TŘÍDY A FUNKCE. I. Význam

Transkript

1 2. Konstrukce V této kapitole exponujeme Pavlem Tichým explikovaný pojem konstrukce, který Tichý a další teoretici využívají k (logické) explikaci pojmu významu. Tento pojem není v širším kontextu zcela neznámý, skrytě je uvažován u nemálo teoretiků. Tichého zásluhou je, že tento pojem učinil zjevným a zejména že ho přesně vymezil (ukázal přesně které entity tyto procedury determinují). Fundamentální myšlenka konstrukcí tkví v následujícím. Nepochybně jsou tu jisté objekty, například číslo 2. K takovému objektu však přiléhá nekonečně mnoho způsobů, jak může být dosažen, zkonstruován. Například se tohoto čísla můžeme dobrat odečtením čísla jedna od tří, anebo se k němu můžeme dobrat odmocněním čísla čtyři, či mnoha jinými způsoby. Každý ze způsobů dosažení čísla 2 je však číslu 2 vnější. Ač by se zdálo, že číslo 2 obsahuje číslo 1, protože 1 a 1 jsou dvě, analogicky bychom museli říci, že obsahuje také číslo 3, neboť 3 1 jsou dvě, anebo taktéž číslo 8, neboť třetí odmocnina z osmi jsou dvě. Objekt a procedura, která k němu vede, jsou dvě principálně rozdílné věci. Často sice říkáme, že 4 je číslo, ale tento způsob je pouze zkratkovitým vyjádřením toho, že odmocněním čísla čtyři dospějeme k jistému číslu. Sama procedura 4 není číslem. Na druhou stranu, procedury v sobě zahrnují čísla. Například procedura 1 2 v sobě zahrnuje čísla 1 a 2 a zahrnuje taktéž operaci násobení. Lze si také všimnout, že způsoby, jak dosáhnout nějakého objektu, jsou typicky podstatně strukturovanější než dosahovaný objekt sám. Procedury totiž zahrnují různé kroky, podle kterých z jistých vstupních entit dospíváme k cílové entitě. Přesuneme-li se do oblasti praktického života, je zde třeba paralela s cíli a cestami, po nichž se k nim dostaneme. Například do Paříže se dá dostat mnoha způsoby. Z Londýna do Paříže se můžeme dostat mnoha spletitými způsoby, například z Londýna letět do Frankfurtu, z Frankfurtu do Paříže. Anebo můžeme z Londýna letět do New Yorku a přes San Francisko, Tokyo, Dillí a řekněme Istanbul, konečně do Paříže. Tyto dvě zcela rozdílné cesty mají společné to, že vedou do Paříže. Liší se však počtem jednotlivých složek, totiž měst, a jistě i počtem linek, která ta města spojují. Zkrátka, jsou tu objekty a různé způsoby (metody, kalkulace, procedury, konstrukce) jejich dosahování. 1 Nejprve si řekneme něco o funkcionálním základu, který přijímáme, např. o tom, jak jsou explikovány třídy a proč je vhodné přijmout parciální funkce. Poté přejdeme k poměrně rozšířené ambivalenci mezi funkcí chápanou ve smyslu funkčního zobrazení a ve smyslu procedury ( funkčního předpisu ). Funkce ve smyslu procedury je vlastně tím (či téměř tím), co Tichý chápe jako konstrukce. Poté nastíníme základní pojmy lambda kalkulu, což je aparát zacházející 1 Tento odstavec přirozeně vyšel z úvodních úvah prvního paragrafu první kapitoly (1. Constructions) knihy The Foundations of Frege s Logic (Tichý 1988).

2 24 I. Význam s funkcemi. Navrhneme chápat Tichého konstrukce jako objektuální protějšky výrazů lambda kalkulu. Tím je také podáno vysvětlení tzv. intenzionálního smyslu lambda termů, tedy smyslu, který nelze vyložit s pomocí funkcí-zobrazení. Poté přejdeme k hlubším otázkám sémantiky nějaké notace, příkladem nám bude matematická notace. Budeme argumentovat, že procedury-konstrukce jsou nezbytné k plausibilnímu vysvětlení toho, k čemu matematické výrazy jsou, a proč toto nelze vysvětlit množinově-teoretickými entitami (např. funkcemi-zobrazeními). 2 Právě tyto sekce mají sloužit k objasnění toho, co za druh entit konstrukce jsou. Když chce někdo přivést pozornost ostatních na nějaký doposud obvykle neuvažovaný abstraktní pojem, není vůbec v lehké pozici. Musí druhému říci, aby napřímil svůj duchovní zrak tam, kam se doposud nedíval. Je známo, že ne vždy je toto poukázání úspěšné; nicméně v nemálo případech dojde k zahlédnutí onoho abstraktního pojmu. Poté je však třeba zaostřit. K tomu slouží Tichého definice šesti druhů konstrukcí. Ke každému z nich přiložíme doplňující komentáře a také názorné příklady. Nakonec přidáme definice dvou doplňujících pojmů, totiž pojmu volné proměnné a pojmu podkonstrukce. Je třeba dodat ještě jednu skutečnost. Konstrukce přichází jakoby až po funkcích-zobrazeních. Takto to obvykle pojednává stručná expozice aparátu Transparentní intenzionální logiky, neboť nejprve vymezí tzv. prvořádové objekty (např. funkce z možných světů), pak jsou uvedeny stručné definice druhů konstrukcí a až poté se přiloží specifikace funkcí z či do konstrukcí. Jiný, a to Tichého postup jsme zvolili nejen z důvodu, že neexponujeme rovnou Transparentní intenzionální logiku, což je takříkajíc Tichého logika mající specifickou typovou bázi. Konstrukce a v příští kapitole uvedenou (obecnou) Tichého rozvětvenou teorii typů diskutujeme odděleně proto, že vložit obsah této kapitoly či aspoň její druhé části do definice této teorie typů (jmenovitě do její části 2), kam vlastně patří, by bylo zjevně nevhodné. Řečeno ještě jinak, konstrukce (i jejich definice) předpokládají typová určení. Tato typová určení jsou však zde uplatňována jen na rudimentární úrovni a teprve v následující kapitole podáme jejich rigorózní pojednání, odůvodnění, apod. TŘÍDY A FUNKCE Logika, a také matematika, může vycházet ze dvou rozdílných základů. Nejčastěji je zastáván množinový základ. Pojem množiny má nepochybně své výhody už tím, že množinu lze snadno pokládat za souhrn, soubor nějakých věcí proto se také říká, že množina je dána svými prvky. Poznamenáváme, že množinám říkáme třídy (v této sekci slovo množina ještě příležitostně užívat budeme), a to aniž bychom se tím chtěli upsat k nějakým matematickým distinkcím mezi množinami a třídami. V množinovém základu jsou funkce zaváděny (patrně by bylo vhodnější říci, že jsou reprezentovatelné), jsou tedy neprimitivními objekty. 2 Tyto sekce jsou instrumentální vzhledem k účelu kapitoly; nechtějí tedy představovat nějakou profesionálně vypracovanou filosofii logiky či matematiky.

