ADAPTIVNÍ ŘÍZENÍ SYSTÉMU TŘÍ NÁDRŽÍ V PROSTŘEDÍ MATLAB&SIMULINK

Transkript

1 ADAPIVNÍ ŘÍZENÍ SYSÉMU ŘÍ NÁDRŽÍ V PROSŘEDÍ MALAB&SIMULINK P. Navráti, V. Bobál Ústav řízení procesů, Institt řízení procesů a aplikované informatik Univerzita omáše Bati ve Zlíně Náměstí. G. Masarka 275, Zlín Abstrakt Rekrzivní metod identifikace hrají důležito roli při zajištění sledování časově proměnlivých parametrů model dnamického proces. Článek se zabývá několika známými rekrzivními identifikačními metodami pro odhad parametrů model ARX, ARMAX a OE, za účelem zvýšení spolehlivosti a výkonnosti samočinně se nastavjícího reglátor. Jednotlivé rekrzivní metod identifikace bl otestován při řízení reálného laboratorního model DS2 - Sstém tří nádrží. Úvod S rozvojem výpočetní technik se stále více dostávají do popředí adaptivní řídící sstém, které jso schopn reagovat na změn parametrů proces, způsobené změnami v provozních režimech, změnami vlastností srovin, paliva, zařízení apod., se kterými se pevně seřízené reglátor nemoho vrovnat. V adaptivním řízení je úloha identifikace stejně důležitá jako role sntéz reglátor. Sočástí skpin adaptivní reglátorů jso i samočinně se nastavjící reglátor (SC), které jso založen na průběžné identifikaci odhadů proměnlivých parametrů model proces a následné sntéze reglátor. Je proto třeba požít dostatečně přesné a spolehlivé rekrzivní identifikační metod, které jso schopn tto parametr identifikovat v poměrně krátkém čase. Identifikace pro adaptivní řízení má ovšem svá specifika, která vedo k tom, že se v převážné míře odhadjí parametr regresního model (ARX AtoRegressive with exogenos inpt) a požívá se metoda nejmenších čtverců []. V rčitých sitacích, kd je měřená veličina výrazně zatížená šmem, jehož vlastnosti nelze charakterizovat parametr odhadovaného model (případ je častější za sitace, kd se pracje s omezeno strktro identifikovaného model), vede MNČ k odhadům vchýlených a nekonzistentních parametrů a následně k návrh reglátor, který nemsí spolehlivě pracovat. Problém lze odstranit požitím jiných složitějších tpů modelů, např. model ARMAX (AtoRegressive Moving Average with exogenos inpt), model OE (Otpt Error Model). Případně je potřeba požít pro odhad parametrů modelů jiných identifikačních procedr, např. metod instrmentální proměnné (Instrmental Variable Method), která se požívá pro odhad parametrů model ARX. Pro odhad parametrů model ARMAX lze požít rozšířeno metod nejmenších čtverců (Extended Least Sqare Method), popř. metod predikčních chb (Prediction Error Method). V tomto příspěvk jso važován následjící metod rekrzivní identifikace: metoda nejmenších čtverců (RLS) a metoda instrmentální proměnné (RIV), které jso požit pro odhad parametrů model ARX. Pro získání odhad parametrů modelů ARMAX a OE je vžito metod psedolineární regrese (RPLR) a metod chb predikce (RPEM). 2 Strktra model Jedním ze základních kroků při identifikaci se rozmí výběr vhodného tp model. Strktra model b měla co nejlépe vstihovat vlastnosti reálného sstém a také účel pro který je model rčen. Obecný lineární model má následjící tvar Bq Cq k = k n k AqFq + AqDq ()

