18 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim při difrakci na mřížkách
|
|
- Františka Vacková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH 1 18 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim při difrakci na mřížkách V odst. 2.1 bylo vysvětleno že vlnová funkce záření difraktovaného nějakým objektem f x ve směru n = n 0 + X je určena Fourierovou transformací F X objektu f v bodě jehož průvodič je roven vektoru rozptylu X. Několik předchozích kapitol pojednávalo o Fourierově transformaci mřížek. Je tedy vše připraveno k diskusi difrakce na mřížkách. Začneme difrakcí na trojrozměrné mřížce. Viděli jsme že Fourierova transformace mřížky je reciproká mřížka s konstantou K = 2π k srov. odst V případě že původní mřížka je konečná jsou mřížkové body 2π k X h této reciproké mřížky osazeny tvarovými amplitudami G 1 X viz 1712 jež superponují a vytvářejí mřížkovou amplitudu G X srov Tato mřížková amplituda G X je periodickou funkcí a její absolutní hodnota je maximální právě v bodech X = 2π k X h viz 175. To je velmi významná skutečnost neboť z ní vyplývají nejdůležitější vztahy strukturní analýzy: Laueovy rovnice a Braggova rovnice. Říká totiž že hlavní difrakční maxima jsou ve směrech n h pro něž je vektor rozptylu X = 2π k X h takže podle jeho definice 2.17 je X = n h n 0 = 2π k X h = 2π k h1 a h 2 a h 3 a Zde ovšem k už není konstanta kterou bychom si mohli volit jako ve Fourierově transformaci nýbrž vlnové číslo k = 2π λ λ je vlnová délka záření jak je tomu v integrálu Podmínka pro směry n h hlavních maxim tím nabývá tvaru n h n 0 = X λ h 2 známého z příruček strukturní analýzy viz též např. [1] str Obrázek 1: Ewaldova konstrukce. představují tvarové amplitudy G 1 v mřížkových bodech reciproké mřížky. Geometrickou interpretací této podmínky je Ewaldova konstrukce jíž se rozumí toto viz obr. 1: i Pomocí vztahů 4.27 sestrojíme reciprokou mřížku k mřížce na níž dochází k difrakci a mřížkové polohy osadíme tvarovými amplitudami vypočtenými podle 177 a 178 s k = 2π v 177. ii Počátkem O reciproké mřížky vedeme kulovou plochu ρ o poloměru 1 λ a se středem v bodě C určeném podmínkou CO = n0 λ Ewaldova kulová plocha.
2 2 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH iii Z rovnice 2 pak vyplývá že difrakční maxima mají směry n h ze středu C k těm bodům Q kulové plochy ρ které koincidují s mřížkovými body X h reciproké mřížky. Tvary difrakčních stop tedy představují řezy čtvercem modulu tvarových amplitud G rozmístěných v mřížkových bodech reciproké mřížky Ewaldovou kulovou plochou ρ. Touto cestou vypovídají tvary difrakčních stop o tvaru krystalu na němž dochází k difrakci. Toho lze využít ke studiu tvaru nanokrystalů a počátečního stádia krystalizace [4]. Proto byly vypočteny tvarové amplitudy některých základních mnohostěnů odst. A.8 [5] [6] [7]. Jiným vyjádřením podmínky 2 jsou Laueovy rovnice [2]. Získají se z rovnice 2 postupným skalárním násobením základními vektory a 1 a 2 a 3 mřížky. S použitím 4.21 dostaneme n h n 0 a1 = h 1 λ n h n 0 a2 = h 2 λ n h n 0 a3 = h 3 λ tj. cos α 1 cos α 01 = h1λ a 1 cos α 2 cos α 02 = h2λ a 2 cos α 3 cos α 03 = h3λ a 3 kde α 0r značí úhel n 0 a r tj. úhel směru dopadajícího záření a směru základního vektoru a r mřížky. Podobně α r značí úhel n h a r tj. úhel směru difrakčního maxima a vektoru ar. 3 Obrázek 2: K odvození Braggovy rovnice. Porovnáním velikostí vektorů na obou stranách rov. 2 se získá