Spirální podobnost. k = b a. b O. Franta Konopecký
|
|
- Dana Hrušková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Spirální podobnost Franta Konopecký ØÖ Øº bsáhlýasouhrnnýelaborátospirálnípodobnosti(tj.složenístejnolehlosti a otočení), určený jednak jako ucelený studijní materiál využitelný i pro samostudium, druhak jako obsáhlý zdroj příkladů s návody a řešeními. Počet příkladů: 15, počet cvičení: 5, počet tvrzení o spirální podobnosti: 10. Úvod Spirální podobnost je nejobecnější přímé podobné zobrazení roviny, které řeší některé jinak velmi složité úlohy. Cílem tohoto příspěvku je sestavit ucelený souhrn poznatků o spirální podobnosti, ukázat použití na příkladech a umožnit plnohodnotné nastudování problematiky. Definice. Spirální podobnost je složení otočení a stejnolehlosti podle téhož středu.jeurčenastředemspirálnípodobnosti,orientovanýmúhlemotočení ω a koeficientemstejnolehlosti k >0.Značímeji S(, ω, k). Spirální podobnost S(, ω, k) a b ω k = b a Motivační příklady Příklad 1. V rovině jsou dány různě velké stejně orientované podobné trojúhelníky Ca C.Středyúseček,, CC označmepořadě,, C.Ukažte,žeitrojúhelník C jepodobnýpředchozímtrojúhelníkům. ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ º spirálnípodobnost, geometrie,zobrazení,podobnost, hardcore,studijní text, stejnolehlost, otočení 12
2 Franta Konopecký: Spirální podobnost S(, ω, c a ) C S(, ω 1, b a ) C C c b ω 1 a ω Řešení. Trojúhelníky C a C jednoznačněurčujíspirálnípodobnost S (, ω, c a ),kterápřevádíjedennadruhý(tobudejednoznásledujícíchtvrzení). Trojúhelníky,, CC majístejnýúheluvrcholu astejnýpoměr přilehlýchstran.jsoutedypodobné,atoistěžnicemi,podobnéjsoutakitrojúhelníky,, CC.Nováspirálnípodobnost S(, ω 1, b a )zobrazuje trojúhelník Cna C.Spirálnípodobnostjepodobnézobrazení,trojúhelníky jsou podobné. Příklad 2. Je dán čtyřúhelník CD s různoběžnými protějšími stranami. Průsečíkpřímek a CD označme Qaprůsečíkpřímek DaC označme R. Ukažte, že kružnice opsané trojúhelníkům CQ, DQ, R, CDR procházejí jedním bodem. Q C D R 13
3 Domaslav 10 Řešení. Protože se všechny čtyři kružnice protínají ve středu spirální podobnosti,kterázobrazuje, D C,jedůkazdokončen. S nynějšími znalostmi je předchozí důkaz neplatný, ale za několik málo okamžiků bude vše opravdu takto jednoduché! Vlastnosti spirální podobnosti Tvrzení 1.(Základní vlastnosti) Pro spirální podobnost platí: (i) Je to podobné zobrazení, obrazem přímky je přímka, obrazem čtverce je čtverec, obrazem středu úsečky je střed obrazu úsečky, obecně obrazem útvaru je jemu podobný útvar. (ii) Úhel mezi přímkou a jejím obrazem je úhel otočení. (iii) Poměr délky úsečky a jejího obrazu je roven koeficientu stejnolehlosti. ω k = a a = b b b ω a b a Tvrzení2.(Speciálnípřípady) Spirálnípodobnost S(, ω, k)sepřispeciálních hodnotách ω, kredukujenásledovně. (i) Pro ω =0dostávámestejnolehlostsestředem akoeficientem k. (ii) Pro ω =180 dostávámestejnolehlostsestředem akoeficientem k. (iii) Pro k=1dostávámeotočeníkolem oúhel ω. (iv) Pro k=1a ω =180 dostávámestředovousouměrnostsestředem. (v)žádnákombinace, ω, knámnedáposunutínebonepřímézobrazení. Tvrzení 3.(Spirální podobnosti chodí po dvou!) Nechť spirální podobnost se středem převádí C a D. Pak jednoznačně určená spirální podobnost, kterápřevádí a C D,mátéžstředv.Úhelotočeníakoeficientse může lišit. C C D D 14
4 Franta Konopecký: Spirální podobnost Tvrzení4.(Existenceajednoznačnost) Vrovinějsoudánybody,, C, D takové, že DC(v tomto pořadí!) není rovnoběžník. Pak existuje právě jedna spirální podobnost, která převádí C, D.(V případě rovnoběžníku DC bychom potřebovali posunutí, které spirální podobnost neposkytuje.) Jednoznačnost:řekněme,žeexistujídvětakovéspirálnípodobnosti S 1 a S 2 srůznýmistředy 1 a 2.Zůstanevidentitě S 1 S2 1 bod 1 namístě? Existence: je obsažena v tvrzení 6. Lemma 5.(S.p.jednoznačněurčenatrojúhelníkem.) uď S(, ω, k) spirálnípodobnostzobrazujícíbod na.potomplatínásledující. (i) Prorůznébody jsouvšechnytrojúhelníky podobné. (ii) Libovolnýtrojúhelník zpětnějednoznačněurčujespirálnípodobnost S(, ω, k). Značení. rientovaný úhel C, tedy úhel od polopřímky k polopřímce C,budemeznačit C. Tvrzení 6.(Konstrukcestředu;existence) uď čtyřúhelníktakový, žesepřímky a protínajívbodě Q.Potomdruhýprůsečík kružnic opsanýchtrojúhelníkům Q a Q jestředspirálnípodobnosti S (,, ),kterázobrazuje,. Důkaz. Pokud splývá s Q, redukuje se spirální podobnost na otočení. Předpokládejme Q. Podle předchozího lemmatu 5 nám stačí k existenci spirální podobnostisestředemvukázatpodobnosttrojúhelníků a.tu prubne shodnost úhlů. Díky rovnostem obvodových úhlů je = Q = Q =, = Q = Q = atrojúhelníky a jsoupodobné. Q Q R K předcházejícímu tvrzení K následujícímu tvrzení 15
5 Domaslav 10 Tvrzení7.(Průsečíkčtyřkružnic,Miquel spointofquadrilateral) uď čtyřúhelník s různoběžnými protějšími stranami. Průsečík přímek a označme Q,průsečíkpřímek a označme R.Potomstředspirálnípodobnosti,kterázobrazuje a,jeprůsečíkemkružnicopsaných trojúhelníkům Q, Q, Ra R. Důkaz. Podle tvrzení 3 je středem dvou spirálních podobností. Díky první znichležípodletvrzení6nakružnicíchopsaných Qa Qadíkydruhéna kružnicíchopsaných Ra R. Poznámka. Předchozí tvrzení nám zároveň(už regulérně) dokázalo druhý motivační příklad. Cvičení na spirální podobnost Následují důležitá cvičení na pochopení principů spirální podobnosti. Jejich vyřešení(většinou pomocí některých tvrzení) je esenciální k pochopení těžších příkladů. Používejte v nich hlavně analogie k motivačnímu příkladu 1. Dále si zkuste pomocí tvrzení 4 o existenci a jednoznačnosti zdůvodnit, že spirální podobnost můžete použít, a navíc jednoznačně. Poté ze základních vlastností o podobnosti a lemmatu 5hledejtedalšíspirálnípodobnosti,případněvyužijteexistence duální spirální podobnosti podle tvrzení 3. Cvičení 1. Na stěně visí dvoje hodiny, jedny jdou o čtvrthodinu napřed. Jak se pohybuje střed spojnice konců