Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Transkript

1 IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP

2 Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost reálných čísel Pravděpodobnostní funkce p: D 0,1, která každému x i D přiřadí Distribuční (kumulativní) funkce p(x i ) = P(X = x i ). F : R 0,1, která každému x R přiřadí F (x) = P(X x).

3 Losujeme čtyři kuličky ze souboru 5 bílých a 5 černých. E x i = X(E) p(x i ) x (,0) 0,1) 1,2) 2,3) 3,4) 4, ) F (x) p(x) F(x)

4 Vlastnosti pravděpodobnostní funkce 1 p(x i ) 0, pro všechna x i D, p(x i ) = 1. x i D P(A) = x i A p(x i ), pro každý jev A D.

5 Vlastnosti distribuční fce Obor hodnot je interval 0,1. Neklesající. Pokud x 1 x 2, pak F (x 1 ) F (x 2 ). Zprava spojitá. lim F (x + h) = F (x). h 0 + Má pevné hodnoty v nevlastních bodech, lim F (x) = 0, x lim F (x) = 1. x P(a < X b) = F (b) F (a) F (x) = x i x p(x i )

6 Grafické znázornění rozdělení pravděpodobnosti DNP graf distribuční funkce, grafy pravděpodobnostní funkce úsečkový graf, bodový graf, polygon, histogram,

7 Charakteristiky polohy Očekávaná (střední) hodnota µ = E(X) = x i p(x i ) x i D X,Y jsou náhodné veličiny, c R E(c) = c, E(cX) = ce(x), E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ). Modus ˆx = Mo = { x j ; p(x j ) = max{p(x i ),x i D)} } Modů může být více poly(bi)modální, rozdělení.

8 Charakteristiky variability C B C B A B C B C

9 Charakteristiky variability Rozptyl σ 2 = var(x) = E [ (X µ) 2] = (x i µ) 2 p(x i ). x i D X je náhodná veličina, c R var(x) 0, var(c) = 0, var(cx) = c 2 var(x), Směrodatná odchylka σ = σ 2 = var(x).

10 Charakteristiky tvaru Koeficient asymetrie šikmost [ (X ) ] µ 3 γ 3 = A = E = ( ) xi µ 3 p(x i ) σ σ Rozložení pravděpodobnosti je symetrické pokud A = 0, negativně zešikmené pokud A < 0, pozitivně zešikmené pokud A > 0, x i D

11 Charakteristiky tvaru Koeficient koncentrace [ (X ) ] µ 4 γ 4 = K = E = ( ) xi µ 4 p(x i ) σ σ x i D Koeficient excesu špičatost ẽ = K 3 Srovnáváme s normálním rozdělením které má špičatost 3.

12 Alternativní rozdělení A(p) Pravděpodobnost výskytu jevu v jednom pokusu, Bi(1,p). p pravděpodobnost nastoupení jevu v jednom pokusu, D = {0,1}, p(x i ) = p x i (1 p) 1 x i, nebo { p jestliže xi = 1, p(x i ) = 1 p jestliže x i = 0. E(X) = p var(x) = p (1 p)

13 Úloha Příklad Házej mincí, panna jdi vlevo dolů, lev jdi vpravo dolů. Vsaďte na kterém písmenu skončíte. V jakém kurzu měly být vypsány sázky na jednotivá písmena? Start A B C D E

14 Binomické rozdělení Bi(n,p) Počet výskytu jevu v Bernoulliho pokusu. Rozdělení veličiny X = X 1 + X X n, kde jednotlivé sčítance mají alternativní rozdělení A(p). n počet pokusů, p pravděpodobnost nastoupení jevu, D = {0,1,...,n}, ( ) n p(x i ) = p x i (1 p) n x i. x i E(X) = E(X i ) = n p, var(x) = var(x i ) = n p (1 p).

