Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí

Transkript

1 Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla a Rplatí a+0=0+a=a 4 (existenceopačnéhoprvku)kekaždémučíslu a Rexistuječíslo( a) Rtakové,že a+( a)=( a)+a=0 5 (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí a b=b a 6 (asociativitaoperace )provšechnačísla a, b, c Rplatí a (b c)=(a b) c 7 (existence jednotkového prvku) pro všechna čísla a R platí a 1=1 a=a 8 (existenceinversníhoprvku)kekaždémučíslu a R \ {0}existuječíslo a 1 R \ {0}takové,že a a 1 = a 1 a=1 9 (distributivitanásobenívzhledemkesčítání)provšechnačísla a, b, c Rplatí a (b+c)=(a b)+(a c) (a+b) c=(a c)+(b c) Množina reálných čísel s těmito dvěma operacemi tvoří komutativní těleso Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem - funkce-polynomiální forma Polynomjereálnáfunkce freálnéproměnnétaková,žeexistujíreálnáčísla a 0,, a n taková,žeprovšechna x Rplatí f(x)=a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 Rovnostsepakzavádíjakorovnostfunkcí,součet jakosoučetfunkcí,součinjakosoučinfunkcí, - algebraický výraz 1DefiniceNechť a 0, a 1,, a n 1, a n jsoureálnáčíslaalgebraickývýraz a n x n + a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, cožstručnězapisujeme a i x i, nazveme(reálný) polynom(vproměnné x),čísla a 0, a 1,, a n nazývámekoeficienty polynomu, hodnota polynomuvbodě x 0 Rjereálnéčíslo,kterédostaneme,kdyžzaproměnnou xdosadímečíslo x 0 Nulový polynom O(x) je polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule

2 2PoznámkaKoeficientymohoubýtinulové,tyvětšinounezapisujemeMísto x 3 +0x 2 +2x 1píšeme x 3 +2x 1 3 DefiniceNechť P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + +a 2 x 2 + a 1 x+a 0 jepolynomstupeňpolynomu P (označujemestp)jenejvětší m Ntakové,že a m 0Stupeňnulovéhopolynomupoložímeroven 1 Polynom nultého stupně se nazývá konstantní, prvního stupně lineární, druhého stupně kvadratický a třetího stupně kubický 4 Definice Řekneme, že se polynomy P(x)= a i x i a Q(x)= m b i x i soběrovnají,jestližemajístejnýstupeň(stp=stq=k)anavíc a i = b i provšechna,1,, k 5 Poznámka Platí tedy, že x 3 +2x 1=x 3 +0x 2 +2x 1=0x 4 + x 3 +2x 1= =0x 4 + x 3 +0x 2 +2x 1=0x 5 +0x 4 + x 3 +2x 1= Takovéto natahování polynomůsenámmůžehodit,kdyžtřebapotřebujeme,abypolynommělurčitou délku Operace s polynomy 6DefiniceSoučetpolynomů:Nechť P(x)=a n x n + +a 1 x+a 0 a Q(x)=b m x m + +b 1 x+b 0 jsou polynomyanechť m npoložme b i =0pro i=m+1,,nsoučtempolynomů P(x)aQ(x)nazveme polynom(p + Q)(x) definovaný (P+ Q)(x)=(a n + b n )x n + +(a 1 + b 1 )x+(a 0 + b 0 )= 7 Pozorování Vlastnosti sčítání polynomů (a i + b i )x i 1 Sčítánípolynomůjekomutativní,tedyprokaždédvapolynomy P, Qplatí,že P+ Q=Q+P 2 Sčítánípolynomůjeasociativní,tedyprokaždétřipolynomy P, Q, Rplatí,že(P+Q)+R=P+(Q+R) 3 Nulovýpolynomjeneutrálnívzhledemkesčítání,tedyprojakýkolipolynom Pplatí,že P+ O=P= O+ P 4 Kekaždémupolynomu Pexistujeopačnýpolynom Ptakový,žeplatí P+( P)=O=( P)+P Množina všech polynomů s operací sčítání tvoří komutativní grupu, místo komutativní se také často říká Abelova podle norského matematika Nielse Henrika Abela 8 Poznámka Zřejmě platí, že koeficienty polynomu( P(x)) jsou opačná čísla ke koeficientům polynomu P(x),tedy ( P(x))= a n x n a n 1 x n 1 a 2 x 2 a 1 x a 0 = ( a i )x i Díky poslední vlastnosti můžeme také definovat odčítání polynomů jako přičítání opačného polynomu, tedy (P Q)(x)=(P+( Q))(x) 9 Definice Násobení polynomu číslem: Nechť P(x)=a n x n + +a 1 x+a 0 je polynom, α(reálné) číslo α-násobkem polynomu P(x) nazveme polynom(α P)(x) definovaný (α P)(x)=α a n x n + +α a 1 x+α a 0 = (α a i )x i