velkých ručiček? Cvičení2. Kružnice k, lseprotínajívbodech,.odem seotáčípřímka, kteráprotínákružnici k podruhévbodě K a lpodruhévl.jakoumnožinu vykresluje střed úsečky KL? Cvičení 3. Zadání stejné jako v předchozím příkladě, akorát se ptáme, jakou množinuvykreslujebod Núsečky KL,prokterý KN =2 LN. Cvičení 4. Zadání stejné jako v předchozím příkladě plus je úsečka KL doplněna narovnostrannýtrojúhelník KLM.Comalujebod M? Dokažte, že má čtyřúhelník LM K pořád stejný tvar(z obvodových úhlů a stejného tvaru rovnostranného trojúhelníku). Všechny trojúhelníky LM jsousitímpádempodobnéaspirálnípodobnostsestředemv,úhlem LMa koeficientem L / M zobrazuje každý bod L do nějakého bodu M. Cvičení 5. Po třech různoběžných přímkách se rovnoměrně pohybují body,, C.Ukažte,žepokudjsouvedvoučasech t 1, t 2 trojúhelníky Cpodobné, tak už jsou podobné v každém okamžiku. 16
6 Franta Konopecký: Spirální podobnost Shrnutí spirální podobnosti na závěr výkladu uvádíme důležité fakty o spirální podobnosti, které by si měl důrazně osvojit každý, kdo ji chce umět používat. (i) S.p. je podobné zobrazení, všechny poměry a tvary se zachovávají. (ii) Úhel otočení je i úhlem odpovídajících si přímek v zobrazení. (iii) Středem s.p. prochází čtyři kružnice umožnující několikanásobnou rovnost obvodových úhlů. (iv) Každás.p.mávždyduálnís.p.,kterámástejnýstředaposkytujedalší rovnosti úhlů. (v) Pokud trojúhelník tvořený třemi rovnoměrně se pohybujícími body má dvakrát stejný tvar, má pořád stejný tvar. ohužel nejsou tvrzení o spirální podobnosti obecně známá, takže je dobré míti na paměti i náznaky jejich důkazů, abyste mohli použité fakty zdůvodnit. Viz cvičení 5. Příklady na spirální podobnost Příklad 3.(Simpsonova přímka) uď CD tětivový čtyřúhelník. Ukažte, že patykolmiczdpostupněnapřímky, C, C ležínajednépřímce.paty označmepostupně P, Q, R. Doplňtedoobrázkubod Stak,abybylytrojúhelníky DQS, DRaDPC podobné.spirálnípodobnost S(D, PDC, PD DC )zobrazujetrojicibodů P-Q-Rna C-S-, které leží na přímce. Příklad 4.(USM2006) Nechť CDječtyřúhelníkanechť E, F jsou body postupně na stranách D, C takové, že dělí strany ve stejném poměru E : ED = F : FC.Přímka EF protínápřímky acdpostupně vbodech Sa T.Dokažte,žekružniceopsanétrojúhelníkům SE, SF, TCFa TDEmajíspolečnýbod. Najděte spirální podobnost zobrazující a D C a využijte tvrzení 6 o konstrukci středu. Příklad 5.(PraSe ) C je ostroúhlý trojúhelník s výškou D. ody X a Y ležípořaděnakružnicíchopsanýchtrojúhelníkům DaCDtak,že X, D, Y ležínajednépřímceax D Y.značmedále Mstředstrany C a M středúsečky XY.Dokažte,žepřímky MM a M jsoukolmé. Najděte spirální podobnost svazující tři Thaletovy kružnice. Řešení. Dvě různá řešení najdete na 17
