odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných"

Transkript

1 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě jedné veličiny odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných veličin (většinou v teoretické oblasti) Volná závislost hodnotám jedné veličiny odpovídají různé hodnoty jiné veličiny při změnách hodnot těchto veličin se projevuje určitá obecná tendence (v praktických situacích) Statistická závislost volná závislost mezi kvantitavními veličinami Metody regresní a korelační analýzy slouží k poznání, matematickému popisu stat. závislostí a k hodnocení závěrů o vztahu zkoumaných veličin. Jednostranné závislosti regresní analýza zkoumání obecné tendence ve změnách závislé veličiny vzhledem ke změnám nezávislých vel. Vzájemné závislosti korelační analýza důraz na sílu vzájemného vztahu mezi vel. 1

2 Lineární rovnice s jednou nezávislou proměnnou Obecný tvar lineární rovnice s jednou nezávislou proměnnou y = b 0 + b 1 x b 0 a b 1 konstanty x nezávislá veličina, y - závislá veličina Graf lineární rovnice s 1 nezávislou proměnnou přímka; každá přímka, která není kolmá na osu x Geometrická interpretace b 0, b 1 b 0 y-úsek (intercept) b 1 směrnice (slope): indikuje změnu y-hodnoty, která je způsobena změnou x-hodnoty o jednu jednotku

3 Předpoklady: 8.1 Regresní přímka X nezávislá (vysvětlující) veličina (proměnná), regresor Y závislá (vysvětlovaná) veličina (proměnná) náhodná veličina P1. Teoretická regresní přímka: přímka y = β 0 + β 1 x : x E(Y X = x) = β 0 + β 1 x P. Shodné směrodatné odchylky: σ(y X = x) = σ(y ) x P3. Normalita: x Y N- rozdělení If β 0, β 1 a σ : x Y N(β 0 + β 1 x, σ ) = P1 P3 splněny Předpoklady P1, P, P3 model regresní přímky Symbolické vyjádření: ɛ N[0; σ ] Y = β 0 + β 1 X + ɛ = η + ɛ β 0, β 1 parametry (koeficienty) regresní přímky 3

4 Výběrová (empirická) regresní přímka x 1, x,, x n pozorované hodnoty veličiny X y 1, y,, y n pozorované hodnoty i.i.d. náh. v. Y 1, Y,, Y n, Y i N(β 0 + β 1 x i, σ ) y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i, η i = E(Y i X = x i ) = β 0 + β 1 x i β 0, β 1, σ obecně neznámé Cíl: Odhadnout β 0, β 1, σ na základě dvojic dat (x i, y i ), i = 1,,..., n b 0 a b 1 - bodové odhady parametrů β 0 a β 1 ŷ = b 0 +b 1 x výběrová (empirická) regresní přímka odhad teoretické regresní přímky Reziduum: e i = y i ŷ i n i=1 e i = 0 e i odhad hodnoty náhodné veličiny ɛ i Reziduální součet čtverců: S R = n i=1 e i = n i=1 (y i ŷ i ) 4

5 Bodové odhady parametrů β 0 a β 1 Kritérium: Minimalizace součtu čtverců S R S R = S(β 0, β 1 ) = n i=1 [y i (β 0 + β 1 x i )] Nutná podmínka pro minimum ryze konvexní funkce S(β 0, β 1 ) dvou proměnných β 0, β 1 : S β 0 β0 =b 0,β 1 =b 0 = n S β 1 β0 =b 0,β 1 =b 0 = n Systém normálních rovnic b 0 nb 0 + b 1 x i = n i=1 n i=1 x i + b 1 i=1 (y i b 0 b 1 x i ) = 0 n i=1 (y i b 0 b 1 x i )x i = 0 n i=1 y i i=1 x i = n i=1 x iy i Řešení: b 1 = n i=1 x i y i n xȳ n i=1 x i n x = s xy s x b 0 = ȳ b 1 x Výběrová regresní přímka: ŷ = b 0 + b 1 x = ȳ b 1 x + b 1 x = ȳ b 1 (x x) = ȳ b yx (x x) 5

6 Bodový odhad rozptylu σ Předpoklady: P1 P3 pro model regresní přímky Bodový odhad σ: s R s R = S R n, S R = n i=1 (y i ŷ i ) Směrodatná chyba odhadu rozptylu σ (reziduální směrodatná odchylka) (standard error of estimate) s R = S R n Interpretace s R : vyjadřuje jak se v průměru hodnota ŷ veličiny Y liší od pozorované hodnoty y 6