3 10 Pozorování Pro jakékoli polynomy P, Q a jakákoli(reálná) čísla α, β platí 1 α (β P)=(αβ) P 2 (α+β) P= α P+ β P 3 α (P+ Q)=α P+ α Q 4 1 P= P 5 0 P= O 11 Poznámka Těchto pět vlastností spolu s vlastnostmi 1 a 2 součtu polynomů jsou přesně axiomy lineárního prostoru(který budeme definovat později) Ve vhodnou dobu si připomeneme, že množina všech polynomů s operacemi sčítání a násobení reálným číslem tvoří lineární prostor 12DefiniceSoučinpolynomů:Nechť P(x)=a n x n + +a 1 x+a 0 a Q(x)=b m x m + +b 1 x+b 0 jsou polynomypoložme a i =0pro i=n+1,, n+mab i =0pro i=m+1,,m+nsoučinempolynomů P(x)aQ(x)nazvemepolynom(P Q)(x)definovaný kdepro k=0,1,2,, m+nje (P Q)(x)=c m+n x m+n + +c 1 x+c 0 = c k = a 0 b k + a 1 b k 1 + +a k 1 b 1 + a k b 0 = m+n k=0 c k x k, k a i b k i 13 Pozorování Vlastnosti násobení polynomů 1 Násobenípolynomůjekomutativní,tedyprokaždédvapolynomy P, Qplatí,že P Q=Q P 2 Násobenípolynomůjeasociativní,tedyprokaždétřipolynomy P, Q, Rplatí,že(P Q) R=P (Q R) 3 Polynom E(x) = 1(konstantní jednička) je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom Pplatí,že P E= P= E P 4 Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P, Q, R platí (a) P (Q+R)=P Q+P R (b) (P+ Q) R=P R+Q R 14 Poznámka Množina všech polynomů s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní okruh s jednotkou 15 Pozorování Pro polynomy P, Q platí: 1 st(p+ Q) max{stp,st Q} 2 st(α P)=stP pro α 0, st(0 P)= 1 3 st(p Q)=stP+stQ,pokudjsouobapolynomynenulové,vopačnémpřípadějestupeňroven 1 16VětaDělenípolynomůsezbytkem:Kekaždýmdvěmapolynomům Pa Q,kdepolynom Qjenenulový, existujípolynomy Y a Ztakové,že Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně P= Y Q+Z a stz < stq Důkaz tohoto tvrzení má dvě části Je třeba dokázat jak existenci těchto dvou polynomů(algoritmus dělení), tak jednoznačnost

4 Hornerovo schema 17 Algoritmus pro výpočet hodnoty polynomu pro nějaké číslo s minimálním počtem násobení Polynom zapíšeme trochu jiným způsobem Platí totiž Tedy Položme Zřejmě Také platí, že P(x)=a n x n + a n 1 x n 1 + +a 2 x 2 + a 1 x+a 0 = =(a n x n 1 + a n 1 x n 2 + +a 2 x+a 1 ) x+a 0 = =((a n x n 2 + a n 1 x n 3 + +a 2 ) x+a 1 ) x+a 0 = = =(( (a n x+a n 1 )x+ +a 2 )x+a 1 )x+a 0 P(x 0 )=(( (a n x 0 + a n 1 )x 0 + +a 2 )x 0 + a 1 )x 0 + a 0 b n = a n b n 1 = b n x 0 + a n 1 = a n x 0 + a n 1 b 1 = b 2 x 0 + a 1 = ( (a n x 0 + a n 1 )x 0 + +a 2 )x 0 + a 1 b 0 = b 1 x 0 + a 0 = (( (a n x 0 + a n 1 )x 0 + +a 2 )x 0 + a 1 )x 0 + a 0 P(x 0 )=b 0 P(x)=(x x 0 )(b n x n 1 + b n 1 x n 2 + +b 2 x+b 1 )+b 0, což můžeme ověřit pomocí algoritmu pro dělení polynomů Hornerovo schema je tabulka, která má tři řádky V prvním řádku jsou zapsány koeficienty polynomu P(x) (včetněnulových)dotřetíhořádkubudemepostupnězapisovatkoeficienty b i,nejprve b n = a n potom vždyckytak,ženejprvedodruhéhořádkuzapíšeme b i+1 x 0,koeficient b i jepaksoučtemčíselvprvníma druhém řádku Schema tedy vypadá takto a n a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 x 0 b n x 0 b n 1 x 0 b 3 x 0 b 2 x 0 b 1 x 0 b n b n 1 b n 2 b 2 b 1 b 0 18PříkladUžitímHornerovaschematuspočtětehodnotupolynomu P(x)=3x 4 2x 2 5x+1pročíslo x 0 = Tedy P(2)=31 Kořeny polynomů V této části musíme pojem polynomu rozšířit na komplexní polynom Budeme se nadále zajímat především opolynomyreálné,alebudemesenanědívatjakonapolynomykomplexnítolze,protožekaždéreálné číslo je také číslem komplexním(s nulovou imaginární částí) 19 Definice Nechť P(x) je nenulový(komplexní) polynom Řekneme, že komplexní číslo α je kořenem polynomu P,jestliže P(α)=0 20TvrzeníKomplexníčíslo αjekořenempolynomu P(x)právětehdy,kdyžjepolynom P(x)bezezbytku dělitelný polynomem(x α) 21 Definice Řekneme, že(komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P(x), jestliže k je největší přirozenéčíslotakové,že P(x)jebezezbytkudělitelnýpolynomem(x α) k 22 Poznámka Tato definice vyhovuje i případu, kdy dané číslo není kořenem polynomu, je totiž 0-násobným kořenem Místo o jednonásobném kořenu mluvíme většinou o jednoduchém kořenu 23 Pozorování(Komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P(x) právě tehdy, když existuje polynom Q(x)takový,že P(x)=Q(x) (x α) k a Q(α) 0

5 24 Základní věta algebry: Každý(komplexní) polynom alespoň prvního stupně má alespoň jeden(komplexní) kořen 25 Důsledek Nenulový polynom n-tého stupně má právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost 26 Tvrzení Rozklad polynomu na součin kořenových činitelů(resp kořenových polynomů) Každý polynom můžeme zapsat ve tvaru P(x)=a n (x α s ) ks (x α 2 ) k2 (x α 1 ) k1, kde α 1,,α r jsoukořenypolynomu P(x), k 1,, k r jsounásobnostitěchtokořenú 27Důsledek(základnívětyalgebry):Nechť P a Qjsoupolynomystupněnejvýše n-tého, α 1,, α n+1 navzájemrůznákomplexníčíslataková,že P(α i )=Q(α i )provšechna i=1,,n+1potom P= Q 28VětaNechť P(x)jepolynomsreálnýmikoeficientyakomplexníčíslo a+bi, b 0jejeho k-násobný kořen Pak také komplexně sdružené číslo a bi, je k-násobným kořenem polynomu P(x) 29 Důsledek Reálný polynom lichého stupně má vždy aspoň jeden reálný kořen 30 Definice Reálný polynom nazveme ireducibilní, jestliže se nedá zapsat jako součin dvou reálných polynomů alespoň prvního stupně 31 Tvrzení Ireducibilní reálné polynomy jsou všechny polynomy prvního stupně a ty polynomy druhého stupně, které mají pouze komplexní kořeny 32 Tvrzení Rozklad polynomu na součin ireducibilních reálných polynomů Každý reálný polynom můžeme zapsat ve tvaru P(x)=a n (x α 1 ) k1 (x α r ) kr (x 2 + p 1 x+q 1 ) l1 (x 2 + p t x+q t ) lt, kde α 1,,α r jsoureálnékořenypolynomu P(x)a(x 2 + p 1 x + q 1 ),,(x 2 + p t x+q t )jsousoučiny kořenových polynomů odpovídajících vždy dvěma komplexně sdruženým kořenům 33 Poznámka Hledání kořenů polynomů je obecně velmi těžké Dokonce neexitují žádné obecné postupy, jak najít kořeny polynomů pátého a vyšších stupňů(abel) Kořeny kvadratických polynomů(pouze kladné) uměli najít už arabští matematici(al-khwarizmí: Al-kitáb al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala(829)) Vzorce pro kořeny polynomů 3 a 4 stupně publikoval v díle Ars magna(1545) Gerolamo Cardano(odtud Cardanovy vzorce), který ale nebyl jejich objevitelem Někdy můžeme využít specifických vlastností určitého typu polynomů(binomické, reciproké,) Někdy nám může pomoci následující tvrzení 34TvrzeníNechť P(x)jepolynomsceločíselnýmikoeficientystupně n 1aracionálníčíslo p q,kde paq jsounesoudělnáčísla,jejehokořenpotom pmusídělitabsolutníčlen a 0 a qmusídělitkoeficientunejvyšší mocniny,tj a n