7 Domaslav 10 Příklad 6.(d Kennyho) Stranám a C trojúhelníka C připíšeme zvenčípodobnépravoúhelníky 2 KLCa MN.Ukažte,žepřímky NC, MLa K procházejí jedním bodem. Vezměte vhodnou spirální podobnost a zobrazte na sebe kružnice opsané našim pravoúhelníkům. Příklad 7.(Zobecnění IM 2005) Mějme konvexní čtyřúhelník CD, který nenílichoběžník.nastranách a CDjsoubody Ea F,kterédělísvéstrany vestejnémpoměru E : E = CF : FD.Průsečíkyúhlopříčekapřímky EFoznačme P, Q, R.Potomprorůznépolohybodu Eprocházíkružniceopsané trojúhelníku P QR ještě jedním pevným bodem(různým od průsečíku úhlopříček P). (i) Vykreslete všechny kružnice vztahující se ke spirální podobnosti převádějící C, D. (ii) Pomocí obvodových úhlů ukažte, že střed oné spirální podobnosti leží na kružnici opsané trojúhelníku P QR. Příklad 8.(d Kennyho) Je dán pětiúhelník CDE takový, že jsou si trojúhelníky C, CD, DE podobné. značme T průsečík D a CE. Ukažte, že přímka T jekolmánaspojnicistředů S 1 a S 2 kružnicopsanýchtrojúhelníkům Ca DE. (i) Stačívámukázat,že S 1 = S 1 T a S 2 = S 2 T. (ii) Pomocí spirální podobnosti dokažte rovnost úhlů C = T C a CT je tětivový. Příklad 9.(IM Shortlist 2006) uď CDE konvexní pětiúhelník takový, že jsou si trojúhelníky C, CD, DE podobné. Úhlopříčky D a CE se protínají v P.Ukažte,žepřímka Ppůlístranu CD. značme Qprůsečík Da C, Rprůsečík DaEC.DíkyCèvověVětě 3 námstačíukázat Q : QC = R : RD.Čtyřúhelníky CDaCDEsi odpovídají ve spirální podobnosti, tedy i jejich průsečíky úhlopříček, a jsou tak zachovány potřebné poměry. 2 Pravoúhelníkjeobdélníknebočtverec. 3 Cèvova věta: Nastranách a, b, ctrojúhelníka C jsoupostupněbody 1, 1, C 1. Přímky 1, 1, CC 1 seprotínajívjednombodě,právěkdyžplatírovnost C 1 C 1 1 C 1 C 1 1 =1. 18
8 Franta Konopecký: Spirální podobnost Příklad 10. Je dán pravoúhlý trojúhelník C s pravým úhlem u C. značme MstředpřeponyaDtakovýbododvěsny C,žeplatí CD = CM.Nechťdále Pznačíprůsečíkkružnicopsanýchtrojúhelníkům CMa D, P.Ukažte, žepřímka Pjeosouúhlu C. (i) Najděte spirální podobnost zobrazující CP M na DP. (ii) Pomocí duální spirálkyarovnosti CD = M ukažteshodnost CPD a MP. (iii) Uvědomte si, v jakém vztahu jsou výšky ve shodných trojúhelnících. Příklad 11.(Čína 1992) Střed kružnice opsané tětivovému čtyřúhelníku CD označme. Úhlopříčky C a D se protínají v P. Kružnice opsané trojúhelníkům Pa CDPseprotínajívPa Q.Předpokládejme,žejsoubody, Pa Qrůzné. Dokažte,že QP =90. (i) od sidefinujtejakoprůsečíkosúseček Ca D. (ii) Spirálnípodobnostsestředemvzobrazuje C D. (iii) Jestližeoznačíme S 1, S 2 středyúhlopříček,tak, P, S 1, S 2 ležínathaletově kružnici. (iv) Díkyspirálnípodobnostileží Q, P, S 1, S 2 téžnajednékružnici. Příklad 12. (Mathlinks) Ke stranám konvexního čtyřúhelníku CD připíšeme zvnějšku podobné trojúhelníky W, CX, CDY, DZ. Ukažte, že WXY Zjerovnoběžník. (i) Čtyřúhelník je rovnoběžníkem, jestliže středy úhlopříček splývají. (ii) Středyúseček C, D, WY, XZoznačme R, S, T, U.Pomocíspirálnípodobnosti převádějící W na CDY ukažte podobnost RST W podobně jako v příkladu 1. (iii) Druhou spirální podobností ukažte RSU CX. (iv) Zpodobnostítrojúhelníkůplyne T= U. Příklad13.(PraSe26-6-8) PIV jekonvexníčtyřúhelník.systran PIa V seprotínajívbodě Y. Xjeboduvnitř PIV takový,že XV = XP < <90 a XIV = XP <90.Ukažte,že V Y =2 XIV. (i) Vezměmebody X a Y tak,žeplatípodobnostitrojúhelníků PX Y X a V X Y V XI. (ii) Pomocíspirálníchpodobnostísestředyv, V zobrazujícími P Y I ukažte PY = Y I,zčehožvyplyne Y= Y. 19
