Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Účastí v krajském kole souhlasí soutěžící a jeho učitel s organizačním řádem soutěže Č.j.: MŠMT 14 896/2012-51, který je zveřejněn na webových stránkách http://olympiada.astro.cz. Bodové hodnocení - vyplňuje hodnotící komise: B I: B II: (max. 20 b) (max. 20 b) A: (max. 25 b). poštovní adresa pro zaslání vypracovaných úloh: Mgr. Lenka Soumarová Štefánikova hvězdárna Strahovská 205 118 00 Praha 1 B III: (max. 20 b) B IV: (max. 15 b) Σ: (max. 100 b) Termín odeslání: úterý 19. 3. 2013 (datum poštovního razítka) Zadání připravili Václav Pavlík a Jan Kožuško. A) Přehledový test řeší se elektronicky (online) POKYNY: Úvodní test (25 otázek) se řeší online na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Přihlašovací údaje přišly úspěšným řešitelům školního kola e-mailem, nebo je dostaneš od svého učitele, který je může zjistit v sekci pro učitele na http://olympiada.astro.cz/ucitel. Velmi doporučujeme řešení testu neodkládat na poslední dny před uzávěrkou. U problémů s řešením testu oznámených po 8. 3. 2013 bohužel nemůžeme zaručit jejich včasné vyřešení. B) Příklady a pozorování řeší se písemně do vytištěného formuláře U všech příkladů uváděj postup řešení a odpověď. Pouhé uvedení správného výsledku k dosažení plného počtu bodů nestačí! I. Slapové síly a) Schematicky nakresli, jak působí slapové síly Měsíce na Zemi. Do obrázku vyznač zejména Zemi, Měsíc a změnu tvaru vodní masy na povrchu Země vlivem působení slapových sil Měsíce. Země Měsíc b) Co je nejznámějším a nejviditelnějším důsledkem tohoto působení? Příliv a odliv.
c) Slapové síly mohou deformovat nebo dokonce zničit obíhající těleso. Satelit ze stejného materiálu jako planeta, kterou obíhá (ρ satelit = ρ planeta ), bude roztrhán slapovými silami, pokud se přiblíží na vzdálenost menší, než je 1,26násobek poloměru planety. Tato vzdálenost se snižuje se třetí odmocninou průměrné hustoty satelitu. Vypočítej, jaká je minimální vzdálenost, na které by mohl obíhat Měsíc okolo Země, aniž by byl roztrhán? (1,65 ρ Měsíc = ρ Země ; R Země = 6 378 km) Teoretická hranice vzdálenosti, pod níž je jedno pevné těleso, držené pohromadě pouze vlastní gravitací, roztrháno působením slapových sil druhého (hmotnějšího) tělesa, je dána vztahem h = 2 a nazývá se Rocheova mez. ρ M je hustota většího tělesa, ρ m je hustota menšího tělesa a R je poloměr většího tělesa. Známe-li poměr hustot Země a Měsíce = 1,65 a poloměr Země = 6 378 km, potom pro minimální vzdálenost, na které by Měsíc mohl obíhat kolem Země, aniž by byl roztrhán, dostaneme: h =6 378 1,26 1,65 = 9 496 km Poznámka: V původním zadání řádil tiskový šotek. Bylo uvedeno: Tato vzdálenost se zvyšuje se třetí odmocninou průměrné hustoty satelitu. Při hodnocení prací bylo toto zohledněno a žádný soutěžící nebyl za použití této chybné formulace ve svém řešení penalizován. d) Méně nápadně se působení slapových sil projevuje také zpomalováním zemské rotace (v současnosti se den prodlužuje o cca 0,0016 s za 100 let) a postupným vzdalováním Měsíce od Země (v současnosti cca 3,7 cm za rok). Za jak dlouho by se při současné rychlosti zpomalování zemské rotace se splnil sen řady lidí a délka dne se prodloužila ze současných 24 hodin na 25 hodin? Prodloužení dne o jednu hodinu znamená prodloužení o 3600 sekund. Jestliže víme, že za 100 let se den prodlouží o 0,0016 s, pak se o 3600 s prodlouží za 3600 / 0,0016 století. = 3600 100 let 0,0016 = 225 milionů let Den se při zachování současné rychlosti zpomalování zemské rotace prodlouží o jednu hodinu za 225 milionů let. Žák/yně jméno příjmení strana 2/5
