obě v blízkosti osy rotace. Nyní provázek protáhneme očkem, které je umístěné přesně nad osou rotace. Závaží umístíme do krajní polohy a zapneme snímání dat. Dráhu roztočíme pokud možno konstatntní rychlostí a pomocí provázku stáhneme závaží do bližší polohy, chviličku (5) - 2 -
necháme ještě dráhu otáčet se a pak vypneme sběr dat. Tento graf přiložíme do protokolu. 4.4 Rychlost precese Obr. 2 Experimentální uspořádání měření precese gyroskopu, převzato z [2] Na toto měření budeme používat gyroskop (Obr. 2). Na guroskopu jsou připevněny dva senzory pro dvě metody. První metoda využije rotačního senzoru přidělaného k ose gyroskopu a pro druhou metodu využijeme nepřímo určené úhlové rychlosti a zrychlení rotujícího kotouče. Před začátkem měření změříme poloměr roztáčecí kladky r a vzdálenost přídavného závaží od osy rotace d. Gyroskop nejdříve vyvážíme, čili jeho osa bude vodorovná. Roztoříme gyroskop na konstantní rychlost a přidržíme osu gyroskopu. Odstartujeme snímání dat a umístíme přídávné závaží. Osu pustíme a gyroskop začne vykonávat precesi. 5. Vypracování 5.1 Měření momentu setrvačnosti Teoretický výpočet pro disk získáme vzorcem (1) a pro prstenec vzorcem (2). Váha disku je M d = (1393 ± 1) g a jeho poloměr R = (11.5 ± 0.1) cm. Moment setrvačnosti disku je tedy I dt = (0.0092 ± 0.0002) Kgm 2. Pro prstenec platí M p = (1391 ± 1) g. Vnitřní poloměr R 1 = (5.4 ± 0.1) cm a vnejší poloměr R 2 = (6.3 ± 0.1) cm. Z těchto údajů získáme moment setrvačnosti jako I pt = (0.0048 ± 0.0002 )Kgm 2. Při experimentálním měření jsme použili závaží o váze m = (199 ± 1) g a roztáčející kladka má poloměr r = (1,48 ± 0.01) cm. Experimentální data zaneseme do tabulky (Tab.1) a pro každé měření vypočítáme podle (3) moment setrvačnosti. Měření pro disk ε [rads -2 ] 3.063 3.096 3.059 3.091 3.085 3.110 3.095 3.106 3.110 3.111 I d [Kgm 2 ] 0.0094 0.0093 0.0094 0.0093 0.0093 0.0092 0.0093 0.0093 0.0092 0.0092 Měření pro disk s prstencem ε [rads -2 ] 2.002 1.942 2.012 2.018 2.013 2.017 2.020 1.987 2.014 2.011 I dp [Kgm 2 ] 0.0144 0.0148 0.0143 0.0143 0.0143 0.0143 0.0143 0.0145 0.0143 0.0143 Tab. 1 ε je úhlové zrychlení a I moment setrvačnosti pro dané měření a těleso. Pro získ výsledného momentu setrvačnosti prstence odečteme od měření pro disk s prstencem moment setrvačnosti disku. Výsledky jednotlivých měření zprůměrujeme a pro disk získáme údaj - 3 -
I d = (0.0093 ± 0.0001) Kgm 2 a pro prstenec je hodnota I p = (0.0051 ± 0.0001) Kgm 2. 5.2 Ověření Steinerovy věty Nejdříve jsme experimentálně stanovili moment setrvačnosti rotační dráhy jako I r = (0.0149 ± 0.0002) Kgm 2. Vzdálenost od osy rotace je a = (22.4 ± 0.1) cm. Poté jsme určili moment setrvačnosti dráhy i s diskem jako I rd = (0.0956 ± 0.0002) Kgm 2. Před výpočtem musíme odečíst moment setrvačnosti samotné rotační dráhy, Nyní za použití Steinerovy věty (4) dostaneme moment setrvačnosti samotného disku jako I d = (0.0108 ± 0.0005) Kgm 2. 