Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Transkript

1 Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71

2 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti 4 Spojitá náhodná veličina 5 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 71

3 Náhodná veličina Náhodná veličina Provádíme náhodný pokus, jehož výsledek jsme schopni číselně ohodnotit. Číselné ohodnocení výsledku náhodného pokusu nazveme náhodnou veličinou. Náhodná veličina se značí velkým písmenem, např. X, Y, Z. Necht (Ω, S, P) je pravděpodobnostní prostor. Funkce X : Ω R taková, že pro každé x R je {ω Ω: X(ω) x} S, se nazývá náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Ω, S, P). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 71

4 Příklad Náhodná veličina Hodíme dvěma mincemi. Náhodná veličina X udává, kolikrát padl líc. Množina Ω všech možných výsledků pokusu má 4 prvky, Ω = {RR, RL, LR, LL}. Náhodná veličina X jednotlivým možnostem přiřazuje číselné hodnoty: Náhodný jev X(RR) = 0, X(RL) = 1, X(LR) = 1, X(LL) = 2. líc padl právě jednou lze vyjádřit jako [X = 1]. líc padl aspoň jednou lze vyjádřit jako [X 1]. Obecně zápisem [X = x] rozumíme náhodný jev složený ze všech ω Ω, pro která je X(ω) = x, tedy [X = x] = {ω Ω: X(ω) = x}. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 71

5 Náhodná veličina Chceme spočítat pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá určité hodnoty. Pravděpodobnost, že náhodná veličina velké X nabude hodnoty malé x zapíšeme jako P(X = x). Podobně lze interpretovat P(X < x), P(X x), atd. Příklad Hodíme dvěma mincemi. Náhodná veličina X udává, kolikrát padl líc. Ω = {RR, RL, LR, LL} Kolik líců může padnout? X {0, 1, 2} P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 2/4, P(X = 2) = 1/4 Součet pravděpodobností je 1. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 71

6 Náhodná veličina Distribuční funkce Chceme popsat pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Použijeme k tomu funkce a charakteristiky. Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : R 0, 1, která je definována jako F(x) = P(X x). Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X přiřazuje každému reálnému číslu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné číslu x. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 71

7 Náhodná veličina Vlastnosti distribuční funkce 0 F(x) 1, x R F(x) je neklesající a zprava spojitá funkce. lim F(x) = 0, lim F(x) = 1 x x P(a < X b) = F(b) F(a) pro každé a, b R, a < b Rozlišujeme dva typy náhodných veličin: Diskrétní Spojitá Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 71

8 Diskrétní náhodná veličina Diskrétní náhodná veličina Má konečný nebo spočetný obor hodnot M. Existuje nezáporná funkce p(x), pro kterou x M p(x) = 1. Distribuční funkci F(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = P(X x) = p(t). Distribuční funkce je schodovitá. t (,x M Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p : R 0, 1, která je definována jako p(x) = P(X = x) pro všechna x z oboru hodnot náhodné veličiny X a p(x) = 0 jinak. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 71

9 Střední hodnota Diskrétní náhodná veličina Střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny X s oborem hodnot M označíme E(X) a definujeme ji vztahem E(X) = x M x p(x). Necht X, Y jsou náhodné veličiny a dále a, b R. Pak platí: E(a) = a E(aX) = ae(x) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) E(aX + b) = ae(x) + b Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 71

10 Diskrétní náhodná veličina Rozptyl Rozptyl diskrétní náhodné veličiny X s oborem hodnot M označíme D(X) a definujeme jej vztahem D(X) = E [X E(X)] 2 = x M [x E(X)] 2 p(x). Platí kde D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2, E(X 2 ) = x M x 2 p(x). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 71

11 Diskrétní náhodná veličina Směrodatná odchylka Necht X, Y jsou náhodné veličiny a dále a, b R. Pak platí: D(a) = 0 D(aX) = a 2 D(X) D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ) pro nezávislé náhodné veličiny D(aX + b) = a 2 D(X) Směrodatná odchylka σ je odmocnina z rozptylu σ(x) = D(X). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 71