3 2. Konstrukce 25 Alternativním základem je základ funkcionální (přijímal jej např. Frege i Church). V něm je základním pojem funkce ve smyslu funkčního zobrazení. 3 Při tomto základu jsou třídy reprezentovány určitými funkcemi (záhy si ukážeme jakými). Už z toho lze vytušit jistou obecnost funkcionálního základu. Pojem funkce těží své oprávnění z intuitivního pojmu funkční korespondence, funkční odvislosti (když něco závisí na něčem, je tak vlastně funkční hodnotou na daném vstupu-argumentu), což je jev, s nímž se setkáme u plejády nám dobře známých fenoménů. Funkce do pravdivostních hodnot jsou známy jako charakteristické funkce. Charakteristická funkce odpovídá intuitivnímu pojmu rozdělení (bisekce) určitého oboru věcí (např. na souboru jablek můžeme učinit bisekci podle kritéria červené ). Jak jsme naznačili už v první kapitole, učinit bisekci znamená přiřadit k věcem z této domény hodnotu Ano, resp. Ne. Onu logickou afirmativní kvalitu, pravdivostní hodnotu Ano budeme značit T, negativní kvalitu pak F (vycházíme z anglického True a False; nikdy nebudou tato označení psána kurzívou T i F značí vždy něco jiného než pravdivostní hodnoty). 4 Funkce, s nimiž budeme pracovat, jsou funkce totální (každému argumentu jisté totální funkce je přiřazena nějaká funkční hodnota) i funkce parciální (alespoň jednomu argumentu parciální funkce žádná hodnota přiřazena není). 5 Parciální funkce jsou všeobecně velmi nepopulární; snad proto, že práce s nimi je vskutku obtížnější. 6 Spousta fenoménů, které podrobujeme funkcionálnímu výkladu, se však parcialitou vyznačuje. Například posloupnost jednotlivých amerických prezidentů v historii našeho světa nelze vysvětlit totální funkcí George Washingtona nesmí v této posloupnosti předcházet žádné individuum (řekněme Ludvík XIV.). Pro jiný známý příklad si připomeňme, že pro některé problémy neexistuje řešení funkce z problémů do jejich řešení je tedy parciální. Pokud 3 Tj. asociace (korespondence) prvků oboru argumentů s nějakými prvky z domény možných hodnot. Čtenáři je toto pojímání funkcí jistě známo z tabulkových zápisů, v nichž levý sloupec je seznamem argumentů a pravý seznamem přiřazených hodnot. Druhy těchto asociací (jako např. bijekce), zde nikde nerozlišujeme; terminologicky nerozlišujeme ani mezi zobrazeními na a zobrazeními do. 4 Jednou z výhod funkcionálního přístupu je řešení matoucího problému prázdné množiny každá množina je souborem nějakých prvků, jenže prázdná množina není, tudíž by přece neměla být množinou. Pro nás je prázdná množina zcela jasný objekt, totiž systematické přiřazení F ( Ne ). Taky se nám nemůže stát, že bychom pro různé obory (individua, čísla, pravdivostní hodnoty) uvažovali jen jednu prázdnou množinu, neboť pro každý z těchto oborů máme plnokrevnou prázdnou třídu. Rovněž se nám nemůže plést, jak se ještě na začátku 20. století stávalo i profesionálním matematikům, objekt s jednoprvkovou množinou, singletonem, která obsahuje právě tento objekt. Jednou ze značných výhod je jasné vědomí, že množina nemůže být svým vlastním prvkem; tato logicky paradoxní idea je zřetelně vyloučena tím, že funkce principálně nemůže být ani svým prvkem, ani svým argumentem (k tomuto tématu se mj. vrátíme v příští kapitole). 5 Na rozdíl od nás chápou někteří teoretici totální funkce za speciální případ parciálních funkcí. Kdybychom přijali takovýto terminologický úzus, neúměrně by to zkomplikovalo naše úvahy i vysvětlování. 6 Jak tvrdí a dokazuje Tichý (Tichý 1982, 59-60), jakmile jsou připuštěny parciální funkce, nelze systematicky korektně uplatňovat Schönfinkelovu redukci n-árních funkcí na unární. Jedné mnohoargumentové parciální funkci koresponduje více jednoargumentových funkcí. Pokud tedy připouštíme parciální funkce, n-ární funkce musíme chápat jako neredukovatelné entity. (Mj. Church pracoval pouze s totálními funkcemi, a uplatňoval Schönfinkelovu redukci.)

4 26 I. Význam nechceme přijmout pštrosí strategii a omezit se pouze na explikaci fragmentu našeho konceptuálního schématu, parciální funkce přijmout musíme. Stojí za to podotknout, že rámec obohacený o parciální funkce se nestává neklasickým rámcem v tom smyslu, v jakém je neklasickou např. trojhodnotová logika. Trojhodnotová logika pracuje se třemi pravdivostními hodnotami, dvěma klasickými, jednou neklasickou té se nezřídka říká undefined. Funkce, která je v klasickém rámci negací, je jednou z unárních funkcí nad dvouprvkovým oborem obsahujícím pouze dvě pravdivostní hodnoty, totiž T a F. 7 V trojhodnotové logice takováto negace vlastně neexistuje, protože unární pravdivostní funkce jsou definovány na oboru obsahujícím tři pravdivostní hodnoty (v trojhodnotové logice je klasická negace pouze reprezentována). Při přijetí parciality se takového vyhoštění známých logických funkcí rozhodně nedopouštíme. Pouze přibíráme funkce, které např. T nebo F nepřiřazují žádnou hodnotu. Podívejme se nyní na explikaci tříd ve funkcionálním rámci přijímajícím parcialitu. Uvažme pro jednoduchost kolekci δ čítající jen dva objekty, jmenovitě A a B. Pro tuto kolekci existuje přesně devět totálních a parciálních charakteristických funkcí f 1 -f 9 : f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 A T T T F F F B T F T F T F Funkcionální systém, který pracuje výlučně jen s totálními funkcemi, rozpoznává jako charakteristické funkce pouze a právě f 1, f 2, f 4, f 5. Ty v něm slouží k reprezentaci následujících tříd (v příslušném pořadí): {A,B}, {A}, {B},. V našem systému budou funkce f 1, f 2, f 4, f 5 také sloužit k vlastní reprezentaci (či explikaci) těchto tříd. Navíc ale budeme disponovat i oněmi parciálními charakteristickými funkcemi. V našich slovních vyjádřeních budeme, kvůli zažitosti množinově-teoretického žargonu, o všech charakteristických funkcích (pochopitelně s výjimkou pravdivostních funkcí) mluvit jako o třídách. Někdy však budeme upřesňovat, že je uvažována třída totální nebo třída parciální. FUNKCE JAKOŽTO ZOBRAZENÍ A FUNKCE JAKOŽTO PROCEDURY Modernímu pojmu funkce jako pouhému zobrazení předcházela matematická tradice, podle níž byly funkce něco jiného. Matematikové tehdy říkali, že funkce jsou matematické výrazy jako (x x) 3 (pro tyto matematiky slovo výraz neznamenalo totéž, co pro moderního logika). Tato funkce obsahuje operace a, objekt 3; dále dvakrát obsahuje nespecifikovaný objekt x. Provést tuto funkci znamenalo vykonat určitou proceduru; totiž vzít jednotlivá x, vzájemně je vynásobit a od výsledku odečíst číslo tři. Provést funkci (x+x 2 ) (3+x) však obnášelo vykonat jinou proceduru. Ač obě ty funkce-procedury jsou různé, nejsou intenzionálně 7 Připomínáme, že obecně n-ární (pro přirozené číslo n větší než nebo rovno 1) funkce z pravdivostních hodnot do pravdivostních hodnot se nazývají pravdivostní funkce.

