NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

Transkript

1 NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení

2 Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který vytváříme, jestliže chceme zpracovávat výsledky náhodného pokusu. Př. - počet vadných výrobků mezi tisíci výrobky - doba do poruchy žárovky - roční spotřeba energie v domácnosti Hodnota náhodné veličiny výsledek náhodného pokusu vyjádřený reálným číslem

3 Rozdělení pravděpodobnosti pravidlo, které každé hodnotě (nebo intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (nebo intervalu hodnot) jestliže známe rozdělení pravděpodobnosti, je náhodná veličina z pravděpodobnostního hlediska úplně popsána nejčastějším způsobem popisu rozdělení pravděpodobnosti je distribuční funkce

4 Distribuční funkce ozn. F(x) reálná funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnot menších než toto reálné číslo F( x) def. P ( X < x) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Distribuční funkce spojité náhodné veličiny

5 Distribuční funkce - vlastnosti 1. F( x) 1. x x, x < x : F( x ) F( ), tzn. F(x) je neklesající 1, 1 1 x 3. a R : limf( x) F( a), tzn. F(x) je zleva spojitá x a 4. F(x) má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti 5. lim F( x), tzn. F(x) začíná v nule x 6. lim F( x) 1, tzn. F(x) končí v jedničce x +

6 Distribuční funkce a pravděpodobnost P P P P ( X < a) F( a), pro všechna a R ( X a) 1 F( a), pro všechna a R ( a X < b) F ( b) F( a),pro všechna a, b R ( X a) limf ( x) F( a),pro všechna a, b R x a+

7 Distribuční funkce a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí diskrétní náhodné veličiny

8 Distribuční funkce a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí spojité náhodné veličiny

9 Diskrétní náhodná veličina Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot tak, že: PX x ( i) ( ) P i ( X ) 1 x i Funkce P(Xx i )P(x i ) je pravděpodobnostní funkce, může být zadána: předpisem grafem tabulkou musíme dopočítat

10 Diskrétní náhodná veličina Distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny můžeme vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce jako F ( x) P( xi ) x i < x tzn. jako součet pravděpodobností těch x i, které jsou menší nežx.

11 Číselné charakteristiky diskrétní NV střední hodnota forma váženého průměru možných hodnot s váhami odpovídajícími jejich pravděpodobnostem ( těžiště) E ( X) µ x ( i) P( i x i ) rozptyl určuje rozložení dat kolem střední hodnoty D( X) X E( X ) ( E( )) výpočetní vztah směrodatná odchylka odmocnina z rozptylu (kvůli jednotkám) σ D(X) modus taková hodnota DNV, v nížp(x i ) nabývá svého maxima xˆ

12 1. Hodíme třikrát kostkou. Nechť náhodná veličina X znamená počet padnutí šestky. Určete: a) pravděpodobnostní funkci a její graf, b) distribuční funkci a její graf, c) pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina X nabude kladných hodnot, d) střední hodnotu e) rozptyl a směrodatnou odchylku, f) modus

13 Řešení: a) Ve třech hodech kostkou může šestka padnout -3 krát. Určíme pravděpodobnosti každého případu, který může nastat: Označení: A padla šestka > A nepadla šestka P(A)1/6 P(A)5/6 jevy jsou nezávislé : P( A A A) P( A) P( A) P( A) (5 /6) (5 /6) (5 /6),579 1: P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (5 /6) (5 /6) šestka může padnout v 1.,. nebo 3. hodu >,116 P( A A A) + P( A A A) + P( A A A),116 P * (1,),116 3! 1!!,116 3,348

14 Řešení: a) : P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (1/6) (5 /6),3 3: šestka může nepadnout v 1.,. nebo 3. hodu > P( A A,3 A) 3!!1! + P( A A,3 3 A),69 + P( A A),3 P P( A A A) P( A) P( A) P( A) (1/6) (1/6) (1/6) A * (,1),4 Zkouška: 4 i 1 P ( X ) 1,579 +,348 +,69 +,4 1 x i

15 Řešení: a) xi P(xi),579 1,348,69 3,4

16 Řešení: a) Grafem pravděpodobnostní funkce je bodový graf. Pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech bodech, které nepatří do základního prostoru: x R \ Ω : P( x), to z důvodu přehlednosti grafu nezakreslujeme.

17 Řešení: b) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je schodovitá funkce, která má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti v bodech, v nichž je pravděpodobnostní funkce nenulová. Velikosti skoku v bodech nespojitosti udávají hodnotu pravděpodobnosti v těchto bodech. Distribuční funkce je zleva spojitá.

18 Řešení: b) Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je schodovitá funkce, která má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti v bodech, v nichž je pravděpodobnostní funkce nenulová. Velikosti skoku v bodech nespojitosti udávají hodnotu pravděpodobnosti v těchto bodech. Distribuční funkce je zleva spojitá. xi P(xi),579 1,348,69 3,4 x i F(x i )P(X<x i ) ( ; ( ; 1 ( 1; ( ; 3 ( 3; )

19 Řešení: b) x ( ; : F ( x) P ( X < x )

20 Řešení: b) x ( ;1 : F ( x ) P ( X < x ) P ( X ), 579

21 Řešení: b) x ( 1 ; : F( x) P( X < x) P( X ) + P( X 1),579 +,348, 97

22 Řešení: b) x ( ;3 : F( x) P( X < x) P( X ) + P( X 1) + P( X ),579 +,348 +,69,996

23 Řešení: b) x + P ( 3; : F( x) P( X < x) P( X ) ( X 1) + P( X ) + P( X 3),579 +,69 +, ,348 +

24 Řešení: b) x i F(x i )P(X<x i ) ( ; ( ; 1 ( 1; ( ; 3 ( 3; ),579,97,996 1

25 Řešení: c) pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina X nabude kladných hodnot xi P(xi),579 1,348,69 3,4 P ( X > ) P ( X 1) + P ( X ) + P ( X 3 ), 41

26 Řešení: d) střední hodnota: E ( X ) x i P ( ) i x i xi P(xi) xi P(xi),579 1,348,348,69,138 3,4,1 1,498 E ( X ),498

27 Řešení: e) rozptyl: D E ( X ) x ( ) x i ( E( )) ( X ) E( X ) X P ( ) i x i xi P(xi) xi P(xi) P(xi) xi,579 1,348,348,348,69,138,76 3,4,1,36 1,498,66 E(X),498 E(X ),66 D(X)E(X ) - (E(X)),41 D ( X ),41 σ x D(X ) σ x,41,64

28 Řešení: f) modus: je hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce nabývá svého maxima. xi P(xi),579 1,348,69 3,4 Modus

29 . Nechť náhodná veličina Y je definována jako funkce náhodné veličiny X z předcházejícího příkladu: Y3X- Určete: a) pravděpodobnostní funkci náh. vel. Y, b) distribuční funkci náh. vel. Y, c) střední hodnotu náh. veličiny Y, d) rozptyl a směrodatnou odchylku náh. veličiny Y, e) P(Y<6), P(Y8), f) modus náh. veličiny Y.

30 Řešení: a) pravděpodobnostní funkce: Y ( y) P( 3 ) 3X P x yi P(yi) yi P(yi) xi P(xi),579 1,348,69 3,4 3 -, , , ,4 -,579 1,348 4,69 7,4

31 Řešení: b) distribuční funkce: y i F(y i )P(Y<y i ) ( ; ( ; 1 ( 1; 4 ( 4; 7 ( 7; ),579,97,996 1

32 Řešení: c) střední hodnota: Z definičního vztahu nebo E ( Y) y P i ( ) i y i Pomocí vlastnosti střední hodnoty: ( 3X ) 3E( ) 3,498, 56 E( Y) E X

33 Řešení: d) rozptyl: Z definičního vztahu D ( E( )) ( Y) E( Y ) Y nebo Pomocí vlastnosti rozptylu: DY ( ) ( 3X ) 3D( ) 9,41 3, 78 D X směrodatná odchylka: σ Y D(Y ) σ Y 3,78 1,96

34 Řešení: e) P(Y<6), P(Y8): yi P(yi) -,579 1,348 4,69 7,4 PY ( < 6) PY ( ) + PY ( 1) + P( Y 4),996 PY ( 8 )

35 Řešení: f) modus: je hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce nabývá svého maxima. yi P(yi) -,579 1,348 4,69 7,4 Modus

36 Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti právě tehdy, má-li spojitou distribuční funkci. Nemá smysl jednotlivým realizacím náhodné veličiny přiřazovat hodnotu pravděpodobnosti, protože pravděpodobnostní funkce je nulová. Místo pravděpodobnostní funkce se k popisu rozdělení spojité náhodné veličiny používá tzv. hustota pravděpodobnosti ozn. f(x).