12 Příklad Diskrétní náhodná veličina V televizní soutěži dostává soutěžící postupně otázky, u kterých jsou na výběr vždy tři možné odpovědi. Jestliže soutěžící odpoví správně, dostane další otázku. Jestliže odpoví špatně, soutěž končí. Nanejvýš však může dostat čtyři otázky, pak soutěž končí každopádně. Náhodná veličina X udává, na kolik otázek soutěžící správně odpoví, jestliže všechny odpovědi pouze náhodně tipuje. a) Popište veličinu X pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce a nakreslete grafy obou funkcí. b) Určete pravděpodobnost, že soutěžící správně odpoví alespoň na dvě otázky. c) Určete E(X), D(X), σ(x). Řešení: X...počet správných odpovědí X {0, 1, 2, 3, 4} Jaká je pravděpodobnost, že uhodnu odpověd? Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 71

13 Diskrétní náhodná veličina Pravděpodobnost, že soutěžící nezodpoví žádnou otázku správně: p(0) = P(X = 0) = 2 3 Podobně: p(1) = P(X = 1) = = 2 9 p(2) = P(X = 2) = = 2 27 p(3) = P(X = 3) = ( ) = 2 81 p(4) = P(X = 4) = 4 p(i) = 1 i=0 ( ) 1 4 = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 71

14 Diskrétní náhodná veličina x jinak p(x) P(X 2) = p(2) + p(3) + p(4) = 1 9 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 71

15 Diskrétní náhodná veličina Určíme distribuční funkci: F(0) = P(X 0) = P(X = 0) = p(0) = 2 3 F (1) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1) = 8 9 F(2) = P(X 2) = p(0) + p(1) + p(2) = F(3) = P(X 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = F(4) = P(X 4) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 71

16 Diskrétní náhodná veličina 0 pro x (, 0), 2 3 pro x 0, 1), 8 9 pro x 1, 2), F (x) = pro x 2, 3), pro x 3, 4), 1 pro x 4, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 71

17 Diskrétní náhodná veličina x jinak p(x) 2 3 E(X) = E(X 2 ) = x {0,1,2,3,4} x {0,1,2,3,4} x p(x) = x 2 p(x) = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = = 0,49383 σ(x) = D(X) = = 0, ( ) 40 2 = = 0,69441 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 71

18 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Některé modely rozdělení pravděpodobnosti mají vlastní názvy. Známe jejich pravděpodobnostní/distribuční funkci, střední hodnotu, rozptyl. Provádíme pokus, u kterého úspěch nastane s pravděpodobností π, π (0, 1), a neúspěch s pravděpodobností 1 π. Náhodná veličina X, která udává, zda úspěch nastal (X = 1), nebo nenastal (X = 0), má alternativní rozdělení pravděpodobnosti, což zapíšeme jako X A(π). Dále p(x) = { π x (1 π) 1 x pro x = 0, 1, 0 jinak. E(X) = π, D(X) = π(1 π). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 71

19 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, zda trefil (X = 1), nebo netrefil (X = 0). Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet zásahů π = 0,8 x 0 1 jinak p(x) 0,2 0,8 0 0 pro x (, 0), F(x) = 0,2 pro x 0, 1), 1 pro x 1, ). E(X) = 0,8 D(X) = 0,16 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 71

20 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení Postupně n-krát nezávisle opakujeme pokus, u kterého úspěch nastává s pravděpodobností π. Náhodná veličina X udávající, kolikrát v těchto n pokusech nastal úspěch, má binomické rozdělení pravděpodobnosti s parametry n a π, píšeme X Bi(n, π). Její pravděpodobnostní funkce je ( ) n p(x) = π x (1 π) n x, x = 0, 1,..., n. x Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = nπ, D(X) = nπ(1 π). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 71

21 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Mějme posloupnost nezávislých náhodných veličin X 1, X 2,, X n, kde Jestliže pak Y = X i A(π), i = 1,..., n. n X i = X 1 + X X n, i=1 Y Bi(n, π). Alternativní rozdělení je tedy speciálním případem binomického rozdělení. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 71

22 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Hodíme čtyřikrát kostkou. Náhodná veličina X udává, kolikrát padla šestka. Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet šestek X {0, 1, 2, 3, 4} π = 1/6 p(0) = = p(1) = = ( ) ( ) ( ) 5 2 p(2) = = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 71

23 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti p(3) = = p(4) = = x E(X) = 2 3 p(x) p(x) = p(x) = ( ) n π x (1 π) n x, x ( 4 x ) ( 1 6 D(X) = 5 9 x = 0, 1,..., n ) x ( ) 5 4 x, x = 0, 1, 2, 3, 4 6 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 71

24 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti x p(x) pro x (, 0), pro x 0, 1), pro x 1, 2), F(x) = pro x 2, 3), pro x 3, 4), 1 pro x 4, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 71

25 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení Máme množinu o N prvcích, z nichž M má sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme (bez vracení) n prvků. Náhodná veličina X udávající, kolik z vybraných n prvků má sledovanou vlastnost, má hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametry N, M a n, píšeme X Hg(N, M, n). Její pravděpodobnostní funkce je ( M )( N M ) x n x p(x) = ( N, x = max{0, n (N M)},..., min{n, M}. n) Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = n M N, D(X) = n M N ( 1 M ) N n N N 1. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 71

26 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Máme 12 výrobků, z nichž 4 jsou vadné. Náhodně vybereme 3 výrobky. Náhodná veličina X udává, kolik výrobků z vybrané trojice je vadných. Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...počet vadných ze 3 vybraných X {0, 1, 2, 3} p(0) = p(1) = p(2) = ( 4 )( 8 0 ) 3) = ( 12 3 ( 4 )( 8 1 ) 2) = = ( 12 3 ( 4 )( 8 2 ) 1) = ( 12 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 71

27 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti p(3) = ( 4 )( 8 3 ) 0) = = 1 55 ( 12 3 x p(x) E(X) = 1 D(X) = 6 11 ( M )( N M ) x n x p(x) = ( N, x = max{0, n (N M)},..., min{n, M} n) p(x) = ( 4 8 ) x)( 3 x ), x = 0, 1, 2, 3 ( 12 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 71

28 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti x p(x) pro x (, 0), pro x 0, 1), F (x) = pro x 1, 2), pro x 2, 3), 1 pro x 3, ). Graf? Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 71

29 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení Budeme zkoumat výskyt událostí: příchod zákazníka do fronty, příjezd automobilu na parkoviště, dopravní nehoda v určitém úseku dálnice. Podmínky: V jednom okamžiku může nastat nanejvýš jedna událost (tedy nemohou nastat dvě zcela současně). Události přicházejí nezávisle na sobě (počty vzniklých událostí v disjunktních časových intervalech jsou nezávislé). Pravděpodobnost, že událost nastane v intervalu (t, t + h), závisí na h (délce intervalu), ale nikoli na t (umístění intervalu na časové ose). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 71

30 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X, která udává počet událostí za jednotku času, když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme Její pravděpodobnostní funkce je Střední hodnota a rozptyl jsou X Po(λ). p(x) = λx x! e λ, x = 0, 1, 2,... E(X) = λ, D(X) = λ. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 71

31 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Zdravotnický úřad shromažd uje údaje o nově narozených dětech. Průměrně se každé dvě hodiny narodí další dítě. Určete průměrný počet narozených dětí za rok a pravděpodobnost, že se a) v daném dnu nenarodí žádné dítě. b) za 3 hodiny narodí aspoň 4 děti. Řešení: 1 dítě za 2 hodiny 4380 dětí za rok a) X...počet narozených dětí za den X {0, 1, 2,... } λ...průměrný počet dětí narozených za den λ = 12 p(0) = 120 0! e 12. = 0, Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 71