9 Domaslav 10 Řešení. Úplné řešení najdete na Příklad 14.(IM Shortlist 1992) V konvexním čtyřúhelníku CD jsou úhlopříčky stejně dlouhé. Ukažte, že pokud vně každé straně připíšeme rovnostranný trojúhelník, tak jsou spojnice protějších středů těchto trojúhelníků na sebe kolmé. (i) Zafixujte C a rovnoběžně posouvejte D, dedukujte pohyb oněch spojnic středů. (ii) Zjistěte, jestli kolmost platí v limitní poloze = C. (iii) Pomocí spirálních podobností ukažte, že se při pohybu bodů, D z limitní polohy do obecné polohy pohybují protější středy trojúhelníků stejně. Příklad 15.(IM Shortlist 2006) Na stranách a, b, c trojúhelníka C zvolímepostupněbody 1, 1, C 1.Kružniceopsanétrojúhelníkům 1 C 1, C 1 1, C 1 1 protnoukružniciopsanoupodruhévbodech 2, 2, C 2.ody 3, 3, C 3 jsoustředovýmiobrazybodů 1, 1, C 1 postupněpodlestředůstran a, b, c. Ukažte,žetrojúhelník 2 2 C 2 jepodobnýtrojúhelníku 3 3 C 3. (i) Pomocíznalostiprůnikukružnicjakostředus.p.ukažte,že 2 C 2 C 1 1. (ii) značmestředyúseček b, c, 2 postupně S b, S c, S 2.Ukažte S 2 S c S b 2 C. (iii) Sodkazemnacvičení5odůvodněte 2 C 1 1 S 2 S c S b C 3 3. (iv) Ukažteshodnostodpovídajícíchúhlův 2 2 C 2 a 3 3 C 3. Literatura, zdroje a poděkování Především děkuji Kennymu Rolínkovi, že mě k tomuto tématu dotlačil a dodal kopu pěkných příkladů. Mými dalšími zdroji byly: [1] rchiv prasátka, [2] Franta Konopecký, Hýbání s body, Sody.pdf. [3] Matematické fórum [4] Yufei Zhao, Similarity(IM Training 2007), 2007, yufeiz/www/similarity.pdf. Tentoelaborátimateriálohýbánísbodybudezanedlouhokestaženívknihovně semináře 20
Geometrická zobrazení
Geometrická zobrazení Franta Konopecký Geometrická zobrazení jsou nádherná kapitola matematiky, do které když proniknete, tak už neuniknete. Pro lepší představu v tomto příspěvku najdete stručný přehled,
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceČtyři body na kružnici
Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 1 / 19 Problematika čtyř bodů na kružnici důkazové úlohy matematické soutěže nedostatečná metodika v učebnicích
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceGeometrie trojúhelníka
Geometrie trojúhelníka Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Přednáškadůkladněseznamujeseznámýmivlastnostmitrojúhelníka. Též ukazuje, jak se dá rovnou ze zadání geometrické úlohy poznat, které postupy bude třeba
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceAntirovnoběžnost. Michal Kenny Rolínek. Ocojde?
Antirovnoběžnost Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Příspěvekvysvětlujeprincipantirovnoběžnostinamnohaúloháchzčeských i zahraničních soutěží. Ukazuje i využití antirovnoběžnosti v moderní geometrii trojúhelníka.
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VíceÚloha 1. Petr si do sešitu namaloval takovýto obrázek tvořený třemi jednotkovými kružnicemi a jejich společnými
Tečny 2. jarní série Vzorové řešení Úloha 1. Petr si do sešitu namaloval takovýto obrázek tvořený třemi jednotkovými kružnicemi a jejich společnými tečnami, které procházejí jedním bodem. Všiml si, že
VíceZajímavé matematické úlohy
Zajímavé matematické úlohy Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky Zajímavé matematické úlohy. V tomto čísle uvádíme zadání další dvojice úloh. Jejich řešení můžete zaslat nejpozději
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceIvan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006
Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických
Více4.3.2 Koeficient podobnosti
4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné
VíceDefinice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:
2 Kruhová inverze Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem: (1) X SX, (2) SX SX = r 2. Obrázek 6: Kruhová inverze
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
Více9.5. Kolmost přímek a rovin
9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této
VíceAngle chasing. Michal Kenny Rolínek
Angle chasing Michal Kenny Rolínek Anglechasingneboličesky počítáníúhlů jenejsilnějšígeometrickátechnikavůbec. Přestože jsou její principy jednoduché, ovládnout ji důkladně se podaří málokomu. Na přednášce
VíceGeometrická zobrazení
Geometrická zobrazení ½º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º ÔÖÓ Ò ¾¼½½ ÐÓ ½º Nastraně Dčtverce Djedánbod E.Osaúhlu Eprotnestranu vbodě F.Dokažte, že E = F + DE. ÐÓ ¾º V rovině jsou dány body a. Uvažme všechny konvexní
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VíceGeometrie trojúhelníka Martin Töpfer
Geometrie trojúhelníka Martin Töpfer Abstrakt. Přehled známých vlastností trojúhelníka ilustrovaný na mnoha úlohách, které pochází hlavně z matematických olympiád posledních let. Cílem této přednášky je
VíceTROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik
TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie 1. Určete všechny trojice (a, b, c) přirozených čísel, pro které platí a + 4 b = 8 c. Řešení. Danou rovnici můžeme přepsat jako a +
Více1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině
1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma
VíceUvnitř strany AC trojúhelníku ABC leží bod D. Nechť P je průsečík os úhlů BAC a BDC a Q je
Průsečíky 3. jarní série Termín odeslání: 11. dubna 2016 Úloha 1. (3 body) Umístěte do roviny kružnici a libovolný počet přímek tak, aby vzniklo právě pět průsečíků a ty tvořily vrcholy pravidelného pětiúhelníku.
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceSEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie
SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
Více( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)
3.5.5 Příklady na středovou souměrnost Předpoklady: 3504 Př. : Je dána kružnice k ( S ;3cm), bod ; cm S = a přímka p; p = 4cm, která nemá s kružnicí k žádný společný bod. Najdi všechny úsečky KL; K k,
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
Vícepřístupu k řešení dané úlohy je nutnost uvedení poměru na základní tvar.
nejspíš nějaké řešení mít měla a oni by ve svém výpočtu chybnou úvahu odhalili a opravili ji. ystrý čtenář už určitě nahlédl, že základním problémem při druhém přístupu k řešení dané úlohy je nutnost uvedení
VíceObrázek 101: Podobné útvary
14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Pořadové číslo DUM 147 Jméno autora Mgr. Romana BLÁHOVÁ Datum, ve kterém byl DUM vytvořen 26.3. 2012 Ročník, pro který je DUM určen 4. Vzdělávací oblast (klíčová slova) MATEMATIKA
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VíceZáklady geometrie - planimetrie
Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
Více5.2.1 Odchylka přímek I
5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny
VícePomocný text. Kruhová inverze
Pomocný text Kruhová inverze Co je to kruhová inverze? Pod pojmem kruhová inverze se rozumí geometrické zobrazení, jehož vlastnostem se nyní budeme věnovat. Nechť je dána rovina, v ní ležící bod O, který
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VícePlanimetrie úvod, základní pojmy (teorie)
Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie
VíceKruhová inverze. Pepa Tkadlec
Kruhová inverze Pepa Tkadlec ØÖ Øº Příspěvekseznamujesezákladnímivlastnostmi kruhovéinverzeana úlohách ze světových soutěží ilustruje, kdy je vhodné inverzi při řešení použít. Obsahuje jeden řešený příklad
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceVzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu
Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu 4.1 Před mnoha a mnoha lety bylo postaveno město Hloupětín, které mělo tři části. Všechny části byly obehnány hradbou ve tvaru rovnostranného trojúhelníka, tak
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9
Více