37 Hustota pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti f(x) spojité náhodné veličiny je reálná nezáporná funkce taková, že F x ( x) f ( t) dt pro < x < Ve všech bodech, kde existuje derivace distribuční funkce, platí df ( ) ( x) f x dx

38 Hustota pravděpodobnosti-vlastnosti 1. hustota pravděpodobnosti je nezáporná funkce f ( x). plocha pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je rovna 1 f ( x) dx 1 3. hustota pravděpodobnosti začíná v ( x) lim f x 4. hustota pravděpodobnosti končí v ( x) lim f x

39 Hustota pravděpodobnosti a pravděpodobnost Vztah mezi pravděpodobnostmi výskytu spojité náhodné veličiny v nějakém intervalu a hustotou pravděpodobnosti: P P ( X a) a ( X < a) F ( a) f ( x) dx ( X a) F ( a) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) P 1 a a dx P ( a X < b) F ( b) F ( a) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) b a Vzhledem k nulovosti pravděpodobnostní funkce spojité náhodné veličiny můžeme ve výše uvedených vztazích libovolně zaměňovat ostré a neostré nerovnosti a b dx

40 Číselné charakteristiky spojité NV střední hodnota E ( X) µ x f( x) dx rozptyl směrodatná odchylka D( X) X E( X ) ( E( )) výpočetní vztah D(X) modus taková hodnota SNV, v nížf(x) nabývá svého maxima ( xˆ ) p-kvantil (x p ) taková hodnota, že pravděpodobnost, že NV nabude menších hodnot nežx p je 1p% σ dolní kvartil x,5 medián x,5 P( X < xp ) p F( xp) p horní kvartil x,75

41 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x) a sinx x ; π x ; π a) nalezněte konstantu a, f( x) dx 1 dx + π a sinxdx + π dx 1 π [ cosx] a a [ ( 1 1) ] 1 a 1 a 1

42 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π b) zakreslete hustotu pravděpodobnosti f(x),

43 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x), x x x x R : F( x) f( t) dt ( ;): F( x) dt x x x ; π): F( x) dt +,5 sintdt +,5 [ cost],5 ( cosx ( 1)),5,5 cosx

44 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x), x π; ): F( x) dt + π,5 sint dt + x dt +,5 π [ cost] +,5 (1 ( 1)) 1 F( x),5,5 cos 1 x, x, x, x ( ;) ; π) π; )

45 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π c) nalezněte a zakreslete distribuční funkci F(x),

46 ( ) π π ; ; sin,5 x x x x f d) určete P(X,3), P(π/4<X<5), P(X>π/3). ) ;, ) ;, ;) (, 1,5 cos,5 ) ( π π x x x x x F ( ),3 X P, cos > π π π F X P 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). Náhodná veličina-nv Distribuční funkce Diskrétní NV Funkce DNV Spojitá NV Test ( ) 854, cos < < π π π F F X P

47 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π e) určete střední hodnotu E(X), E( X) x dx + x sinxdx + π [ π ] π π x sinxdx + 1 E ( X) integrace podle pravidla per partes π ( x) x f dx x dx [ sinx x cosx] π

48 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π f) určete rozptyl D(X), D( X) E( X ) ( E( X) ) E( X 1 + ) 1 π x π 1 x dx + x sinxdx + x sinxdx E( X [ ] 1 ( π ) ) 1 [ cos ( ) sin ] π x x + x π ( x) x f dx π dx x integrace podle pravidla per partes

49 ( ) π π ; ; sin,5 x x x x f 4 ) ( π π π X D f) určete rozptyl D(X), ( ) ) ( ) ( ) ( X E X E X D 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). Náhodná veličina-nv Distribuční funkce Diskrétní NV Funkce DNV Spojitá NV Test

50 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π g) určete směrodatnou odchylku, σ D( X) π 4 8 π 8

51 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete medián, F( x),5 cos( x,5,5 cos( x,5 cos( x,5 ),5 ),5 cos 1,5 ) F x,5 x ( x ), 5,5, x,5, x, x ( ;) π ; π) π; ) x,5 ;π)

52 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete modus, hledáme maximum hustoty pravděpodobnosti max ;π)

53 3. NechťXje spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti f(x). f ( x),5 sinx x x ; π ; π h) určete modus, max : f ( x) f ( x) < max ;π) (,5 sin x),5 cos x ) x π

54 Test

55 1. Vytvořte dvojice pojem příklad. a) náhodný pokus 1. Doba přenosu testovacího datového souboru je delší než 3s. b) náhodný jev. Měření doby přenosu testovacího datového souboru. c) náhodná veličina 3.Doba přenosu testovacího datového souboru.

