POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie"

Transkript

1 POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních čísel: α + iβ = γ + iδ (α, β) = (γ, δ) (α=γ & β=δ). Komplexní číslo α + i0 ztotožňujeme s reálným číslem α. Komplexní číslo i není reálné, platí pro něj i = 1. Sčítání a násobení komplexních čísel podle běžných pravidel (komutativní, asociativní, distributivní zákon). Polynomy. Nechť n je celé číslo, n 1. Polynom n-tého stupně je funkce P tvaru (1) P (x) = a n x n + + a 1 x + a 0, x R (resp. x C) a k C jsou koeficienty, a n 0. Úmluva: v dalším jen a k R! algebraická rovnice... P (x) = 0. kořen polynomu P... řešení rovnice P (x) = 0. Pro malá n máme speciální názvosloví pro polynomy stupně n: n = 1... nulový n = 0... konstantní nenulový n = 1... lineární n =... kvadratický n =... kubický x + 1 = 0... žádné reálné řešení! Ale má komplexní řešení x = i, x = i!! Pozorování. Polynom můžeme zapsat různýmy způsoby (např. (x 1) a x x + 1 jsou dva zápisy téhož polynomu), ale zápis ve tvaru (1) je jednoznačný, koeficienty a i jsou tedy určeny polynomem P. Základní věta algebry. Každý nekonstantní polynom má v C kořen. Důkaz základní věty algebry stojí na hlubokých úvahách matematické analýzy. Násobnost kořenu. Řekneme, že z je k-násobný kořen polynomu P, jestliže existuje polynom Q tak, že P (x) = (x z) k Q(x), Q(z) 0. k... násobnost kořenu z polynomu P. Rozklad na kořenové, resp. ireducibilní činitele. Rozklad tvaru P (x) = a 0 (x z 1 )(x z )... (x z n ) nazveme rozklad P na kořenové činitele (nemusí existovat!). Uspořádané n-tici (z 1,..., z n ) pak říkáme seznam kořenů. Ten je určen jednoznačně až na permutace. V seznamu kořenů se každý k-násobný kořen opakuje právě k-krát. Uvažujme polynom x (x 1). Seznam kořenů je (0, 0, 1), množina všech kořenů je {0, 1}. Seznam kořenů zřejmě poskytuje úplnější informaci, lze z něj vyčíst i násobnost kořenů. Řekneme-li polynom má dva kořeny, je třeba se dohodnout, v jakém významu je to míněno, zda jde o délku seznamu kořenů, nebo počet prvků množiny kořenů. V tomto textu se dohodněme na druhém významu, tj. počet prvků množiny. Indukcí snadno dostaneme ze základní věty algebry existenci rozkladu na komplexní kořenové činitele. V reálném oboru je situace složitější, tam dostaneme jen rozklad tvaru P = Q 1... Q m na tzv. ireducibilní činitele. Ireducibilní polynom. Řekneme, že polynom P je ireducibilní, jestliže neexistuje rozklad P = Q 1... Q m, v němž by všechny činitele měly stupeň menší než stupeň P. 1 Přednáška na krajském soustředění matematické olympiády, Sloup v Čechách,

