Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague"

Robert Brož
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

2 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0, x 1,..., x n chceme napočítat její derivaci v některém z bodů x 0, x 1,..., x n, ale třeba i jinde numerický se hodí např. při výpočtu Newtonovy metody při řešení obyčejných diferenciálních rovnic při řešení parciálních diferenciálních rovnic

3 3 / 21 s výhodou můžeme využít aproximaci f pomocí Lagrangeova polynomu L n (x) ze vztahu f (x) = L n (x) + R n (x), snadno dostáváme f (k) (x) = L (k) n (x) + R (k) (x) potřebujeme tedy akorát vyjádřit L (k) n n (x) a R (k) (x) n

4 4 / 21 Lemma 1 l j (x) = i j 1 x x i k j x x k x j x k. Remark 2 Platí tedy L n(x) = n j=0 f (x j )l j (x). Bohužel, obecné odvození vyšších derivací je obtížné.

5 5 / 21 Theorem 3 Bud I x D f nejmenší interval takový, že x, x 0, x 1,..., x n I x a f má na I x derivaci řádu k + n + 1. Bud L n Lagrangeův interpolační polynom příslušný k funkci f a bodům x 0, x 1,..., x n. Pak existuje ξ(x) I x takové, že f (k) (x) L (k) n (x) = R (k) n (x) k ( k ) ( i=0 i f (n+1) (ξ(x)) ) (k i) (i) ω n (x) =. (n + 1)!

6 6 / 21 Lemma 4 ω (k) n (x) = n n i 1 =0 i 2 =0 i 2 i 1... n n i k =0 j=0 i k i 1,...,i k i k 1 j i 1,...,j i k (x x j ). Remark 5 Z výrazu pro ω n(x) je vidět, že obecně neexistuje i = 0, 1,..., n, aby lim ω x x i n(x) = 0.

7 7 / 21 Lagrangeova interpolace nám tedy neumožňuje získat derivaci fce. v daném bodě s libovolnou přesností důvod je ten, že f (x) je určena nekonečně malým okolím bodu x, ale body x 0, x 1,..., x n nejsou nekonečně blízko x bude nás zajímat, co se stane, když budeme zmenšovat rozestupy mezi body

8 8 / 21 Remark 6 Mějme bod x 0 R a chceme napočítat derivaci f (x 0 ). Zvolme: parametr h R, h > 0 body x i = x 0 + ih pro i = l 1,..., l 2 označme n = l 1 + l 2 označme f i = f (x i ) Pak lze konstruovat Lagrangeův polynom L n (x) = l 2 i= l 1 f i l i (x), kde l i (x) = l 2 j= l 1 j i x x j x i x j.

9 9 / 21 libovolné x < x l1, x l2 > lze zapsat jako kde a tedy pro x = x 0 + th, t < l 1, l 2 >, L n (x) = L n (th) = l i (t) = l 2 j= l 1 j i l 2 i= l 1 f i l i (t), t j i j.

10 10 / 21 Pro chybu při výpočtu platí: R (k) n (x) = f (k) (x) L (k) n (x) k ( k ) ( i=0 i f (n+1) (ξ(x)) ) (k i) (i) ω n (x) =. (n + 1)! kde ω (k) n (t) = h n+1 k l 2 l 2 i 1 = l 1 i 2 = l 1 i 2 i 1... l 2 l 2 i k = l 1 j= l 1 i k i 1,...,i k i k 1 j i 1,...,j i k (t j). Pokud nyní h zmenšujeme k nule, klesá chyba aproximace f (k) (x 0 ) s řádem n + 1 k.

11 11 / 21 Remark 7 Při aproximaci pomocí Lagrangeova polynomu ale děláme zároveň interpolaci. To zbytečně navyšuje požadavky na hladkost funkce f. Ukážeme si, jak aproximovat pomocí konečných diferencí. Remark 8 Symbolem O(h r ) budeme rozumět výraz, který klesá k nule s r-tou mocninou při h 0.

12 Konečné diference Theorem 9 Bud f C 2 (x 0, x 1 ), pak pro dopřednou konečnou diferenci platí f 1 f 0 = f (x 0 ) + O(h), h tj. jde o aproximaci první s přesností prvního řádu. Remark 10 Při použití Lagrangeova polynomu: : k = 1 řád aproximace: 1 = n + 1 k n = 1 hladkost f : f (n+1+k) f (3) 12 / 21

13 Konečné diference Theorem 11 Bud f C 2 (x 1, x 0 ), pak pro zpětnou konečnou diferenci platí f 0 f 1 = f (x 0 ) + O(h), h tj. jde o aproximaci první s přesností prvního řádu. 13 / 21

14 Konečné diference Theorem 12 Bud f C 3 (x 1, x 1 ), pak pro centrální konečnou diferenci platí f 1 f 1 = f (x 0 ) + O(h 2 ), 2h tj. jde o aproximaci první s přesností druhého řádu. Remark 13 Při použití Lagrangeova polynomu: : k = 1 řád aproximace: 2 = n + 1 k n = 2 hladkost f : f (n+1+k) f (5) 14 / 21

15 Theorem 14 Bud f C 4 (x 1, x 1 ), pak platí Konečné diference f 1 2f 0 + f 1 h 2 = f (x 0 ) + O(h 2 ), tj. jde o aproximaci druhé s přesností druhého řádu. Remark 15 Při použití Lagrangeova polynomu: : k = 2 řád aproximace: 2 = n + 1 k n = 3 hladkost f : f (n+1+k) f (6) 15 / 21

16 16 / 21 Konečné diference Example 16 Odvod te konečnou diferenci pro náhradu druhé s přesností druhého řádu. Theorem 17 Bud f C (n+1) (x 0, x n ), pak existuje konečná diference pro náhradu k-té s přesností řádu n + 1 k pro k = 1,..., n.

17 17 / 21 integrálu Mějme integrabilní funkci f :< a, b > R. Bude nás zajímat aproximace I(f ) b a f (x)dx. Numerické vztahy pro aproximaci I(f ) se nazývají: vzroce pro numerickou integraci numerical integration formulae kvadraturní vzorce quadrature formulae Nejčastěji aproximujeme funkci f funkcí f n, pro kterou lze intergál spočítat přesně a snadno. Opět je možné využít Lagrangeovu interpolaci.

18 18 / 21 Chyba numerické integrace Bude nás zajímat chyba R n (f ) = I(f ) I n (n) = I(f ) I(f n ), kde jsme použili značení I n (f ) := I(f n ). Pro odvození řádu aproximace zavedeme značení h := b a.

19 19 / 21 Obdélníková formule Theorem 18 Bud f C (2) (a, b) a x 0 = a+b 2, pak obdélníková formule I 0 (f ) = hf (x 0 ), je aproximace I(f ) s přesností třetího řádu.

20 20 / 21 Lichoběžníková formule Theorem 19 Bud f C (2) (a, b), x 0 = a a x 1 = b, pak obdélníková formule I 1 (f ) = h 2 [f (x 0) + f (x 1 )], je aproximace I(f ) s přesností třetího řádu.

21 21 / 21 Cavalieriho-Simpsonova formule Theorem 20 Bud f C (4) (a, b), x 0 = a, x 1 = a+b 2 a x 2 = b, pak obdélníková formule I 2 (f ) = h 6 [f (x 0) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )], je aproximace I(f ) s přesností pátého řádu.

Podobné dokumenty

Kombinatorická minimalizace

Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny