VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI DIFRAKČNÍCH JEVŮ V OPTICE

Transkript

1 VÝUKOVÝ SOFTWRE RO NLÝZU VIZULIZCI DIFRKČNÍCH JEVŮ V OTICE J. Novák,. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v raze bstrakt Difrakcí se rozumí ty odchylky v chování elektromagnetického vlnového pole, které nemohou být popsány a vysvětleny pomocí zákonů geometrické optiky. Difrakční jevy hrají velmi důležitou úlohu v např.oblasti optického zobrazování, kde umožňují popsat velmi dobře reálné chování obecných optických soustav, což není možno pomocí prostředků geometrické teorie. V práci byl vytvořen software ve výpočetním systému TLB pro výuku optiky s využitím počítačové simulace a analýzy vybraných difrakčních jevů. 1 Úvod Difrakční jevy hrají velmi důležitou úlohu v oblasti optického zobrazování. Na rozdíl od geometrické optiky difrakční teorie optického zobrazování přihlíží k vlnovým vlastnostem světla a ke konečným rozměrům optických soustav při zobrazování. ři zobrazování bodu reálnou optickou soustavou bez aberací nebude obrazem bod, ale difrakční obrazec s prostorovým rozdělením energie. Dále se teorie difrakce se především uplatňuje při hodnocení kvality optického zobrazení, studiu difraktivních procesů na difrakčních strukturách a prvcích, v aplikacích v oblasti holografie a difraktivní optiky, apod. [1-]. V praxi se pro výpočet difrakčních jevů používají přibližné (aproximativní metody, jež s dostatečnou přesností umožňují získání výsledků, které velmi dobře souhlasí s praktickými experimenty. V rámci výuky fyziky si ve většině případů vystačíme se skalárním popisem šíření světla a řešíme tedy problematiku skalárního popisu difrakce světla. V práci je ukázána možnost použití výpočetního prostředí TLB pro vytvoření výukového softwaru pro počítačové modelování různých difrakčních jevů ve výuce fyziky a aplikované optiky [3-6]. ro jednotlivé případy difrakčních procesů jsou vytvořeny matematické algoritmy, které umožňují přibližný (numerický výpočet a vizualizaci vyšetřovaných difrakčních jevů [1,4,7,8]. Takovéto počítačové programy poté mohou vhodně sloužit k názorné výuce procesů difrakce ve fyzice a jako vhodný doplněk výuky fyziky. Difrakce světla Difrakcí světla se rozumí odchylky šíření světla, které nemohou být popsány pomocí zákonů geometrické optiky. Rigorózní řešení difrakce lze získat pouze v několika málo jednoduchých geometrických případech (difrakce na klínu, válci, kouli, polorovině, apod.. V praxi se proto používají pro výpočet difrakčních jevů přibližné (aproximativní metody, jež s dostatečnou přesností umožňují získání výsledků, které velmi dobře souhlasí s experimenty. V rámci výuky fyziky ve většině případů vystačíme se skalárním popisem šíření světla. ředpokládáme tedy, že vlastnosti světla budou dostatečně přesně popsány jednou skalární funkcí, kterou může být např. složka vektoru elektrické nebo magnetické intenzity. ředpokládáme dále, že ostatní složky mohou být nezávisle zkoumány stejným způsobem. Zcela tedy ignorujeme ten fakt, že složky vektorů elektromagnetického pole jsou vázány axwellovými rovnicemi a nelze je z principiálního hlediska proto zkoumat nezávisle. rováděné experimenty však ukazují, že skalární teorie difrakce dává velmi přesné výsledky jsou-li splněny podmínky, že rozměry těles na kterých nastává difrakce jsou mnohonásobně větší než je vlnová délka záření a že difrakční jevy jsou zkoumány v dostatečně velkých vzdálenostech od těles, na kterých difrakce nastává.