2 Pozorování. Každý polynom stupně n 1 se dá rozložit na ireducibilní činitele. Věta. (a) Každý ireducibilní polynom na C je lineární. (b) Každý ireducibilní polynom na R je lineární nebo kvadratický. Je-li kvadratický, tj. ax + bx + c, pak má záporný diskriminant (tj. D = b 4ac). Důkaz se opírá o základní větu algebry. Důsledek. Každý polynom lichého stupně má v R kořen. Důkaz. Rozložíme-li P na ireducibilní činitele, stupeň n polynomu P je součtem stupňů těchto činitelů, tedy součtem jedniček a dvojek. Jelikož n je liché číslo, musí být mezi sčítanci jednička, P je dělitelný lineárním polynomem a tudíž má kořen. Viètovy vztahy. Důležitým pomocníkem při práci s polynomy jsou Viètovy vztahy mezi koeficienty a kořeny polynomu, rozložitelného na kořenové činitele. Stupeň polynomu může být jakýkoli, zde se pro jednoduchost omezíme na kvadratické a kubické polynomy. Vyjdeme z rozkladu kvadratického polynomu na kořenové činitele: ) ax + bx + c = a(x z 1 )(x z ) = a (x (z 1 + z )x + z 1 z, dostáváme Podobně pro kubický polynom dostáváme b = a(z 1 + z ), c = a z 1 z. ax + bx + cx + d = a(x z 1 )(x z )(x z ) b = a(z 1 + z + z ), c = a(z 1 z + z 1 z + z z ), d = a z 1 z z. Vzorce na řešení algebraických rovnic. Lineární a kvadratické rovnice se řeší pomocí známých vzorců. Rovnice kubické a rovnice čtvrtého stupně se také dají řešit pomocí vzorců (tzv. Cardanovy vzorce), ty jsou však natolik složité, že se jim snažíme vyhnout kdykoli to jde. Pro rovnice vyšších stupňů lze dokázat, že žádný obecný algoritmus, který by spočíval v konečném počtu aritmetických operací a odmocňování, neexistuje. Rozcvička. Nechť p, q R. Řešte soustavu rovnic (1) u + v = p, uv = q. Řešení. Použijeme Viétovy vztahy, podle nich (u, v) řeší soustavu (1), právě když (u, v) je seznam kořenů x + px + q. Řešení nalezneme podle vzorců na řešení kvadratické rovnice, tedy u = p + p 4q, v = p p 4q, Další řešení je (v, u) (v diskusi pozor na případ u = v), žádné jiné už není.. Návodné úlohy Zde vyřešíme tzv. návodné úlohy domácí části školního kola MO. Chceme řešit P (Q(x)) = 0, kde P, Q jsou kvadratické polynomy. Co to je? Nechť (f 1, f ) je seznam kořenů P. Potom P (Q(x)) = 0 Q(x) {f 1, f }.

3 Napišme Q ve tvaru Q(x) = ax + bx + c. Řešení hledáme ve tvaru x = s + y, kde s je x-ová souřadnice vrcholu paraboly f = Q(x), tj. s = b a. Po této substituci ay + c b 4a {f 1, f }, ay D 4a {f 1, f } { y {r1, r} := Tedy y {±r 1, ±r }, x {s ± r 1, s ± r }. Může se stát, že některé z čísel (jako násobek i). D 4a + fi a (D = b 4ac), D 4a + f1 a, D 4a + f a }. je záporné, pak lze příslušné r i najít jen v komplexním oboru Úloha (49. ročník MO, A-I-1). Nechť P je kvadratický trojčlen. Určete všechny kořeny rovnice P (x + 4x 7) = 0, víte-li, že je mezi nimi číslo 1 a aspoň jeden kořen je dvojnásobný. Řešení. Řešení hledáme ve tvaru s ± r 1, s ± r, kde s =. Má-li být jedno řešení 1, pak r 1 = a druhé řešení je 5. Pak jsou dvě možnosti: (a) Dvojnásobný je některý z kořenů 1, 5. Pak je dvojnásobný i druhý z nich, r 1 = r. Seznam kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 je pak (1, 5, 1, 5). (b) Dvojnásobný je kořen ± 0. Seznam kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 je pak (1, 5,, ). Poznámka. Řešení úlohy je třeba chápat takto: Pro pevnou dvojici polynomů P, Q existuje jen jeden seznam kořenů až na permutace. Zadání úlohy ale může vyhovovat více dvojic polynomů (P, Q) a proto je zapotřebí provést další diskusi rozdělením na případy (a), (b). Podobná situace nastává v následující úloze. Úloha (49. ročník MO, A-I-1). Nechť P, Q jsou kvadratické trojčleny. Určete čtvrtý kořen rovnice znáte-li její kořeny, 7, 1. P (Q(x)) = 0, Řešení. Řešení hledáme ve tvaru s ± r 1, s ± r, hledaný čtvrtý kořen označme z. Rozlišíme tři případy: (a) s = 1 (7 + 1) = 10. Potom = 10, z = 10 + = 4. (b) s = 1 ( + 1) = 9. Potom 7 = 9 +, z = 9 = 16. (c) s = 1 ( + 7) = 15. Potom 1 = , z = = 8. Úloha. Řešte rovnici P (x) = x 5 9x 4 + kx x 9 x + 0 = 0, víte-li, že tato rovnice má aspoň dva reálné kořeny, které se liší jen znaménkem. Kolik je za těchto předpokladů k? Řešení. Buď L polynom z lichých členů P a S polynom ze sudých členů P, tedy L(x) = x 5 + kx 9 x, S(x) = 9x4 x + 0 Nechť P (z) = P ( z) = 0. Potom z řeší i L(x) = 0 a S(x) = 0, protože S(x) = 1 (P (x) + P ( x)), L(x) = 1 (P (x) P ( x)). Rovnice S(x) = 0 má řešení x = 15 9, x = 4. Protože z R, je z = 4. Dosadíme do rovnice L(z) = 0 a dostaneme 0 = z(z 4 + kz 9 ) = z( k 9 ). Vynásobíme 4z, máme 0 = 4 + k, tedy 65 k =.