7 Rozdělení odhadů b 0, b 1 a ŷ b 0 β 0 s b0 t[n ]; b 1 β 1 s b1 t[n ]; ŷ i η i sŷ t[n ] s b0, s b1 směrodatné chyby odhadů b 0 a b 1 s b 0 = s R 1 n + x n i=1 (x i x) = s R x n i=1 (x i x) x = 1 n s b 1 = s R n i=1 x i 1 n i=1 (x i x) sŷ chyba regresní přímky pro i-té pozorování y i sŷ = s R (x i x) n i=1 (x i x) Pro n > 30 lze použít aproximaci N[0; 1]-rozdělením b 0 β 0 s b0 N[0; 1]; b 1 β 1 s b1 N[0; 1]; ŷ i η i sŷ N[0; 1] 7

8 Intervaly spolehlivosti pro β 0, β 1, η i Předpoklady: P1 P3 pro model regresní přímky Koeficient spolehlivosti: (1 α) Bodové odhady β 0, β 1, η i : b 0, b 1, ŷ i Krajní body 100(1 α)% intervalu spolehlivosti: b 0 ± t 1 α (n ) s b0 b 1 ± t 1 α (n ) s b1 ŷ i ± t 1 α (n ) sŷi i = 1,..., n s bi směrodatná (standardní) chyba odhadu b i, i = 0, 1 sŷi chyba regresní přímky pro i-té pozorování y i t 1 α (n ) 100(1 α/)% kvantil Studentova t-rozdělení s (n ) stupni volnosti 8

9 Testy hypotéz o parametrech β 0, β 1 Individuální t-test : H 0 : β i = 0 versus H 1 : β i 0 i = 0, 1 Testovací statistika: Kritický obor: T i = b i s bi t[n ] T i > t 1 α (n ) s bi směrodatná (standardní) chyba odhadu b i, i = 0, 1 t 1 α (n ) 100(1 α/)% kvantil Studentova t-rozdělení s (n ) stupni volnosti 9

10 Odhad a předpověd (predikce) Využití výběrové regresní přímky: pro odhad střední hodnoty závislé veličiny Y odpovídající určité hodnotě nezávislé veličiny X pro předpověd individuální hodnoty veličiny Y odpovídající určité hodnotě nezávislé veličiny X x P určitá hodnota nezávislé veličiny X ŷ P = b 0 + b 1 x P předpověd hodnoty y P veličiny Y pro X = x P E(Y X = x P ) střední hodnota Y na úrovni x P Bodový odhad E(Y X = x P ) : b 0 + b 1 x P Bodový odhad střední hodnoty Y na úrovni x P shodný s předpovědí individuální hodnoty y P. je 10

11 Interval spolehlivosti pro E(Y X = x P ) t-rozdělení pro IS v regresi T = ŶP (β 0 + β 1 x P ) 1 s R n + t[n ] (x P x) n i=1 (x i x) Předpoklady: P1 P3 pro model regresní přímky Koeficient spolehlivosti: (1 α) Bodový odhad E(Y X = x P ) : b 0 + b 1 x P Krajní body IS pro E(Y X = x P ): ŷ p ± t 1 α (n ) s R 1 n + (x p x) n i=1 (x i x) s R = S R n reziduální rozptyl t 1 α (n ) 100(1 α/)% kvantil Studentova t-rozdělení s (n ) stupni volnosti 11

12 Interval spolehlivosti pro y P IS pro y P interval předpovědi (predikce) pro y P (IP) t-rozdělení pro IP v regresi T = Y P ŷ P 1 s R + 1 n + t[n ] (x P x) n i=1 (x i x) Předpoklady: P1 P3 pro model regresní přímky Koeficient spolehlivosti: (1 α) Předpověd hodnoty veličiny Y pro hodnotu x P veličiny X: ŷ p = b 0 + b 1 x p Krajní body IS pro hodnotu y P na úrovni x P : ŷ P ± t 1 α (n ) s R n + (x P x) n i=1 (x i x) IP je širší než IS 1

13 8. Kvalita regresní přímky a intenzita závislostí Korelace a regrese Korelační model: Y a X náhodné veličiny Regresní model: Y náhodná Regresní model širší uplatnění Korelační koeficient r xy (výběrový): popisná míra síly lineárního (přímkového) vztahu mezi dvěma proměnnými r xy = s xy s x s y = s yx s y s x = r yx 1, 1 Regresní parametr b 1 a korelační koeficient r yx b 1 = s xy, r s yx = s xy s y = b 1 = r yx x s x s y s x b 1 = 0 r yx = 0 Pro teoretické hodnoty platí: β 1 = 0 ρ yx = 0 13

14 Vysvětlený a nevysvětlený součet čtverců (x i, y i ), i = 1,..., n pozorované hodnoty X a Y Pro odchylky platí: (y i ȳ) = (ŷ i ȳ) + (y i ŷ i ) celková = vysvětlená + nevysvětlená odchylka odchylka odchylka Pro součet čtverců platí: n i=1 (y i ȳ) = n i=1 (ŷ i ȳ) + n i=1 (y i ŷ i ) celkový = vysvětlený + nevysvětlený součet součet součet čtverců čtverců čtverců Vysvětlený součet čtverců je vysvětlen regresorem (veličinou X): n i=1 (y i ȳ) = b n 1 i=1 (x i x) + n i=1 (y i ŷ i ) celkový = součet čtverců + nevysvětlený součet vysvětlený (reziduální) čtverců z X součet čtverců 14

15 Regresní identita Celkový součet čtverců: S y = n (y i ȳ) i=1 Reziduální součet čtverců: S R = n (y i ŷ i ) i=1 Regresní součet čtverců: S T = n (ŷ i ȳ) i=1 Regresní identita: S y = S R + S T Výpočetní vzorce pro součty čtverců Celkový součet čtverců: S y = n i=1 y i ( n i=1 y i ) /n Regresní součet čtverců: S T = [ n i=1 x i y i ( n i=1 x i ) ( n i=1 y i ) /n] [ n i=1 x i ( n i=1 x i ) /n] Reziduální součet čtverců: S R = S y S T 15

16 Regresní t-test H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Test významnosti parametru β 1 užitečnosti X pro Y rozhodování o Jestliže β 1 = 0 = η = E(Y ) = β 0, D(Y ) = σ η, D(Y ) nezávisí na X = X neposkytuje žádnou informaci o rozdělení Y = neexistuje lineární vztah mezi X a Y Regresní t-test H 0 : β 1 = 0 versus H 1 : β 1 0 Testovací statistika: Kritický obor: T = b 1 s b1 t[n ] T > t 1 α (n ) s b1 směrodatná (standardní) chyba odhadu t 1 α (n ) 100(1 α/)% kvantil Studentova t-rozdělení s (n ) stupni volnosti 16

17 Analýza rozptylu regresní přímka Zdroj variability SS Df MS F S Vysvětlený (regresí) S T 1 T1 Nevysvětlený S R n Celkový S y n 1 S R n S T S R n F = rozptyl vysvětlený regresí nevysvětlený rozptyl = b 1 n i=1 (x i x) s R F-test analýzy rozptylu alternativní způsob testování hypotézy H 0 : β 1 = 0 (X nemá žádný vztah k Y ) H 1 : β 1 0 Hladina významnosti: α Testovací statistika: Kritický obor: F = S T1 S R n F [1; n ] F > F 1 α (1; n ) F 1 α (1; n ) 100(1 α)% kvantil Fisherova- Snedecorova rozdělení s 1 a (n ) stupni volnosti 17

18 Rovnocenné způsoby testování hypotézy: H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Regresní t-test F -test analýzy rozptylu Test nulovosti korelačního koeficientu ρ = 0 Rovnocennost regresního t-testu a F -testu: H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Vztah mezi F -statistikou a T -statistikou: F = b n 1 i=1 (x i x) s R = b 1 s R/ n i=1 (x i x) = b 1 s R = T Vztah mezi kvantily F [ν 1 ; ν ] a t[ν ]- rozdělení: Pro ν 1 = 1, ν libovolné, α platí: F 1 α (1, ν ) = t 1 α/(ν ) Výhoda t-testu možnost sestrojit IS pro β 1 18

19 Koeficient (index) determinace Koeficient determinace (v regresní analýze také název index determinace I )(Coefficient of determination, R-squared): R = vysvětlený součet čtverců celkový součet čtverců = S T S y = 1 S R S y 0, 1 R = R index korelace R charakteristika kvality regresního modelu: udává jakou část celkové variability lze vysvětlit zvoleným regresním modelem poměrné snížení celkového součtu čtverců chyb, kterého docílíme použitím regresní rovnice místo aritmetického průměru Interpretace: R blízké 0 naznačuje, že zvolená regresní funkce není příliš vhodná pro popis vztahu X a Y R blízké 1 naznačuje, že regresní přímka velice dobře vystihuje vztah X a Y 19

20 8.3 Obecný regresní model X 1, X,, X k nezávislé (vysvětlující) proměnné Y závislá (vysvětlovaná) veličina Regresní funkce: η E(Y ) = f(x 1, x,, x k ; β 0, β 1,..., β p ) x 1, x,..., x k naměřené (dané) hodnoty veličin X 1, X,, X k β 0, β 1,..., β p regresní parametry Y = f(x 1, x,, x k ; β 0, β 1,..., β p ) + ɛ = η + ɛ η deterministická složka ɛ náhodná složka: ɛ N[0; σ] Funkce f: zpravidla známá funkce nebo se předpokládá znalost tvaru fce β 0, β 1,..., β p, σ neznámé parametry 0

21 Dva základní typy regrese: Jednoduchá regrese - jedna nezávislá veličina (k = 1) η = f(x, β 0, β 1,, β p ) Vícenásobná regrese - více nezávislých veličin (k ) η = f(x 1, x,, x k ; β 0, β 1,..., β p ) 1

22 Jednoduchá regrese η = f(x, β 0, β 1,, β p ) Lineární regresní funkce lineární z hlediska parametrů η = β 0 + β 1 f 1 (x) + + β p f p (x) β 0, β 1,, β p neznámé regresní parametry f 1, f,, f p známé funkce nezávislé veličiny X Speciální případ: Modely lineární z hlediska parametrů i z hlediska vysvětlujících proměnných Příklady η = β 0 + β 1 x β p x p (a) přímková regrese: k = 1, f 1 (x) = x η = β 0 + β 1 x (b) parabolická regrese: f 1 (x) = x, f (x) = x η = β 0 + β 1 x + β x (c) polynomická regrese p-tého stupně: f i (x) = x i, i = 1,,, p η = β 0 + β 1 x + β x + + β p x p

23 (d) hyperbolická regrese: f 1 (x) = x 1 η = β 0 + β 1 x (e) hyperbolická regrese p-tého stupně: f i (x) = x i, i = 1,,, p η = β 0 + β 1 x + β x + + β p x p (e) logaritmická regrese: k = 1, f 1 (x) = log x η = β 0 + β 1 log x Nelineární regresní funkce nelineární z hlediska parametrů Příklady (α) exponenciální regrese p-tého stupně η = β 0 β f 1(x) 1 β f (x) β f p(x) p (β) exponenciální regrese prvního stupně: p = 1, f 1 (x) = x (γ) mocninná regrese η = β 0 β x 1 η = β 0 x β 1 3

24 Bodové odhady regresních parametrů y 1, y,, y n n nezávislých pozorování veličiny Y x 1j, x j,, x nj dané hodnoty X j, j = 1,,, k. Metoda nejmenších čtverců: min β 0,...,β p n i=1 [y i f(x 1i, x i,, x ki ; β 0, β 1,..., β p )] b 0 = ˆβ 0, b 1 = ˆβ 1,..., b p = ˆβ p Řešení: v případě regresních funkcí, které nejsou lineární z hlediska parametrů MNČ vede na soustavu nelineárních rovnic iterační algoritmy použití vhodné transformace Příklad: převedení pomocí logaritmické transformace Y = β 0 β f 1(x) 1 β f (x) β f p(x) p na Y = β 0 + β 1 f 1 (x) + + β p f p (x) 4

25 8.4 Vícenásobná regrese a korelace Vícenásobná lineární regrese Klasický lineární regresní model K1. Tvar regresní funkce: Y = β 0 + β 1 x β p x p + ɛ = η + ɛ K. X 1, X,..., X p nenáhodné, neexistuje mezi nimi lineární funkční vztah x j1, x j,..., x jn dané hodnoty proměnné X j, j = 1,,..., p K3. Rozdělení náhodné složky: ɛ N[0; σ ] K4. y 1, y,, y n pozorované hodnoty náh. veličin Y 1, Y,, Y n Y i = β 0 + β 1 x 1i β p x pi + ɛ i ɛ i N[0; σ ] cov(ɛ i ɛ j ) = 0 i j, i, j = 1,,..., n 5

26 Odhadnutá regresní funkce: nebo ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b x... + b p x p ŷ = b 0 + b yx1 x... x p x 1 + b yx x 1... x p x... + b yxp x 1 x... x p 1 x p Parciální (dílčí) regresní koeficienty: b yx1 x... x p, b yx x 1... x p,..., b yxp x 1 x... x p 1 Interpretace parciálních regresních koeficientů: charakteristiky k posouzení individuálního vlivu jednotlivých vysvětlujících proměnných na závislou proměnnou udávají odhad toho, jak se změnila v průměru závislá proměnná Y při jednotkové změně nezávisle proměnné před tečkou, za předpokladu konstantní úrovně proměnných uvedených za tečkou. 6

27 Regresní rovina (p=) - (dvojnásobná r.) η = β 0 + β 1 x 1 + β x y 1, y,, y n n nezávislých pozorování veličiny Y x 1j, x j,, x nj dané hodnoty X j, j = 1, Metoda nejmenších čtverců: min β 0,β 1,β n i=1 [y i β 0 β 1 x 1i β x i ] Ze soustavy normálních rovnic dostaneme: ȳ = b 0 + b 1 x 1 + b x b 0 = ˆβ 0, b 1 = ˆβ 1, b = ˆβ Odhadnutá regresní funkce: nebo ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b x ŷ = b 0 + b yx1 x x 1 + b yx x 1 x ŷ = ȳ + b yx1 x (x 1 x 1 ) + b yx x 1 (x x ) 7

28 B-koeficienty (Beta Coefficients) normalizované regresní koeficienty (bezrozměrné charakteristiky) Důvod zavedení: hodnoty parciálních korelačních koeficientů závisí na jednotkách, v jakých jsou vyjádřeny jednotlivé proměnné. Použití: pro srovnání a posouzení individuálního vlivu jednotlivých regresorů na závisle proměnnou. Transformace: ŷ i = ŷi ȳ s y, x ij = x ij x j s xj, i = 1,,..., n, j = 1, Odhadnutá regresní funkce pro p = : ŷ = B yx1 x x 1 + B yx x 1 x B yx1 x, B yx x 1 B-koeficienty Odhady B-koeficientů: MNČ Výpočet z dílčích regresních koeficientů B yx1 x = s x 1 s y b yx1 x = r yx 1 r yx r x1 x 1 r x 1 x B yx x 1 = s x s y b yx. x 1 = r yx r yx1 r x1 x 1 r x 1 x 8

29 Kvalita a intenzita vícenásobné lineární závislosti Míry těsnosti závislosti Y na X 1, X,..., X p Koeficient dílčí korelace (výběrový) r yx1 x...x p míra intensity lineární závislosti y na x 1 při konstantních x,..., x p r yx1 x...x p odhad ρ yx1 x...x p p = : r yx1 x = b yx1 x b yx x 1 Rekurentní vzorce pro výpočet r yx1 x a r yx x 1 : r yx1 x = r yx1 r yx r x1 x (1 r yx )(1 r x 1 x ) r yx x 1 = r yx r yx1 r x1 x (1 r yx1 )(1 r x 1 x ) p : r yx1 x...x p = r yx 1...x p 1 r yxp x x 3...x p 1 r x1 x p x x 3...x p 1 (1 r yxp x x 3...x p 1 )(1 r x 1 x p x x 3...x p 1 ) 9

30 Koeficient vícenásobné korelace (výběrový) r y x1 x...x p míra těsnosti lineární závislosti y na všech x 1, x,..., x p dohromady p = : Platí: r y x1 x = 0 r y x1 x...x p 1 r y x1 x...x p > max j=1,,...,p r yxj r yx 1 r yx1 r yx r x1 x + r yx 1 r x 1 x r y x1 x...x p odhad teoretického koef. vícenásobné korelace ρ y x1 x...x p Koeficient vícenásobné determinace: R = vysvětlený součet čtverců celkový součet čtverců = S T S y = 1 S R S y 0, 1 Upravený (korigovaný) koeficient determinace (Adjusted R-squared): R adj = 1 (1 R ) n 1 n p (bere v úvahu počet parametrů p a rozsah n) 30

31 Intervaly spolehlivosti a testy hypotéz v regresi a korelaci IS pro regresní parametry Koeficient spolehlivosti: (1 α) Bodové odhady β j : b j, j = 0, 1,..., p Krajní body 100(1 α)% IS: b j ± t 1 α (n p 1) s bj s bj směrodatná (standardní) chyba odhadu t 1 α (n p 1) 100(1 α )% kvantil t-rozdělení o (n p 1) stupních volnosti. 31

32 IS pro koeficienty korelace Párový korelační koeficient ρ yx : (a) ρ yx se málo liší od nuly, n > 100 Koeficient spolehlivosti: (1 α) Bodový odhad ρ yx : r yx Krajní body 100(1 α)% IS: r yx ± u 1 α 1 r yx n u 1 α 100(1 α/)% kvantil N (0; 1) (b) ρ yx > 0, 5 n malé Fisherova transformace: z r = 1 ln (1 + r yx) (1 r yx ), Z r N (E(Z r ), D(Z r )) E(Z r ) = 1 ln (1 + ρ yx) (1 ρ yx ) + ρ yx (n 1), D(Z r) = 1 n 3 Krajní body IS (ρ yx /[(n 1)] lze zanedbat): z r ± u 1 α 1 n 3 Parciální koeficient korelace: IS nemají praktické využití 3

33 Testy hypotéz o regresních parametrech Test: H 0 : β j = β 0j j = 0, 1,..., p versus a) H 1 : β j β 0j b) H 1 : β j > β 0j c) H 1 : β j < β 0j Testovací statistika: T = b j β 0j s bj t[n p 1] U = b j β 0j s bj N (0; 1) n p > 30 Kritické obory: a) T > t 1 α (n p 1) U > u 1 α b) T > t 1 α (n p 1) U > u 1 α c) T < t α (n p 1) U < u α 33

34 Celkový F-test o modelu zdroj variability SS DF MS F regresní S T p reziduální S R n p 1 celkový S y n 1 p + 1 počet regresních parametrů p počet vysvětlujících veličin Celkový F-test: S Tp S T /p S R /(n p 1) S R n p 1 H 0 : β 1 = β =... = β p = 0 H 1 : alespoň jeden regresní parametr β j 0 Hladina významnosti: α Testovací statistika: F = S Tp S R (n p 1) F [p; n p 1] Kritický obor: F > F 1 α (p; n p 1) F 1 α (p; n p 1) 100(1 α)% kvantil Fisherova- Snedecorova rozdělení s p a (n p 1) stupni volnosti. 34

35 Testy hypotéz o korelačních koeficientech Párový korelační koeficient ρ yx : Y a X lineárně nezávislé: ρ yx = 0 Test: H 0 : ρ yx = 0 versus a) H 1 : ρ yx 0 b) H 1 : ρ yx > 0 c) H 1 : ρ yx < 0 Testovací statistika: T = U = r xy 1 r n t[n ] xy r xy 1 r n N (0; 1) n > 30 xy Kritické obory: a) T > t 1 α (n ) U > u 1 α b) T > t 1 α (n ) U > u 1 α c) T < t α (n ) U < u α Test: H 0 : ρ yx = ρ 0 (ρ 0 ( 1, 1)) versus a) H 1 : ρ yx ρ 0 b)h 1 : ρ yx > ρ 0 c)h 1 : ρ yx < ρ 0 Testovací statistika: U = Z r z ρ0 n 3 N (0; 1) Kritické obory: a) U > u 1 α b) U > u 1 α c) U < u α 35

36 Koeficient dílčí korelace ρ yx1 x...x p : Test: H 0 : ρ yx1 x...x p = 0 versus nonh 0 Testovací statistika: T = r yx 1 x...x p n p 1 1 r yx1 x...x p t[n p 1] Kritický obor: T > t 1 α/ (n p 1) Koeficient vícenásobné korelace ρ y.x1 x...x p : Test: H 0 : ρ y.x1 x...x p = 0 versus H 1 : ρ y.x1 x...x p > 0 Testovací statistika: F = r y x 1 x...x p (n p 1) (1 r y. x 1 x...x p ) p F [p; n p 1] Kritický obor: F > F 1 α (p; n p 1) 36

37 Korelační analýza a regresní model Výběr nezávislých veličin v regresním modelu Multikolinearita závislost mezi nezávislými (vysvětlujícími proměnnými, regresory) Matice párových korelačních koeficientů R: R = 1 r 1... r 1p r r p r 31 r 3... r 3p r p1 r p... 1 r ij r xi x j i, j = 1,,..., p 37

38 Indikátor multikolinearity: det R neexistuje multikolinearita v praxi vzácné r ij = 0 i j, i, j = 1,,..., p = det R = 1 multikolinearita: r ij 0 i j, i, j = 1,,..., p = 0 det R < 1 úplná multikolinearita v praxi vzácné det R = 0 det R = 0 = alespoň jeden r ij = 1 Neexistuje řešení MNČ Interpretace: alespoň jeden r ij = 1 = všechny hodnoty jedné z vysvětlujících proměnných jsou stejným nenulovým násobkem některé jiné vysvětlující proměnné Důsledek: přidávání dalších vysvětlujících proměnných do modelu není účelné Multikolinearitu považujeme za vysokou: r ij > 0, 75 alespoň pro jeden korelační koeficient 38

39 Určení nejlepší podmnožiny regresorů v regresním modelu Zařazujeme pouze regresory, které výrazně zlepší odhad modelu tak, aby model nebyl zbytečně složitý. Sekvenční F -test ověření správnosti přidání (k + 1)-ní nezávislé proměnné (regresoru) do modelu Sekvenční F -test: H 0 : β k+1 = 0 (x k+1 nepřispívá k vysvětlení variability y) H 1 : β k+1 0 (x k+1 přispívá k vysvětlení variability y) Testovací statistika: F = S T (k+1) S T (k) S R F [1; n k ] n k S T (k+1) S T (k) přírustek regresního součtu čtverců S T po přidání (k + 1)-ní proměnné do modelu S R reziduální součet čtverců v modelu s (k + 1) regresory Kritický obor: F > F 1 α (1; n k ) 39

40 Metoda Stepwise (krokovací metoda) 1. metoda dopředná (forward) postupné přidávání přínosných regresorů do modelu. metoda zpětná (backward) postupné odstraňování nepřínosných regresorů z modelu 40

41 Maticový přístup k lineární regresi Regresní model lineární v parametrech i v nezávislých proměnných Předpoklady: M1. (Y 1, Y,, Y n ) náhodné veličiny M. X matice daných čísel (n (p + 1)), p + 1 < n X = 1 x x 1p x n1... x np M3. Pro náhodný vektor Y = (Y 1, Y,, Y n ) T platí: β = (β 0, β,..., β p ) T Y = Xβ + ɛ vektor neznámých parametrů ɛ = (ɛ 1, ɛ,..., ɛ n ) T vektor náhodných veličin: E(ɛ) = 0, Σ ɛ = σ I 41

42 Odhady regresních parametrů β Xβ nenáhodný vektor Z M3. = E(Y) = Xβ, Σ Y = σ I b = (b 0, b 1,..., b p ) T odhad β = (β 0, β,..., β p ) T Předpoklady: y = (y 1, y,..., y n ) T pozorovaná hodnota Y h(x) = p + 1 = X T X regulární matice Metoda nejmenších čtverců: minimalizace S(β) = (y Xβ) T (y Xβ) Řešení: b = (X T X) 1 X T y E(b)= β b nestranný odhad β Σ b = σ (X T X) 1 kovarianční matice β 4

43 Příklad (vícenásobná lineární regrese) Byly sledovány výdaje Y (v tisících) za potraviny a nápoje u jednotlivých domácností v závislosti na počtu členů domácnosti X 1 a na celkovém čistém příjmu domácnosti X (v tisících). V tabulce jsou uvedeny údaje o 7 náhodně vybraných domácnostech. Výdaje (Y )(v tisících) Počet členů (X 1 ) Čistý příjem (X ) (v tisících) a) Určete regresní rovnici závislosti výdajů za potraviny a nápoje na uvažovaných regresorech. b) Který regresor má větší vliv na výdaje za potraviny a nápoje? c) Vypočítejte parciální korelační koeficient mezi výdaji za potraviny a nápoje a čistými příjmy domácností při konstantním počtu členů domácnosti. d) Vypočítejte parciální korelační koeficient mezi výdaji za potraviny a nápoje a počtem členů domácnosti při konstantní výši čistého příjmu domácnosti. e) Pomocí metody stepwise-forward vyberte vhodnou podmnožinu regresorů (nezávislých proměnných). f) Pomocí metody stepwise-backward vyberte vhodnou podmnožinu regresorů (nezávislých proměnných). 43

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Regresní analýza. Eva Jarošová

Regresní analýza. Eva Jarošová Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Cvičící Kuba Kubina Kubinčák Body u závěrečného testu

Cvičící Kuba Kubina Kubinčák Body u závěrečného testu 1. Příklad U 12 studentů jsme sledovali počet dosažených bodů na závěrečném testu (od 0 do 60). Vždy 4 z těchto studentů chodili k jednomu ze 3 cvičících panu Kubovi, panu Kubinovi, nebo panu Kubinčákovi.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely )

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Úloha M608 Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Zadání : Při kvantitativní analýze lidského krevního séra ovlivňují hodnotu obsahu vysokohustotního

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I 5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 5 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 regresní analýza - vícenásobná lineární regrese korelační analýza Př. 10.1 Máte zadaný výstup regresní analýzy závislosti závisle proměnné Y na nezávisle proměnné X. Doplňte

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v marketingu Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Regresní analýza doplnění základů Vzhledem k požadavku Vašich kolegů zařazuji doplňující partii o regresní

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Vícenásobná regresní a korelační analýza 1 1 Tto materiál bl vtvořen za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. O vícenásobné závislosti mluvíme tehd, jestliže je závisle proměnná závislá na více nezávislých

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2014/15 Cvičení 5: Vícenásobná regrese, multikolinearita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Jednoduchá

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce KALIBRACE

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination.

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Neparametricke testy (motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Andrew Lang) 1. Příklad V následující tabulce jsou

Více

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách 13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Tabulka č. 1 95%ní intervaly Úsek Směrnice model L1 L2 L1 L2 Leco1-0, , , ,15618 OES -0, , , ,21271

Tabulka č. 1 95%ní intervaly Úsek Směrnice model L1 L2 L1 L2 Leco1-0, , , ,15618 OES -0, , , ,21271 1 Příklad 1. Porovnání dvou regresních přímek Při výrobě automatových ocelí dané jakosti byla porovnávána závislost obsahu uhlíku v posledním zkušebním vzorku (odebraném z mezipánve na ZPO a analyzovaném

Více

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální práce 1 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Ing. Ján Lengyel, CSc. Centrální analytická laboratoř Ústav jaderného výzkumu Řež, a. s. Husinec Řež 130 250 68 Řež V Řeži, únor

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Regrese používáme tehd, jestliže je vsvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Specifikace modelu = a + bx a závisle proměnná b x vsvětlující proměnná Cíl analýz Odhadnout hodnot

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Kanonická korelační analýza

Kanonická korelační analýza Kanonická korelační analýza Kanonická korelační analýza je vícerozměrná metoda, která se používá ke zkoumání závislosti mezi dvěma skupinami proměnných. První ze skupin se považuje za soubor nezávisle

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 10 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 10.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Kalibrace a limity její přesnosti Precheza a.s. Přerov 2005 Ing. Miroslav Štrajt 1. Zadání Úloha 1. Lineární kalibrace: u přímkové

Více

Ekonometrie. Jiří Neubauer

Ekonometrie. Jiří Neubauer Úvod do analýzy časových řad Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Úvod do analýzy

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Relativní riziko a poměr šancí Princip korelace dvou náhodných veličin Korelační koeficienty Pearsonůva Spearmanův Korelace a kauzalita

Více

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 10: Heteroskedasticita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Heteroskedasticita - teorie Druhý

Více

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Úloha 1: Lineární kalibrace

Úloha 1: Lineární kalibrace Úloha 1: Lineární kalibrace U pacientů s podezřením na rakovinu prostaty byl metodou GC/MS měřen obsah sarkosinu v moči. Pro kvantitativní stanovení bylo nutné změřit řadu kalibračních roztoků o různé

Více

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v marketingu Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pojem závislosti Je nutné rozlišit mezi závislostí nepodstatnou a mezi příčinnou čili kauzální závislostí.ta

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základ ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu I Cvičení 2 Zuzana Dlouhá Metodologický postup tvor EM 1. Specifikace modelu určení proměnných určení vzájemných vaze mezi proměnnými

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 6: Multikolinearita, umělé proměnné LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Otevřete si data z

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9 Statistické testování hypotéz Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení hodnoty parametru =stanovení intervalu spolehlivosti na μ, σ, ρ,

Více