32 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti b) X...počet narozených dětí za 3 hodiny X {0, 1, 2,... } λ...průměrný počet dětí narozených za 3 hodiny λ = 1,5 P(X 4) = 1 P(X < 4) = 1 (p(0) + p(1) + p(2) + p(3)) = = 1 e 1,5 ( 1,5 0 0! + 1,51 1! + 1,52 2! ) + 1,53.= 0,0656 3! Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 71

33 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení Postupně nezávisle opakujeme pokus, u kterého úspěch nastává s pravděpodobností π. Náhodná veličina X udávající počet úspěchů před prvním neúspěchem má geometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametrem π, píšeme Její pravděpodobnostní funkce je Střední hodnota a rozptyl jsou X Ge(π). p(x) = π x (1 π), x = 0, 1,... E(X) = 1 π π, D(X) = 1 π π 2. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 71

34 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Často je výhodnější pracovat raději s veličinou Y = X + 1, která udává, v kolikátém pokusu nastane neúspěch. Pravděpodobnostní funkce je pak tvaru: p(y) = π y 1 (1 π), x = 1, 2,... Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 71

35 Příklad Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Studenti hrají před fakultou Frisbee. Pepovi to moc nejde a s pravděpodobností 1/5 trefí náhodného kolemjdoucího. Necht X je náhodná veličina označující počet hodů, než Pepa trefí kolemjdoucího. Jaká je pravděpodobnost, že a) omylem trefí 5. kolemjdoucího? b) netrefí žádného kolemjdoucího v prvních 10 hodech? c) nebude trvat více než 7 hodů, než někoho trefí? Řešení: X...počet hodů, než někoho trefí X {0, 1, 2,... } π...pravděpodobnost, že netrefí π = 4 5 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 71

36 Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Y = X v kolikátém hodu někoho trefí Y {1, 2, 3,... } a) omylem trefí 5. kolemjdoucího P(Y = 5) = p(5) = ( ) = 0,082 b) netrefí žádného kolemjdoucího v prvních 10 hodech P(Y > 10) = ( ) 4 10.= 0,107 5 c) nebude trvat více než 7 hodů, než někoho trefí P(Y 7) = 1 P(Y > 7) = 1 ( ) 4 7.= 0,790 5 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 71

37 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Má nespočetný obor hodnot. Existuje nezáporná funkce f (x), pro kterou f (x) dx = 1. Distribuční funkci F(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = P(X x) = Distribuční funkce je spojitá. x f (t) dt. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je nezáporná funkce f (x) taková, že F(x) = x f (t) dt, x R. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 71

38 Platí: f (x) = df (x) dx Spojitá náhodná veličina = F (x) pro všechna x, kde derivace existuje. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = F(b) F (a) = b a P(X = x) = 0 f (x) dx Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 71

39 Spojitá náhodná veličina Vztah mezi hustotou a distribuční funkcí F(x) = x f (t) dt P(a < X b) = F(b) F(a) = b a f (x) dx Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 71

40 Spojitá náhodná veličina Střední hodnota a rozptyl Střední hodnotu spojité náhodné veličiny X označíme E(X) a definujeme ji vztahem E(X) = x f (x) dx. Rozptyl spojité náhodné veličiny X označíme D(X) a definujeme jej vztahem D(X) = E [X E(X)] 2 = [x E(X)] 2 f (x) dx. Platí kde D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2, E(X 2 ) = x 2 f (x) dx. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 71