4 Víme, že polynom P je dělitelný kvadratickým polynomem x 4, dále pokusem zjistíme, že má kořen 1, odtud rozklad P (x) = x 5 9x x x 9 x + 0 = (x 4 )(x 9x + x 15) = (x 4 )(x 1)(x 8x + 15) = (x )(x + )(x 1)(x )(x 5) To je rozklad na kořenové činitele, seznam kořenů je tedy ( 4, 4, 1,, 5).. Rovnice třetího stupně Úloha. Kolik má rovnice P (x) = x px = 0 reálných řešení? Řešení. Protože stupeň je lichý, existuje aspoň jeden reálný kořen, označme jej z taktických důvodů t. Vydělme P kořenovým činitelem x t, najdeme rozklad Tedy Odtud P (x) = (x t)q(x), kde Q = (x + t) + r. x px = (x t)(x + tx + (t + r)) = x (t r)x t(t + r). p = t 1 r, 1 = t(t + r) (a) t je jediný a jednonásobný kořen P. Potom Q nemá žádný reálný kořen, tedy r > 0, t < 1 a p < 1. (b) Má-li P tři (různé) reálné kořeny, potom lze P rozložit v R na kořenové činitele. Buď (z 1, z, z ) seznam kořenů, pak z 1 + z + z = 0, tedy můžeme předpokládat t 0. Polynom Q má dva různé reálné kořeny, tedy r < 0, t > 1 a p > 1. (c) P má dvojnásobný kořen. Je-li t 0 dvojnásobný kořen, pak seznam kořenů je (t, t, 4t) a součin kořenů je, spor. Má-li tedy P dvojnásobný kořen, je to kořen záporný t, je to též dvojnásobný kořen Q a tudíž r = 0, t = 1 a p = 1. Skutečně, seznam kořenů rovnice x x = 0 je (, 1, 1). (d) P nemůže mít trojnásobný kořen, neboť bychom dostali spor jako v prvé části (b). Nyní můžeme úvahy obrátit. Např. je-li p > 1, nemůže nastat žádný z případů (a), (b), (d), tudíž nastane (b) a P má tři reálné kořeny. Závěr. Rovnice x px má: p < 1... jeden jednonásobný reálný kořen. p > 1... tři (různé) reálné kořeny. p = 1... seznam kořenů (, 1, 1). Obecná kubické rovnice. Význam předchozí úlohy tkví v tom, že každý kubický polynom P (x) = ax +bx +cx+d s nenulovým absolutním členem d lze vhodnou a snadno nalezitelnou substitucí převést na z pz. Vzorečky nevypadají vábivě (a nebudeme je zde uvádět), ale postup je zřejmý z následující úlohy. K dané kubické rovnici tedy neumíme snadno najít reálné kořeny, ale umíme odvodit, kolik jich bude. Pokud rovnice má dvojnásobný kořen, umíme jej najít (a tím najdeme i zbývající kořen). Pokud absolutní člen d je nulový, je situace ještě jednodušší, protože pak můžeme z polynomu vytknou činitel x, tj. P (x) = xq(x), kde Q je kvadratický. Úloha. Řešte rovnici x + x 8x 1 = 0. Řešení. Podle Viètových vztahů je součet kořenů číslo 1. Použijeme substituční metodu: po substituci x = y 1 bude součet kořenů 0, tedy Q(y) = P (y 1 ) = (y 1 ) + (y 1 ) 8(y 1 ) 1 = (y y + 1 y 1 7 ) + (y y ) + ( 8y + 8 ) ) 1 = y 5 y 50 7 = 15 7 (( y5 ) y5 4