2 kde Aq na = + aq + + anaq B q 2 nb = bq + b2q + + bnbq C q nc = + cq + + cncq D q nd = + dq + dndq F q nf = + fq + + fnf q jso jednotlivé polnom a ( k ), ( k ) jso výstpní a vstpní signál. Bílý šm n k má nlovo střední hodnot a konstantní rozptl. Všechn lineární model moho být odvozen z výše vedeného obecného lineárního model na základě jeho zjednodšování. V této práci jso brán v úvah tři základní lineární model. ARX model (C=D=F=): ARMAX model (D=F=): OE model (A=C=D=): 3 Rekrzivní metod identifikace Bq ( k) = ( k) n( k) Aq + Aq (3) B q C q ( k) = ( k) n( k) Aq + Aq (4) B q ( k) = ( k) + n( k) (5) F q Algoritms rekrzivní identifikace je nedílno sočástí samočinně se nastavjícího reglátor (SC) a hraje důležito roli při zajištění sledování časově proměnlivých parametrů. Blo navrženo mnoho algoritmů rekrzivní identifikace, např. [6], [9], []. V této části bdo veden některé z nich, včetně tzv. faktorů zapomínání, které složí k zajištění sledování časově proměnlivých parametrů. 3. RLS ato metoda může být požita pro odhad parametrů model ARX. Algoritms rekrzivní metod nejmenších čtverců je dán následjícími vztah = φ Θˆ ( ) C ( k ) φ ( k) ( k ) = + φ ( k) C ( k ) φ( k) ( k) = ( k ) + ( k) e( k) ( k) = ( k ) ( k) φ ( k) ( k ) eˆ k k k k L Θˆ Θˆ L ˆ C C L C kde L ( k ) značí matici zesílení, C ( k ) je kovarianční matice odhadovaných parametrů, Θ ˆ ( k ) je vektor odhadovaných parametrů a φ ( k ) je tzv. regresní vektor (vektor dat). ˆ ( k) = [ a, ana, b,, bnb ] ( k) = ( k, ), ( k na), ( k, ), ( k nb) Θ (7) φ (8) (2) (6)

3 Základní algoritms rekrzivní metod nejmenších čtverců předpokládá, že parametr model proces jso konstantní. V mnoha případech, je ale požadováno, ab blo možno sledovat změn v množině parametrů. V takovém případě, je nezbtné, zavést do základního algoritm úprav, která zajistí sledování časově proměnlivých parametrů. Blo navrženo několik implementací, např. [3], [5], [6], [9]. RLS s konstantním exponenciálním zapomínáním Kovarianční matice je dána následjícím vztahem C C = λ ( k) C( k ) ( k ) φ( k) φ ( k) C( k ) λ + φ ( k) C ( k ) φ( k) faktor zapomínání se volí z interval < λ <. Rekrzivní metoda s konstantním exponenciálním zapomínáním má jedn nevýhod. Pokd metoda nedostane delší čas nové informace, dojde k tom, že hodnota kovarianční matice bde exponenciálně růst s faktorem λ, což může vést k nmerické nestabilitě identifikačního algoritm, a tím i k nestabilitě zavřeného reglačního obvod. RLS s proměnlivým exponenciálním zapomínáním Faktor proměnlivého exponenciálního zapomínání je dán vztahem ( k) ( k ) λ = λλ + λ () počáteční hodnota faktor zapomínání se volí λ λ RLS s konstantním směrovým zapomínáním =,95;,99 Zabraňje vznik tzv. wind-p jev, který může vzniknot při požití konstantního exponenciálního zapomínání v důsledk nedostatečného vbzení. Metoda se směrovým zapomínáním, zapomíná poze v tom směr, ve kterém přišli nové informace. Rovnice popisjící tto metod vpadají následovně. Kovarianční matice je dána vztahem C( k ) φ( k) φ ( k) C( k ) C( k) = C( k ) () ε + φ k C k φ k faktor směrového zapomínání ε ( k ) = λ φ λ ( k) C ( k ) φ( k) kde hodnota λ je volena obdobně jako algoritm s exponenciálním zapomínáním. RLS se směrovým adaptivním zapomínáním Detailní popis tohoto algoritm lze nalézt v [4]. ε( k) = ϕ( k) ξ kde ϕ ( k ) ( k ) ( k ) ( k) C ( k ) ( k) (9) (2) (3) ξ = φ φ (4) hodnota adaptivního směrového zapomínání je dána následjícím vztahem ( ) υ k + η k ξ k ϕ( k) = + ( + ρ) ln( + ξ( k ) ) + + ξ k + η k + ξ k (5)

4 3.2 RIV a pomocné proměnné jso dán ( k) ( ) ( k ) 2 2 eˆ k eˆ k η( k) =, υ( k) = ϕ( k) υ( k ), λ( k) ϕ( k) λ( k ) λ + = + + ξ Lze dokázat, že pokd není reálný proces ovlivňován šmem takovým způsobem jak je předpokládáno model ARX, odhad parametrů získané pomocí metod nejmenších čtverců jso vchýlené a nekonzistentní. Základní mšlenka této metod je založena na modifikaci normálových rovnic. Algoritms rekrzivní metod instrmentální proměnné je dán následjícími vztah = φ Θˆ ( ) C( k ) z( k) ( k ) = + φ ( k) C( k ) z( k) ( k) = ( k ) + ( k) e( k) ( k) = ( k ) ( k) φ ( k) ( k ) eˆ k k k k L Θˆ Θˆ L ˆ C C L C kde L ( k ) značí matici zesílení, C ( k ) je kovarianční matice odhadovaných parametrů, Θ ˆ ( k ) je vektor parametrů, φ ( k ) je regresní vektor (vektor dat) a z ( k ) je instrmentální proměnná ˆ ( k) = [ a, ana, b,, bnb ] ( k) = ( k, ), ( k na), ( k, ), ( k nb) (6) (7) Θ (8) φ (9) Volba instrment rčje chování metod instrmentální proměnné. Některé běžné způsob volb instrment jso veden v [2], [9]. pická volba instrmentální proměnné nezávislé na model parametrů ( k) ( k, ), ( k na nb) z (2) = a instrmentální proměnné závislé na model ( k) ( k, ), ( k na), ( k, ), ( k nb) kde hodnota ( ) 3.3 RPLR z = (2) k je generována pomocí následjící diferenční rovnice a aktálních odhadů = ˆ ( ) + + ˆ nb ( ) aˆ ( k) ( k ) aˆ ( k) ( k na) k b k k b k k nb na Rekrzivní psedolineární regrese pro model OE Formálně je metoda shodná s rekrzivní metodo nejmenších čtverců, rozdíl spočívá ve vektor dat a parametrů. Vektor parametrů ˆ Θ ( k) = b,,,, bnb f f nf (23) Regresní vektor (vektor dat) ( k) ( k, ), ( k nb), w( k, ), w( k nf ) φ = (24) (22)

5 parametrů kde wk ( ) je generována pomocí následjící diferenční rovnice a aktálních odhadů = ˆ ( ) + + ˆ nb ( ) fˆ ( k) w( k ) fˆ ( k) w( k nf ) wk b k k b k k nb Rekrzivní psedolineární regrese pro model ARMAX Formálně je metoda shodná s rekrzivní metodo nejmenších čtverců, rozdíl spočívá ve vektor dat a parametrů. ato metoda je také nazývána rekrzivní rozšířená metoda nejmenších čtverců (RELS). Vektor parametrů ˆ Θ k = a, a, b,, b, c,, c (26) Regresní vektor (vektor dat) nebo φ φ [ ] na nb nc ( k ) = ( k ) ( k na) ( k ) ( k nb) η( k, ), η( k nc) nf,,,,,, ( k ) = ( k ) ( k na) ( k ) ( k nb) eˆ( k, ), eˆ( k nc),,,,,, kde η ( k ) značí rezida a ê( k ) je chba predikce. 3.4 RPEM ato metoda možňje rekrzivně odhadovat parametr všech výše vedených modelů. Protože některé z těchto modelů jso nelineární v parametrech, neexistje exaktní rekrzivní algoritms, a proto msí být požito aproximací ([7], [9]). Na metod predikčních chb může být nahlíženo jako na nelineární Gass-Newtonov metod nejmenších čtverců. Gass-Newtonova metoda je založena na aproximaci Hessov matice pomocí gradientů. akže, rekrzivní metoda predikčních chb vžadje výpočet gradient ψ ( k ) výstp model, podle jednotlivých parametrů. ˆ ˆ ˆ ˆ k k k ( k) ψ ( k ) = = (29) Θ( k ) Θ( k ) Θ2( k ) Θn ( k ) Strktra model ovlivňje způsob, jakým jso v algoritm počítán hodnot ê( k ) a ( k ) předchozích vpočtených dat a odhadů parametrů. Algoritms rekrzivní metod predikční chb má následjící form kde P ( k ) značí kovarianční matici. = φ Θˆ ( ) P ( k ) ψ ( k) ( k ) = + ψ ( k) P ( k ) ψ ( k) ( k) = ( k ) + ( k) e( k) ( k) = ( k ) ( k) ( k) ( k ) eˆ k k k k L Θˆ Θˆ L ˆ P P L ψ P ψ z (25) (27) (28) (3)