41 Spojitá náhodná veličina Kvantil Jestliže X je náhodná veličina, jejíž distribuční funkce F je prostá, a α (0, 1), pak α-kvantilem náhodné veličiny X nazveme to číslo x α R, pro které platí P(X x α ) = F(x α ) = α neboli x α = F 1 (α). Když distribuční funkce není prostá, definujeme α-kvantil jako to číslo x α R, pro které platí P(X x α ) α a současně P(X < x α ) α. Speciálně 0,5-kvantil se nazývá medián náhodné veličiny X. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 41 / 71

42 Příklad Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina X má rozdělení dáno funkcí { c 2x 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak. a) Určete c tak, aby funkce f byla hustotou a nakreslete graf. b) Určete distribuční funkci a nakreslete graf. c) Určete P(X 0,5), P(0 < X 0,75), P(X = 0,25). c) Určete střední hodnotu a rozptyl veličiny X. Řešení: 1 0 f (x) dx = 1 c 2x dx = c 1 c = 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 42 / 71

43 Spojitá náhodná veličina f (x) = { 2 2x 0 < x < 1, 0 jinak. x 0 : F(x) = 0 < x < 1 : F(x) = x 1 : F(x) = x 0 0 f (t) dt = x 0 dt = 0 x 0 dt + 2 2t dt = 2x x dt pro x 0, F(x) = 2x x 2 pro 0 < x < 1, 1 pro x 1. 0 x 2 2t dt + 0 dt = 1 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 43 / 71

44 Spojitá náhodná veličina P(X 0,5) = 1 P(X < 0,5) = 1 F(0,5) = 0,25 P(0 < X 0,75) = F(0,75) F(0) = 0,9375 P(X = 0,25) = 0 E(X) = E(X 2 ) = x f (x) dx = x 2 f (x) dx = x(2 2x) dx = 1 3 x 2 (2 2x) dx = 1 6 D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 18 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 44 / 71

45 Příklad Spojitá náhodná veličina Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s hustotou f (x) = { x 2 e x 2 4 pro x > 0, 0 pro x 0. a) Určete distribuční funkci veličiny X. b) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží 100 až 300 hodin. c) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží nanejvýš 200 hodin. d) Pod jakou hranicí bude životnost s pravděpodobností 0,75? Řešení: X...životnost součástky X (0, ) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 45 / 71

46 Spojitá náhodná veličina f (x) definována po částech F(x) definována po částech: x 0 : F(x) = x > 0 : F(x) = = x x [ e t2 4 f (t) dt = f (t) dt = ] x 0 x 0 0 dt = 0 x 0 dt + 0 t 2 e t 2 4 dt = = e x2 4 ( e 0) = 1 e x2 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 46 / 71

47 Spojitá náhodná veličina F(x) = { 1 e x2 4 pro x > 0, 0 pro x 0. Pod jakou hranicí bude životnost s pravděpodobností 0,75? P(X x 0,75 ) = F(x 0,75 ) = 0,75 1 e x 2 0,75 /4 = 0,75 x 0,75 = 4 ln 0,25. = 2,35 (235 hodin) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 47 / 71

48 Spojitá náhodná veličina Michal Fusek 48 / 71

49 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení Náhodná veličina X s rovnoměrným rozdělením na intervalu a, b, X Ro(a, b), má hustotu f a distribuční funkci F f (x) = { 1 b a pro x a, b, 0 jinak, 0 pro x < a, F(x) = x a b a pro x a, b, 1 pro x > b. Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = a + b 2 (b a)2, D(X) =. 12 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 49 / 71

50 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek 50 / 71

51 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Pepa jezdí do práce šalinou, která jezdí v šestiminutových intervalech. Na zastávku přijde naprosto náhodně a čeká, až pojede šalina. Náhodná veličina X udává dobu čekání. a) Popište veličinu X pomocí hustoty a distribuční funkce. b) Vypočtěte pravděpodobnost, že bude čekat déle než 4 minuty. c) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X...doba čekání { 1 6 pro x 0, 6, f (x) = 0 jinak, Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 51 / 71