5.3 Zákon zachování hybnosti Na začátek experimentálně zjistíme hodnoty momentů hybnosti pro závaží u středu a u kraje podle (3). Výsledná hodnota pro měření závaží u kraje rotační dráhy je I k = (0.0381 ± 0.0003) Kgm 2 a pro závaží u středu je to poté I s = (0.0188 ± 0.004) Kgm 2. V přiloženém grafu je vidět závislost úhlové rychlosti na čase před změnou polohy a po (Obr. 3). Z tohoto grafu je také patrné, že při poloze u kraje je úhlová rychlost ω k = (4.91 ± 0.02) rads -1 a u středu poté ω s = (9.86 ± 0.02) rads -1. Nyní vypočítáme pro jednotlivé polohy moment hybnosti jako L=Iω. U kraje je tato hodnota L k = (0.1866 ± 0.0005) Kgm 2 s -1 a u středu L s = (0.1854 ± 0.0006) Kgm 2 s -1. Obr. 3 závislost úhlové rychlosti na čase 5.4 Rychlost precese gyroskopu Moment setrvačnosti gyroskopu je stejný jako moment setrvačnosti z úlohy 5.1. Závaží jsme umístili do vzdálenosti d = (21.0 ± 0.5) cm a jeho váha je m = (18.76 ± 0.05) g. Úhlová rychlost rychlost disku je ω = (62.9 ± 0.5) rads -1. Z těchto naměřených hodnot získáme pomocí vzorce (6) vypočítanou rychlost precese jako Ω v = (10.33 ± 0.07) s -1. Naměřená hodnota druhým senzorem je poté Ω n = (10.98 ± 0.03) s -1. 6. Diskuze 6.1 - Měření momentu setrvačnosti Během celého měření se nám povedlo jednou nechtěně drknout do aparatury a tím jsme ji mohli - 4 -
trošku rozhodit. Na výsledcích se toto ale neprojevilo. Srovnáme-li naše výsledky zjistíme, že se teoretický výpočet skoro neliší od experimentálního výsledku. Větší rozdíl je pravděpodobně patrný až na vyšších řádech a tyto řády se ztratili při zaokrouhlování během výpočtu. Je proto možné, že výsledek ve skutečnosti nebyl tak přesný jak se na první pohled zdá. 6.2 Ověření Steinerovy věty Při tomto měření došlo k zajimavé chybě. Během měření rotační dráhy s diskem graf závislosti rychlosti na čase nejevil jako čistá lineární závislost ale oběvila se tam harmonicky se opakující výchylka kolem střední hodnoty. Nakonec jsme zjistili, že jelikož byla rotační dráha zatížená na jedné straně diskem víc, tak během otáčení docházelo v jednom místě k většímu tření na rotující část a celá rotace se tak zpomalila. To způsobovalo tyto výchylky a také významně ovlivnilo měření. Podle mě se i z toho důvodu liší výsledek přibližně o hodnotu ΔI = 0.0015, což je velký rozdíl. 6.3 Zákon zachování hybnosti Měření jsme museli opakovat, protože se nám stalo, že závaží bez našeho zásahu změnilo svoji polohu. Data v tuto chvíli ztratila hodnotu. Při měření momentu setrvačnosti závaží u středu jsme tedy museli přidržovat závaží za provázek a tím jsme také mohli měření ovlivnit. I s touto chybou jsme podle mě dospěli k dobrému výsledku. 6.4 Rychlost precese Měření jsme museli vždy relativně brzo přerušit, neboť se nám stalo, že senzor měřící rychlost otáčení gyroskopu zavadil o osu rotace a tím přestalo mít smysl dále sbírat data. I přes tento nezdar jsou naše výsledná data velice podobná s pouhým rozdílem ΔΩ = 0.65. Opět si myslím, že se jedná o velmi dobrý výsledek. 7. Závěr Teoretickou metodou jsme získali hodnotu momentů setrvačnosti pro disk jako I dt = (0.0092 ± 0.0002) Kgm 2 a pro prstenec I pt = (0.0048 ± 0.0002) Kgm 2. Experimentálně jsme poté získali pro disk I d = (0.0093 ± 0.0001) Kgm 2 a pro prstenec I p = (0.0051 ± 0.0001) Kgm 2 Tyto výsledky se téměř neliší, takže jsme prováděli přesné měření. Moment setrvačnosti disku, který jsme měřili posunutý oproti ose rotace, jsme pomocí Steinerovy věty určili jako I d = (0.0108 ± 0.0005) Kgm 2. Zákon se nám povedlo ověřit v rámci chyb měření. Rychlost precese jsme určili teoreticky jako Ω v = (10.33 ± 0.07) s -1 a měřením jako Ω n = (10.98 ± 0.03) s -1. 8. Použitá literatura [1] Chyby měření. In: [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby1n.pdf [2] Dynamika rotačního pohybu. [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/133/mod_resource/content/3/11-140920-rotace.pdf - 5 -