NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení"

Transkript

1 NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení

2 Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který vytváříme, jestliže chceme zpracovávat výsledky náhodného pokusu. Př. - počet vadných výrobků mezi tisíci výrobky - doba do poruchy žárovky - roční spotřeba energie v domácnosti Hodnota náhodné veličiny výsledek náhodného pokusu vyjádřený reálným číslem

3 Rozdělení pravděpodobnosti pravidlo, které každé hodnotě (nebo intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (nebo intervalu hodnot) jestliže známe rozdělení pravděpodobnosti, je náhodná veličina z pravděpodobnostního hlediska úplně popsána nejčastějším způsobem popisu rozdělení pravděpodobnosti je distribuční funkce

4 Distribuční funkce ozn. F(x) reálná funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnot menších než toto reálné číslo F( x) def. P ( X < x) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Distribuční funkce spojité náhodné veličiny

5 Distribuční funkce - vlastnosti 1. F( x) 1. x x, x < x : F( x ) F( ), tzn. F(x) je neklesající 1, 1 1 x 3. a R : limf( x) F( a), tzn. F(x) je zleva spojitá x a 4. F(x) má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti 5. lim F( x), tzn. F(x) začíná v nule x 6. lim F( x) 1, tzn. F(x) končí v jedničce x +

6 Distribuční funkce a pravděpodobnost P P P P ( X < a) F( a), pro všechna a R ( X a) 1 F( a), pro všechna a R ( a X < b) F ( b) F( a),pro všechna a, b R ( X a) limf ( x) F( a),pro všechna a, b R x a+

7 Distribuční funkce a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí diskrétní náhodné veličiny

8 Distribuční funkce a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí spojité náhodné veličiny

9 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot tak, že: PX x ( i) ( ) P i ( X ) 1 x i Funkce P(Xx i )P(x i ) je pravděpodobnostní funkce, může být zadána: předpisem grafem tabulkou musíme dopočítat

10 Diskrétní náhodná veličina Distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny můžeme vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce jako F ( x) P( xi ) x i < x tzn. jako součet pravděpodobností těch x i, které jsou menší nežx.

11 Číselné charakteristiky diskrétní NV střední hodnota forma váženého průměru možných hodnot s váhami odpovídajícími jejich pravděpodobnostem ( těžiště) E ( X) µ x ( i) P( i x i ) rozptyl určuje rozložení dat kolem střední hodnoty D( X) X E( X ) ( E( )) výpočetní vztah směrodatná odchylka odmocnina z rozptylu (kvůli jednotkám) σ D(X) modus taková hodnota DNV, v nížp(x i ) nabývá svého maxima xˆ

12 1. Hodíme třikrát kostkou. Nechť náhodná veličina X znamená počet padnutí šestky. Určete: a) pravděpodobnostní funkci a její graf, b) distribuční funkci a její graf, c) pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina X nabude kladných hodnot, d) střední hodnotu e) rozptyl a směrodatnou odchylku, f) modus

13 Řešení: a) Ve třech hodech kostkou může šestka padnout -3 krát. Určíme pravděpodobnosti každého případu, který může nastat: Označení: A padla šestka > A nepadla šestka P(A)1/6 P(A)5/6 jevy jsou nezávislé : P( A A A) P( A) P( A) P( A) (5 /6) (5 /6) (5 /6),579 1: P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (5 /6) (5 /6) šestka může padnout v 1.,. nebo 3. hodu >,116 P( A A A) + P( A A A) + P( A A A),116 P * (1,),116 3! 1!!,116 3,348

14 Řešení: a) : P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (1/6) (5 /6),3 3: šestka může nepadnout v 1.,. nebo 3. hodu > P( A A,3 A) 3!!1! + P( A A,3 3 A),69 + P( A A),3 P P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (1/6) (1/6) A * (,1),4 Zkouška: 4 i 1 P ( X ) 1,579 +,348 +,69 +,4 1 x i

15 Řešení: a) xi P(xi),579 1,348,69 3,4

16 Řešení: a) Grafem pravděpodobnostní funkce je bodový graf. Pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech bodech, které nepatří do základního prostoru: x R \ Ω : P( x), to z důvodu přehlednosti grafu nezakreslujeme.

17 Řešení: b) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je schodovitá funkce, která má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti v bodech, v nichž je pravděpodobnostní funkce nenulová. Velikosti skoku v bodech nespojitosti udávají hodnotu pravděpodobnosti v těchto bodech. Distribuční funkce je zleva spojitá.