56 . Určete pravdivost následujících výroků. a) Náhodnou veličinu chápeme jako výsledek náhodného pokusu, který je daný reálným číslem. b) Diskrétní náhodná veličina může nabývat konečného nebo spočetného množství hodnot c) Distribuční funkce náhodné veličiny X v bodětudává pravděpodobnost, že X nabývá hodnot menších nežt. d) Má-li náhodná veličina spojitou distribuční funkci, je spojitá. ( ) 1 e) Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak PX. i x i

57 . Určete pravdivost následujících výroků. f) Oborem hodnot distribuční funkce jsou všechna reálná čísla. g) Medián je střední hodnota. ( x), 1 Medián x,5 je taková hodnota, že pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než x,5 je 5%. P( X < x,5 ) F ( x,5 ), 5 Střední hodnota-obecný moment prvního řádu: pro DNV EX xi P( x i ), pro SNVEX x f ( x) dx h) Nabývá-li funkce f(x) hodnoty 1,3, nemůže jít o hustotu pravděpodobnosti. i) Rozdělení spojité náhodné veličiny můžeme popsat distribuční funkcí, hustotou pravděpodobnosti a intenzitou poruch. j) Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu jednotlivých středních hodnot. n n i F f E ( x), ) i 1 X i EX i 1 i

58 . Určete pravdivost následujících výroků. k) Rozptyl součtu dvou náhodných veličin je roven součtu jednotlivých rozptylů. (Platí pouze pro nezávislé NV) l) Střední hodnota součinu dvou náhodných veličin je rovna součinu jednotlivých středních hodnot. (Platí pouze pro nezávislé NV) m) Rozptyl součinu dvou náhodných veličin je roven součinu jednotlivých rozptylů. (Platí pouze pro nezávislé NV)

59 3. Určete, která ze zadaných funkcí nemůže představovat pravděpodobnostní funkci. a) b) k 3 6 P(Xk),,4,4 c)

60 4. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat distribuční funkci. Není neklesající F ( x), 1 a) b) limf( x) x c) d) Není zleva spojitá

61 4. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat distribuční funkci. e) f) Není neklesající

62 5. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat hustotu pravděpodobnosti. a) Není nezáporná b) ( x) dx 1 c) d) f limf x ( x)

63 6.Nechť náhodná veličina X představuje životnost (dobu do poruchy) monitorů na počítačové učebně E3. Určete pravdivost následujících výroků. a)xje spojitou náhodnou veličinou. b) RozděleníXmůže být popsáno pravděpodobnostní funkcí. (Pravděpodobnostní funkce je nulová)

64 7. Vyjádřete následující pravděpodobnosti pomocí distribuční funkce. ( ) a) PX < 1, F ( 1) ( ) b) PX 5, ( X < 5) 1 ( 5) 1 P F ( ) c) P 5 X < 1. ( 1) F ( 5) F

65 8. NechťXje diskrétní náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí P ( X 5), P ( X < 5), P ( X > 5), P( X 1), P ( X < 1), P( X > 1). ( ) a) PX 1, P ( X < 1 ) + P( X 1) ( ) b) PX 5, ( ) c) P 5 <X 1, ( ) d) P 5 X 1. P P ( X 5) 1 P < ( X 1 ) + P( X < 1) P( X < 5) P( X 5) ( X 1 ) + P( X < 1) P( X < 5)

66 9. NechťXje spojitá náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí P ( X < 5), P ( X > 5), P ( X < 1), P( X > 1). ( ) a) PX 1, ( ) b) PX 5, P( X < 1) ( X 5) 1 P < ( ) c) P 5 <X 1, ( ) d) P 5 X 1. P P ( X < 1 ) P( X < 5) ( X < 1 ) P( X < 5)

67 1. NechťXje spojitá náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí hustoty pravděpodobnosti. ( ) a) PX 1, ( ) b) PX 5, ( ) c) P 5 <X 1, ( ) 1 d) P 5 X 1. f ( x)dx f ( x)dx f 1 5 f ( x)dx ( x)dx