známá Braggova rovnice [3]: Podle obr. 2 platí n h n 0 = 2 sin ϑ a z mřížkové geometrie je známo viz např. Dodatek C rov. 5 že X h = 1 d h kde d h je mezirovinná vzdálenost rovin s Millerovými indexy h 1 h 2 h 3. Takže z 2 plyne λ = 2d h1h 2h 3 sin ϑ. 4 Z Ewaldovy konstrukce obr. 1 je zřejmé že v obecném případě nemusí Ewaldova kulová plocha procházet žádným jiným mřížkovým bodem reciproké mřížky kromě počátku O takže žádné hlavní difrakční maximum nemusí být pozorovatelné a to i v případě že je splněna podmínka λ < 2a r. Totéž je zřejmé i z Laueových rovnic 3 neboť představují tři rovnice pro tři směrové kosiny směru hlavního difrakčního maxima vázané ovšem ještě podmínkou že jde o souřadnice jednotkového vektoru n h. Máme tedy čtyři podmínky pro tři veličiny cos α r a těm v obecném případě nemohou při určitém λ a celočíselných hodnotách h 1 h 2 h 3 směrové kosiny vyhovět. V rentgenografii se proto používá různých metod k tomu aby se hlavní difrakční maxima objevila viz např. [8] [9]. Při Laueově metodě dopadá na monokrystal záření se spojitým spektrem a podmínka 2 je splněna pro záření určitých vlnových délek. Jednotlivým difrakčním stopám tak odpovídají různé vlnové délky. Používá-li se ke studiu monokrystalů monochromatického rentgenového záření je třeba pohybovat monokrystalem tak aby se spojitě měnila orientace monokrystalu vzhledem k dopadajímu svazku metoda otáčejícího se krystalu Weisenbergova metoda precesní metoda. S otáčejícím se monokrystalem se otáčí také jeho reciproká mřížka a podmínka 2 je vždy splněna pro některou orientaci mřížkového vektoru X h reciproké mřížky. Podobně je tomu při studiu polykrystalických nebo práškových preparátů. Dopadající záření je monochromatické a v preparátu vždy existují tak orientovaná monokrystalická zrna že je splněna podmínka 2 a vzniká difrakční obrazec debyegram.
3 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH 3 Při difrakci rychlých elektronů bývá vlnová délka o dva řády menší než mřížkové parametry takže Ewaldova kulová plocha ρ má tak velký poloměr ve srovnání s mřížkovými parametry reciproké mřížky že ji můžeme nahradit tečnou rovinou τ v počátku O viz obr. 3. Navíc preparáty bývají tenké takže tvarové amplitudy mají tvar jehlic kolmých na preparát. V důsledku toho je difraktovaná intenzita ve směrech CQ značná i když vektor OQ se liší od mřížkového vektoru X h = OQ reciproké mřížky viz obr. 3. Difrakční obrazec lze pak aspoň v jeho střední části považovat za rovinný řez reciprokou mřížkou odchylka Q Q je malá ve srovnání s mřížkovým parametrem reciproké mřížky. Obrázek 3: Aproximace Ewaldovy kulové plochy ρ tečnou rovinou τ při difrakci rychlých elektronů na krystalech λ a r. Dvojrozměrná analogie k právě probrané trojrozměrné difrakci kdy vektory n h n 0 leží v rovině dvojrozměrné mřížky by mohla eventuálně mít jistý význam pro planární optiku nikoli však pro strukturní analýzu. Nebudeme se jí proto zabývat. Uvedeme jen že situace by byla obdobná: Ewaldova kružnice by procházela počátkem dvojrozměrné reciproké mřížky a dvě Laueovy rovnice by obecně přeurčovaly dva směrové kosiny směru hlavního difrakčního maxima vázané ještě podmínkou že musí být složkami jednotkového vektoru n h mřížkové přímky by byly charakterizovány dvěma Millerovými indexy h 1 h 2 atd. Velký význam pro fyziku povrchů LEED RHEED a optiku Fraunhoferova difrakce má však trojrozměrná difrakce na dvojrozměrných mřížkách. Míní se