5 2. Konstrukce 27 shodné (jsou odlišnými procedurami, nejsou identické), jsou ale shodné extenzionálně (vedou vždy k témuž objektu, té funkci). S množinovým přístupem je ona extenzionální shodnost patrná z tabulky (či spíše sloupcového zápisu; značí funkční přiřazení) funkčního zobrazení, které obě ty procedury generují, totiž: : : Moderní úzus je ten, že právě tyto objekty jsou funkcemi. S historickými kořeny ve výše naznačeném rozlišování mezi intenzionálním a extenzionálním se pak říká, že moderní pojetí funkce individuuje extenzionálně. V určitém ohledu se onen přechod na extenzionální pojetí funkcí vlastně nezdařil. Nepovedlo se vymýtit, že vlastnosti připisovatelné jen procedurám jsou přisuzovány funkcím-zobrazením. Ilustrujme si to na známých příkladech od teoretiků, kteří před branou moderního pojetí funkce teprve stáli. Frege opakovaně hovořil o nenasycenosti funkce, přičemž onu hladovou díru nazýval proměnnou. Z obdobného důvodu Russell říkal, že funkce je systematická ambiguita, která si žádá být učiněna určitou, což se děje dosazením specifického objektu za nespecifický objekt x. Fregeho či Russellovy funkce tedy nejsou funkcemi v moderním smyslu, poněvadž na funkcích-zobrazeních není nic nenasycené či mnohoznačné. Podíváme-li se do textů mnoha teoretiků historicky následujících Fregeho a Russella, tak zjistíme, že vlastnosti procedur se funkcím stále připisují. Dualismus v chápání funkcí jako zobrazení a (nepozorovaně) jako procedur je zvlášť patrný z klasických expozic lambda kalkulu. K tomuto tématu se vrátíme hned poté, co si osvětlíme základní pojmy lambda kalkulu. LAMBDA KALKUL Lambda kalkul se objevil v linii funkcionálního přístupu a jeho objevitelem je Alonzo Church. 8 Ten se aktivně hlásil k Fregeho dílu, z něhož si vzal pro lambda kalkul hlavní inspiraci (nemálo anticipací lambda kalkulu lze najít i v Russellově díle). Jak poznamenalo už mnoho jiných, lambda kalkul je mimořádně schopný logický nástroj zacházející s funkcemi coby zobrazeními. Churchovou centrální myšlenkou bylo vysvětlit matematiku i logiku pomocí čtyř druhů základních entit, přičemž entity dvou druhů slouží jako jakési podklady pro funkce, druhé dva se pak blíže týkají funkcí. Pokud se podíváme na matematické výrazy, zjistíme totiž, že ty nejzákladnější jsou dvou druhů. Zatímco konstanty slouží k uchopení jisté jedné entity, proměnné 8 Zcela první netypovanou (a v důsledku toho nekonzistentní) variantu lambda kalkulu viz v (Church 1932). Typovou variantu, často diskutovanou pod názvem jazyk jednoduché teorie typů, viz v (Church 1940). Pro přehledné a stručné podání ohlasu λ-kalkulu viz text předního badatele matematických vlastností různě specifikovaných variant λ-kalkulu (Barendregt 1997).

6 28 I. Význam slouží k uchopení blíže neurčené entity. Tak například + a 2 jsou konstanty uchopující operaci sčítání a číslo 2. Ovšem x slouží k úchopu blíže nespecifikovaného čísla. Podívejme se na výraz x+2. Ač je sám zcela určitý, směřuje k zatím neznámému číslu, které získáme tím, že k blíže neurčenému číslu (viz x) přičteme číslo dvě. Je tu tedy jistá funkční aplikace oné funkce sčítání na tu dvojici čísel. Případem aplikace je i aplikace rovnosti na dvojici, jejíž prvý člen vznikl součtem dvou a tří, a druhým členem je číslo pět což důvěrně známe jako 2+3=5. Aplikace je tudíž fundamentální postup, kdy na jistý vstup, totiž argument, aplikujeme nějakou funkci, načež získáme určitý výsledek. Viděli jsme, že x+2 slouží k dosažení jistého čísla a to v závislosti na tom, co za číslo uchopí x. Co uchopí x, je nahodilé a tato skutečnost se často vystihuje jako odvislost od valuace pro x. Přičemž jednotlivé valuace se typicky liší tím, že dodávají x tu ono, tu jiné číslo. Abstrahujeme-li od této nahodilosti, dostáváme se ke generování celé té funkcionální odvislosti hodnot od argumentů. K vyznačení tohoto abstrahování použil Church znak λ. (Tento znak je pomocným operátorem, stejně tak jako jsou pomocnými závorky indikující funkční aplikaci.) Z aplikace, či jak bychom snad mohli říci otevřené aplikace, x+2 získáme λ-abstrakcí přes x celou funkci. Tedy zobrazení z jakýchkoli hodnot, které valuace může dodat x (odtud zápis λx ), do hodnot, které získáme přičtením dvojky k těmto hodnotám. Příslušná λ-abstrakce se zapíše λx [x+2]. Výrazům uvedených čtyř druhů se říká lambda termy. Je třeba ještě upřesnit, že λ-kalkul neužívá infixní notaci, ale notaci prefixní, takže konstanta pro funkci se píše nalevo od konstanty sloužící jako argument (pokud je argument n-ticí, nepíšeme mezi členy této n-tice čárky, tak jak je tomu např. v predikátové logice), tj. např. [+ x 2], [= [+ 2 3] 5], λx [+ x 2]. EXTENZIONÁLNÍ A INTENZIONÁLNÍ SMYSL LAMBDA TERMŮ V tom, jak rozumět aplikacím a λ-abstrakcím, žel číhá dvojznačné pojímání funkce. Lambda teoretik čtenáři třeba říká, že [+ x 2] má chápat jako aplikaci sčítání na dvojici sestávající z neurčeného čísla a čísla dvě. Zároveň ale říká, že [+ x 2] vede k jistému (nám zatím neznámému) číslu, ba dokonce, že [+ x 2] je tím číslem. S abstrakcí jako λx [+ x 2] je to snad ještě horší. Nejen jí produkované zobrazení, leckdy totiž ona sama procedura je nazvána funkcí λx [+ x 2], což je při moderním pojetí funkce očividně nesprávné. Někdy je diskutovaný dualismus v pojímání lambda termů vystihován odlišováním intenzionálního smyslu lambda termu a extenzionálního smysl lambda termu. Termy λx [+ x 2] a třeba λx [+ [+ x 1] 1] mají různý intenzionální smysl, ačkoli extenzionální smysl mají shodný. Co je extenzionálním smyslem nějakého lambda termu, je jasné je to nějaký množinově-teoretický objekt (funkce či non-funkce). Například extenzionálním smyslem [+ 2 3] je číslo (non-funkce) 5, extenzionálním smyslem λx [+ x 2] je ta funkce-zobrazení, v jejímž sloupci argumentů jsou po řadě čísla (omezme se na čísla přirozená) 1, 2, 3, atd., a ve sloupci hodnot pak čísla 3, 4, 5, atd.