15 Binomické rozdělení Bi(n,p) Binomické rozdělení Bi(15,0.2), Bi(15,0.5), Bi(15,0.9)

16 Poissonovo rozdělení Po(λ) Počet nastoupení jevu v určitém intervalu. λ > 0 průměrný počet výskytů daného jevu v daném (časovém) intervalu, D = {0,1,2,... }, p(x i ) = e λ λx i x i!. E(X) = λ, var(x) = λ,

17 Příklad Stroj v nepřetržitém provozu má průměrně 3 poruchy týdně. Jaká je pravděpodobnost, že jeden den proběhne bez poruchy? [0,651] Jaká je pravděpodobnost, že budou 3 a více poruch za den? [1 (0, , ,06) = 1 0,99 = 0,01]

18 Srovnání binomického a Poissonova rozdělení pro n > 30, p < 0,1, položme λ = n p, Po(λ) Bi(n,p), Pro n = 15 a p = 0,2 jen přibližná shoda Bi(15,0.2), Po(3), Bi(30,0.1), Po(3),

19 Rovnoměrné rozdělení R(n) Všechny hodnoty x i se vyskytují se stejnou pravděpodobností. Pravděpodobnost je rozdělena rovnoměrně mezi elementární jevy. Hod kostkou. n počet realizací, D = {x 1,...,x n }, p(x i ) = 1 n, E(X) = 1 n x i n i=1 var(x) = 1 n xi n n i=1 2 ( n ) 2 x i, i=1

20 Hypergeometrické rozdělení H(n,M,N) Máme N prvků z toho M má sledovanou vlastnost. Vybíráme (bez vracení) n prvků. Pravděpodobnost, že x i prvků z výběru bude mít sledovanou vlastnost. N počet všech prvků, M počet prvků se sledovanou vlastností, M N, n počet prvků ve výběru, n M, D = {0,1,...,n}, ( )( ) M N M p(x i ) = x i n x i ( ), N n E(X) = n M N, var(x) = n M N ( 1 M ) N n N N 1,

21 Úloha hypergeometrické rozdělení V krabici je 93 bílých kuliček a 7 černých. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 vytaženými kuličkami bude nejvýše jedna černá? (0, ,2317) (Pro srovnání binomické rozdělení.) Stroj vyrobí zmetek s pravděpodobností 0,07. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 vyrobenými výrobky bude nejvýše jeden zmetek? (0, ,2252)

22 Srovnání hypergeometrického a binomického rozdělení Pro malé poměry n N, ( 0,05), platí Bi ( n, M ) N H(n,M,N). H(15,30,50), Bi(15, ), pro n N. = 3,3 shoda na 1. desetinném místě

23 Úloha Hráč hodil krát hrací kostkou. Postupně zapisoval kolik je třeba hodů, než padne šestka. Jaké číslo z D = {0,1,2,... } bude mít v zápise největší četnost?

24 Geometrické rozdělení G(p) Počet neúspěšných pokusů před prvním úspěšným pokusem. p pravděpodobnost sledovaného jevu v jednom pokusu, D = {0,1,2,3,... }, p(x i ) = (1 p) x i p. E(X) = 1 p p, var(x) = 1 p p 2,

25 Negativně binomické rozdělení NBi(n,p), (Pascal, Pólya) Počet neúspěchů v Bernoulliho pokusu před tím, než nastane n-tý úspěch. n počet výskytů daného jevu D = {0,1,2,3,... } p pravděpodobnost nastoupení jevu v jednom pokusu, ( ) xi + n 1 p(x i ) = (1 p) x i p n. x i E(X) = n 1 p p, var(x) = n 1 p p 2, NBi(1,p) odpovídá rozdělení G(p).

26 Negativně binomické rozdělení Pravděpodobnost vyrobení zmetku je 0,1. Jaká je pravděpodobnost, že vyrobíme 4 výrobky které jsou bezvadné, pokud jsme vyrobili sérii 6 výrobků. (x i = 2; n = 4; p = 0,1; p(x i ) = 0,065 61)