5 Po další substituci z = y 5 se původní rovnice převádí na z z = 0 (máme obrovské štěstí: p = ). Zpětná substituce obnáší y = 5 z, x = y + 1. Dostáváme (z 1, z, z ) = (, 1, 1), (y 1, y, y ) = ( 10, 5, 5 ), (x 1, x, x ) = (,, ). Úloha. Dokažte, že pro x je x( x ). Řešení. x( x ) = (x x + ) = (x 1) (x + ). Úloha. Dokažte, že pro x 4 je x(6 6x x ) <. Řešení. Vhodnou substitucí převedeme na nerovnost z předchozí úlohy. Uvažujme P (x) = x +6x 6x. Pro Q(y) = P (y ) bude součet kořenů (koeficient u y ) 0 a tím se situace zjednoduší. Máme Q(y) = (y ) + 6(y ) 6(y ) = (y 6y + 1y 8) + (6y 4y + 4) + (6y 1) = y 6y + 4 = 4 y(6 y ). ) y(6 y ) = y ( y ( ( y ) ) = y. Položme z = y/, tedy y = z. Potom x > 4 = y = x + > = z = y/ > >, a tak y(6 y ) z( z ) 4. Tedy x(6 6x x ) P (x) = Q(y) = y(6 y ) <. 4. Rovnice čtvrtého stupně Úloha. Rozložte polynom P (x) = x 4 x na reálné ireducibilní činitele. Řešení. tedy y + y = (y + )(y 1), x 4 x = (x + )(x 1) = (x + )(x + 1)(x 1). Úloha. Rozložte polynom P (x) = x na reálné ireducibilní činitele. Řešení. Postup z předchozí úlohy nelze okopírovat, protože rovnice y + 1 = 0 nemá reálné kořeny. Ale x = (x + 1) x = (x x) (x + 1 x). Reciproká rovnice. Rovnici čtvrtého stupně P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e = 0, jež má seznam (komplexních) kořenů (z 1, z, z, z 4 ) takový, že z 1 z = z z 4 = 1, se říká reciproká rovnice. Název pochází z pozorování z řeší P (x) = 0 = 1/z řeší P (x) = 0. Dosazením do Viètových vztahů dostaneme b = a(z z z 4 +z 1 z z 4 +z 1 z z 4 +z 1 z z ) = a(z +z 1 +z 4 +z ) = d, e = a z 1 z z z 4 = a. Bez újmy na obecnosti předpokládejme a = 1. Úloha. Rozložte reciproký polynom na reálné kvadratické činitele. P (x) = x 4 + bx + cx + bx + 1 5