tím situace kdy na dvojrozměrný objekt dopadá rovinná vlna s vektorem n 0 neležícím v rovině objektu v praxi většinou kolmým k objektu. Mějme tedy dvojrozměrnou mřížku se základními vektory a 1 a 2 a nechť na ni dopadá rovinná vlna jejíž vektor šíření n 0 svírá s normálou k mřížce úhel α 0 viz obr. 4 tj. cos α 0 = n 0. a1 a2 a. Dvojrozměrná 1 a 2 mřížka je nekonečně tenkým objektem v E 3 a její Fourierovou transformací je dvojrozměrná reciproká mřížka v rovině rovnoběžné s původní mřížkou vypočtená podle vztahů nikoli však nekonečně
4 4 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH Obrázek 4: Ewaldova konstrukce při šikmém dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku L. RL reciproká mřížka ρ Ewaldova kulová plocha P 0 P rovina difrakčního obrazce kolmého na směr n 0 dopadajícího záření. tenká nýbrž naopak protažená do nekonečna ve směru kolmém k dvojrozměrné mřížce. Vedeme-li počátkem O Ewaldovu kulovou plochu ρ můžeme očekávat hlavní difrakční maxima ve směrech ze středu C k bodům v nichž kulovou plochu ρ protínají přímky jdoucí mřížkovými polohami X h dvojrozměrné reciproké mřížky kolmo k rovině mřížky viz obr. 4. Podmínka pro hlavní difrakční maxima má tedy tvar n h n 0 λ = X h + l h a 1 a 2 a 1 a 2 = = h 1 a h 2 a l h 1h 2 a 1 a 2 a 1 a 2 5 kde l h = l h1h 2 je vzdálenost v reciprokém prostoru mezi mřížkovým bodem X h = h 1 a h 2 a + 2 dvojrozměrné reciproké mřížky a bodem Q v němž kolmice jdoucí bodem X h protíná Ewaldovu kulovou plochu ρ. Skalárním násobením rovnice 5 postupně vektory a 1 a 2 a a1 a2 a 1 a 2 se dostane cos α 1 cos α 01 = h 1λ a 1 cos α 2 cos α 02 = h 2λ a 2 6 cos α 3 cos α 03 = l h1h 2 λ. Pro λ < 2a r r = 1 2 existují vždy směry n h cos α 1 cos α 2 cos α 3 jejichž směrové kosiny tyto rovnice splňují neboť parametr l může nabývat všech reálných hodnot nejen celočíselných. Je ovšem zřejmé že difrakční obrazce v rovině kolmé k primárnímu směru n 0 nemusejí mít středovou symetrii. Mívají zajímavý vzhled kdy difrakční stopy jsou rozloženy po obloucích představujících části kuželoseček. Při kolmém dopadu je cos α 01 = cos α 02 = 0 cos α 03 = 1 takže podmínky 6 nabudou tvaru
5 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH 5 Obrázek 5: Ewaldova konstrukce při kolmém dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku L. RL reciproká mřížka ρ Ewaldova kulová plocha P 0 P rovina difrakčního obrazce. cos α 1 = h 1λ a 1 cos α 2 = h 2λ a 2 7 cos α 3 = l h1h 2 λ 1. Ewaldova konstrukce odpovídající kolmému dopadu záření na dvojrozměrnou mřížku na obr. 5 ukazuje že difrakční obrazec v rovině kolmé na primární směr má v tomto případě středovou symetrii. Difrakční obrazce na obr a 17.4 byly získány při tomto experimentálním uspořádání. Závěrem znovu zdůrazňujeme že rovnice 1 až 7 představují právě jen podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim. V běžné řeči se jim totiž říká difrakční podmínky čímž může vznikat dojem že v jiných směrech žádné záření difraktováno není. Mluví se pak o diskrétních difrakčních stopách a podobně. To je jistě tím oprávněnější čím jsou konečné mřížky na nichž k difrakci dochází větší. Určitěji řečeno měly by mít aspoň stovku či stovky elementárních buněk v každém směru. Tak tomu také je v klasických oblastech strukturní analýzy. Jsou-li konečné mřížky menší jsou zřetelně pozorovatelná i vedlejší difrakční maxima srv. obr někdy i spojité rozložení intenzity v difrakčním obrazci.