18 Řešení: b) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je schodovitá funkce, která má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti v bodech, v nichž je pravděpodobnostní funkce nenulová. Velikosti skoku v bodech nespojitosti udávají hodnotu pravděpodobnosti v těchto bodech. Distribuční funkce je zleva spojitá. xi P(xi),579 1,348,69 3,4 x i F(x i )P(X<x i ) ( ; ( ; 1 ( 1; ( ; 3 ( 3; )

19 Řešení: b) x ( ; : F ( x) P ( X < x )

20 Řešení: b) x ( ;1 : F ( x ) P ( X < x ) P ( X ), 579

21 Řešení: b) x ( 1 ; : F( x) P( X < x) P( X ) + P( X 1),579 +,348, 97

22 Řešení: b) x ( ;3 : F( x) P( X < x) P( X ) + P( X 1) + P( X ),579 +,348 +,69,996

23 Řešení: b) x + P ( 3; : F( x) P( X < x) P( X ) ( X 1) + P( X ) + P( X 3),579 +,69 +, ,348 +

24 Řešení: b) x i F(x i )P(X<x i ) ( ; ( ; 1 ( 1; ( ; 3 ( 3; ),579,97,996 1

25 Řešení: c) pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina X nabude kladných hodnot xi P(xi),579 1,348,69 3,4 P ( X > ) P ( X 1) + P ( X ) + P ( X 3 ), 41

26 Řešení: d) střední hodnota: E ( X ) x i P ( ) i x i xi P(xi) xi P(xi),579 1,348,348,69,138 3,4,1 1,498 E ( X ),498

27 Řešení: e) rozptyl: D E ( X ) x ( ) x i ( E( )) ( X ) E( X ) X P ( ) i x i xi P(xi) xi P(xi) P(xi) xi,579 1,348,348,348,69,138,76 3,4,1,36 1,498,66 E(X),498 E(X ),66 D(X)E(X ) - (E(X)),41 D ( X ),41 σ x D(X ) σ x,41,64

28 Řešení: f) modus: je hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce nabývá svého maxima. xi P(xi),579 1,348,69 3,4 Modus

29 . Nechť náhodná veličina Y je definována jako funkce náhodné veličiny X z předcházejícího příkladu: Y3X- Určete: a) pravděpodobnostní funkci náh. vel. Y, b) distribuční funkci náh. vel. Y, c) střední hodnotu náh. veličiny Y, d) rozptyl a směrodatnou odchylku náh. veličiny Y, e) P(Y<6), P(Y8), f) modus náh. veličiny Y.

30 Řešení: a) pravděpodobnostní funkce: Y ( y) P( 3 ) 3X P x yi P(yi) yi P(yi) xi P(xi),579 1,348,69 3,4 3 -, , , ,4 -,579 1,348 4,69 7,4

31 Řešení: b) distribuční funkce: y i F(y i )P(Y<y i ) ( ; ( ; 1 ( 1; 4 ( 4; 7 ( 7; ),579,97,996 1

32 Řešení: c) střední hodnota: Z definičního vztahu nebo E ( Y) y P i ( ) i y i Pomocí vlastnosti střední hodnoty: ( 3X ) 3E( ) 3,498, 56 E( Y) E X

33 Řešení: d) rozptyl: Z definičního vztahu D ( E( )) ( Y) E( Y ) Y nebo Pomocí vlastnosti rozptylu: DY ( ) ( 3X ) 3D( ) 9,41 3, 78 D X směrodatná odchylka: σ Y D(Y ) σ Y 3,78 1,96

34 Řešení: e) P(Y<6), P(Y8): yi P(yi) -,579 1,348 4,69 7,4 PY ( < 6) PY ( ) + PY ( 1) + P( Y 4),996 PY ( 8 )

35 Řešení: f) modus: je hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce nabývá svého maxima. yi P(yi) -,579 1,348 4,69 7,4 Modus

36 Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti právě tehdy, má-li spojitou distribuční funkci. Nemá smysl jednotlivým realizacím náhodné veličiny přiřazovat hodnotu pravděpodobnosti, protože pravděpodobnostní funkce je nulová. Místo pravděpodobnostní funkce se k popisu rozdělení spojité náhodné veličiny používá tzv. hustota pravděpodobnosti ozn. f(x).