6 Řešení. Chceme x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + s)(x + vx + t). Položme u 1 = u, v 1 = v, u = vs, v = ut, f = uv. Tedy Porovnáním koeficientů vidíme Tedy dvojice (u 1, v 1 ), (u, v ) splňují x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ). u 1 + v 1 = u + v = b, u + v = b, u v u 1 v 1 = 1. uv = f. Tato soustava má dvě řešení lišící se jen permutací. Máme tedy dvě možnosti (a) (u, v) := (u 1, v 1 ) = (u, v ), tedy (b) (u, v) := (u 1, v 1 ) = (v, u ), tedy (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ) = (x + ux + u v )(x + vx + v u ). (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ) = (x + ux + 1)(x + vx + 1). Nemáme záruku, že obě cesty povedou k rozkladu na reálné kvadratické polynomy, ale protože z věty o ireducibilních polynomech plyne existence nějakého rozkladu na kvadratické polynomy, aspoň jedna z cest musí vést k cíli. Případ (a). Porovnáním koeficientů u x, x dostaneme x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + u v )(x + vx + v u ). u v + uv + v u = c, u + v = b. Položme r = uv. Potom první rovnici vynásobíme r, druhou umocníme na druhou a celé přepíšeme: u + r + v = cr, u + r + v = b. Odečtením těchto rovnic dostaneme kvadratickou rovnici pro r: r ( + c)r + b = 0. Získáme-li řešení r, pro hledanou dvojici (u, v) dostaneme soustavu kterou již umíme řešit. u + v = b, uv = r, Případ (b). x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + 1)(x + vx + 1). Porovnáním koeficientů u x, x dostaneme soustavu uv = c, kterou umíme řešit. Poznámka. Rozklad polynomu hledáme ve tvaru nebo u + v = b, x 4 + bx + cx + λbx + λ x 4 + bx + cx + λbx + λ = (x + ux λu v )(x + vx λv u ), x 4 + bx + cx + λbx + λ = (x + ux λ)(x + vx λ). Úloha. Nechť žebřík o délce l = 4 10 je opřen o bednu o rozměrech 1 1, o stěnu a o podlahu. Jak vysoko dosáhne? 6

7 Řešení. Bedna dělí délku žebříku na dva úseky. Označme si x výšku horního úseku. Potom výška dolního úseku je 1, horizontální průmět horního úseku je 1 a horizontální průmět dolního úseku je 1/x. Podle Pythagorovy věty je součet délek úseků Po umocnění na druhou neboli což je reciproká rovnice. Zkusíme rozložit Dostáváme soustavu Hledáme seznam řešení rovnice y y Rozložili jsme polynom na l = x x + 1. l = x x + 1 x + x + 1, x 4 + x + l + x + 1 = 0, x 4 + x + l + x + 1 = (x + ux + 1)(x + vx + 1). uv = ( l ) = 160 9, u + v =, y 1, = 1 ±, což je = 1 ± 1. x 4 + x + l + x + 1 = (x + 16 x + 1)(x 10 x + 1) První z nalezených kvadratických trojčlenů nemá reálné kořeny, druhý lze rozložit x 10 x + 1 = (x )(x 1 ). Použijeme-li větší kořen x =, dosáhneme do výšky x + 1 = 4. A. Řešte rovnice (a) x 4 5 x + 11 x = 0, (b) 16x 4 + 8x x + 1 = 0. B. Kolik kořenů má polynom 4x + 1x 9? 5. Cvičení C. Rozložte co nejvíc polynomů x n + 1, x n 1, na reálné ireducibilní činitele (aniž byste v odvození používali komplexní čísla). Příklady: x + 1 = x + 1. x 1 = (x + 1)(x 1). x + 1 = (x + 1)(x x + 1). x 1 = (x 1)(x + x + 1). x = (x + 1) x = (x + x + 1)(x x + 1). x 4 1 = (x + 1)(x 1) = (x + 1)(x + 1)(x 1). 7

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

1 Úvod - jazyk matematiky 2 1.1 Co je to matematika... 2 1.2 Co je algebra... 3 1.3 Jazyk matematiky... 6

1 Úvod - jazyk matematiky 2 1.1 Co je to matematika... 2 1.2 Co je algebra... 3 1.3 Jazyk matematiky... 6 Obsah 1 Úvod - jazyk matematiky 2 11 Co je to matematika 2 12 Co je algebra 3 13 Jazyk matematiky 6 2 Polynomy 12 21 Co to je polynom? 12 22 Operace s polynomy 13 23 Hornerovo schema 20 24 Kořeny polynomu

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Metody řešení diofantických rovnic STUDIJNÍ TEXT Vypracoval: Jan Steinsdörfer Ústí nad Labem 2015 Obsah Úvod 2 1 Vznik diofantických

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více