6 6 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH Reference [1] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig Leipzig [2] Friedrich W. Knipping P. Laue M.: Interferenzerscheinungen bei Röntgenstrahlen. Sitzungsberichte der Bayer. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-physikalische Klasse [3] Bragg W. L.: The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society [4] Neumann W. Komrska J. Hofmeister H. Heydenreich J.: Interpretation of the Shape of Electron Diffraction Spots from Small Polyhedral Crystals by Means of the Crystal Shape Amplitude. Acta Crystallographica A [5] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik [6] Komrska J. Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects and the Shape Amplitudes of the Tetrahedron Cube and Octahedron. phys. stat. sol. a [7] Neumann W. Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pentagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. a [8] Giacovazzo C. et al.: Fundamentals of Crystallography. International Union of Crystallography Oxford University Press 1992 chapter 4. [9] Valvoda V. Polcarová M. Lukáč P.: Základy strukturní analýzy. Univerzita Karlova Praha 1992 kap. 3.
17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda
17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 1 17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda Konečnou mřížku f x) pravidelně rozmístěný motiv f
Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Krystalografie a strukturní analýza
Krystalografie a strukturní analýza O čem to dneska bude (a nebo také nebude): trocha historie aneb jak to všechno začalo... jak a čím pozorovat strukturu látek difrakce - tak trochu jiný mikroskop rozptyl
Teorie rentgenové difrakce
Teorie rentgenové difrakce Vlna primárního záření na atomy v krystalu. Jádra atomů zůstanou vzhledem ke své velké hmotnosti v klidu, ale elektrony jsou rozkmitány se stejnou frekvencí jako má primární
2. Difrakce elektronů na krystalu
2. Difrakce elektronů na krystalu Interpretace pozorování v TEM faktory ovlivňující interakci e - v krystalu 2 způsoby náhledu na interakci e - s krystalem Rozptyl x difrakce částice x vlna Difrakce odchýlení
LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií)
LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií) RHEED (Reflection High-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s vysokou energií na odraz) Úvod Zkoumání povrchů pevných
4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů
47 4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů 4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru 4.2 Fraunhoferova difrakce na stěrbině 4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru 4.4 Fraunhoferova difrakce
D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]
D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1 D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] Tvarovou amplitudu mnohostěnu 177) trojrozměrného tělesa V S X) = A exp ikx x) d x, 1) V
1 Teoretický úvod. 1.2 Braggova rovnice. 1.3 Laueho experiment
RTG fázová analýza Michael Pokorný, pok@rny.cz, Střední škola aplikované kybernetiky s.r.o. Tomáš Jirman, jirman.tomas@seznam.cz, Gymnázium, Nad Alejí 1952, Praha 6 Abstrakt Rengenová fázová analýza se
Chemie a fyzika pevných látek p2
Chemie a fyzika pevných látek p2 difrakce rtg. záření na pevných látkch, reciproká mřížka Doporučená literatura: Doc. Michal Hušák dr. Ing. B. Kratochvíl, L. Jenšovský - Úvod do krystalochemie Kratochvíl
Difrakce elektronů v krystalech, zobrazení atomů
Difrakce elektronů v krystalech, zobrazení atomů T. Sýkora 1, M. Lanč 2, J. Krist 3 1 Gymnázium Českolipská, Českolipská 373, 190 00 Praha 9, tomas.sykora@email.cz 2 Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč,
Chemie a fyzika pevných látek l
Chemie a fyzika pevných látek l p2 difrakce rtg.. zářenz ení na pevných látkch,, reciproká mřížka Doporučená literatura: Doc. Michal Hušák dr. Ing. B. Kratochvíl, L. Jenšovský - Úvod do krystalochemie
Metody využívající rentgenové záření. Rentgenografie, RTG prášková difrakce
Metody využívající rentgenové záření Rentgenografie, RTG prášková difrakce 1 Rentgenovo záření 2 Rentgenovo záření X-Ray Elektromagnetické záření Ionizující záření 10 nm 1 pm Využívá se v lékařství a krystalografii.