7 2. Konstrukce 29 Co je ale intenzionálním smyslem lambda termu? Jaký je to druh entity? Jak jsou tyto entity individuovány, když to patrně nejsou množinové objekty? Existují tři druhy odpovědí, dvě z nich však v příští sekci vyhodnotíme jako nesprávné. Nejvhodnějším kandidátem pro explikaci pojmu intenzionálního smyslu lambda termů jsou procedury. Právě takovouto odpověď jakoby zvolil Pavel Tichý, který nejen filosoficky, ale též rigorózně logicky vyložil jako konstrukce. Nejprve se stručně podíváme na vývoj Tichého názorů. Tichý nejprve diskutoval pojem intenze jakožto procedury v rámci teorie algoritmů ( procedura byl tehdy alternativním názvem algoritmu). Z tohoto období je nejvýznamnějším textem Intensions in Terms of Turing Machines (Tichý 1969). Roku 1971 Tichý publikoval první variantu své logiky pod názvem jazyk L μ. Tento jazyk L μ už pracuje s rozšířením Churchova jazyka jednoduché teorie typů (atomickými typy byl typ individuí, ι, a typ pravdivostních hodnot, ο); Tichý přibral jako další atomický typ typ možných světů. Důležité je, že Tichý už tehdy explicitně hovoří o konstruování entit, např. funkcí, z jiných entit pomocí oněch procedur. 9 Nejpozději v roce 1973 už Tichý v několika (žel nepublikovaných) textech jasně odlišuje intenze jakožto funkcionální entity (jmenovitě jako funkce z možných světů) od konstrukcí, které tyto intenze konstruují. Právě tyto tzv. konstrukce můžeme vidět jako explikace intenzionálního smyslu λ-termů. Je však důležité podotknout, že konstrukce nejsou shodné s algoritmy, jsou spíše algoritmickými výpočty, avšak s tím, že tyto nemusí být efektivní (Tichý 1986, 526). V souvislosti s tímto pak můžeme Tichého logiku chápat jako objektuální vysvětlení λ-kalkulu. λ-termům (tj. výrazům) odpovídají jakožto intenzionální smysly konstrukce, tedy strukturované procedury, které konstruují (nestrukturované) množinové objekty, tedy extenzionální smysly. Konstantám odpovídají triviální jednokrokové konstrukce, které Tichý nazývá trivializacemi. Proměnným jakožto výrazům odpovídají proměnné jakožto procedury. Aplikacím odpovídají tzv. kompozice, abstrakcím odpovídají uzávěry. (Nejde o nějakou terminologickou duplikaci, např. aplikace je lambda term, tedy výraz, kompozice však není žádný výraz, ale konstrukce.) Na druhou stranu nelze Tichého logiku ztotožnit s (typovaným) λ-kalkulem. Ať už je totiž λ-kalkul chápán jako třída určitých výrazů, anebo třída dvojic takovýchto výrazů a k nim přiřazených významů (potažmo denotátů), Tichého logika konstrukcí je na lambda notaci nezávislá klidně může být zapisována jiným systémem značení. PROBLÉM LOGICKÉ ADHEZE Jeden ze silných důvodů, proč procedury-konstrukce nemohou být množinovými objekty, ba ani výrazy, je plausibilní řešení problému logické adheze (Tichý 1988, 27), znalci Russella znají část tohoto problému jako problém propoziční jednoty 9 To má mj. úzkou souvislost s výsledky ve stati (Tichý 1969), kdy Tichý sice vycházel z toho, že věty přirozeného jazyka vyjadřují strukturované pojmy, přičemž pojmy chápal jako Turingovy stroje, načež ale intenzi (či pojem) v podstatě ztotožnil s třídou ekvivalentních Turingových strojů.

8 30 I. Význam ( unity ). Už Frege a Russell si pokládali tuto zásadní otázku: co drží funkci F s argumentem A pohromadě ve složenině F(A)? Russell dobře věděl (srov. alespoň Russell 1904), že propozice je komplex, jehož částmi jsou (propoziční) funkce a její argument. Stejně tak dobře věděl a zdůrazňoval, že tento komplex je více než pouhou sumou svých částí. Pojem konstrukce, který onen problém vysvětluje, však přece jen postrádal, neboť propozice podle něj měla pozoruhodnou, leč nevysvětlitelnou jednotu (Russell 1904, 210). Russellův nezdar je však důsledkem tří jeho zdarů. Kromě toho, že pro vysvětlení odmítl množiny (sumy), své propoziční funkce (a následně též propozice) neztotožnil s výrazy Russell prostě nebyl žádný nominalista. 10 Zároveň také odmítl množinově-teoretické vysvětlení, které vede k Bradleyho nekonečnému regresu, a je tudíž nepřijatelné. Ono nepřijatelné vysvětlení totiž říká, že funkci F dohromady s argumentem A drží nějaká jiná funkce, jmenovitě relaci R (tato R je v propozici jakoby přítomna). Jenže tuto relaci musí zase něco pojit s F a A, což tedy musí být nějaká relace vyššího řádu, R II. Jenže tuto relaci zase drží pohromadě s R(F, A) relace ještě vyššího řádu; atd., do nekonečna. 11 Další množinové objekty nám rovněž neposlouží. Množina {F, A} totiž pouze enumeruje prvky. Nevystihuje ale vazby mezi těmito prvky, které jsou pro komplex F(A) podstatné. Kdybychom z množiny {F, A} odstranili nějaký její prvek, výsledkem by byla jen jiná množina, tedy principálně obdobný objekt, např. {F}. Vyjmeme-li však z propozičního komplexu F(A) třeba A, výsledkem je principiálně odlišný nepropoziční komplex (je-li to komplex) F (či spíše F(x)). Uspořádaná dvojice <F, A> není o nic lepší, protože nějaké prvky pouze řadí do seznamu, o němž se však jen předpokládá, že je čten zleva doprava. Posloupnost 1 F, 2 A sice fixuje pořadí prvků, nicméně opět opakuje nevýhody n-tic, totiž neschopnost dostatečně zachytit komplexitu vazeb. Odpověď na naši otázku Proč drží funkce s argumentem pohromadě?, by tak byla Protože funkce je pořadím první objekt a argument je pořadím druhý objekt. Což je odpověď, která se hodí spíš na otázky jako Proč kramář teď obsluhuje tohoto zákazníka a ne tamtoho?. Zde je taková odpověď přijatelná, protože fronta zákazníků není pravý komplex v našem smyslu. Zde je třeba upozornit, že náš problém neřeší mnohdy uvažované množinověteoretické řešení, že komplex arb obsahuje tři části, totiž objekty a, b a relaci R, která to všechno drží pohromadě. Neboť snaha zabránit Bradleyho regresu vedla jen ke kruhově zhoubné aplikaci R na sebe sama. Rovněž uspořádaná množina jako {R, {<a,b>}} není pravý komplex. Buď je pod {R, {<a,b>}} míněno vlastně to, že R je definičně dána jako {<a,b>}, anebo je spíše míněno, že <a,b> je prvkem R. Obojí však nevysvětluje, co je komplex ( propozice ) Alan je větší než Bára a proč se 10 Ve svých textech Russell sice příležitostně psal o propozičních funkcích jako o symbolech či dokonce o výrazech. To ale bylo u těch teoretiků, co (zvláště v matematice) neuplatňovali logický pojem výrazu, běžné. Interpretovat Russella jako někoho, kdo se zaobíral výrazy v našem smyslu, by však vedlo k obskurní interpretaci, podle níž tak významný myslitel své dílo zaplavil prostomyslnými inkonsistencemi. Takovýto výkladu je nepřijatelný i proto, že je protimluvem k celkovému realistickému naladění Russellovy filosofie. 11 Mj. Tichý vlastně na tento regres naráží Tichý v (Tichý 1988, 224).

