Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Transkript

1 ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná y = y = Eponenciální funkce Logaritmická funkce y = y = log 8 8 log 8 je číslo, na které musíme umocnit, aby vyšlo 8.

2 y = y = log Dvojici tvoří dvě navzájem inverzní funkce, které mají obrácené dvojice proměnná; hodnota. [ ] Druhá odmocnina je inverzní funkcí k druhé mocnině a používáme ji, když potřebujeme zjistit, jaké číslo dát na druhou, aby vyšla požadovaná hodnota druhé mocniny. Logaritmus je inverzní funkcí k eponenciální funkci a používáme ho, když potřebujeme zjistit, na jaké číslo umocnit základ, aby vyšla požadovaná hodnota. Goniometrické funkce vyrábějí z hodnoty úhlu souřadnici bodu na jednotkové kružnici. Odpovídají na otázku: Jaký bude poměr stran, když úhel bude 60?. Je možné položit i obrácenou otázku: Jaký musí být úhel, aby poměr stran byl 0,? Podobná obrácená otázka stála u zavedení odmocnin a logaritmů (inverzních funkcí) potřebujeme najít inverzní funkce k funkcím goniometrickým. yto funkce ve skutečnosti již dávno používáme. Na kalkulačkách jsou označeny většinou sin, cos případně tan a používali jsme je vždy, když jsme potřebovali zjistit velikost

3 úhlu při známé hodnotě některé z goniometrických funkcí (hledali jsme odpověď na obrácenou otázku). Hodnoty inverzních funkcí k funkcím goniometrickým jsme již určovali v jedné předchozích hodin, kdy jsme hledali úhly k zadaným hodnotám goniometrických funkcí. Nyní je zavedeme pořádně. Jaké požadavky musí splňovat funkce, ke které chceme najít funkci inverzní? Funkce musí být prostá (aby po obrácení šipek z každého čísla vycházela pouze jedna). Problém: goniometrické funkce nejsou prosté, protože jsou periodické budeme muset omezit definiční obor (stejně jako u kvadratické funkce). Př. : Nakresli graf funkce y = sin. Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = sin s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. Omezíme definiční obor pouze na D ( f ) ; - = Funkce inverzní k funkci y = sin se nazývá y = arcsin (arkus sinus). Př. : Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = sin (s omezeným definičním oborem) a y = arcsin. y = sin y = arcsin ( ) = ; D ( f ) = ; D f

4 funkce je rostoucí H ( f ) = ; H ( f ) = ; funkce je rostoucí Př. : Urči: a) arcsin b) d) arcsin e) g) arcsin. arcsin arcsin c) arcsin 0 f) arcsin ( ) a) arcsin = (protože sin = ) b) arcsin = (protože sin = ) c) arcsin 0 = 0 (protože sin 0 = 0 ) d) arcsin = (protože sin = ) e) arcsin = (protože sin = ) 6 6 f) arcsin ( ) = (protože sin = ) g) arcsin = neeistuje (protože funkce y = sin nemá nikdy hodnotu ) Př. : Urči pomocí kalkulačky ve stupních s přesností na minuty přibližné hodnoty: a) arcsin 0, b) arcsin ( 0, 7) c) arcsin d) arcsin e) arcsin. a) arcsin 0, arcsin 0, 7 5 b) ( ) c) arcsin 8 d) arcsin = neeistuje (protože funkce y = sin nemá nikdy hodnotu větší než a,57 ) e) arcsin 5 5 ( 0,79 ) U kvadratické funkce a druhé odmocniny:

5 = - druhá odmocnina ze čtyř má pouze jednu hodnotu (aby byla určena jednoznačně). = =, = - čísla, která po umocnění na druhou dají, jsou dvě, hodnota = a číslo k ní opačné =. U neprostých původních funkcí není výpočet inverzní funkce to samé jako nalezení všech hodnot, které dají v původní funkci požadovaný výsledek. edy arcsin =, ale čísel pro které platí sin = je více (nekonečně mnoho). Př. 5: Najdi všechna, pro která platí sin =. arcsin =, tím jsme našli pouze čísla z intervalu ; kružnici:. Nakreslíme jednotkovou - S R - V intervalu 0; žádné další takové není. Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou, platí sin = i pro všechny další velikosti úhlu (čísla vzdálená o násobky ). sin = platí pro všechna čísla = + k. Př. 6: Najdi všechna, pro která platí sin =. arcsin =, tím jsme našli pouze čísla z intervalu ; jednotkovou kružnici:. Nakreslíme 5

6 - S R - Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = : 5 = a = (základní velikost úhlu ). Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou, platí sin = i pro všechny další velikosti obou úhlů. sin = platí pro všechna čísla 5 = + k ; + k. Př. 7: Najdi všechna, pro která platí sin = 0,6. Výsledek uveď v desetinné míře s přesností na minuty. Protože 0,6 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = sin, nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu (stejně jako nedokážeme zapsat přesně hodnotu čísla, které se po umocnění na druhou rovná ). Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin 0,6 8 5 (podobně přibližná hodnota, ). - S R - 6

7 Z obrázku je vidět, že v intervalu 0;60 eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0,6 : = 8 5 a = = 8. Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou 60, platí sin = 0,6 pro všechna čísla = { k 60 ; 8 + k 60 }. Přesně musíme zapisovat úhel, pro který platí sin = 0,6 pomocí funkce arcsin jako arcsin 0,6 (stejně jako používáme pro přesné vyjádření čísla, které se po umocnění rovná symbol ). Platí tedy = arcsin 0, 6. Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že v intervalu 0;60 eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0,6 : = arcsin 0, 6 a = 80 arcsin 0, 6. sin = 0, 6 platí pro všechna čísla = { arcsin 0, 6 + k 60 ;80 arcsin 0, 6 + k 60 }. Dodatek: Řešení předchozího příkladu můžeme zapsat i v obloukové míře. Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že v intervalu 0; eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0, 6 : = arcsin 0, 6 a = arcsin 0, 6. sin = 0, 6 platí pro všechna čísla = { arcsin 0, 6 + k ; arcsin 0, 6 + k }. Př. 8: Najdi všechna 0;, pro která platí sin = 0,. Protože -0, nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce hodnotu úhlu. y = sin, nemůžeme přesně určit arcsin 0, 5. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( ) Přesně zapisujeme požadovaný úhel, pro který platí sin = 0, pomocí funkce arcsin jako arcsin ( 0, ). Bohužel arcsin ( 0, ) je záporné číslo a nepatří mezi čísla, která hledáme. Z jednotkové kružnice zjistíme, zda taková čísla eistují: - S R arcsin(-0,) - 7

8 Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0,. Můžeme je vyjádřit pomocí úhlu arcsin ( 0, ) (tento úhel je záporný) : = ( ) + a = ( ). arcsin 0, Dodatek: Funkce arcsin 0, y = arcsin je lichá. Hodnoty můžeme vyjadřovat i pomocí kladného úhlu arcsin ( 0, ) arcsin ( 0, ) = : = ( ) a ( ) arcsin 0, = + arcsin 0,. Př. 9: Petáková: strana /cvičení, hodnoty arcsin Shrnutí: Inverzní funkcí k funkci sin je funkce arcsin. 8