37 Hustota pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti f(x) spojité náhodné veličiny je reálná nezáporná funkce taková, že F x ( x) f ( t) dt pro < x < Ve všech bodech, kde existuje derivace distribuční funkce, platí df ( ) ( x) f x dx

38 Hustota pravděpodobnosti-vlastnosti 1. hustota pravděpodobnosti je nezáporná funkce f ( x). plocha pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je rovna 1 f ( x) dx 1 3. hustota pravděpodobnosti začíná v ( x) lim f x 4. hustota pravděpodobnosti končí v ( x) lim f x

39 Hustota pravděpodobnosti a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobnostmi výskytu spojité náhodné veličiny v nějakém intervalu a hustotou pravděpodobnosti: P P ( X a) a ( X < a) F ( a) f ( x) dx ( X a) F ( a) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) P 1 a a dx P ( a X < b) F ( b) F ( a) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) b a Vzhledem k nulovosti pravděpodobnostní funkce spojité náhodné veličiny můžeme ve výše uvedených vztazích libovolně zaměňovat ostré a neostré nerovnosti a b dx

40 Číselné charakteristiky spojité NV střední hodnota E ( X) µ x f( x) dx rozptyl směrodatná odchylka D( X) X E( X ) ( E( )) výpočetní vztah D(X) modus taková hodnota SNV, v nížf(x) nabývá svého maxima ( xˆ ) p-kvantil (x p ) taková hodnota, že pravděpodobnost, že NV nabude menších hodnot nežx p je 1p% σ dolní kvartil x,5 medián x,5 P( X < xp ) p F( xp) p horní kvartil x,75

41 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x) a sinx x ; π x ; π a) nalezněte konstantu a, f( x) dx 1 dx + π a sinxdx + π dx 1 π [ cosx] a a [ ( 1 1) ] 1 a 1 a 1

42 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π b) zakreslete hustotu pravděpodobnosti f(x),

43 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x), x x x x R : F( x) f( t) dt ( ;): F( x) dt x x x ; π): F( x) dt +,5 sintdt +,5 [ cost],5 ( cosx ( 1)),5,5 cosx

44 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x), x π; ): F( x) dt + π,5 sint dt + x dt +,5 π [ cost] +,5 (1 ( 1)) 1 F( x),5,5 cos 1 x, x, x, x ( ;) ; π) π; )

45 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x),

46 ( ) π π ; ; sin,5 x x x x f d) určete P(X,3), P(π/4<X<5), P(X>π/3). ) ;, ) ;, ;) (, 1,5 cos,5 ) ( π π x x x x x F ( ),3 X P, cos > π π π F X P 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). Náhodná veličina-nv Distribuční funkce Diskrétní NV Funkce DNV Spojitá NV Test ( ) 854, cos < < π π π F F X P

47 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π e) určete střední hodnotu E(X), E( X) x dx + x sinxdx + π [ π ] π π x sinxdx + 1 E ( X) integrace podle pravidla per partes π ( x) x f dx x dx [ sinx x cosx] π

48 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π f) určete rozptyl D(X), D( X) E( X ) ( E( X) ) E( X 1 + ) 1 π x π 1 x dx + x sinxdx + x sinxdx E( X [ ] 1 ( π ) ) 1 [ cos ( ) sin ] π x x + x π ( x) x f dx π dx x integrace podle pravidla per partes

49 ( ) π π ; ; sin,5 x x x x f 4 ) ( π π π X D f) určete rozptyl D(X), ( ) ) ( ) ( ) ( X E X E X D 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). Náhodná veličina-nv Distribuční funkce Diskrétní NV Funkce DNV Spojitá NV Test

50 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π g) určete směrodatnou odchylku, σ D( X) π 4 8 π 8

51 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete medián, F( x),5 cos( x,5,5 cos( x,5 cos( x,5 ),5 ),5 cos 1,5 ) F x,5 x ( x ), 5,5, x,5, x, x ( ;) π ; π) π; ) x,5 ;π)

52 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete modus, hledáme maximum hustoty pravděpodobnosti max ;π)

53 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete modus, max : f ( x) f ( x) < max ;π) (,5 sin x),5 cos x ) x π

54 Test

55 1. Vytvořte dvojice pojem příklad. a) náhodný pokus 1. Doba přenosu testovacího datového souboru je delší než 3s. b) náhodný jev. Měření doby přenosu testovacího datového souboru. c) náhodná veličina 3.Doba přenosu testovacího datového souboru.

56 . Určete pravdivost následujících výroků. a) Náhodnou veličinu chápeme jako výsledek náhodného pokusu, který je daný reálným číslem. b) Diskrétní náhodná veličina může nabývat konečného nebo spočetného množství hodnot c) Distribuční funkce náhodné veličiny X v bodětudává pravděpodobnost, že X nabývá hodnot menších nežt. d) Má-li náhodná veličina spojitou distribuční funkci, je spojitá. ( ) 1 e) Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak PX. i x i

57 . Určete pravdivost následujících výroků. f) Oborem hodnot distribuční funkce jsou všechna reálná čísla. g) Medián je střední hodnota. ( x), 1 Medián x,5 je taková hodnota, že pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než x,5 je 5%. P( X < x,5 ) F ( x,5 ), 5 Střední hodnota-obecný moment prvního řádu: pro DNV EX xi P( x i ), pro SNVEX x f ( x) dx h) Nabývá-li funkce f(x) hodnoty 1,3, nemůže jít o hustotu pravděpodobnosti. i) Rozdělení spojité náhodné veličiny můžeme popsat distribuční funkcí, hustotou pravděpodobnosti a intenzitou poruch. j) Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu jednotlivých středních hodnot. n n i F f E ( x), ) i 1 X i EX i 1 i

58 . Určete pravdivost následujících výroků. k) Rozptyl součtu dvou náhodných veličin je roven součtu jednotlivých rozptylů. (Platí pouze pro nezávislé NV) l) Střední hodnota součinu dvou náhodných veličin je rovna součinu jednotlivých středních hodnot. (Platí pouze pro nezávislé NV) m) Rozptyl součinu dvou náhodných veličin je roven součinu jednotlivých rozptylů. (Platí pouze pro nezávislé NV)

59 3. Určete, která ze zadaných funkcí nemůže představovat pravděpodobnostní funkci. a) b) k 3 6 P(Xk),,4,4 c)

60 4. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat distribuční funkci. Není neklesající F ( x), 1 a) b) limf( x) x c) d) Není zleva spojitá

61 4. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat distribuční funkci. e) f) Není neklesající

62 5. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat hustotu pravděpodobnosti. a) Není nezáporná b) ( x) dx 1 c) d) f limf x ( x)

63 6.Nechť náhodná veličina X představuje životnost (dobu do poruchy) monitorů na počítačové učebně E3. Určete pravdivost následujících výroků. a)xje spojitou náhodnou veličinou. b) RozděleníXmůže být popsáno pravděpodobnostní funkcí. (Pravděpodobnostní funkce je nulová)

64 7. Vyjádřete následující pravděpodobnosti pomocí distribuční funkce. ( ) a) PX < 1, F ( 1) ( ) b) PX 5, ( X < 5) 1 ( 5) 1 P F ( ) c) P 5 X < 1. ( 1) F ( 5) F

65 8. NechťXje diskrétní náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí P ( X 5), P ( X < 5), P ( X > 5), P( X 1), P ( X < 1), P( X > 1). ( ) a) PX 1, P ( X < 1 ) + P( X 1) ( ) b) PX 5, ( ) c) P 5 <X 1, ( ) d) P 5 X 1. P P ( X 5) 1 P < ( X 1 ) + P( X < 1) P( X < 5) P( X 5) ( X 1 ) + P( X < 1) P( X < 5)

66 9. NechťXje spojitá náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí P ( X < 5), P ( X > 5), P ( X < 1), P( X > 1). ( ) a) PX 1, ( ) b) PX 5, P( X < 1) ( X 5) 1 P < ( ) c) P 5 <X 1, ( ) d) P 5 X 1. P P ( X < 1 ) P( X < 5) ( X < 1 ) P( X < 5)

67 1. NechťXje spojitá náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí hustoty pravděpodobnosti. ( ) a) PX 1, ( ) b) PX 5, ( ) c) P 5 <X 1, ( ) 1 d) P 5 X 1. f ( x)dx f ( x)dx f 1 5 f ( x)dx ( x)dx

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět

3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět NÁHODNÁ VELIČINA Čas ke studiu kapitoly: 8 minut Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět obecně popsat náhodnou veličinu pomocí distribuční funkce charakterizovat diskrétní i spojitou náhodnou

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x) NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

Jevy a náhodná veličina

Jevy a náhodná veličina Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha veličina Definice Funkci

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více