9 2. Konstrukce 31 tento liší od jiného komplexu Bára je menší než Alan, a také proč Alan je větší než x (prvý zmiňovaný komplex po odejmutí Báry) je zrovna tak dobrým komplexem jako ty předchozí, kdežto {<a, >} R je vlastně výraz, který neznamená nic. Tyto (většinou) Tichého úvahy o komplexech a o tom, že nemohou být explikovány množinově-teoretickými pojmy (zvl. Tichý 1995), jsou pro leckoho kontroverzní. Odporují totiž všeobecnému přesvědčení, které spočívá v nerozpoznaném zaměňování komplexů a množinově-teoretických objektů, jimiž jsou komplexy obvykle zástupně reprezentovány. Jak jsme už viděli, toto reprezentování nebo spíše zastupování neznamená, že ty dva druhy entit jsou totéž. I Tichého konstrukce lze různě množinově-teoretickými pojmy popisovat. Např. je tu relace být podkonstrukcí, která vztahuje určité dvojice konstrukcí nicméně ta relace není ani součástí nějaké konstrukce, ani tím, co drží podkonstrukci s konstrukcí pohromadě. A ještě jedna úvaha ve prospěch neredukovatelnosti komplexů-konstrukcí na množinově-teoretické objekty. Podobně jako o propozicích se o vlastnostech říká, že některé z nich jsou negativní. Pro ilustraci uvažme být prvočíslo a negativní vlastnost nebýt prvočíslo. Při množinově-teoretickém vysvětlení je vlastnost nějaký množinový objekt, pro jednoduchost zde předpokládejme, že množina čísel. Nechť množinou prvočísel je {1, 2, 3, 5, 7,...} a množinou neprvočísel je {4, 6, 8, 9,...}. Na samotné množině {4, 6, 8, 9,...} pro nás nic zajímavého není, pokud nevíme, jak jsme se k ní dostali. Zajímavé však je, že je definovatelná s pomocí negace a pojmu být prvočíslo. Ta negativnost (negace) tedy není vlastní té množině samé, ale pojmům (definicím, komplexům). Obecně to platí i pro jiné entity. Na pouhém číslu 2 samo nic moc zajímavého není. Zajímavé ale je, že číslo 2 je výsledkem početních procedur, jakými jsou např. odčítací procedura 3 1 či odmocňovací procedura 4, atp. Ti, co rutinně užívají průhledné notační systémy, jakým je např. notace aritmetiky či notace lambda kalkulu, nemají příliš potřebu pedanticky odlišovat mezi výrazem a procedurou, kterou ten výraz zastupuje, poněvadž jejich notace tu proceduru průsvitně vyobrazuje. Jistě nejen proto jsou tak pandemicky rozšířeny obraty jako upravte ten a ten výraz či spočítejte ten a ten výraz. Výrazy (resp. jejich tokeny) vyhovují lidskému zvyku preferovat vizuální objekty a běžný uživatel matematiky nemá důvod uspokojivě řešit filosofickou otázku, jaký druh entit by ony výrazy vlastně měly zastupovat. Ve 20. století ve filosofii matematiky a logiky občas nalezneme nominalistické pokusy tvrdit, že matematické (či jazykové) výrazy nic nezastupují. Mnozí si však uvědomili, že z toho by bezprostředně plynul absurdní názor, že ony výrazy jsou jen prázdné znaky beze smyslu. Mnohem častější ovšem byl a stále je názor, že jednotlivé podvýrazy jsou navázány na nějaké množinově-teoretické objekty a že právě toto je dostatečné pro vysvětlení. Jenže to by znamenalo, že je to výraz sám, co váže třeba funkci a argument k sobě (Tichý 1988, 283). Zvláště uživateli všeobecně uznaného průsvitného jazyka, jakým je aritmetická notace, uniká zjevná problematičnost této koncepce, která jakoby předpokládá jeden jediný jazyk-notaci vůbec. Jazyků je ale mnoho. Už třeba transparentních notací pro výrokovou logiku používáme

10 32 I. Význam několik. Stěží by však chtěl někdo vážně obhajovat názor, že uživatel polské notace dělá jinou výrokovou logiku než uživatel notace se znaky jako a. (Tichý 1982, 62; Tichý 1986, 517; srov. též Tichý 1988, 284.) 12 Ovšem právě toto by plynulo z názoru, že těmi entitami, které jsou předmětem oboru zvaného výroková logika, jsou jisté výrazy plus ty množinově-teoretické entity, tj. funkce a argumenty, které tyto rozdílné výrazy dávají dohromady v komplexní celky. 13 Také není jasné, jak mohou být dva výrazy dvou jazyků, např. jazyka polské logiky a současnější logické notace, navzájem přeložitelné. S pojmem konstrukce je odpověď ta, že oba výrazy vyjadřují v obou jazycích jednu a tutéž procedurukonstrukci a ta konstrukce tedy shodně organizuje jisté množinově-teoretické objekty. Je pravda, že ten, kdo navázal na jednotlivé podvýrazy těchto dvou výrazů ty množinově-teoretické entity, by mohl říci, že ty dva složené výrazy jsou přeložitelné právě díky tomu, že jsou na ně navázány tytéž entity. Ale to ještě zdaleka věc nevysvětluje. Předně jsou tu entity, které nejsou těmi nejjednoduššími a vzniká otázka, k jakým místům složeného výrazu je navázat, a hlavně proč, když to nejsou procedury, které k těmto entitám vedou. Třeba už při zamyšlení nad (p q) vznikají neproniknutelné záhady: na je navázána unární pravdivostní funkce T F, F T, na zase na binární pravdivostní funkce <T,T> T, <T,F> F, <F,T> F, <F,F> F. Co ale s výrazy p a q? Arbitrární pravdivostní hodnota ( jedna z pravdivostních hodnot ) prostě není žádnou pravdivostní hodnotou všechny pravdivostní hodnoty jsou zcela nearbitrární, mají jasnou identitu. Zkusme pro změnu množinové entity navěšovat na (T F), přičemž na T je navázána pravdivostní hodnota T, na F zas F. Kam a proč má být ale navázán denotát (T F) (totiž T), kam denotát (T F)? (Náš protinávrh, dovolíme si předjímat, tkví v tom, že k výrazům se pojí nikoli výsledky-denotáty, ale procedury, které k těmto výsledkům vedou. Každému svébytnému podvýrazu výraz průhledné notace věrně koresponduje patřičná podkonstrukce. Výrazu (T F) odpovídá složená konstrukce [ 0 [ 0 0 T 0 F]]; podvýrazu (T F) odpovídá [ 0 0 T 0 F]. Elementárním podvýrazům,, T, F odpovídají triviální procedury 0, 0, 0 T, 0 F ( 0 X vezme X a nechá ho tak, jak je; srov. níže definici trivializace). Elementární procedury 0, 0 T, 0 F jsou složeny v komplexní proceduru [ 0 0 T 0 F], která je druhou částí, podprocedurou, komplexní procedury [ 0 [ 0 0 T 0 F]]. Pro (p q) je to analogické, ovšem dvě z elementárních procedur jsou proměnné; (p q) tedy vyjadřuje [ 0 [ 0 p q]]. Zkrátka, mezi výrazem a denotátem-výsledkem zásadně vždy stojí procedurakonstrukce. Takováto sémantika matematické či jiné formální notace je tedy procedurální, nikoli denotační.) Co jsou výrokově logické tautologie? Jistě to není ta výlučná binární pravdivostní funkce, která vždy vrací pravdivostní hodnotu T; tautologiemi jistě nejsou ani ony výrazy, ať už polské či obvyklé notace, které tuto funkci označují. 13 Situace se nezlepší, pokud množinové entity navěsíme na větve matematických stromů. Otázkou totiž je, co jsou ony stromy samy (buď jsou to výrazy, nebo jsou to množiny či n-tice; k tomu jsme se však vyjádřili již výše). 14 Ještě jedna úvaha (dle Tichý 1988, 283). Pro jazyky logiky, podobně pro jazyk aritmetiky, jsou dána rekurzivní pravidla, která nám korelují výrazy s denotáty. Poté, co jsou základní objekty jako číslo 2 či

11 2. Konstrukce 33 Dle Tichého jsou to tudíž především konstrukce, co je předmětem matematiky či logiky (Tichý 1986, 1995). K DEFINICI KONSTRUKCÍ V následujících sekcích budou postupně předvedeny jednotlivé druhy konstrukcí. Bude tedy specifikováno, kterými entitami konstrukce jsou a jaké mají konstitutivní rysy. Obecným způsobem je vymezeno fungování celkem šesti druhů konstrukcí. Pět druhů z nich bude předloženo podle způsobů jejich formování. Čtenář navyklý praxi v logice bude možná podiven nad způsobem, jakým je tato definice Tichým, a v těsném následnictví námi, podána. Samozřejmým zvykem je totiž předložení specifikace umělého jazyka. Jak je známo, povinností každého, kdo nabízí k uvážení jistý formální jazyk, není omezit se pouze na syntax. Povinností je předložit i to, co dané výrazy znamenají, tedy příslušnou sémantiku. A tak je nejprve podána (rekurzívní) definice formování vybraných řetězců ze znaků abecedy, tedy formování správně utvořených výrazů. Poté přijde na řadu sémantika, typicky modelově-teoretická. Určí se třeba blíže nespecifikovaný předmětný obor úvahy, univerzum U. Přičemž za dané se uvažují veškeré množiny nad U (včetně různých množin n-tic). Pak je metajazykově uvažována sémantická funkce (např. Val), která asociuje správně utvořené výrazy s prvky U, či rozmanitými množinovými objekty nad U. Při celé této množinově-teoretické mašinérii, jak tomu její uživatelé důvěrně říkají, se samozřejmě ctí žádoucí principy pro tyto nové jazyky (např. je známou povinností důsledně se vyvarovat ambivalencí, apod.). Běžně přijímaným postupem je, že sémantika daného jazyka věrně kopíruje syntax. Někomu by však mohla syntaktická část specifikace onoho jazyka připadat poněkud zbytečná. Patrně proto Tichý, což my přejímáme, nepodává syntax odděleně či dokonce prvotně. Vždy je nejprve osvětlena příslušná entita (konstrukce), a teprve následně je navržen výraz sloužící k jejímu jazykovému záznamu. Je nepochybné, že za účelem komunikace abstraktní procedury, jakou je konstrukce, musí být předložen nějaký výraz (resp. jeho token). To ale neznamená, že napřed musíme předložit výraz a teprve poté vysvětlit, co znamená. U Tichého jsou primární konstrukce a to, jakou symboliku vybereme k jejich reprezentování, je záležitost sekundární. Konstrukce můžeme reprezentovat lambda termy, anebo jiným způsobem notace, který dostatečně věrně reprezentuje jejich strukturu (a splňuje další pragmatické požadavky, jako např. přehlednost). operace arbitrárně pojmenovány ( 2 a, je to však arbitrární), rekurzivní pravidla nám např. 2 2 asociují s číslem 4, (2 2)-3 s číslem 1. Otázkou je, jak vysvětlit, proč třeba 2 2 koreluje s číslem 4 a nikoli s nějakým jiným číslem. Jak vysvětlit, proč 2 2 není s číslem 4 spjato arbitrárně. S pojmem konstrukce je odpověď přímočará: protože 2 2 vyjadřuje proceduru spočívající ve vynásobení čísla sebou samým.

12 34 I. Význam 1. PROMĚNNÉ Objektuálnímu výkladu proměnné věnoval Tichý celou jednu kapitolu své knihy (Tichý 1988; 4. Variables). Svou objektuální koncepci proměnné vyhodnocoval jako jednu z nejdůležitějších myšlenek své knihy (srov. např. předmluvu Tichý 1988). Zde se žel omezíme jen na obsah její klíčové sekce 14 An objectual notion of variable. Jak Tichý sám připomíná, jde vlastně o důsledně objektuální pendant tarskiovského pojetí proměnné, které proměnným coby znakům přiřazuje prostřednictvím valuace objekty ze sekvencí objektů (kvůli druhům proměnných jsou valuace polemi). Proměnné tedy pro Tichého nejsou ani znaky (výrazy) jako x, ani jakési mysteriózní díry. 15 Fregemu i Russellovi Tichý vyčítá, že nedokázali zvládnout synchronizační problém, tj. to, proč x je proměnná odlišná od y, např. v xry. Oba prý pojímali variabilitu každé z nich nezávisle, nesychronizovaně. Takže se zdá, že jediné, co jim dodává individuaci, je jejich jazyková reprezentace, tj. od sebe navzájem odlišné znaky x a y. Tento synchronizační problém podle Tichého vyřešil Tarski (srov. Tarski 1956, původně 1930 polsky): to, co dávají proměnné x a y, je relativizováno k sekvencím (potažmo pak k valuacím) objektů. Ovšem Tarski tuto věc vysvětlil (meta)jazykově, neobjektuálně, neboť pro něj to byly výrazy x a y, co dává entity. Pro Tichého jsou ale proměnné svébytnými objekty, svébytnými konstrukcemi-procedurami. Výklad Tichého koncepce začneme poněkud zjednodušeným obrazem (ne vždy bude respektována Tichého litera, duch však ano; mnohá Tichého značení jsou obměněna). Nechť ξ je neprázdnou kolekcí entit (tj. entit jednoho druhu). 16 ξ-sekvencemi rozumíme nekonečnou (nikoli parciální) posloupnost entit (a to posloupnost s opakováním nebo bez opakování) jako X 1, X 2, X 3, X 4,, X n. Pro jakékoli přirozené číslo k, V k je k-tá proměnná oboru ξ (někdy budeme říkat, že proměnná V k probíhá typ ξ nebo že V k je proměnnou pro typ ξ). Tato proměnná V k je konstrukcí konstruující tak, že získává k-tý člen některé ξ-sekvence a tuto entitu vrací proměnná V k beze změny. Proměnná je tedy specifikována dvěma záležitostmi. Jednak specifikováním jejího oboru proměnnosti, tj. kolekcí ξ, jednak pozicí této proměnné v nekonečné sekvenci proměnných téhož oboru proměnnosti. Například každá z proměnných V 1,..., V k,... je zaprvé specifikována oborem proměnnosti, jímž je kolekce ξ, a za druhé tím, jakou pozici má v sekvenci V 1,..., V k,... (např. V 1 je první, V k je zase k-átou proměnnou oboru proměnnosti ξ). Pro názorný příklad, nechť δ je kolekcí přirozených čísel. δ-sekvencemi jsou pak např. 0, 0, 0,... či 2, 1, 3,.... Nechť x, y,... jsou proměnné oboru proměnnosti δ, přičemž x je prvou proměnnou, y druhou, atp. Relativně vzhledem k první zmiňované δ-sekvenci konstruuje proměnná x číslo 0, proměnná y konstruuje rovněž 15 Tichý se nevyjádřil k Russellovou pozoruhodnému filosofickému výkladu (Russell 1903), podle něhož jsou na jedné straně plně specifická individua, na druhé straně proměnná individua ( variable individuals ) jako x (analogicky pro jiné druhy objektů). 16 K této problematice se vrátíme v kapitole Rozvětvená teorie typů během diskusí principu specifikace a principů bludného kruhu.

13 2. Konstrukce 35 číslo 0. Relativně vzhledem k druhé δ-sekvenci proměnná x konstruuje číslo 2, proměnná y konstruuje číslo 1. Jednoduché sekvence entit by byly dostatečné, kdyby všechny proměnné měly jeden a týž obor proměnnosti. Takový systém by však byl značně limitován. I predikátová logika prvního řádu pracuje se dvěma (nezávislými) kolekcemi, kolekcí individuí a kolekcí pravdivostních hodnot. Běžná predikátová logika druhého řádu pak navíc pracuje ještě s kolekcemi kolekcí tříd individuí, binárních relací mezi individui, atp. V typovaném lambda kalkulu se pracuje ještě s mnoha dalšími kolekcemi a k těm všem náleží patřičné proměnné. Obecně tedy, nechť ξ 1, ξ 2, ξ 3,... ξ l,... jsou odlišné kolekce, přičemž ke každé z nich je n možných sekvencí. Valuací je pak celé pole sekvencí, z nichž prvá je jednou ze sekvencí entit z kolekce ξ 1, druhá je jednou ze sekvencí entit z kolekce ξ 2, atd. Každá valuace v, např. v 1, je tedy s to dodat entitu jakékoli proměnné jakéhokoli oboru proměnnosti; přirozeně, že valuace neobsahuje dvě (či více) sekvence pro jeden a týž typ. Zde je ukázka valuace v 1 : X ξ1 1, X ξ1 2, X ξ1 3, X ξ1 4,, X ξ1 n, X ξ2 1, X ξ2 2, X ξ2 3, X ξ2 4,, X ξ2 n, X ξ3 1, X ξ3 2, X ξ3 3, X ξ3 4,, X ξ3 n, atp. (tj. ξ 1 -sekvence) (tj. ξ 2 -sekvence) (tj. ξ 3 -sekvence) Definice proměnných je pak následující: Nechť v je valuací. Vzhledem k valuaci v, proměnná V ξl k konstruuje k-tý objekt ξ l -sekvence vyskytující se ve v, tj. entitu X ξl k. Pro názorný příklad, nechť δ je kolekcí přirozených čísel (tj. 1, 2, 3, atd.), ο (řecké omikron) je kolekcí pravdivostních hodnot (T a F), (οδ) je kolekcí tříd čísel, atp. Nechť prvá kolekce je oborem proměnnosti proměnných x 1, x 2,..., a nechť druhá kolekce je oborem proměnnosti proměnných ο 1 (čti ó jedna ), o 2,..., a dále nechť třetí kolekce je oborem proměnnosti proměnných s 1, s 2,... Určitou valuací je pak například pole: 1, 3, 3, (tj. δ-sekvence) F, T, F,... (tj. ο-sekvence) {1, 2}, {3}, {1, 2, 3} (tj.(οδ)-sekvence) atp. Vzhledem k této valuaci např. x 1 konstruuje číslo 1, x 2 konstruuje číslo 3, dále např. o 1 konstruuje pravdivostní hodnotu F, o 2 pravdivostní hodnotu T, dále např. s 1 konstruuje třídu čísel {1, 2}, s 2 konstruuje třídu čísel {3}. Proměnné jsou jedinými jednoduchými konstrukcemi; všechny ostatní konstrukce mají konstitutivní složky (Tichý 1988, 63). Z toho zákonitě plyne, že ostatní druhy konstrukcí nejsou jednoduché, neboli že jsou složené. Ještě dodáme specifické případy toho, co řekneme níže obecněji. Namísto toho, abychom říkali, že určitá proměnná konstruuje jistý objekt vzhledem k valuaci v, budeme stručně říkat, že ta proměnná v-konstruuje onen objekt.

14 36 I. Význam Vzhledem k tomu, co bylo řečeno výše, každá proměnná při jakékoli valuaci v vždy něco v-konstruuje; proměnná je tedy vždy tzv. v-vlastní. K PĚTI ZPŮSOBŮM FORMOVÁNÍ KONSTRUKCÍ V následující sekci je specifikováno pět způsobů formování konstrukcí z non-konstrukcí a jiných konstrukcí. Jak už bylo uvedeno výše, celkem tři druhy mají obraz v syntaktických entitách, jimiž jsou λ-termy. Trivializace jsou objektuální protějšky konstant, kompozice jsou objektuální protějšky aplikací, uzávěry jsou objektuální protějšky λ-abstrakcí. Přibývají tedy už jen dva druhy konstrukcí, jednoduchá a dvojitá exekuce. Při konstruování všech konstrukcí všech druhů vždy asistuje valuace (ve smyslu podaném výše) a tak říkáme, že konstrukce konstruují objekty vzhledem k valuaci v; stručně, že v-konstruují (Tichý 1988, 62). Proměnné a konstrukce obsahující volné proměnné v-konstruují odvisle od partikulární valuace, jsou tedy heteronomními konstrukcemi. Některé konstrukce samozřejmě v-konstruují týž objekt při jakékoli valuaci, takže budeme příležitostně říkat, že konstruují (bez v-). Konstrukce mohou ve v-konstruování selhat v tom smyslu, že při dané valuaci v ne-v-konstruují žádnou entitu. Tato skutečnost nemá zcela jednoznačnou souvislost s parcialitou funkcí, ačkoli v některých případech (zvl. u tzv. kompozic) tomu tak často je. Nuže (Tichý 1988, 62; druhou a čtvrtou definici přidáváme navíc): konstrukce C je v-vlastní právě tehdy, když C v-konstruuje nějakou entitu konstrukce C je vlastní právě tehdy, když C v-konstruuje nějakou entitu při jakékoli v konstrukce C je v-nevlastní právě tehdy, když C ne-v-konstruuje žádnou entitu konstrukce C je nevlastní právě tehdy, když C ne-v-konstruuje žádnou entitu při žádné v Různé dvojice konstrukcí (C a D) mohou vzhledem k určité valuaci konstruovat týž objekt. Některé konstrukce se takto shodují při jakékoli valuaci. To druhé se dělí na dva případy podle toho, zda to, co tyto konstrukce (v-)konstruují, se může při nějaké valuaci lišit, nebo nikoli. Takže (Tichý 1988, 62; avšak definici ekvivalence přidáváme navíc): konstrukce C je v-kongruentní konstrukci D právě tehdy, když při dané valuaci v v-konstruují jeden a týž objekt (popř. obě nic ne-v-konstruují) konstrukce C je kongruentní konstrukci D právě tehdy, když jsou v-kongruentní při jakékoli v konstrukce C je ekvivalentní konstrukci D právě tehdy, když obě konstruují (konstruují-li vůbec něco) jeden a týž objekt (při jakékoli valuaci v) Jsou-li tedy C a D ekvivalentní, tak jsou také kongruentní (nikoli však naopak). Jsou-li C a D kongruentní, tak jsou také v-kongruentní (nikoli však naopak).

15 2. Konstrukce 37 Každá z pasáží specifikující způsob konstruování nějakého druhu konstrukcí je až na příklady či komentáře (v nichž byly využity některé Tichého vlastní příklady či komentáře) vždy volným překladem Tichého vlastních slov z páté kapitoly (Tichý 1988), a to 15. Five modes of forming constructions (Tichý 1988, 63-65). To proto, že Tichého formulace jsou nejvýstižnější (nadto obsahují některé specifické detaily hodné pozornosti). Tichého dikci jsme upravili následovně. 17 Byly nahrazeny mnohé znaky alfabety, které sloužily k typové indikaci, a to s ohledem na níže uvedenou definici rozvětvené teorie typů v následující kapitole. Závažnější změna se týká užití C a X, tj. meta-proměnných pro entity (konstrukce či non-konstrukce) a konstrukce. Předně jsou námi psány kurzívou. Znak C indikující výlučně konstrukce byl použit všude tam, kde bylo Tichým užito X indikující konstrukci či non-konstrukci, nicméně v těchto místech non-konstrukce vůbec nepřichází v potaz (což znamená, že X je užito jen v definicích trivializace, jednoduché a dvojité exekuce). Tytéž změny jsou činěny ve všech dalších přejatých definicích (např. v následující kapitole), čímž došlo u těchto značení k jejich sladění, které v Tichého knize přítomno není. 2. TRIVIALIZACE Začneme hned Tichého definicí (Tichý 1988, 63): Máme-li jakoukoli entitu X (konstrukci či non-konstrukci), můžeme uvažovat triviální konstrukci, jejíž výchozím i výsledným bodem, je X sama. Nazvěme tuto rudimentární konstrukci trivializací X a stručně ji značme 0 X. Abychom realizovali 0 X, musíme začít s X a nechat ji takříkajíc tak, jak je. Pro ilustraci uvažme, že X je numerická konstrukce, tj. konstrukce konstruující čísla. Pak pro jakoukoli valuaci v konstrukce X v-konstruuje (pokud je v-vlastní) určité číslo, kdežto konstrukce 0 X v-konstruuje konstrukci X. Ať je tedy konstrukce X jakkoli komplexní, konstrukce 0 X je zcela triviální, jelikož navrací samu nezměněnou konstrukci X; proto také termín trivializace. Poznamenejme, že pro žádnou entitu X a valuaci v není konstrukce 0 X v-nevlastní, a také, že to, co je v-konstruováno konstrukcí 0 X, nikdy nezávisí (není ovlivněno) na v. Příklady. Konstrukce 0 3 v-konstruuje číslo 3 (a to při jakékoli v). Pro jakoukoli valuaci v konstrukce 00 3, tj. trivializace konstrukce 0 3, v-konstruuje konstrukci 0 3. Uvažme teď proměnnou x, která konstruuje objekty určitého typu: pro jakoukoli valuaci v konstrukce 0 x v-konstruuje konstrukci x. Při zobecnění pro jakoukoli konstrukci C si povšimněme, že v-konstruování konstrukce C (tj. to, že konstrukce C něco (v-)konstruuje) je při výskytu C v 0 C zastaveno: při vykonávání konstrukce 0 C nedochází ke konstruování konstrukce C. Komentáře. Konstrukce druhu trivializace bývá někdy studentům Tichého logiky obtížně pochopitelná. Je však potřeba si uvědomit, že trivializace je prostě 17 Některé učiněné úpravy, někdy i ovlivňující věc, však přece jen zmíněny nebudou.

16 38 I. Význam jen objektuálním pendantem konstant, jiná záhada v tom není. Je též nepochybné, že komplexní konstrukce, konstruující ve více krocích, musí být složeny z méně komplexních konstrukcí nelze mít pouze vícekrokové procedury, některé procedury musí být elementární. Odhlédneme-li od proměnných, nejméně komplexními konstrukcemi jsou právě trivializace, neboť konstruují elementárně neboli jednokrokově. (Níže specifikované jednoduché exekuce konstruují ve dvou krocích, dvojité exekuce ve třech krocích.) Pavel Tichý původně neviděl onen velmi významný důvod pro konstituování svébytného druhu konstrukcí, jímž trivializace jsou. Objekt O a jeho triviální konstrukci (trivializaci) od sebe neodlišoval (je tomu tak jak v Tichý 1976, tak ještě v Tichý 1986, 524). Onen významný důvod pro přijetí trivializace jako svébytného druhu konstrukcí spočívá v tom, že jsme s to disponovat nejen konstrukcí C samou ve smyslu, že C prostě něco konstruuje, ale i uchopením této konstrukce C jako takové, aniž by tedy přicházelo do hry, že (nebo co) tato C konstruuje. Ilustrujme si to alespoň na jednom příkladu. Tichý se ve stati Constructions (Tichý 1986, 529) snažil podat logickou analýzu věty 3 0 je nedefinováno, aniž by uskočil do jazykové roviny a hovořil něco o výrazu 3 0 jako takovém. Budeme-li pro chvíli předjímat přesnou definici kompozice, tak analýzou 3 0 je konstrukce [ ]; je to právě tato konstrukce, co je nevlastní (a v tomto smyslu Tichý vykládá sémantický obsah věty 3 0 je nedefinováno ). Není to tedy touto konstrukcí (v-)zkonstruovaný objekt (totiž nic), co je nevlastní, ale ta konstrukce sama. Vypadalo by nanejvýš podezřele, kdyby logická analýza daného výroku neobsahovala explicitní rigorózní vyobrazení toho, že je to prostě a právě tato početní konstrukce sama, o čem se ve větě hovoří. A s trivializací jasně odlišenou od jiných objektů jsme s to v analýze uvést 0 [ ], což je ono přímé uchopení té konstrukce jako takové. Jak Tichý dále ukazuje (Tichý 1988, zvl. 17. Substitution), trivializace je rovněž nezbytná k objektuálním výkladu substituce, vyplývání a taktéž v oblasti logicko-sémantické analýzy přirozeného jazyka při analýze zvláště tzv. domněnkových vět. 3. JEDNODUCHÉ EXEKUCE Tichého definice (Tichý 1988, 63) je: Máme-li jakoukoli entitu X, můžeme také hovořit o jednoduché exekuci X a stručně ji značit 1 X. Jestliže X je konstrukcí, 1 X je X. Neboť konstrukce spočívající ve vykonání konstrukce X, není jasně ničím jiným, než X sama. Na druhou stranu, jestliže X není konstrukcí, tak 1 X je nevlastní konstrukcí, jejímž výchozím bodem je sice X, nicméně nedává (nekonstruuje) nic, non-konstrukce totiž nemůže být vykonána. Je-li ono X v-nevlastní konstrukcí, anebo není-li X vůbec žádnou konstrukcí, tak 1 X je konstrukcí v-nevlastní. V ostatních případech konstrukce 1 X v-konstruuje to, co je v-konstruováno konstrukcí X.

17 2. Konstrukce 39 Příklady. Konstrukce 1 x (tj. jakoby totéž, co x) v-konstruuje číslo přiřazené proměnné x valuací v. Konstrukce 1 3 je v-nevlastní (pro jakoukoli v), protože číslo 3 nemůže být vykonáno. Konstrukce 10 x, tedy jednoduchá exekuce trivializace x (nikoli desetinásobná exekuce x), je vlastně ekvivalentní 0 x, neboť v-konstruuje (pro jakoukoli v) prostě proměnnou x. Podobně konstrukce 10 3 je ekvivalentní 0 3, neboť v-konstruuje (pro jakoukoli v) číslo DVOJITÉ EXEKUCE Opět začneme Tichého definicí (Tichý 1988, 64): Jestliže to, co je konstruováno konstrukcí X (zde tedy X není non-konstrukcí), je rovněž nějakou konstrukcí, můžeme nejen provést X, ale poté ještě pokračovat a provést i to, co je takto zkonstruováno. Této dvoustupňové konstrukci budeme říkat dvojitá exekuce X a stručně ji značit 2 X. Máme-li jakoukoli entitu X, konstrukce 2 X je v-nevlastní (tj. nedává vzhledem k v vůbec nic) tehdy, pokud X sama není konstrukcí nebo pokud ne-v-konstruuje při valuaci v nějakou konstrukci, nebo pokud v-konstruuje v-nevlastní konstrukci. V jiných případech konstrukce 2 X v-konstruuje to, co je v-konstruováno tím, co je v-konstruováno konstrukcí X. Příklady. Pokud x není konstrukcí konstruující nějaké konstrukce, konstrukce 2 x je v-nevlastní, neboť non-konstrukce, která je v-konstruována proměnnou x, nemůže být vykonána. Konstrukce 20 x v-konstruuje totéž, co x (volně řečeno, dvojitá exekuce ruší trivializaci), tj. číslo přiřazené valuací v proměnné x. Komentáře. Poznamenejme, že 2 X není ekvivalentní konstrukci 11 X (což je jednoduchá exekuce konstrukce 1 X, nikoli jedenáctinásobná exekuce X). Neboť jestliže X je konstrukcí, tak 1 X je ekvivalentní X; proto 11 X je jakoby tímtéž, co 1 X, která je zase tímtéž, co X. Pro porovnání konstrukce druhu trivializace s konstrukcí druhu jednoduché či dvojité exekuce uvažme, že c je proměnná probíhající obor konstrukcí konstruujících čísla. Pak 0 c, 1 c a 2 c jsou tři rozdílné konstrukce. Konstrukce 0 c v-konstruuje konstrukci c (a to zcela nezávisle na valuaci v). Konstrukce 1 c v-konstruuje jakoukoli numerickou konstrukci (řekněme d), která je přiřazena valuací v proměnné c. Konečně konstrukce 2 c v-konstruuje jakékoli číslo (je-li nějaké), které je v-konstruováno konstrukcí (řekněme) d, kterou valuace v přiřazuje proměnné c, tedy celá konstruuje výsledek konstruování d. Poznamenejme ještě, že to, co je v-konstruováno konstrukcí 2 c, může záviset na tom, co valuace v přiřazuje proměnným jiným než c. (Toto byl druhý Tichého vlastní komentář.)