II. Pohyb Země a) O kolik kilometrů se změní poloha těžiště Země za 45 hvězdných dnů (1 hvězdný den trvá 23 h 56 min) v pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem ve Slunci a s osami pevně danými vůči stálicím (vzdáleným hvězdám)? Předpokládej, že dráha Země kolem Slunce je kruhová o poloměru 1 AU = 150 milionů kilometrů a jeden oběh Země kolem Slunce (vzhledem ke vzdáleným hvězdám) trvá 8 760 hodin. B α A Hledaná vzdálenost je délka úsečky AB naobrázku. Úhel α odpovídá 45 hvězdným dnům. Úsečka AB je tětivou se středovým úhlem α. Pro její délku platí vztah: =2sin 2 kde d je délka tětivy (úsečka AB), r je poloměr kružnice (úsečka SA) S a α je středový úhel. Pro určení délky tětivy potřebujeme nejprve vypočítat velikost úhlu α odpovídající jednomu hvězdnému dni. Jeden oběh (rok) trvá 8 760 h a odpovídá úhlu 360. Jeden hvězdný den trvá 23 h 56 m, tj. 23,933 h. 45 hvězdných dnů pak trvá 1077 hodin. Použitím trojčlenky dopočítáme velikost úhlu α: 8760 h.. 360 1077 h.. α = 1077 8760 360 = 44,26 Po dosazení do vztahu pro délku tětivy dostáváme: =2 1,5 10 sin 44,26 2 =1,13 10 m Těžiště Země se za 45 hvězdných dnů posune o 113 milionu kilometrů. b) O kolik kilometrů se za 45 hvězdných dnů ve stejném souřadnicovém systému změní poloha člověka na rovníku a v Praze? Poloměr Země je R = 6378 km a zeměpisná šířka Prahy je 50 severní šířky. Za celočíselný počet hvězdných dnů se Země dostane do stejné polohy vůči vzdáleným hvězdám. Poloha všech jejích částí se tudíž v takto definovaném souřadnicovém systému změní stejně. Člověk na rovníku i v Praze se proto posune o stejnou vzdálenost jako těžiště Země. Žák/yně jméno příjmení strana 3/5
III. Třikrát 10 kilometrů a jsme tam, kde jsme byli ;-) Najděte všechna místa na Zemi, pro která platí, že když půjdeme 10 km na jih, pak 10 km na východ a nakonec 10 km na sever, tak se dostaneme na původní místo, odkud jsme vyšli. Řešení má dvě části: 1. Vyjdeme ze severního pólu, po 10 km se otočíme, půjdeme 10 km na východ a nakonec půjdeme 10 km na sever a dojdeme zpět na severní pól. Viz obrázek: 2. Množina nekonečně mnoha bodů: rovnoběžka vzdálená 10 km severně od takové rovnoběžky, kterou lze obejít dokola celočíselněkrát (1x, 2x, 3x, nekonečněkrát na pólu) tak, aby byla vzdálenost 10 km. Viz obrázek: Žák/yně jméno příjmení strana 4/5
IV. Pozorování Pozoruj souhvězdí Býka a Orionu. V jednom z těchto souhvězdí se v době řešení úloh krajského kola nachází jeden nebo několik objektů navíc, které jsou jasnější, než kterákoliv z hvězd obou souhvězdí. Zakresli jejich polohu do mapky a urči, o jaké astronomické objekty se jedná. Uveď všechny údaje potřebné pro případnou rekonstrukci pozorování: místo pozorování (úplná adresa nebo zeměpisné souřadnice) datum a čas pozorování pozorovací podmínky (oblačnost, úroveň světelného znečištění atd.) Zakresli polohu objektu / objektů do mapky: O jaký objekt / objekty se jedná? Jde o planetu Jupiter a ve vybraných dnech se v souhvězdí Býka nachází také měsíc. Žák/yně jméno příjmení strana 5/5