6 4 Experimentální ověření - řízení reálného laboratorního model DS 2 Rekrzivní algoritm identifikace vedené výše, bl otestován při reálném adaptivním řízení laboratorního model DS2 sstém tří nádrží, pomocí samočinně se nastavjícího LQ reglátor. Reglátor je založen na minimalizaci kvadratického kritéria s penalizací výstpního signál. Minimalizace kvadratického kritéria je realizována pomocí spektrální faktorizace []. Sstém DS2 se skládá ze tří propojených válcových nádrží, dvo čerpadel, šesti ventilů, trbek, senzorů výšk hladin v jednotlivých nádržích a dalších elementů. Čerpadlo P řídí přítok kapalin do nádrže, čerpadlo P2 řídí přítok kapalin do nádrže 2. Průtok kapalin mezi nádrží a nádrží 3 lze ovlivňovat pomocí ventil V, průtok kapalin mezi nádrží 3 a 2 lze ovlivňovat pomocí ventil V2 a výtok z nádrže 2 může být ovlivněn pomocí ventil V3. Sstém také nabízí možnost simlace nikání kapalin z jednotlivých nádrží otevíráním ventilů V4, V5 a V6. P P2 3 2 h h 3 V V2 h 2 V3 leakage (V4) leakage (V5) leakage (V6) Obr. : Schéma DS2 - Sstém tří nádrží Spojení personálního počítače a reálného laboratorního model blo realizováno pomocí technologické kart Advantech PCI-7. Jednotlivé rekrzivní metod identifikace bl naprogramován ve formě m-soborů v programovém prostředí MALAB. Komnikace s technologicko karto v reálném čase bla realizována pomocí fnkcí Real-ime oolbox. Schéma pro řízení reálného laboratorního model je vedeno na Obr. 2. V průběh experimentů bla poloha ventilů konstantní a nastavena na následjící hodnot: ventil V, V2, V3 bl plně otevřen, poloha ventil V4 (únik kapalin z nádrže ) a poloha ventil V5 (únik kapalin z nádrže 3) bla nastavena přibližně na polovin jejich pracovního rozsah. Vstpní a výstpní signál bl zvolen následjícím způsobem: reglovaná veličina během experiment bla výška hladin v prostřední nádrži 3, akční zásah blo vstpní napětí (ve voltech) do čerpadla P. DS2 (k) Scope (k) REGULAOR e(k) w(k) žádaná hodnota Obr. 2: Schéma pro reálné adaptivní řízení laboratorního model DS2

7 In _pep Prepocet R Ot cerpadlo - P R In prostredni nadrz - 3 (k) _pep Prepocet cerpadlo - P2 - vpnto - R Ot cerpadlo - P2 Obr. 3: Schéma blok DS2 MALAB Fnction reglator 2 In2 2:34 Digital Clock Obr. 4: Schéma blok REGULAOR Statická charakteristika vedeného sstém je znázorněna na Obr. 5. Ze znázorněné statické charakteristik je zřejmé, že se jedná o nelineární sstém liqid level h 3 [-] inflow P [%] Obr. 5: Statická charakteristika sstém Pro všechn výše vedené tp rekrzivních identifikačních algoritmů bl pro jejich start požit stejné počáteční podmínk. Počáteční hodnot vektor parametrů bl nastaven následjícím způsobem: Θ ˆ k =.,.2,.3,.4 pro model ARX a OE [ ] pro model ARMAX Θ ˆ ( k ) = [ ].,.2,.3,.4,.,.2 Počáteční hodnot adaptivního směrového zapomínání bl nastaven následjícím způsobem: 6 ϕ =, ρ =.99, υ =, λ =. Dnamika sstém bla postpně modelována pomocí ARX, OE, ARMAX model. Pro odhad parametrů model ARX bla požita rekrzivní metoda nejmenších čtverců (RLS) a rekrzivní metoda instrmentální proměnné (RIV), parametr model ARMAX bl odhadován pomocí rekrzivní rozšířené metod nejmenších čtverců (RELS) a rekrzivní metod predikčních chb a parametr model OE bl odhadován pomocí rekrzivní metod psedolineární regrese (RPLR). Pro zajištění sledování

