T leso. T leso. nap ě tí na prostorovém elementu normálové - působí kolmo k ploše smykové - působí v ploše

Transkript

1 Prostorový model ákladní veli č in a vtah nejlépe odrážejí skte č nost obtížn ě ř ešitelný sstém rovnic obtížn ě jší interpretace výsledků ákladní vtah posktjí rámec pro odvoení D a 2D modelů D a 2D model avádí další p ř edpoklad, pomocí kterých se redkje dimene úloh i po č et rovnic a jejich nenámých veli č in nap ě tí na prostorovém element normálové - působí kolmo k ploše smkové - působí v ploše σ první inde normála k ploše drhý inde sm ě r působení M σ kladná plocha plocha s v ě tší so ř adnicí kladný sm ě r nap ě tí - na kladné ploše působí sohlasn ě s kladnými so ř adnými osami σ

2 podmínk rovnováh - momentové momentová rovnováha k ose ΣM i d dq dd osa dq d dq d dd d dd d analogick pro další os d dq S dq d dq dd tato ákonitost se naývá vájemnost smkových nap ě tí dík vájemnosti smkových nap ě tí je možno pracovat jen se 6 složkami nap ě tí, ale také poe se t ř emi podmínkami rovnováh (silovými) nový vektor nap ě tí má tvar { σ } { σ, σ, σ,,, } T Statické rovnice diferenciální podmínk rovnováh - silové vjadřjí silovo rovnováh na diferenciálním element tělesa. v bodě posntém o diferenciální délk je možno jejich hodnot definovat pomocí Talorova rovoje vžitím první parciální derivace dané veličin např σ se v bodě posntém o d definje σ σ * σ d např. pro směr se podmínka ΣF,i vjádří ve tvar: * * * ( σ σ ) d d ( ) d d ( ) d d Xddd σ X 2

3 3 podmínk rovnováh silové bývající se ískají podmínek rovnováh pro další sm ě r ΣF i a ΣF i, nebo cklicko ám ě no indeů -> -> -> maticový ápis kde X { X, Y, Z } T je vektor objemových sil X σ Y σ Z σ X σ Geometrické vtah vjadřjí ávislost mei přemístěními a deformacemi ( - ) odvodí se geometrických ávislostí na element tělesa, který deformací mění tvar v d d d d d d d d d d d d v d v v β α

4 Geometrické vtah Zbývající složk vektor deformace se odvodí e ávislostí ve bývajících dvo rovinách (možno ískat také cklicko áměno -> v -> w -> a -> -> -> ) v v w v w w maticový ápis T -. Fikální vtah - vtah napětí deformace (σ ) deformace od normálového napětí σ E pro ostatní směr σ υ υ E smkové napětí G materiálové charakteristik: E... Yongů v modl pržnosti... Poissonů v sočinitel příčné kontrakce G... modl pržnosti ve smk GE(2()) σ σ d d ' d σ d po deformaci d ' deformaci po d 4

5 Fikální vtah deformace od nap ě tí ve všech sm ě rech E σ so č tem deformací se íská [ σ υ( σ σ )] E E υσ E υσ pro další sm ě r le odvodit stejným působem nebo cklicko ám ě no indeů [ σ υ( σ σ )] [ σ υ( σ σ )] E E deformace od smk jso pro jednotlivé rovin neávislé, op ě t le ískat ám ě no indeů G G G Fikální vtah maticov ě Cσ kde C je matice poddajnosti [ C] E 2( ) 2( ) 2( ) 5

6 Fikální vtah vjád ř ení ávislostí nap ě tí na deformacích se íská inverí vtahů σ D kde D je matice thosti a íská se inverí matice poddajnosti C [ D] [ C] [ D] E ( )( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 2 ) ( 2 ) 2 Rekapitlace veli č in vektor nap ě tí { σ } { σ, σ, σ,,, } T vektor deformace vektor p ř,, emíst ě,,, ní Rekapitlace vtahů diferenciální podmínk rovnováh (3) σ X fikální vtah (6) Cσ nebo σ D geometrické vtah (6) { } { } T { } {, v, w} T T - 6

7 Hlavní nap tí Hlavní nap ě tí v rovin ě otá č ením so ř adného sstém se m ě ní hodnot vektor nap ě tí pro r č itý úhel pooto č ení se íská stav následjící napjatosti : ) normálová nap ě tí dosahjí etrémních hodnot e všech možných sm ě r ů 2) smkové nap ě tí je nlové normálová nap ě tí se naývají hlavní nap ě tí σ, σ 2 obvkle je σ ona č ováno algebraick v ě tší obo σ ma σ min 2 Hlavní nap ě tí v prostor normálová nap ě tí nabývají hodnot σ ma smková nap ě tí jso nlová σ 2 σ min 3 Prt Základní p ř edpoklad rovinného prt prů ř e ůstano po deformaci rovinné a - kolmé na os prt (prt be vliv práce posovajících sil) - obecn ě libovoln ě nato č ené vhledem k ose prt (prt s vlivem práce posovajících sil) normálové nap ě tí ve sm ě r kolmém na os prt je nlové p ř edpokladů plne lineární pr ůb ě h deformace a nap ě tí σ po výšce prů ř e svislý posn je po výšce konstantní vodorovný posn, resp. normálovo deformaci po výšce le vjád ř it pomocí veli č in na ose prt (, ϕ) resp. (,ρ) ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ρ kde ρ ϕ 7

8 Prt geometrické podmínk tah d d d d d d d d d ohb a smk ρ ϕ vi p ř edch. def. dw d ϕ w ϕ Prt Diferenciální podmínk rovnováh hodnota fnkce v posntém bod ě ( Talorova rovoje) N N* N d d ΣF i N N * n d N n ΣF i V V * q d V q ΣM i M M * m d Vd qdd M V m V M V* V d M * M d d d 8

9 Prt Fikální podmínk N σ d E d E( ρ) d E d Eρ d E ESρ k t ě žiš ť ové ose je S N E M M EIρ σ d 2 E d Eρ d ES EIρ E d E( ρ) d V d G d Gκ κ redkovaná smková plocha odvoeno energetické podmínk V G κ Prt vlivem smk na průhb Prt s vlivem smk Prt se anedbáním vliv smk normála ke st ř ednici ůstává normálo i po deformaci prt p ř edpoklad κ pak podmínk V G nele vjád ř κ it a podmínk se praví na ρ ϕ ρ w w ϕ 9

10 Prt Prt s vlivem smk Rekapitlace veli č in vnit ř ní síl N, V, M deformace prů ř e, ρ, p ř emíst ě ní prt, w, ϕ Rekapitlace vtahů statické podmínk N n V q M V m fikální podmínk N E V G κ M EIρ geometrické podmínk ρ ϕ w ϕ Prt Prt be vliv smk Rekapitlace veli č in vnit ř ní síl N, V, M deformace prů ř e, ρ p ř emíst ě ní prt, w Rekapitlace vtahů statické podmínk N n V q M V m fikální podmínk N E M EIρ geometrické podmínk ρ w