52 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti x x < 0 : F(x) = 0 x 6 : F(x) = x > 6 : F(x) = 0 0 f (t) dt = x 0 dt = 0 x 1 0 dt dt = x x 0 dt dt + 0 dt = pro x < 0, F(x) = x 6 pro 0 x 6, 1 pro x > 1. P(X > 4) = 1 P(X 4) = 1 F(4) = 1 3 = 4 f (x)dx = dx + 6 0dx = 1 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 52 / 71

53 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti X Ro(a, b) X Ro(0, 6) E(X) = a + b 2 = 3 D(X) = (b a)2 12 = 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 53 / 71

54 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální rozdělení Necht platí stejné předpoklady jako u Poissonova rozdělení. Náhodná veličina X, která udává dobu mezi dvěma výskyty určité události, když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má exponenciální rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme X Exp(λ). Hustota f a distribuční funkce F jsou { λ e λx pro x > 0, f (x) = F(x) = 0 pro x 0. Střední hodnota a rozptyl jsou E(X) = 1 λ, D(X) = 1 λ 2. { 1 e λx pro x > 0, 0 pro x 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 54 / 71

55 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti λ = 2 (černě), λ = 3,5 (šedě) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 55 / 71

56 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Veličina X představující dobu čekání na poruchu má exponenciální rozdělení. a) Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude mít poruchu dříve než za 1000 hodin? b) Určete dobu T 1 tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než T 1, byla 0,9. c) Do jaké doby T 2 se přístroj pokazí s pravděpodobností 0,9? d) Přístroj už pracuje bez poruchy 1000 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že vydrží pracovat ještě alespoň 2000 hodin? Řešení: X...doba čekání na poruchu X (0, ) E(X) = 2000 E(X) = 1 λ } λ = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 56 / 71

57 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti F(x) = {1 e x 2000 pro x > 0, 0 pro x 0. a) Přístroj bude mít poruchu dříve než za 1000 hodin: P(X < 1000) = F(1000) = 1 e 1 2. = 0,3934 b) Přístroj bude pracovat déle než T 1 s pravděpodobností 0,9: P(X > T 1 ) = 0,9 1 P(X T 1 ) = 0,9 1 F(T 1 ) = 0,9 e T = 0,9 T 1 = 2000 ln(0,9). = 210,72 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 57 / 71

58 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti c) Do jaké doby T 2 se přístroj pokazí s pravděpodobností 0,9: P(X < T 2 ) = 0,9 F(T 2 ) = 0,9 1 e T = 0,9 T 2 = 2000 ln(0,1). = 4605,17 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 58 / 71

59 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti d) Pracuje už 1000 hodin a vydrží ještě aspoň 2000 hodin: P(X > 3000 X > 1000) = P(X > 3000, X > 1000) P(X > 1000) = P(X > 3000) P(X > 1000) = 1 F(3000) 1 F(1000) = e 3 2 e 1 2 = e 1. = 0,368 P(X > 2000) = 1 F(2000) = e = e 1 Veličina s exponenciálním rozdělením nemá pamět - nezáleží na tom, jak dlouho už přístroj pracoval: P(X > a + t X > a) = P(X > t) Modelování životnosti součástek, které nepodléhají opotřebení (jinak Weibullovo rozdělení). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 59 / 71

60 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení Jedno z nejdůležitějších rozdělení. Použitelné tam, kde je kolísání náhodné veličiny způsobeno součtem velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů (náhodné chyby při měřeních). Lze jím aproximovat (CLV) řadu dalších rozdělení. Náhodná veličina X s normálním rozdělením se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2 má hustotu a distribuční funkci f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, x R, F (x) = x 1 2πσ e (t µ)2 2σ 2 dt, x R. Zapisujeme X N(µ, σ 2 ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 60 / 71

61 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Mezi µ ± 3σ leží 99,7 % hodnot Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 61 / 71

62 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Standardizované normální rozdělení Normální rozdělení s parametry µ = 0, σ 2 = 1 se nazývá standardizované (normované) normální rozdělení. Náhodnou veličinu s tímto rozdělením označíme U, tedy U N(0, 1). Hustota φ a distribuční funkce Φ náhodné veličiny U jsou φ(u) = 1 2π e u2 2, u R, Φ(u) = P(U u) = u Hodnoty funkce Φ lze najít v tabulkách. 1 2π e t2 2 dt, u R. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 62 / 71

63 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Michal Fusek 63 / 71

64 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Necht X je náhodná veličina s normálním rozdělením se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2, tedy X N(µ, σ 2 ). Pak U = X µ σ je náhodná veličina se standardizovaným normálním rozdělením, tedy U N(0, 1). Platí: ( P(X x) = P(µ + σu x) = P U x µ ) ( ) x µ = Φ σ σ Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 64 / 71

65 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Φ( u) = 1 Φ(u) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 65 / 71

66 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Příklad Náhodná veličina X udávající spotřebu paliva naftové elektrocentrály během 8hodinové směny má normální rozdělení se střední hodnotou 9 l a rozptylem 0,16 l 2. Určete a) pravděpodobnost, že spotřeba bude větší než 9,5 l, b) pravděpodobnost, že spotřeba bude mezi 8,6 a 9,3 l, c) pod jakou hranicí leží spotřeba s pravděpodobností 0,99. Řešení: X...spotřeba nafty X N(9; 0,16) U = X 9 0,4 N(0, 1) P(X > 9,5) = P(U > 1,25) = 1 P(U 1,25) = 1 Φ(1,25). = 0,106 P(8,6 X 9,3) = P( 1 U 0,75) = Φ(0,75) Φ( 1) = = Φ(0,75) 1 + Φ(1). = 0,615 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 66 / 71

67 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti P(X < x) = 0,99 ( P U < x 9 ) = 0,99 0,4 ( ) x 9 Φ = 0,99 0,4 Φ(2,33) =. 0,99 (z tabulek) x 9 0,4. = 2,33 x. = 9,932 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 67 / 71

68 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Centrální limitní věta Jestliže X 1, X 2,..., X n jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozdělení se střední hodnotou µ a konečným rozptylem σ 2, pak pro součet a průměr těchto náhodných veličin Y = n X i a X = 1 n i=1 n i=1 X i platí ( ) Y nµ lim P u = Φ(u) Y A N (nµ, nσ 2) n nσ lim P n ( ) X µ u = Φ(u) X A N σ n ) (µ, σ2 n pro každé u R. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 68 / 71

69 Příklad Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s hustotou { x f (x) = 2 e x 2 /4 pro x > 0, 0 pro x 0, střední hodnotou π a rozptylem 4 π. Náhodně vybereme 50 součástek. a) Jaká je pravděpodobnost, že průměrná životnost těchto 50 součástek bude vyšší než 170 hodin? b) Určete interval souměrný kolem střední hodnoty, ve kterém bude průměrná životnost těchto 50 součástek s pravděpodobností 0,95. Řešení: X...životnost X? Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 69 / 71

70 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti X = i=1 X i, X A N ( π, 4 π ) 50 a) P(X > 1,7). = P U > 1,7 π 4 π 50. = P(U > 0,55). = 0,709 b) Interval souměrný kolem střední hodnoty: P(x 1 < X < x 2 ) = 0,95 P(µ d < X < µ + d) = 0,95 P ([ π d > X ] [ X > π + d ]) = 0,05 P(X < x 2 ) = 0,975 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 70 / 71

71 Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti P(X < x 2 ) = 0,975 P U < x 2 π =. 0,975 4 π 50 Φ x 2 π =. 0,975 Φ(1,96) =. 0,975 (z tabulek) 4 π 50 x 2 π 4 π 50. = 1,96 x 2 x 1. = π + 1,96 4 π 50. = π 1,96 4 π 50. = 2,029. = 1,516 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 71 / 71