2 ředpokládejme nyní případ difrakce světla na apertuře (otvoru v nepropustném stínítku S (obr.1. řijměme dále následující hraniční podmínky: a v otvoru má pole U stejnou hodnotu jako by mělo, kdyby stínítko v daném místě nebylo, b na části stínítka S, která leží vně otvoru je amplituda pole U identicky rovna nule. Naším úkolem je určit amplitudu pole v libovolném místě za stínítkem, za předpokladu, že známe amplitudu pole U( v rovině otvoru stínítka. y r z x S z Obr.1: Difrakce světla na otvoru ve stínítku Sommerfeld odvodil vhodnou volbou tvaru Greenovy funkce a příslušné hraniční podmínky vztah pro komplexní amplitudu pole ve tvaru [1,] i exp( ikr U ( = U ( cos( n, r λ r d, (1 kde ( x, y, z je bod za stínítkem, ve kterém určujeme stav vlnového pole, ( x, y, z je bod v rovině otvoru ve stínítku, r = r r je vzájemná vzdálenost bodů a, cos( n, r je kosinus úhlu, který svírá vektor normály ke stínítku n a průvodič r = r r, a integraci provádíme přes plochu otvoru stínítka. ředchozí vztah se nazývá tzv. Sommerfeldovým řešením difrakce na otvoru (Sommerfeldův difrakční integrál. Tento vztah nám umožňuje určit stav pole U( v libovolném bodě oblasti omezené plochou S, je-li známo pole U( na této ploše. 3 proximativní řešení difrakce ři řešení praktických problémů difrakce nám často geometrie vyšetřované situace dovoluje použít určité aproximace, usnadňující výpočet difrakčního integrálu (amplitudy a intenzity vlnového pole. Zabývejme se nyní dvěma nejdůležitějšími případy a to Fresnelovou a Fraunhoferovou aproximací difrakčního integrálu [1,,8]. Fresnelova aproximace ostup, kterým dospějeme k aproximativnímu řešení difrakčního problému si ukážeme na případě Sommerfeldova difrakčního integrálu, který se při praktickém řešení difrakčních úloh nejčastěji používá. Za předpokladu, že kr >> 1, a použitím přibližných vztahů r ( x x + ( y y z +, cos(, r 1 z n,

3 můžeme s dostatečnou přesností aproximovat difrakční integrál (1 vztahem U ( i exp( ikz ik [( x x + ( y y ] dx dy = U ( exp z z. ( λ Tento vztah představuje tzv. Fresnelovu aproximaci Sommerfeldova difrakčního integrálu. ůžeme jej ještě dále upravit pro praktické použití do tvaru U ( = C U ( exp ik z ( x ik + y exp ( x x + y y dx dy, z kde konstanta C je dána jako i exp( ikz ik C = exp ( x + y. (3 λ z z Z předchozího vztahu je vidět, že výslednou amplitudu vlnového pole U( lze vypočítat pomocí Fourierovy transformace. Fraunhoferova aproximace ůžeme-li (pokud nám to vyšetřovaná situace dovoluje položit přibližně ik exp z ( x + y 1 nebo ik U ( = T ( exp ( x + y, (4 z potom docházíme k tzv. Fraunhoferově aproximaci difrakčního integrálu. rvní situace nastává v případě, kdy charakteristické rozměry otvoru, na kterém nastává difrakce, jsou mnohem menší než je vzdálenost z vyšetřovaného bodu od otvoru. Druhá situace nastává v případě, kdy na otvoru stínítka dochází k difrakci konvergentní kulové (nebo přibližně kulové vlny se středem v bodě nebo v jeho bezprostřední blízkosti. Funkce T( charakterizuje vlastnosti této vlny v rovině otvoru stínítka. Difrakční integrál ve Fraunhoferově aproximaci má v prvním případě tvar U a v druhém případě platí U ik dx dy, (5a ( =C U ( exp ( xpx + y p y z p ( =C T ( exp ( x p x + y p y z p kde konstanta C je dána vztahem (3. Označíme-li dále ik dx dy, (5b u = x z a v = y z, potom můžeme předchozí vztahy (.17 psát ve tvaru [ ik( ux vy ] dx dy U ( =C U ( exp +. (6a [ ik( ux vy ] dx dy U ( =C T ( exp +. (6b Vidíme, že v rámci platnosti Fraunhoferovy aproximace je pole U( úměrné Fourierově transformaci pole v otvoru stínítka a pro výpočet lze s výhodou použít algoritmus rychlé Fourierovy transformace.

4 4 Výukový software pro počítačovou simulaci a analýzu difrakčních jevů V rámci této práce byl vytvořen software, který umožňuje jednoduchým způsobem provádět matematické modelování vybraných difrakčních jevů, zejména pak případu Fresnelovy a Fraunhoferovy difrakce na různých typech apertur. Obr.: rofily rozdělení intenzity ve směru os X a Y při difrakci na eliptickém otvoru Obr.3: 3D graf rozdělení intenzity při difrakci na eliptickém otvoru

5 Software umožňuje počítačově simulovat difrakci světla na různých typech otvorů ve stínítku, mřížkách, na rovné hraně, apod. Získané výsledky lze případně porovnat s experimenty v laboratoři. ro Fraunhoferovu difrakci byly jako ilustrativní příklady vybrány následující apertury, mezi které je možno jednoduše volit: eliptický otvor, obdélníkový otvor, jednoduchá štěrbina, mezikruží, sada obdélníkových otvorů, trojúhelníkový otvor, amplitudová binární difrakční mřížka, amplitudová a fázová harmonická mřížka. V programu je možno zadávat vlnovou délku, rozměry a počet jednotlivých apertur. ro každý modelovaný případ se dají zobrazit 4 typy grafů: tvar apertury, 1D profily rozdělení intenzity (obr., D graf intenzity a 3D graf intenzity (obr.3. V případě Fresnelovy difrakce byly jako příklady vybrány následující apertury, mezi kterými je možno jednoduše volit: kruhový otvor, obdélníkový otvor, dvojice obdélníkových otvorů, apertura ve tvaru kříže, štěrbina a dvojštěrbina. Dále je též možno počítačově simulovat Fresnelovu difrakci na nepropustném tenkém vlákně (drátu resp. na rovné hraně. V programu je možno zadávat pomocí posuvného jezdce Fresnelovo číslo N F v rozmezí 0, a sledovat vliv jeho hodnoty na tvar difrakčního obrazce (rozdělení intenzity. ro každý případ zvolené apertury se dají opět zobrazit 4 typy grafů: tvar apertury, 1D profil rozdělení intenzity, D graf intenzity (obr.4 a 3D graf intenzity. Obr.4: D graf rozdělení intenzity v případě Fresnelovy difrakce na štěrbině ( N = 10 F Vytvořené počítačové programy lze využít pro názornou vizualizaci difrakčních jevů, které nastávají na různých tvarech apertur. Studenti tak mají možnost sledovat jak tvar a rozměry apertury resp. vzdálenost roviny pozorování ovlivňují výsledné rozdělení intenzity při difrakci světla. omocí TLBU byla vytvořena též aplikace, která umožňuje počítačovou simulaci a analýzu vlivu difrakce a parametrů optických soustav na kvalitu zobrazení či rozlišovací schopnost optických soustav.

6 5 Závěr V práci byl s využitím prostředků výpočetního systému TLB vytvořen výukový software pro počítačovou simulaci a analýzu základních difrakčních jevů v optice. očítačové programy umožňují velmi jednoduchou a názornou vizualizaci vybraných případů Fraunhoferovy a Fresnelovy difrakce světla na aperturách s různým tvarem a rozměry. Uvedené aplikace mohou tak sloužit jako vhodný doplněk výuky fyziky a aplikované optiky. S použitím počítačových aplikací mohou studenti modelovat difrakční proces na různých typech apertur a struktur a vyšetřovat vliv difrakce na kvalitu zobrazení či rozlišovací schopnost optických soustav. ráce byla vypracována v rámci projektu S inisterstva školství ČR. Literatura [1] ikš.: plikovaná optika 10, Vydavatelství ČVUT, raha 000. [] Born. -Wolf E.: rinciples of optics, ergamon ress, NewYork [3] Novák, J. - ultarová, I. - Novák,.: Základy informatiky - počítačové modelování v atlabu. Vydavatelství ČVUT, raha 005. [4] Novák, J. - Novák,.: Computer odelling in hysics Using atlab. roceedings of International Workshop: hysical and aterial Engineering 005. raha: Czech Technical University in rague, 005, s [5] ikš,. - Novák, J.: Education of Optics with atlab. roceedings of SIE Vol.559, Washington: SIE, 003, s [6] Novák, J. - Novák,.: očítačové simulace ve výuce fyziky s užitím atlabu. Technical Computing rague 005: 13th nnual Conference roceedings. raha: VŠCHT, 005. [7] ikš,. - Novák, J.: ethod for Fast Numerical Calculation of Diffraction Integrals. roceedings of the International Conference athematical and Computer odelling in Science and Engineering. rague: CTU, 003, s [8] ikš,. - Novák, J.: Simulace difrakčních jevů s použitím atlabu. atlab 000. raha : Vysoká škola chemicko-technologická, 000, s Ing. Jiří Novák, hd., Katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v raze, Thákurova 7, raha 6. tel: , fax: , novakji@fsv.cvut.cz Ing. avel Novák, Katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v raze, Thákurova 7, raha 6. tel: , fax: , xnovakp9@fsv.cvut.cz