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
2 Význam Fourierovy transformace v teorii difrakce
1 2 Význam Fourierovy transformace v teorii difrakce Studium struktury látek založené na difrakci nějakého záření se většinou provádí tak, že na zkoumanou látku dopadá rovnoběžný svazek záření a ve vzdálenosti
RTG difraktometrie 1.
RTG difraktometrie 1. Difrakce a struktura látek K difrakci dochází interferencí mřížkou vychylovaných vln Když dochází k rozptylu vlnění na různých atomech molekuly či krystalu, tyto vlny mohou interferovat
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Metody využívající rentgenové záření. Rentgenovo záření. Vznik rentgenova záření. Metody využívající RTG záření
Metody využívající rentgenové záření Rentgenovo záření Rentgenografie, RTG prášková difrakce 1 2 Rentgenovo záření Vznik rentgenova záření X-Ray Elektromagnetické záření Ionizující záření 10 nm 1 pm Využívá
2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj
2. Vlnění 2.1 Vlnění zvláštní případ pohybu prostředí Vlnění je pohyb v soustavě velkého počtu částic navzájem vázaných, kdy částice kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Druhy vlnění: vlnění příčné
C Mapy Kikuchiho linií 263. D Bodové difraktogramy 271. E Počítačové simulace pomocí programu JEMS 281. F Literatura pro další studium 289
OBSAH Předmluva 5 1 Popis mikroskopu 13 1.1 Transmisní elektronový mikroskop 13 1.2 Rastrovací transmisní elektronový mikroskop 14 1.3 Vakuový systém 15 1.3.1 Rotační vývěvy 16 1.3.2 Difúzni vývěva 17
Princip práškové metody Prášková metoda slouží k určení hodnot mřížkových parametrů krystalické mřížky dané krystalické látky.
Vyhodnocování rentgenogramu určení mřížové konstanty Úkol: 1) Seznamte se podrobně s Debye-Scherrerovou komůrkou a jejími funkčními prvky. 2) Analyzujte debyegram práškového ZnS proměřte polohy linií a
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Elektronová mikroskopie II
Elektronová mikroskopie II Metody charakterizace nanomateriálů I RNDr. Věra Vodičková, PhD. Transmisní elektronová mikroskopie TEM Informace zprostředkována prošlými e - (TE, DE) Umožň žňuje studium vnitřní
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -
Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické
Difrakce elektronů v krystalech a zobrazení atomů
Difrakce elektronů v krystalech a zobrazení atomů Ondřej Ticháček, PORG, ondrejtichacek@gmail.com Eva Korytiaková, Gymnázium Nové Zámky, korpal@pobox.sk Abstrakt: Jak vypadá vnitřek hmoty? Lze spatřit
Dualismus vln a částic
Dualismus vln a částic Filip Horák 1, Jan Pecina 2, Jiří Bárdoš 3 1 Mendelovo gymnázium, Opava, Horaksro@seznam.cz 2 Gymnázium Jeseník, pecinajan.jes@mail.com 3 Gymnázium Teplice, jiri.bardos@post.gymtce.cz
Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II
Fyzika II Marek Procházka Vlnová optika II Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení složek vlnění s různou
Úvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů. Typy interakcí, základy elektronové difrakce, metody LEED a RHEED
Úvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů Typy interakcí, základy elektronové difrakce, metody LEED a RHEED \ Signál Sonda \ Svazek elektron Elektrony Ionty Elektromagnetické zá ení AES (SAM) TEM, SEM LEED,
Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016
Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,
Optika pro mikroskopii materiálů I
Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických
Přednáška č. 3. Strukturní krystalografie, krystalové mřížky, rentgenografické metody určování minerálů.
