Chyby při matematickém modelování aneb co se nepovedlo

Transkript

1 ŠKOMAM 019, Chyby při matematickém modelování aneb co se nepovedlo Petr Beremlijski Katedra aplikovaná matematiky Faklta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická niverzita Ostrava ŠKOMAM 019, Ostrava

2 ŠKOMAM 019, Obsah Co to je matematické modelování a k čem je dobré? Co se může pokazit? A co se pokazilo?

3 ŠKOMAM 019, Matematické modelování Reálný problém Aplikovaná matematika Matematický model Přibližná metoda Nmerická úloha Nmerická metoda Nmerické řešení úlohy Nmerická (výpočetní) matematika

4 ŠKOMAM 019, Matematické modelování příklad 1 Deformace strny Lineární model malé deformace Rovnice strny Diskretizace geometrie úlohy metoda sítí Diskretizovaná rovnice strny Řešení lineární sostavy rovnic Gassova eliminace nebo jiná iterační metoda Nmerická (výpočetní) matematika Odhad deformace strny

5 ŠKOMAM 019, Příklad 1 - Deformace strny L G

6 ŠKOMAM 019, P Příklad 1 - Diskretizace strny G 0 h h h h h h P Linearizace úlohy: 0 0 h tg( 0) h tg( 1) h 0 1 h Malé deformace: tg( ) sin( )

7 P 1 -P 1 P 0 h P P P h P P P ) sin( ) sin( P P G P G h hg h P h P hg P P ) ( Příklad 1 - Diskretizace strny ŠKOMAM 019,

8 F h F h F h F h F h Sostava lineárních rovnic: "thost" 6 0 m L h m L F g P G F l A=b Příklad 1 Odhad deformace strny ŠKOMAM 019,

9 ŠKOMAM 019, Matematické modelování příklad Tvarová optimalizace pro kontaktní úloh se třením Variační nerovnost zanedbání tření Optimalizační úloha Diskretizace geometrie úlohy metoda konečných prvků Metoda pro optimalizaci spojitě diferencovatelné fnkce Diskretizovaná optimalizační úloha Nmerická (výpočetní) matematika Odhad optimálního tvar

10 in contact problem with Colomb friction

11 in contact problem with Colomb friction min Θ(α) sbject to α U ad,

12 in contact problem with Colomb friction min Θ(α) sbject to α U ad, where Θ(α) := J (α, S(α))

13 Signorini problem - the meaning of control variables α

14 - Soltion methods Neglecting friction - Indirect approach (Neglecting friction) problem is solved with F = 0.

15 - Soltion methods Neglecting friction - Indirect approach (Neglecting friction) problem is solved with F = 0. Fnction Θ(α) := J (α, S(α)) is differentiable.

16 - Soltion methods Neglecting friction - Indirect approach (Neglecting friction) problem is solved with F = 0. Fnction Θ(α) := J (α, S(α)) is differentiable. Does the optimized shape compted with F = 0 approximate the optimized shape of original problem?

17 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad

18 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad

19 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 nmber of design variables 36 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad

20 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 nmber of design variables 36 nodal degrees of freedom 8 3 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad

21 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 nmber of design variables 36 nodal degrees of freedom 8 3 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad elastic body: Yong modls E := MPa, Poisson s ratio ν := 0.33

22 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 nmber of design variables 36 nodal degrees of freedom 8 3 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad elastic body: Yong modls E := MPa, Poisson s ratio ν := 0.33 coefficient of Colomb friction F := 0

23 Nmerical experiments Nmerical experiments: Signorini problem II (withot friction) nmber of sbdomains 8 nmber of design variables 36 nodal degrees of freedom 8 3 minα λ c (α) 4 4 sbject to α U ad elastic body: Yong modls E := MPa, Poisson s ratio ν := 0.33 coefficient of Colomb friction F := 0 body traction P := 3000 N mm

24 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Initial design

25 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Normal contact stress for initial design

26 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Normal contact stress for initial design λ c (α) 4 4 =

27 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Optimized design

28 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Normal contact stress for optimized design

29 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Normal contact stress for optimized design λ c (α) 4 4 =

30 Nmerical experiments Signorini problem II (withot friction): Normal contact stress for optimized design (smaller normal contact stress range scale)

31 Nmerical experiments Signorini problem I and II - comparison 1 (both with friction): Normal contact stress for optimized design

32 Nmerical experiments Signorini problem I and II - comparison (both with friction): Normal contact stress for optimized design

33 Nmerical experiments Signorini problem I and II - comparison (both with friction): Normal contact stress for optimized design λ c (α) 4 4 = λ c (α) 4 4 =

34 ŠKOMAM 019, Chyby, které se moho objevit Chyba matematického model Chyba metody, chyba aproximace Chyby v kód algoritm Chyby ve vstpních datech Zaokrohlovací chyby, chyby zápis čísla v počítači

35 ŠKOMAM 019, Mariner 1 Zničen při let k Venši kvůli chybě v kód algoritm Celková škoda cca 550 miliónů USD

36 ŠKOMAM 019, Systém Patriot Selhal během první války v Perském záliv kvůli zaokrohlovací chybě Výsledkem byl dopad irácké rakety Scd na americká kasárna a smrt 8 amerických vojáků a zranění cca 100 dalších osob

37 ŠKOMAM 019, Sleipner A Plošina Sleipner pro těžb zemního plyn, která byla místěna v Severním moři poblíž Norska, se zřítila kvůli chybě nepřesném požití metody konečných prvků (chyba metody, chyba aproximace) Celková škoda cca 700 miliónů USD

38 ŠKOMAM 019, Ariane 5 Zničen seknd po start kvůli špatném zápis čísla v počítači Celková škoda cca 500 miliónů USD

39 ŠKOMAM 019, Mars Climate Orbiter Zničen při vstp do atmosféry Mars kvůli chybě ve vstpních datech Celková škoda cca 330 miliónů USD

40 Děkji za pozornost! ŠKOMAM 019,

41 ŠKOMAM 019, Sotěžní otázka do sotěže ŠKOMAM Cp Převeďte číslo z desítkové sostavy do dvojkové: 0, ത1 10 =? Převeďte číslo z dvojkové sostavy do desítkové: 0, ത1 =? 10