8 časově proměnlivých parametrů bl otestován všechn výše vedené faktor zapomínání, ale poze metod s adaptivním směrovým zapomínáním posktl dostatečně spolehlivé odhad parametrů. Pro účel sntéz reglátor jso vžit poze parametr deterministické části jednotlivých modelů. 4. Model ARX Rekrzivní metoda nejmenších čtverců se směrovým adaptivním zapomínáním.2.5 w, w time [s] Obr. 6: Experimentální ověřování: adaptivní řízení s LQ reglátorem (RLS) Rekrzivní metoda instrmentální proměnné se směrovým adaptivním zapomínáním.2.5 w, w Model ARMAX time [s] Obr. 7: Experimentální ověřování: adaptivní řízení s LQ reglátorem (RIV) Rekrzivní rozšířená metoda nejmenších čtverců se směrovým adaptivním zapomínáním.2.5 w, w time [s] Obr. 8: Experimentální ověřování: adaptivní řízení s LQ reglátorem (RELS)

9 Rekrzivní metoda predikčních chb se směrovým adaptivním zapomínáním.2.5 w, w Model OE time [s] Obr. 9: Experimentální ověřování: adaptivní řízení s LQ reglátorem (RPEM) Rekrzivní metoda psedolineární regrese se směrovým adaptivním zapomínáním.2.5 w, w time [s] Obr. : Experimentální ověřování: adaptivní řízení s LQ reglátorem (RPLR) Vliv jednotlivých rekrzivních algoritmů na výkon reglátor bl hodnocen z hlediska kvalit reglace. Výsledk jso veden v ab. AB. : SROVNÁNÍ VLIVU JEDNOLIVÝCH REKURZIVNÍCH IDENIFIKAČNÍCH MEOD Metoda S S RLS.43.7 RIV.24.5 RELS.4.5 RPEM - ARMAX RPLR - OE Kvadratická kritéria jso definována následjícími vztah k2 2 S = ( k) (3) k k + = kde ek značí reglační odchlk, 2 k k (32) + k2 2 S = e k k2 k k= k k je výstp reglátor (akční zásah) a k =, k2 = 45.

10 5 Závěr Jednotlivé vedené rekrzivní identifikační algoritm pro odhad parametrů modelů ARX, ARMAX a OE bl otestován v zavřeném reglačním obvodě při řízení reálného laboratorního model DS2. Z předložených výsledků je patrné, že požití složitějších tpů modelů a odpovídajících metod rekrzivní identifikace v identifikační části samočinně se nastavjícího reglátor může přinést zlepšení spolehlivosti odhadů parametrů model proces a tím i kvalit reglace. Programový sstém MALAB SIMULINK se kázal jako vhodný prostředek pro testování fnkčnosti jednotlivých rekrzivních identifikačních metod a to nejenom při simlaci, ale dík Real ime oobox i při řízení laboratorního model v reálném čase. Literatra [] Bobál, V., J. Böhm, J. Fessl and J. Macháček (25). Digital Self-tning Controllers: Algorithms, Implementation and Applications. Springer-Verlag, London. [2] Branica, I., N. Peric and I. Petrovic (996). Comparison of Several Recrsive Identification Methods. Atomatika,Vol. 37, No. 3-4, pp [3] Corrio, J. P. (24). Process Control : heor and Applications. Springer-Verlag, London. [4] Klhavý, R. (987). Restricted exponential forgetting in real time identification. Atomatica, Vol. 23, pp [5] Klhavý, R. and M.B. Zarrop (993). On a general concept of forgetting. International Jornal of Control, 58, 4: pp [6] Ljng, L. (987). Sstem identification theor for ser. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. [7] Moore, J. B. and R. K. Boel (986). Asmptoticall Optimm Recrsive Prediction Error Methods in Adaptive Estimation and Control. Atomatica, Vol. 22, No. 2, pp [8] Nelles, O. (2). Nonlinear sstem identification. Springer-Verlag. Berlin. [9] Söderström,. and P. Stoica (989). Sstem Identification. Prentice Hall, Universit Press, Cambridge, UK. [] Wellstead, P.E. and M.B. Zarrop (99). Self-ning Sstem Control and Signal Processing, John Wile & Sons Ltd. Chichester. Ing. Petr Navrátil Univerzita omáše Bati ve Zlíně Institt řízení procesů a aplikované informatik Ústav řízení procesů Náměstí. G. Masarka 275, Zlín .: pnavratil@ft.tb.cz tel.: Prof. Ing. Vladimír Bobál, CSc. Univerzita omáše Bati ve Zlíně Institt řízení procesů a aplikované informatik Ústav řízení procesů Náměstí. G. Masarka 275, Zlín .: bobal@ft.tb.cz tel.: