Základy aritmetiky a algebry II

Transkript

1 Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II. Kvadratická rovnice. Odvození vzorce pro kořeny: klasické doplnění na čtverec, mezopotámské řešení na základě Viétových vzorců, odvození Viétových vzorců. Geometrické znázornění reálných a komplexních kořenů rovnice s reálnými koeficienty. 2. Kubická rovnice. Substituce pro odstranění členu obsahujícího x 2, Cardanův postup řešení (substituce y = u + v), kvadratická resolventa, diskriminant kubické rovnice, význam výrazu D = ( q 2 ( 2) + p ) 3. 3 Získání všech kořenů pomocí ε = cos 2π 3 + i sin 2π 3. Vlastnosti u, v. Vietovy vzorce. Casus irreducibilis řešení pomocí goniometrické substituce. 3. Rovnice binomické, trinomické, bikvadratické. 4. Reciproká rovnice. druhu (a k = a n k, stupně n = 2k + a n = 2k) a 2. druhu (a k = a n k ), vlastnosti, kořeny, řešení. 5. Základní věta algebry a její důsledky. 6. Iracionální čísla. Důkaz iracionality odmocnin přirozených čísel, která nejsou čtverci. Čísla algebraická a transcendentní. Mohutnost množiny všech algebraických čísel. Liouvilleovo číslo, mohutnost množiny všech transcendentních čísel. Bez důkazu: věta Gelfandova Schneiderova. Důkaz iracionality čísla e. Pro zajímavost: důkaz iracionality čísla π (nezkouší se). Konstrukce druhých odmocnin. Nesouměřitelnost úseček. 7. Pole reálných čísel zavedení: ) desetinné rozvoje, 2) Dedekindovy řezy, 3) axiomatické zavedení reálných čísel, 4) základní myšlenka zúplnění Q, cauchyovské posloupnosti. 8. Řetězové zlomky: konečné, nekonečné, periodické; výpočet článků řetězového zlomku čísel racionálních, iracionálních, druhých odmocnin. Aproximace racionálních a iracionálních čísel řetězovými zlomky. Řešení lineární diofantické rovnice a Pellovy rovnice pomocí řetězových zlomků. 9. Pole komplexních čísel: zavedení (problémy se zavedením), vlastnosti, geometrie v komplexní souřadnici. 0. Hyperkomplexní čísla: neúspěšné snahy o aritmetizaci bodů (třírozměrného) prostoru, tj. rozšíření C o jednu další imaginární jednotku; kvaterniony (základní myšlenka).. Průměry: harmonický, geometrický, aritmetický, kvadratický. Geometrické znázornění, úloha o pohybu a harmonický průměr. 2. Grupy, homomorfismy grup, faktorizace. Relace kongruence, normální podgrupa, jádro homomorfismu je normální podgrupou. Lagrangeova věta. Cyklické grupy. 3. Podílové těleso oboru integrity. U kolokvia je možno používat samostatný kalkulátor (ne v mobilu, ne grafický).

2 Kvadratická a kubická rovnice. Kvadratická a kubická rovnice domácí cvičení. Vyřešte mezopotámským způsobem kvadratickou rovnici x 2 5x + 6 = Najděte jeden kořen následující kubické rovnice Cardanovým postupem. x 3 + 6x 20 = 0 Ostatní kořeny najděte tak, že levou stranu vydělíte známým kořenovým činitelem a vyřešíte vzniklou kvadratickou rovnici. 3. Najděte jeden kořen následující kubické rovnice Cardanovým postupem. x 3 6x 2 + 0x 8 = 0 Následně najděte i ostatní kořeny této rovnice. (pro kontrolu: y 3 2y 4 = 0, kvadratická resolventa je t 2 4t = 0) 4. Pokuste se najít jeden kořen následující kubické rovnice Cardanovým postupem. x 3 3x + 2 = 0 Pozor: je mimořádně důležité dopočítat tento příklad do konce. 5. Označme jednu z třetích odmocnin z jedné řeckým písmenem ε: Ukažte, že ε = cos 2π 3 + i sin 2π 3 = i. + ε + ε 2 = Ukažte, že předchozí tvrzení lze snadno zobecnit: označíme-li ω = cos 2π n + i sin 2π n, tak platí: + ω + ω ω n = 0..2 Komplexní kořeny kvadratické rovnice Uvažujme kvadratickou rovnici ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c R, a 0. Má-li tato rovnice 2 různé reálné kořeny, jsou rovny x-ovým souřadnicím průsečíků paraboly y = ax 2 + bx + c () s osou x, dvojnásobný kořen, je roven x-ové souřadnici společného bodu paraboly () s osou x, 2 různé komplexní kořeny (tj. komplexně sdružené), jak je lze znázornit?

3 Návod: Uvažujme parabolu y = (x α) 2 + β 2, kde α, β R, β > 0. Souřadnice vrcholu V této paraboly jsou: V = [α, β 2 ]. Hledejme nulové body; dostaneme rovnici (x α) 2 = β 2, jejímiž kořeny jsou z,2 = α ± iβ. Porovnejte tento výsledek se znázorněním kořenů rovnice, která má kořeny reálné: y = (x α) 2 β 2, kde α, β R, β > 0. Souřadnice vrcholu V této paraboly jsou: V = [α, β 2 ]. Hledejme kořeny; dostaneme rovnici (x α) 2 = β 2, jejímiž kořeny jsou z,2 = α ± β. Závěr Reálné kořeny leží na ose x ve vzdálenosti β od x-ové souřadnice α vrcholu V. Pokud bychom se na rovinu xy dočasně dívali jako na Gaussovu rovinu, tak komplexně sdružené kořeny kvadratické rovnice s reálnými koeficienty leží na kolmici k reálné ose (ose x) ve vzdálenosti β od reálné části α (x-ové souřadnice vrcholu V ). Důkladnější výpočet Určeme reálnou a imaginární část nulových bodů funkce komplexní proměnné x C: y(x) = (x α) 2 + β 2 = (x + ix 2 α) 2 + β 2 = [(x α) + ix 2 ] 2 + β 2 = (x α) 2 x β 2 + 2ix 2 (x α). Nulové body lze tedy najít snadno: y(x) = 0 R y(x) = 0 a I y(x) = 0. Imaginární část se rovná nule právě tehdy, když x α = 0 (x 2 0, neboť by pak rovnice měla jen reálné kořeny). Reálná část x obou kořenů je tedy x = α. Reálná část funkce y(x) se rovná nule právě tehdy, když (x α) 2 + β 2 = x 2 2, tj. β2 = x 2 2. Imaginární část x 2 obou kořenů je proto x 2 = ±β. Celkově má tedy funkce y(x) nulové body x + ix 2 = α ± iβ. Otázka pro zájemce. u kubické rovnice? Existuje podobná souvislost komplexních kořenů s vrcholy také

4 2 Kubická rovnice, casus irreducibilis. Najděte všechny kořeny následujících kubických rovnic. x 3 + 6x 20 = 0 x 3 6x 2 + 0x 8 = 0 (Jeden kořen už byl nalezen Cardanovým postupem, zbylé dva řešením kvadratické rovnice. Nyní tyto dva zbylé kořeny napište přímo, aniž byste hledali kvadratickou rovnici dělením kořenovým činitelem.) 2. Najděte všechny tři kořeny každé z následujících kubických rovnic. Jedná-li se o casus irreducibilis, použijte goniometrickou substituci. x 3 7x + 6 = 0 x 3 3x + 2 = 0 x 3 + 3x 2 4x 2 = 0 x 3 3x² + 4 = 0 3 Rovnice vyšších stupňů 3. Kubická rovnice. Zajímavost. Pro rozhodování, zda nastává casus irreducibilis, používáme výraz ( q ) 2 ( p ) 3 D = +, 2 3 což je modifikovaný diskriminant kvadratické resolventy. Přesně tento výraz se vyskytuje v Cardanových vzorcích pod druhou odmocninou. Pozor: ani diskriminant kvadratické resolventy, ani uvedený výraz D přísně vzato není diskriminantem kubické rovnice. Diskriminant D n polynomiální rovnice stupně n je pojem, který bude důkladně zaveden v 5. ročníku. U kubické rovnice pak odvodíme, že jejím diskriminantem je výraz ( (q 2 ( p ) ) 3 D 3 = ) 3 2. Výrazy u, v, které se vyskytují v Cardanových vzorcích, mají zajímavou vlastnost: je-li D < 0, pak u + v R, εu + ε 2 v R, ε 2 u + εv R (přestože samotná u, v C). Plyne to z tvrzení, které platí pro libovolná komplexní čísla: jsou-li u 3 a v 3 komplexně sdružená, jsou komplexně sdružené i jejich následující třetí odmocniny: u a v, εu a ε 2, ε 2 u a εv. 3. Jednoduché pozorování. Všechny třetí odmocniny daného komplexního čísla z = a+bi je možno zapsat ve tvaru: w, εw, ε 2 w, kde w je některá z třetích odmocnin čísla z. Dokažte toto tvrzení pomocí goniometrického tvaru čísel z, ε, w. 3.2 Reciproké rovnice Nechť je dána rovnice ve tvaru Dokažte následující tvrzení. a n x n + a n x n + a n 2 x n a 2 x 2 + a x + a 0 = 0.. Jestliže je n liché a a k = a n k pro každé k = 0,,..., n, pak má tato rovnice kořen x =. 2. Jestliže a k = a n k pro každé k = 0,,..., n, pak má tato rovnice kořen x =. 3. V obou předchozích případech platí: je-li α kořenem této rovnice, pak má také kořen α.

5 Zdánlivě příklady bez myšlenky, avšak velmi významné:. Rovnici vydělte kořenovým činitelem x. 2. Rovnici vydělte kořenovým činitelem x +. 4 Polynomiální rovnice Reciproké rovnice a 0 x 5 + a x 4 + a 2 x 3 a 2 x 2 a x a 0 = 0 a 0 x 5 + a x 4 + a 2 x 3 + a 2 x 2 + a x + a 0 = 0 Určete typ následujících reciprokých rovnic a najděte všechny jejich kořeny v R.. 6x 5 4x x 3 97x 2 + 4x 6 = 0 [, 2, 2, 3, 3 ] 2. 0x 4 77x x 2 77x + 0 = 0 [2, 2, 5, 5 ] 3. 8x 5 6x 4 83x 3 83x 2 6x + 8 = 0 [, 2, 2, 4, 4 ] Trinomické rovnice Najděte v C všechny kořeny následujících trinomických rovnic.. x 6 9x = 0 2. x 6 9x 3 26 = 0 [3, 3 2 ( ± i 3), 2, ± i 3] Počet kořenů polynomu Následující rovnice lze řešit zkusmo dosazením všech hodnot z konečné množiny Z n.. Najděte v poli Z 3 všechna řešení rovnice x 2 + x + 2 = Najděte v okruhu Z 6 všechna řešení rovnice x 3 + 5x = 0. 5 Iracionální čísla Opakování:. Připomeňte si efektivní algoritmus založený na posloupnosti zadané rekurentně, kterým lze počítat druhé odmocniny kladných čísel. 2. Jak lze zkonstruovat úsečky délek: 2, 3, 7? 3. Připomeňte si zavedení reálných čísel pomocí desetinných rozvojů. 4. Připomeňte si větu o supremu a Cantorův princip uzavřených do sebe vložených intervalů. (Matematická analýza I) 6 Reálná čísla Dedekindova teorie řezů srozumitelné shrnutí základů teorie: řezy, Dedekindova věta Axiomatické zavedení reálných čísel ke studiu v rozsahu probíraném na přednášce Vývoj představ o reálných číslech pro zájemce Stručná shrnutí: desetinné rozvoje, axiomy R

6 7 Řetězové zlomky úvod. Rozviňte číslo do řetězového zlomku. 2. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel 24 a 63. Rozviňte do řetězového zlomku racionální číslo Pomocí kalkulátoru najděte prvních 9 článků řetězového zlomku čísla π. Mělo by vyjít: Stručně zapsáno: π = π = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,... ] V řetězovém zlomku čísla π nebyla dosud objevena žádná struktura. Podobně bychom vypočítali např.: 3 2 = [; 3,, 5,,, 4,,, 8,... ]. 4. Může být hodnota konečného řetězového zlomku iracionálním číslem? 5. Pomocí kalkulátoru najděte prvních 9 článků řetězového zlomku čísla e. 6. Pomocí kalkulátoru najděte prvních 9 článků řetězového zlomku čísla Pomocí kalkulátoru najděte prvních 5 článků řetězového zlomku čísel 5 a Vyzkoušejte si následující algoritmus výpočtu prvních 0 článků řetězového zlomku daného čísla x. # Výpočet řetězového zlomku q čísla x import math x = math.pi q = [ ] for k in range(0): q.append( int(x) ) x = / (x int(x)) print(q) # přidat celou část do seznamu q # výpočet dalšího článku: odečíst celou část, převrácená hodnota # tisk řetězového zlomku

7 8 Řetězové zlomky druhých odmocnin. Vypočtěte prvních 0 konvergentů řetězového zlomku čísla Pozorujte následující rozvoje odmocnin do řetězového zlomku. = [] 2 = [; 2] 3 = [;, 2] 4 = [2] 5 = [2; 4] 6 = [2; 2, 4] 9 = [3] 0 = [3; 6] = [3; 3, 6] 6 = [4] 7 = [4; 8] 8 = [4; 4, 8] 25 = [5] 26 = [5; 0] 27 = [5; 5, 0] 36 = [6] 37 = [6; 2] 38 = [6; 6, 2] 49 = [7] 50 = [7; 4] 5 = [7; 7, 4] Ukažte, že pro každé n N platí: n 2 + = [n; 2n] n = [n; n, 2n] 9 Lineární diofantické rovnice. Najděte všechna řešení následujících diofantických rovnic. 89x+44y = 89x+44y = 5 2x+2y = x+29y = 2x+7y = 9x + 24y = 9x + 24y = 3 9x + 24y = 5 2. Vypočtěte následující součin matic. ( ) ( ) ( ) ( ) q q 2 q 3 q 4 Vypočtěte hodnotu řetězového zlomku [; 2, 3, 4]. ( ) ( ) ( ) ( ) Vypočtěte následující součin matic: Provokativní příklad. Pozorujte následující diofantické rovnice a (jedno) jejich řešení. 2x + 3y = [, ] 3x + 5y = [2, ] 5x + 8y = [ 3, 2] 8x + 3y = [5, 3] 3x + 2y = [ 8, 5] 2x + 34y = [3, 8] 34x + 55y = [ 2, 3] 55x + 89y = [34, 2]

8 0 Pellova rovnice, komplexní čísla. Najděte alespoň jedno netriviální řešení každé z následujících Pellových rovnic. a) x 2 7y 2 = b) x 2 0y 2 = c) x 2 y 2 = d) x 2 3y 2 = d ) x 2 3y 2 = e) x 2 4y 2 = f) x 2 23y 2 = 2. Srovnejte náročnost hledání řešení následujících Pellových rovnic. a) x 2 420y 2 = b) x 2 42y 2 = Poznámka: řešením rovnice b), tj. s koeficientem 42 je čitatel a jmenovatel konvergentu příslušného řetězovému zlomku [20,,, 3, 5,, 3,, 2,,,, 2, 9,, 7, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 7,, 9, 2,,,, 2,, 3,, 5, 3,,, 40,,, 3, 5,, 3,, 2,,,, 2, 9,, 7, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 7,, 9, 2,,,, 2,, 3,, 5, 3,, ]. Tento konvergent je: jeho čitatel má 34 cifer, jmenovatel 33. Rovnici a), tj. s koeficientem 420, vyřešte , I další Pellovy rovnice mohou být velmi nepříjemné: x 2 33y 2 = délka periody: 7 (liché číslo), řešení: [ , ] x 2 99y 2 = délka periody: 60 (číslo sudé, ale veliké), řešení: [ , ] 3. Důsledkem formule e iφ = cos φ + i sin φ je mnohoznačnost logaritmické funkce v komplexním oboru. Je-li z = x + iy, potom odkud plyne pro w 0: w = e z = e x+iy = e x e iy, Ln w = z = x + iy = ln w + i Arg w. Dalším důsledkem je vyjádření goniometrických funkcí (definice je rozšířena na všechna z C): sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 4. Mnohoznačná je také odmocnina v komplexním oboru: pro každé z C definujeme: každé komplexní číslo w C takové, že w n = z nazýváme n-tou odmocninou komplexního čísla z. 5. Pomocí Moivreovy věty lze snadno získat vzorce pro sin nφ a cos nφ, například: pomocí binomické věty dostaneme: (cos φ + i sin φ) 3 = cos 3φ + i sin 3φ, (cos φ + i sin φ) 3 = cos 3 φ + 3i cos 2 φ sin φ 3 cos φ sin 2 φ i sin 3 φ, odkud porovnáním reálných a imaginárních částí pravých stran plyne: cos 3φ = cos 3 φ 3 cos φ sin 2 φ, sin 3φ = 3 cos 2 φ sin φ sin 3 φ..

9 0. Komplexní čísla Doporučuji knihu: Calda E.: Komplexní čísla. Série Matematika pro gymnázia, Prometheus, Praha, 994. Zavedení komplexních čísel, problém se zavedením imaginární jednotky jakožto řešení rovnice x 2 + = 0, princip permanence a definice operací (sčítání, násobení) na C. Odčítání a dělení komplexních čísel (a b = a + ( b), a : b = a b ), dělení pomocí komplexně sdruženého čísla s jmenovatelem. Komplexní čísla jako uspořádané dvojice reálných čísel a jejich grafická reprezentace. Algebraický tvar komplexního čísla, Gaussova rovina = rovina komplexních čísel. Goniometrický tvar nenulového komplexního čísla, absolutní hodnota a argument. Moivreova věta odvození pomocí součtových vzorců pro funkce sinus a kosinus. Věta. Pro každá dvě (nenulová) komplexní čísla r (cos α + i sin α), r 2 (cos β + i sin β) platí: [r (cos α + i sin α)] [r 2 (cos β + i sin β)] = r r 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ). Z věty lze snadno odvodit matematickou indukcí následující důsledek. Věta 2. Pro každou komplexní jednotku cos φ + i sin φ a pro každé n N platí: (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ. Pozorování: násobení komplexních jednotek se chová podobně, jako násobení exponenciál: e iα e iβ = e i(α+β). V Matematické analýze II se pomocí Taylorových rozvojů dokazuje, že e iφ = cos φ + i sin φ. Každé nenulové komplexní číslo z C lze tedy vyjádřit ve tvaru z = r e iφ, kde r > 0, φ [0, 2π), který se nazývá exponenciální tvar komplexního čísla. Rozhodněte, jak je to s jednoznačností tohoto vyjádření. (Otázka jednoznačnosti je stejná jako u goniometrického tvaru, její ujasnění je důležité např. při řešení binomické rovnice.) Příklady:. Najděte v C opačný a inverzní prvek k nenulovému komplexnímu číslu a + bi. ( ) + i Najděte algebraický tvar komplexního čísla. Využijte Moivreovu větu. i ( ) Najděte algebraický tvar komplexního čísla 3 i Využijte Moivreovu větu. 4. Najděte kořeny kvadratické rovnice x 2 + x = Najděte kořeny kvadratické rovnice x 2 + x + = Pokud má kvadratická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen a + bi, b 0, pak její druhý kořen je nutně a bi (je tedy s prvním kořenem komplexně sdružený). Ukažte, proč tomu tak je. 7. Najděte kořeny binomických rovnic: z 3 =, z 2 = 4, z 3 = 8. Pokuste se o tři způsoby řešení: a) pomocí algebraického tvaru komplexního čísla; b) pomocí goniometrického tvaru komplexního čísla a Moivreovy věty; c) pomocí rozkladu binomu. 8. Vyjádřete komplexní číslo 2 ( cos π ) π 6 + i sin 6 v algebraickém tvaru. Následně se pokuste výsledek převést zpět do goniometrického tvaru.

10 0.2 Geometrie komplexních čísel Pomocí komplexních čísel lze snadno charakterizovat různé geometrické útvary.. kružnice: z z 0 = r 2. kruh: z z 0 r 3. elipsa: z f + z f 2 = 2a 4. Analytickou geometrii v rovině lze přeformulovat na geometrii v komplexní souřadnici: bod [x, y] lze reprezentovat komplexním číslem z = x + iy. Potom z = x iy, odkud sečtením, resp. odečtením těchto vztahů dostaneme: x = z + z 2 Například obecnou rovnici přímky y = z z 2i. ax + by + c = 0 pak můžeme přepsat ve tvaru a z+ z 2 + b z z 2i + c = 0, což po úpravě přejde na tvar: kde α = 2 (a + bi). 5. přímka procházející body z, z 2 : det ᾱz + α z + c = 0, 6. kružnice procházející body a, b, c: det Hyperkomplexní čísla, grupy z z z z = 0 z 2 z 2 z z z z aā ā a b b b b c c c c = 0. Odvoďte z pravidel pro násobení imaginárních jednotek u kvaternionů i 2 = j 2 = k 2 = ijk = následující rovnosti: ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j. 2. Ukažte, že (Z, +, ) je oborem integrity; (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) jsou pole (tj. komutativní tělesa); (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) jsou komutativní grupy; (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ), (C \ {0}, ) jsou komutativní grupy; (N, +) je komutativní pologrupa. (Z, ) je komutativní monoid.

11 3. Uvažujme množinu celých čísel Z a její podmnožinu 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6, 9, 2,... }. Definujme třídy = + 3Z = {..., 5, 2,, 4, 7, 0, 3,... }, 2 = 2 + 3Z = {..., 4,, 2, 5, 8,, 4,... }. Množinu těchto tříd pak budeme značit Z 3 = { 0,, 2}. Ukažte, že je korektní, definujemeli binární operaci na množině těchto tříd Z 3 takto: a, b Z : (a + 3Z) (b + 3Z) = (a + b) + 3Z, tj. že tato definice nezávisí na volbě reprezentantů a, b; tedy že platí: a (a + 3Z), b (b + 3Z) = (a + 3Z) (b + 3Z) = (a + 3Z) (b + 3Z). 4. Ukažte, že operace z předchozího bodu je komutativní. Ukažte, že nulovým prvkem je třída 0 = 3Z = 0 + 3Z. Najděte ke každé třídě opačný prvek vzhledem k operaci. Ukažte, že (Z 3, ) tvoří komutativní grupu. 5. Ověřte, že množina {i, i 2, i 3, i 4 } = {i,, i, } tvoří vzhledem k operaci násobení komplexních čísel grupu.