Přednáška č. 3 Strukturní krystalografie, krystalové mřížky, rentgenografické metody určování minerálů. Strukturní krystalografie Strukturní krystalografie, krystalové mřížky, rentgenografické metody určování
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Analýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
Světlo jako elektromagnetické záření
Světlo jako elektromagnetické záření Základní pojmy: Homogenní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti jsou ve všech místech v prostředí stejné. Izotropní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti
1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Praktikum III - Optika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 13 Název: Vlastnosti rentgenového záření Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 3. 4. 2008 Odevzdal
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Lasery RTG záření Fyzika pevných látek
Lasery RTG záření Fyzika pevných látek Lasery světlo monochromatické koherentní malá rozbíhavost svazku lze ho dobře zfokusovat aktivní prostředí rezonátor fotony bosony laser stejný kvantový stav učební
Rentgenografické difrakční určení mřížového parametru známé kubické látky
Rentgenografické difrakční určení mřížového parametru známé kubické látky Rozšířená webová verze zadání úlohy dostupná na: http://krystal.karlov.mff.cuni.cz/kfes/vyuka/lp/ Prášková difrakce - princip metody
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
MĚŘENÍ VLNOVÝCH DÉLEK SVĚTLA MŘÍŽKOVÝM SPEKTROMETREM
MĚŘENÍ VLNOVÝCH DÉLEK SVĚTLA MŘÍŽKOVÝM SPEKTROMETREM Difrakce (ohyb) světla je jedním z několika projevů vlnových vlastností světla. Z těchto důvodů světlo při setkání s překážkou nepostupuje dále vždy
#(, #- #(!!$!#$%!! [2], studiu difraktivních. #!$$&$.( &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!(#!! #!!! $ % *! $! (!
. Úvod!"!!!#$%!!!&'!!#$%!!!& # vlnovým!!*!!#$*$! #!!&!!!$%!# #!!$ % '!!&!&!!#$!!!$!!!$ s #!!!*! '! $ #, #- #!!$!#$%!! [], studiu difraktivních #!$$&$. &$/#$$ oblasti holografie a difraktivní!# '!% #!!$#!'0!!*#!#!!
Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech
Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Úkoly měření: 1. Odhad rozměrů mikro-objektů z informací uváděných výrobcem. 2. Záznam difrakčních obrazců (difraktogramů) vzniklých interakcí laserového
Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
Fyzikální korespondenční seminář UK MFF 22. II. S
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S ročník, úloha II S Young a vlnová povaha světla (5 bodů; průměr,50; řešilo 6 studentů) a) Jaký tvar interferenčních proužků na stínítku
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
MATEMATICKÉ ZÁKLADY KINEMATICKÉ TEORIE DIFRAKCE. Jiří Komrska
MATEMATICKÉ ZÁKLADY KINEMATICKÉ TEORIE DIFRAKCE Jiří Komrska Ústav fyzikálního inženýrství, Fakulta strojního inženýrství, VUT Brno, Technická 2, 616 69 Brno Přednášky pro doktorský studijní program 1
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI DIFRAKČNÍCH JEVŮ V OPTICE
VÝUKOVÝ SOFTWRE RO NLÝZU VIZULIZCI DIFRKČNÍCH JEVŮ V OTICE J. Novák,. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v raze bstrakt Difrakcí se rozumí ty odchylky v chování elektromagnetického
Jestliže rozkmitáme nějakou částici pevného, kapalného anebo plynného prostředí, tak síly pružnosti přenesou tento kmitavý pohyb na částici sousední
Jestliže rozkmitáme nějakou částici pevného, kapalného anebo plynného prostředí, tak síly pružnosti přenesou tento kmitavý pohyb na částici sousední a ta jej zase předá svému sousedovi. Částice si tedy
8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic
8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními
Fyzika rentgenových paprsků
Absorpce rentgenového záření Fyzika rentgenových paprsků rtg. paprsky elektromagnetické záření o λ 10-4 10 nm nejčastěji využívaná oblast s vlnovou délkou 0.1 nm (tj. přibližně rozměry atomů) spektroskopie
Fyzika rentgenových paprsků
Absorpce rentgenového záření Fyzika rentgenových paprsků rtg. paprsky elektromagnetické záření o λ 10-4 10 nm nejčastěji využívaná oblast s vlnovou délkou 0.1 nm (tj. přibližně rozměry atomů) spektroskopie
(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)
Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném
plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.
Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb
1 7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Co je to ohyb? 27.2 Ohyb Ohyb vln je jev charakterizovaný odchylkou od přímočarého šíření vlnění v témže prostředí. Ve skutečnosti se nejedná o nový jev
Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha
Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční
4 ZKOUŠENÍ A ANALÝZA MIKROSTRUKTURY
4 ZKOUŠENÍ A ANALÝZA MIKROSTRUKTURY 4.1 Mikrostruktura stavebních hmot 4.1.1 Úvod Vlastnosti pevných látek, tak jak se jeví při makroskopickém zkoumání, jsou obrazem vnitřní struktury materiálu. Vnitřní
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
1. Ze zadané hustoty krystalu fluoridu lithného určete vzdálenost d hlavních atomových rovin.
1 Pracovní úkoly 1. Ze zadané hustoty krystalu fluoridu lithného určete vzdálenost d hlavních atomových rovin. 2. Proměřte úhlovou závislost intenzity difraktovaného rentgenového záření při pevné orientaci
DIFRAKCE ELEKTRONŮ V KRYSTALECH, ZOBRAZENÍ ATOMŮ
DIFRAKCE ELEKTRONŮ V KRYSTALECH, ZOBRAZENÍ ATOMŮ T. Jeřábková Gymnázium, Brno, Vídeňská 47 ter.jer@seznam.cz V. Košař Gymnázium, Brno, Vídeňská 47 vlastik9a@atlas.cz G. Malenová Gymnázium Třebíč malena.vy@quick.cz
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Praktikum z pevných látek (F6390)
Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Praktikum z pevných látek (F6390) Zpracoval: Michal Truhlář Naměřeno: 6. března 2007 Obor: Fyzika Ročník: III Semestr:
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Elementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Akustooptický modulátor s postupnou a stojatou akustickou vlnou
Úloha č. 8 pro laserová praktika KFE, FJFI, ČVUT v Praze, verze 2010/1 Akustooptický modulátor s postupnou a stojatou akustickou vlnou Akustooptické modulátory (AOM), někdy též nazývané Braggovské cely,
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
2 Difrakce, rozdělení difrakčních jevů a difrakční integrály
25 2 Difrakce, rozdělení difrakčních jevů a difrakční integrály 2.1 Vymezení pojmů rozptyl, difrakce a interference 2.2 Fresnelova a Fraunhoferova difrakce 2.3 Difrakční integrály Na začátku předcházející
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne Příprava Opravy Učitel Hodnocení. Vlnové vlastnosti světla difrakce, laser
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Petr Švaňa Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 38 ID 155793 Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Lukáš Teuer 8.4.2013 22.4.2013 Příprava Opravy
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
P L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
Úloha 5: Studium rentgenových spekter Mo a Cu anody
Úloha 5: Studium rentgenových spekter Mo a Cu anody FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 22.2.2010 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 5 Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Spolupracovník:
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině