Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstoání mthemtiky fysiky Bedřich Procházk O trjektroriích průsečíkoých. [I.] Čsopis pro pěstoání mthemtiky fysiky, Vol. 5 (1896), No., Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1896 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic proides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic deliery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 O trjektoriích průsečíkoých. Bedřich Npsl Procházk, docent n c. k. české ysoké škole technické Prze. Část prá. Zákldní pojmy. Pohyb posouání neproměnného útru roinného. Zákldní pohyby neproměnného útru roinného. Trjektorie bodu při pohybu neproměnného útru roinného. V Neproměnným útrem roinným nzýáme onen útr roinný, jehož šecky body zůstájí při pohybu neproměnných zdálenostech. Z tkoý útr možno požoti kždou tuhou roinu hmotnou. Když se roinný útr neproměnný J A pohybuje po jiné, poloze stálé*) se nlézjící roině A, tu třeb rozeznáti následní d zákldní druhy pohybu: pohyb posuný (posouání) **) č. trnslční pohyb otáčení č. rotční. Skládáním jednoho nebo obou těchto druhů postájí roinné pohyby složené. Když se roinný útr ] A některým z těchto způsobů pohybuje, pk kždý jeho bod ytořuje určitý útr linerný, který zoeme trjektorií. Kždými děm nekonečně blízkými c. soumeznými polohmi bodu se pohybujícího určen jest prek trjektorie, stnoící tečnu ku této křice. Nopk tečn jistém bodu trjektorie udáá směr pohybu bodu z polohy příslušné do soumezné. I Jednoduchý pohyb posouání neproměnného útru roinného.. Pohyb posouání. Když se po roině A pohybuje neproměnný útr roinný *A tk, že šechny jeho body ytořují *) Stálost polohy roiny A jest rciť zhledem ku pohybu země kol slunce zhledem ku pohybu tohoto e esmíru jen reltiní. **) Užito zde názu, který zedl pn professor Frnt. Tilser e sých přednáškách o deskriptiní geometrii n c. k. české ysoké škole technické. 6

3 8 trjektorie shodné, pk nzýáme pohyb tkoý posuným (posouáním) čili trnslěním. Známe-li trjektorii jednoho bodu roinného útru 'A, můžeme sestrojiti trjektorii kždého jiného bodu této roiny. Pohyb trnslční jest buď přímým nebo kiiým dle toho, zdli ytořují body pohybujícího se útru roinného trjektorie přímé nebo křié. Druhý z těchto přípdů můžeme požoti z pohyb složený z nekonečného množstí nekonečně mlých trnslčních pohybů přímých, jichž směr se nepřetržitě mění jest dán kždém místě směrem nekonečně mlých prků x x,, 3,... 'V^,... ^^ určujících tečny T i, Tt, \ 3,... > l/ 9,... T^x^,.. - trjektorie B ytořené liboolným bodem roinného útru se pohybujícího ] A (obr. 1.). Kždý tkoý jistému okmžiku příslušící směr pohybu budeme záti okmsitým směrem křiého pohybu posouání. 3. Křik obloá útru ytořeného při posouání nějké křiky roinného útru l A. Pohybuje-li se s roinným útrem J A nějká křik jeho A, pk ytořený útr roinný z části bude omezen křikou O oblující jednotlié polohy křiky A (obr. 1.). Je-li pohyb trnslční roiny J A po roině A dán trjektorií B bodu, pk jest kždém okmžiku dán směr nekonečně mlého pošinutí, směrem tečny T příslušném bodu trjektorie J5. Při tom zároeň přechází křik A do soumezných poloh J A, A, 3 A,... &A, 1/9 J. ^A, lfl A... Soumezné křiky A 1 A protínjí se určitém bodu 0*); tktéž kždé dlší dě soumezné křiky l A A, A' ó A,... &A '@A,... *A ífl A,... protínjí se určitých bodech: 1 o, 0,... ^0,... ^0,... Jelikož křiky A, X A, A,... jsou soumeznými, budou i jich body průsečné 0, *0, 0,... tkoými proto budou určoti souislý útr linerný určitou křiku O, kteráž mjíc s křikou 1 A soumezné body 0, J 0, s křikou A body J 0, 0,... s křikou fi A body *0 %, td. společný, dotýká se *) Průsečíků téchto jk zřejmo bude obecně íce; počet jich záisí n stupni křiky se posoující A. Souhrnem těchto různých průsečíků tořeny jsou pk různé bud! souisící části neb od sebe úplně oddělené ěte křiky oblující O.

4 šech těchto soumezných křiek čili Jk príme šechny je obluje. Zároeň zřejmo, že jest kždý dotyčriý prek 0 *0, 1 o 0,... křiky obloé O s křikmi \4, -á,... též dotyčným prkem tečen F o i o, Tí 0 0,... sestrojených ku křikám,^4, A,... resp. ronoběžně s příslušnými tečnmi T i, Fi -«... trjektorie B. Neboť ku př. prek 0'0 obloé křiky O jest zároeň dotyčným prkem tečny F o i o křiky l A ronoběžné s tečnou T i, protože bod 0 zujme při nekonečně mlém pošinutí křiky 1 A do polohy soumezné A polohu 0 bude průsečným bodem obou soumezných poloh lá, lá. 4 ), Jest zřejmo, že křiku O můžeme požoti z mez orthogonlného průmětu plochy posouání, ytořené křikou roinnou J., jejíž roin jest s průmětnou ronoběžná, kteráž posouá se podle křiky šrouboé, jejíž os jest kolmá ku průmětné mjící z křiku zákldní křiku B. Zláštní přípd. Je-li křik A kružnicí (obr..), pk jest křik obloá O určen meznými body průměrů oné křiky, které jsou kolmý ku příslušným okmžitým směrům pohybu posouání. Skládá se tudíž tomto přípdě křik obloá ze dou ětí ehidistntních zhledem k sobě jkož i ku trjektorii F>,, ytořené středem s kružnice A. Z té příčiny má tto obloá křik týž střed křiosti, který trjektorii středu přísluší. 4. Sestrojení středu hřiosti křiky obloé O při pohybu trnslčním. Sestrojujíce střed křiosti křiky obloé O nějké liboolné posoující se křiky A bodu 0, použijeme její příslušné křiky kruhoé křiosti K. Protože má tto s křikou A dě soumezné tečny společné, bude tečn ku křice obloé O křiky A bodě l o totožná s tečnou ku obloé křice O l kružnice oskulční K. Tedy hřih obloá hřihy se pohybující A křik obloá její příslušné kružnice křiosti se bodě o oskulují. Ašk dle předcházejícího článku křik kruhoá křiosti 4 ) Jelikož jsou křiky A l A nekonečně blízkými, nemůžeme je obrze od sebe rozeznáti bod o bude obrze dotyčným bodem křiky obloé O s křikou A. 6* 83

5 84 K má z obloou křiku ekidistntní zhledem ku trjektorii B s, ytořené středem křiosti s křiky A. proto střed hřiosti hřihy obloé O nlezneme, sestrojíme-li střed křiosti trjektorie B s ytořené středem křiosti s hřihy A. (Obr. 3.). Z toho plyne dále, že poloměr křiosti křiky obloé se roná lgebrickému součtu příslušných poloměrů křiosti křiky A křiky B s. 5. O rychlostech při stejnoměrném pohybu trnslčním. Pohybuje-li se bod nějký dráze přímé nebo křié tkoým způsobem, že dráhy ykonné jsou úměrný čsu, pk zoeme tkoý pohyb stejnoměrným. Eychlostí stejnoměrného pohybu nzýáme onu dráhu, kterou ykoná bod jednotce čsoé. 5 ) Při pohybu e dráze křié yznčuje se rychlost jistém bodě trjektorie B délkou t =z 1 ytknutou příslušné tečně T. Úsečk t udáá pk směr pohybu i elikost jeho rychlosti. Znčí-li s dráhu, ykonnou rychlostí čse č, pk souisí tyto eličiny známými zorci: V=j. s Tento druhý zorec má pltnost i tom přípde, kdy dráh ds ykonná nek. krátkém čse dt jest nekonečně mlou: ds = * II. Složený pohyb posouání. 6. Posouá-li se roinný útr l A po roině A určité dráze 1 _á stejnoměrně s rychlostí ^, tto roin šk součsně po třetí roině A e dráze A stejnoměrně s rychlostí, pk ytoří liboolný bod roiny *A určitou ýslednou trjektorii A, jejíž body tkto sestrojíme: Proběhne-li jistém čse bod (obr. 4.) při pohybu ro- 5 ) Z jednotku čsoou bereme obyčejně sekundu, t. j tý díl dne středního čsu.

6 iny A po roině X k trjektorii A dráhu 1 1 přijde součsně při pohybu roiny A po roině A onen bod trjektorie ^ který s bodem momentně spdá, do polohy trjektorii A křik l A dospěje do polohy lm A. Tím přijde pohybliý bod liem těchto obou součsných pohybů do polohy 1, jkožto bodu křiky A ytořuje tkto postupně roině A tuto křiku, jkožto ýslednou trjektorii složeného pohybu. 7. Tečn ku trjektoiii při složeném pohybu. Eonóběžník rychlostí. Je-li dob, po kterou se dějí součsné pohyby roin 1 A A nekonečně mlá (dt), pk jsou dráhy ], 1 nekonečně mlými (obr. 5.) prky l V, spolu ronoběžný; proto jest čtyřúhelník x 1, i nekonečně mlým ronoběžníkem. Mysleme si k tomuto nekonečně mlému ronoběžníku } 1% sestrojen podobný podobně sestrojený zětšený ronoběžník HtH, tk že stejnolehlé strny se mjí jko dt: I, pk jsou strny: --, } T -,-- - H ~ -- = % H = -, dt dt konečně úhlopříčn ronoběžník lш ~ t dt Úsečk H tečně X T křiky 1 A předstuje podle elikosti i směru rychlost } bodu spdjícího s bodem této křice X A. Úsečk H tečně T křiky A předstuje co do elikosti směru rychlost, kterou má s bodem spdjící bod křiky 1 A při pohybu trjektorii A. Úsečk t tečně T ýsledné trjektorie A bodu udáá elikost směr rychlosti, s kterou se bod tento pohybuje n zákldě obou pohybů. Z toho plyne důležitá ět: Je-li bod podroben děm součsným pohybům posouání, kteréž mu rychlosti o elikosti směru úseček l t y t udělují^ pk representuje úhlopříčn t ronoběžník HtH ýslednou rychlost bodu co do elikosti i sn,ěru. Můžeme tudíž sestrojoti n zákldě této ěty tečnu trjektorie jkožto ýsledku složeného pohybu dou pohybů trnslčních. 85

7 86 Ponědž to, co jsme ododili pro bod, pltí pro kždý bod roiny *A, budou šechny body roiny této ytořoti témž okmžiku prky stejně dlouhé stejného směru proto i trjektorie shodné. Z toho plyne, že ýsledný pohyb dou trnslmích pohybů jest opět pohyb trnslční. Můžeme šk tké dle uedeného složiti tři i íce součsných pohybů posuných, jimž jistý útr roinný jest podroben, když složíme d jeden ýslední, tento pk s třetím tk pokrčujeme, ž šechny jednoduché pohyby posuné yčerpáme. Nopk můžeme tké kždý pohyb trnslční e d neb íce trnslčních pohybů komponentních (e složky) rozložiti, které jsou onomu dnému ekilentní. 8. Sestrojení středu křiosti křiky ytořené při složeném pohybu posouání. Jsou-li dány středy křiosti \ *s (obr. 5.) křiek M, A (článek 6. 7.) bodu, pk určíme tké střed křiosti křiky ýsledné A následním způsobem: Pohyb s bodem spdjícího bodu do obou nekonečně blízkých poloh křice 1 A můžeme pokládti z nekonečně mlé otočení o mplitudě d kolem středu l s. Týž pohyb může šk býti nhrzen nekonečně mlým pošinutím dt bodu tečně l T nekonečně mlým otáčením kolem bodu o mplitudě d@. Oznčíme-li poloměr křiosti 1 s křiky l A písmenou 1 to, pk pltí pro tyto eličiny známý zth i -JtL 6 ) 9 ~ d Vyjdříme-li dále nekonečně mlou rotci ds kolem bodu nekonečně mlým obloukem CŽGJ, který při této rotci bod H ytořuje, dle známého zorce: pk obdržíme:, dm dco ~~~H """^ ' 6 ) Dr. Wilhelm Schell: Theorie der Bewegng und der Krfte", pg. 00. Dr, Christin Wiener uádí e sém díle: Lehrbuch der drstellenden Geometrie", I. sz. pg noý od Roberlo rozdílný způsob konstrukce tečen ku křikám roinným n zákldě jejich zákon ýtrného.

8 87 Nhrdíme-li konečně poměr nekonečně mlých eličin dt T- poměrem příslušných rychlostí A resp. ] u, z nichž poslední yjdřuje rychlost bodu H při jeho otáčení kolem bodu, obdržíme (1) *Q = z čehož yplýá tké, že () *u = Z ronice. yplýá tudíž konstrukce rychlosti í u n zákldě dné rychlosti l poloměru křiosti X Q. Spustíme totiž s bodu ku přímce l s l t kolmici ] k, kteráž určuje přímce ] Pk± tf úsečku H l k= ] u. Z toho plyne následní ět: Nekonečně mlé otočení bodu kol středu í s, dějící se s rychlostí l, můžeme nhrditi pošinutím tečně l T s rychlostí x = x t otočením tečny této kolem bodu s rychlostí tkoou, při níž bod 1 1 se otáčí s rychíosu l u = -. Opčnou konstrukcí lze ze známých rychlostí l l u ododiti poloměr X Q. Práě tkoou konstrukcí, kterou jsme si zjednli rychlost H x k = l u bodu 1 t, stnoíme i rychlost H' l k= u bodu H při otáčení tečny T kol bodu. Následkem přechodu bodů l t H do poloh x k k přijde i bod t do noé polohy k, kterou obdržíme jkožto rchol ronoběžník ] kk^k, sestrojeného nd délkmi ] k k. Z rychlosti tk bodu t, e směru obecně šikmém ku tečně T stojící, ododíme si rychlost u = ti (ti ± T) bodu t při otáčení tečny T kol bodu n zákldě rozkldu rychlosti e složky. Přímk kl\\ T odetíná přímce ti ±T délku ti, udájící rychlost u bodu t. N zákldě rychlosti u sestrojíme střed kři- Ч

9 88 osti s křiky A dle zorce 1. tím, že edeme ts JL «í, kteráž normálu NA V bodě s protíná. Uedené konstrukce užijeme následních dou zláštních přípdech : ) Mějme n zřeteli přípd, kdy l A jest křikou kruhoou křik A přímkou ob stejnoměrné trnslční pohyby nechť mjí rychlost stejnou (obr. 6.). Proto jsou dráhy bodu při prém i druhém pohybu trnslčním stejné. Mezi tím, co proběhne při pohybu prém bod celý obod křiky kruhoé x A, ykoná týž bod přímce A dráhu ronou tomuto obodu. Když dospěje bod do polohy l \ ku př. do rv celého obodu křiky M, přijde A do polohy A'\\ A mezi tím dospěje bod do polohy V, tk že l ' = l ď křik ] A zujme polohu ] A'. V bodu průsečném obou křiek ' A' A' dostneme noou polohu ' bodu při pohybu ýsledném. Tk lze sestrojiti i osttní body trjektorie A. Kostrukce tečny středu křiosti. Užijme dříe uedené konstrukce yjádřeme rychlost 't; t; délkou poloměru X Q křiky kruhoé ' A. Jk z konstrukce tečny ptrno, prochází normál bodu křiky A bodem Ď, e kterém přímk B\\ A křiky kruhoé l A se dotýká, neboť /\ ] sb ;± /\ ] tt; mimoto jest tkzzz ' p, když úhel thzzzktl oznčíme qp, bude uzzzttzzz x cos cp ] (> cos (p. Použijeme-li nyní ronice 1., obdržíme pro poloměr křiosti : C = ҶJ cos (p' Ponědž šk, jk z trojúhelník \Ht plyne, rono jest. 1 Q cos <p, obdržíme o zzz ~zzz, " ' čímž jest určen střed křiosti s normále N.

10 Trjektorie A může se šk tké jiným způsobem ytořiti ; neboť bod dospěje do polohy ď tké tím, že se kružnice lá kolem sého středu otáčí ž bod ten do polohy V přijde pk se přímce A' po dráze V' pošine. N zákldě tohoto ytoření můžeme křiku A pokládti z průmět klinogonlní křiky šrouboé, jejíž zákldní kružnice spdá s kružnicí A jejíž tečny s průmětnou toří týž úhel, jký s ní určuje směr promítání klinogonlného. Tkoý klinogonlný průmět jest obecná cykloid, která se ytoří kotálením kružnice l A po přímce 5, pro jejíž poloměr křiosti známe již nhoře odozenou hodnotu Q zzz. b zzz. b) Předpokládejme dále týž přípd složeného pohybu posouání, kde šk jest rychlost bodu kružnici 1 A dojnásobná jeho rychlosti přímce A (obr. 7.). Použijeme-li i tomto přípdě konstrukce tečny středu křiosti uedené e článku 7. 8., přijdeme, když příslušné úsečky tk jko dříe oznčíme ku zthu: s Tké tomto přípdě můžeme tento pohyb pokládti z rotci kol bodu l s součsně pošinutí e směru přímky A. Můžeme ho tedy nhrditi kotálením to kotálením jisté s kružnicí lá soustředné kružnice l B, jejíž poloměr roen poloině poloměru křiky A, po přímce IB, která s přímkou A jest ronoběžná. Normál N bodu prochází bodem b, kterém kružnice l B se přímky B dotýká z konstrukce (obr. 7.) dá se ododiti, že úsečk b =. Použijíce nyní známou konstrukci středu křiosti pro křiky kotálení, ztýčíme ku normále N^^b obr. 8. bodu b kolmici bm protneme ji spojnicí bodu se středem *s kružnice l B bodu m. S tohoto bodu n přímku X B spuštěná kolmice ms protíná normálu N hledném středu křiosti. Z této práě uedené konstrukce plyne, když ještě kolmici l sn s bodu l s n normálu spustíme: s _ m b b ~~~ L s ~~ n U 89

11 90 A ponědž b =, n = tl = w*), obdržíme pro poloměr křiosti jko dříe: s =. u Z toho yplýá, že touto konstrukcí docílený střed křiosti s dříe určeným bodem s se shoduje. 9. Poloměr křiosti Q křiky A můžeme šk tké obecném přípdě lgebricky ododiti yjádřiti eličinmi 1.o, p, l, úhlem n těchto eličinách záislým, který toří tečn T (obr. 9.) s tečnou T. Z příčinou zjednodušení předpokládejme, že jednk poloměry křiosti 9, Q jink rychlosti H', tkto souisejí: 1 f V =. l. Vyjádřeme rychlost ] = 1 1 délkou poloměru Í Q\ pk jest rychlost = l t =. ] Q. V ronoběžníku rychlostí ] tt t oznčme úhel Ht písmenou 'op úhel Ht písmenou <p. Z konstrukce jest ptrno, že %zz ] t x k= ] Q 9 TTOT o>.v. 1 o V'. ] Q u = H k = -Y~ = - r =. Q Ll.^Q {l. l Q P Úsečku tk (článek 8.) obdržíme tké jkožto digonálu ronoběžník ťk'k k\ jehož strny: ťk' tt V* k' = Wk s ní úhly 'k'tk ] <p, kt k' = <p. toří. Při určení úsečky u = ti, promítněme n přímku tlj_t n místě úhlopříčny tk dě strny ťk' x k'k = ťk' ronoběžník t l Fk k\ Následkem toho obdržíme: *) Podmínk tto plyne ze shodnosti trojúhelníků: l sn tkl.

12 91 u = tl zz ťh é cos l cp -j- t W cos V = V cos ' <D - - cos <P nebo proto nebo wr 1.) cos '<p -f- ^ cos V 1 ^ cos <p Z trojúhelník č č jest zřejmo, že u V cos V -f- COS (p=z / «i'! г? í г; cos <p '-- cos <p j u =:» J p cos,ф ( -y)- - cos VI. Dosdíme-li tuto hodnotu pro «do ronice (1), obdržíme 9= ~ ;-Vcos("-y)' kteroužto ronici přeésti můžeme n tr: nebo konečně ś>. COS "W u *, /TN. cos <p ^t>, (I) = l Q. Q V [l Ronice tto souhlsí, co se formy týče, s trnsformoným zorcem Euleroým*) pro poloměr křiosti trochoid:. TT.. cos g? i? x. E { } y i; '^r4' Jk známo znčí e zorci tomto Q poloměr křiosti trochoidy, která se ytoří kotálením křiky L po křice K, E x E poloměry křiosti těchto křiek L K, které jejich bodu *) Professor Edurd Weyr: Strojení středů zkřiení trochoid 11 ueřejněno Čsopisu pro pěstoání mthemtiky fy siky u, ročník XXIII. pg. 6.

13 9 dotyčnému d příslušejí <p úhel, který normál N^d trochoidy o délce d = toří se společnou normálou křiek K L bodu d. Můžeme tudíž poloměr křiosti trjektorie J., ytořené složeným pohybem trnslčním, určiti jkožto poloměr křiosti křiky kotálení. Abychom určili dotyčný bod d obou křiek íi, jichž poloměry křiosti pro tento bod nejsou dosud známy, nneseme n normálu křiky A bodě délku ď=z. A bychom obdrželi jednoduše společnou normálu křiek li, která s normálou N úhel <p toří, spojíme, jk ze shodnosti trojúhelníků plyne bod d s bodem s. ^sd 1 U Abychom tké neznámé poloměry 7^ R křiek K L určili, použijeme podmínky, že ҖҖ Џ 1Q #1 + E P z kteréž plyne, když poloměr křiosti R druhým yjádříme, že mu P (ft ~ y ) '? p (lil i\ ->,- -. -;--. u Y. l * K x (li V V~)\) 10. Následující příkldy nám poslouží ku objsnění těchto odozených zorců: Prní příldd. Nechť jsou křiky l A A zstoupeny děm kružnicemi o stejných poloměrech ] y Q rychlost l nechť jest dojnásobná rychlosti. Vyjádříce jko dříe rychlost l poloměrem ] Q, obdržíme n zákldě konstrukce uedené e článku 7. tečnu T složeným pohybem trnslčním ytořené trjektorie A bodě (obr. 10.). Při konstrukci bodu d (člán. 9.) pozorujeme, že bod ] s jkožto střed kružnice X A n zákldě shodnosti trojúhelníků 1 sd * #, jichž stejnolehlé strny k sobě kolmo stojí, nlézá se n kružnici lái,, ytořené středem kružnice ] A.

14 Ponědž strn { sd trojúhelník ] sd kolmo stojí ku příslušné strně H = T trojúhelník Ht, stojí tké kolmo ku kružnici AU proto jejím středem 0 prochází. Ponědž dále šk *Hď - ~. ' {) leží zároeň bod d n kružnici Ai s. Když dle článku 9. pokládáme kružnici A\ S z Z", po níž se kružnice L kotálí, pk jest její poloměr 7^ =r 'to, druhý poloměr R dle zorce III., do kterého se zřetelem n tento speciální přípd [i z= 1 * dosdíme, nbude hodnoty. ' Q. Proto má kotálející se kružnice L, která se okmžitě kružnice K dotýká bodu d sůj střed bodě A s. Sestrojujíce šk středy křiosti jiných bodech křiky A z týchž podmínek, poznáme, že příslušné k sobě body J s d budou ždy ležeti n kružnici A ]S proto kružnice K L pro šechny body křiky A týmiž kružnicemi budou. Můžeme tudíž tuto křiku pokládti jkožto ytořenou kotálením křiky L n kružnici K o poloičním poloměru tuto objímjíc. Jk známo, ytořuje bod, který se unitř se kotálející kružnice L nlézá, křiku Pscloou mjící bod dojný.*) Sestrojujíce pk střed křiosti této křiky A bodě n zákldě jednoho nebo druhého zákon ýtrného, obdržíme týž bod s. Prní konstrukce, zkládjící se n ytoření křiky A složenou trnslcí, jest z obr. 10. úplně ptrná. Při druhém určení středu křiosti použito známé konstrukce Euleroy: V bodě d kružnice K Z, byl ztýčen ku normále N= d křiky A kolmice dm. která spojnici bodu se středem ] s kružnice L protíná bodu m. Přímk, která bod m spojuje se středem o peného kruhu K protíná normálu N žádném středu křiosti s. Vyjádříce šk při konstrukci tečny T rychlost * poloměrem ] Q, pk obdržíme druhý možný způsob ytoření**) 93 *) Dr. L. Burmester: Lehrbuch der Kinemtik", I. szek, pg. 15. **) Tmtéž, pg. 137.

15 94 křiky A kotálením jisté kružnice.l' po jiné kružnici K\ jichž poloměry se tentokráte ronjí poloině poloměru ] Q (obr. 10.). Druhý přípd. Křiky l A A jsou opět kružnice to tenkrát poloměr Q =. ] Q rychlost fy zz ] (obr. 11.). Abychom určili poloměr křiosti tomto přípdě ytořené křiky n zákldě druhého názoru, pokrčujeme týmž způsobem jko při příkldu prém. Obdržíme tké zde, že táž křik A dá se ytořiti děm různými páry křiek kruhoých. Jeden nebo druhý pár kružnic obdržíme, položíce buď 1 fy zz 3 Q nebo ] zz. fy zz Q. V prém přípdě jest kružnice K jko dříe identickou s kružnicí *A S, kterou ytořuje střed s kružnice A při složeném pohybu posouání střed kružnice L nlézá se n kružnici *A l9, kterou ytořuje střed } s kružnice l A. Proto, jk z obr. 11. ptrno, kotálí se kružnice L n stejně elké kružnici K bod, nlézjící se n kružnici L, ytořuje, jk známo, krdioidu*j V druhém přípdě (který není obr. 11. yjádřen) ytoří se křik A, když n křice K= ] A S se kotálí dkrát tk eliká kružnice V onu kružnici objímjíc. Obě konstrukce středu křiosti (n zákldě složeného pohybu posouání n zákldě kotálení křiky L po křice KT), které jsou obr. 11. yjádřeny, edou nás k témuž bodu s jkožto středu křiosti křiky A bodu. 11. Konečně pošimneme si nejobecnějšího přípdu složeného pohybu posouání kruhoého předpokládejme jko dříe Q zz ii. * Q. fy zz. 1. Ony d různé páry kruhoé, jichž kotálením táž křik A se ytoří jko složeným pohybem posouání, obdržíme dle toho, položíme-li bud rychlost ^zz ] Q (pk tké VZZZZV. 1 Q) nebo -, = -J pk «t> = -i =?- = &\. \ I V prém přípdě (obr. 1.) obdržíme, oznčíce společný střed kružnic *A X, l A S písmenou o,*) poloměr B 1 pené kruž- *) Tmtéž, pg. 151.

16 nice K poloměr i?, kružnice n ní se kotálející L, následoně : Jk z obr. 1. ptrno. jest poloměr s kružnicemi A IS ] A S soustředné kružnice K B l = od = l so ] sd.» Ponědž šk jest poloměr x so kružnice ~A ls poloměru Q kružnice A roen ] sd= =. ] Q (článek 9.) obdržíme B, = *Q ' Í V = ([1 V) X Q. Abychom poloměr B obdrželi, dosdíme tuto hodnotu pro i? x do zorce III. (článek 9.) obdržíme po jednoduché redukci : B> =. 1 Q *, z čehož plyne, že střed křiosti kružnice L spdá se středem křiosti x s kružnice ] A (obr. 1.). V tomto přípdě můžeme tedy složený pohyb posouání nhrditi kotálením kružnice L (jejíž poloměr se. *Q roná) po pené kružnici K [o poloměru (^ ) ] Q]. Poloměr kružnice K nlézá se e čtrtém rcholu o ronoběžník x so s*) dotyčný bod d obou kružnic jest n přímce x so určen poměrem: 05 x sď B. Ho ~ -5~ ~~ (p y~([i ) l ~~~ {l ' x V druhém přípdě, učiníme-li = to, obdržíme poloměry B\ B\ druhého páru kružnic K U tkto: B\ zz ďo zz -so sď. A ponědž ^zz 1^ jkožto poloměru kružnice X A S1 *sď = x = = *- = - ", jest B^ = ^Q ^V- l Q ^l Q = ~^1Q. *) Poloměry l s, s, l so, so toří ronoběžník l s, o s.

17 96 Abychom obdrželi příslušný poloměr I? ', použijeme zorce III. obdržíme, že #.==-- «p=z *, z čehož plyne, že stted kružnice L' spdá se středem kružnice l Á. V druhém přípdě můžeme tedy složený pohyb posouání nhrditi kotálením kružnice D o poloměru JI/ ~. } po pené ^ ^ nt ii kružnici K ř, jejíž poloměr R^ ~ l g. Střed pené kružnice nlézá se bodu o, dotyčný bod obou kružnic jest určen poměrem : ] *sď R'., (). ďo K P - ~ ^ ftifí ^ ř* ft " 1/ 1/ Z ronic (1) () tohoto článku plyne dále podmínk: *sd, sď " do ďo t* P- N zákldě těchto ýsledků můžeme ysloiti ětu: Kždá složeným trnslčním pohybem kruhoým ytořená křik jest křikou cyklickou, kterou lze tké ytořiti kotálením dou různých párů kružnic, jejichž pené kruhy jsou soustředné, zdálenost tořícího bodu od středu kotálející se kružnice jest při ytoření jedním párem kružnic ron zdálenosti středů druhého páru; když } sd, do znčí poloměry jednoho sď, ďo poloměry druhého páru, pk existuje zth : i d do ^sď ďo Vyjdeme-li šk při konstrukci cestou opčnou přijdeme ku ětě druhé: Kždá kotálením dou různých párů kružnic ytořená křik cyklická může býti opsán tké složenou trnslcí kruho- *) Tmtéž, pg. 137.

18 ou; mčí-li R x, R poloměry jednoho R'^ R poloměry druhého páru J p, Q fi, týl ýznm máji jko dříe, pk se yskytují (jk z obr. 1. sndno ptrno) zthy: V = ^ R[, ^ = i? + ^; I?, -R I? ^-I?; R\ -i^=rir III. Trjektorie průsečíkoé při dou pohybech posouání. 1. Konstrukce středu křiosti, uedené e článku 8., můžeme tké užiti při konstrukci středu křiosti trjektorie průsečíkoé, kterou^ ytořuje průsečík dou různých směrech se posoujících křiek. Tečnu tkoé křiky průsečíkoé sestrojuje Burmester*) tkto: Pozorujme průsečík (obr. 13.) dou po pené soustě *S se pohybujících křiek (?, ff předpokládejme, že křik G náleží k jisté neproměnné soustě roinné S křik ff k jiné tktéž neproměnné soustě roinné S S. Náleží-li průsečíku s jkožto bodu křiky G rychlost jkožto bodu křiky ff rychlost 3 \ pk obdržíme rychlost n křice A se pohybujícího průsečíku, edeme-li body \ 3 l respekt, ku tečnám TG, TH sestrojeným bodu ku křikám 6ř, ff rono běžky, které se protínjí koncoém bodu rychlosti, udájící zároeň tečnu T A křiky A" Abychom tké poloměr křiosti křiky A bodu určili, užme, co předstují úsečky ^^ ^ yskytující se při práě proedené konstrukci tečny T±* Jest ptrno, že těmito děm úsečkmi yjádřeny jsou rychlosti, které náležejí bodům s bodem spdjícím respekt, křikách (?, ff se pohybujícím. Pohybuj e-li se šk bod křice G rychlostí Q která se rychlosti l 97 roná (obr. 13.), pk otáčí se zároeň tečn *) Tmtéž, pg. 5. N zákldě jiného názoru dospíá Br. Christin, Wiener e sém díle Lehrhnch der drstellenden Geometrie," pg ku konstrukci tečny. 7

19 98 T G kolem bodu. Tuto rotci můžeme yjádřiti rychlostí otáčejícího se bodu G. Tuto rychlost G G obdržíme, spustíme-li dle článku 8. bodem ku spojnici bodu G se středem křiosti s G kolmici G, která protíná přímku G G J_ T G bodu G. S touto tečnou otáčí se kolem bodu 1 ronoběžně úsečk - 1 Xt G ; proto otáčí se bod rychlostí ^XG G. Zároeň pohybuje se šk bod n křice H rychlostí ^^X 31 tečně T H, kteráž se zároeň kolem bodu otáčí. Tké tuto rychlost můžeme yjádřiti rychlostí f f t otáčejícího se bodu ^, obdržíme ji, spustíce bodem ku přímce s H *) kolmici, kteráž protíná přímku f 1 * JL T H bodu ^. S touto tečnou T H otáčí se kolem bodu 3-1 ronoběžně úsečk 31, tk že se bod otáčí tké rychlostí 3 fl: F f. Jest tudíž bod podroben děm rychlostem l '% edeme-li tk, jk jsme to n počátku tohoto článku učinili při sestrojení tečny T A, bodem l ronoběžku T' G ku tečně T G bodem? ronoběžku TV ku tečně T H, pk protínjí se tyto ronoběžky bodě ', který určuje s bodem rychlost \ bodu. Sestrojíce bodu kolmici " ku tečně T A edouce bodem s touto tečnou ronoběžku ^;-, pk obdržíme úsečce ^ rychlost, kterou nbude bod při otáčení tečny TA kolem bodu, spustíme-li (článek 8.) konečně s bodu n přímku w kolmici, protíná tto normálu žádném středu křiosti SA křiky A. Jkožto příkld předpokládejme onen přípd, kdy se jistá kružnice stejnoměrně posouá součsně e dou různých směrech (obr. 14.). Při pré trnslci přijde střed o m pohybující se kružnice stejných interllech čsoých do poloh 1 o, 0, 3 0,... při druhém pohybu do poloh ] s, s, 3 s,... Průsečíky J l,, s 3 \... těmto polohám středu přísluší cích kružnic l G, C7, S G,... \řz, H, 3 Ff,.. toří ellipsu A, jk následoně dokážeme: *) Bod s H jest střed křiosti křiky TT bodu.

20 Kždé d průsečíky V, VV, 3 3,... dou příslušných poloh kružnice 'G\H, *G H, 3 G 3 H... leží přímce, která kolmo stojí ku spojnici příslušných středů Vs, o s, *o 3 s.. jejich rozpolocím bodě m, ' l m, 3 m,... Tyto rozpolující body l m, m, 3 m,... toří určitou přímku X Kružnice G, H, které s kružnicí K se ztotožňují, protínjí dle toho bodech V, které se nlézjí n přímce Y, kolmé ku přímkám Vs, o 3 s, o%... Požujeme-Ii přímky Z, Y z osy šikmé sousty souřdnic, pk přísluší liboolnému bodu křiky AL ku př. bodu, souřdnice x y, které se následujícím zthu nlézjí: Jk z.konstrukce (obr. 14.) ptrno, jest úsečk W = x, když jkousi konstntu yjdřuje, příslušná pořdnice y, jk z proúhlého trojúhelníku m s plyne, jest určen následním zthem: r 99 X V nebo - ^ + j i = 1, když konstntní poloměr kružnice G H oznčíme písmenou /?. Z formy této odozené ronice křiky A jest ptrno, že křik tto jest ellipsou, jejíž d průměry spdjí s přímkmi N 7 délky ft /3 mjí. Konstrukce tečny středu křiosti křiky A jest proeden (obr. 15.) pro bod = 8 *). Abychom tečnu TA sestrojili, předpokládejme, že rychlosti l, 3 l respekt, křiek G, H yjádřeny jsou úsečkmi o. m o, m~s edme body x, 3 ; 1 ronoběžky x, 3 l u respekt, ku tečnám TG, T H. Tyto ronoběžky protínjí se bodě, který s bodem yjdřuje rychlost průsečíku tečnu TA určuje. *) Tento bod jest určen jkožto průsečík dou příslušných křiek G = 9 G HE= 3 H, jichž středy body o^= 9 o, o H = 3 s jsou. 7*

21 100 Sestrojujíce střed křiosti křiky A (obr. 15.), nneseme úsečku l od bodu n tečnu TG V témže směru. V dosženém bodě ztýčíme n tečnu T& kolmici, spustíme s bodu ku přímce O kolmici, která protíná přímku bodě ^. Od bodu nneseme pk úsečku # t^ Stejným způsobem sestrojíme tké bod j, učiníce ^zzz z x, sestrojíce ^f, JL T H ^t±_s H ^. Učiníme-li pk ^? fl: f <i obdržíme bod \. Sestrojíme-li dále body, \ ronoběžky T, T respekt, G H ku tečnám T, T H protínjí se ony přímky bodě ', kterýž s bodem rychlost tohoto bodu určuje. Vztýčíce nyní bodě kolmici ď ku tečně T A edouce bodem ' s touto tečnou ronoběžku «V, obdržíme úsečce rychlost, kterou obdrží bod při otáčení tečny T A kolem bodu. Přímk Q>VSA JL (M' V ' protíná pk normálu NA V hledném středu křiosti s A křiky elliptické A. Zároeň jest ptrno, že můžeme pokládti křiku elliptickou A pohybem průsečíku ytořenou z průmět klinogonlný křiky průsečné dou šikmých ploch álcoých, kteréž mjí průmětně společnou kružnici zákldní. 13. Konstrukce středu křiosti trj-htorie, kterou ytořuje průsečík dou různých drhách křiých se posoujících křiek. Pozorujme průsečík dou po jisté pené roině *S se posoujících křiek G, H předpokládejme, že tyto křiky přísluší respekt, děm křikách K, L se pohybujících neproměnným roinným soustám S, 3 S. Když bodu jkožto bodu křiky G přísluší rychlost l (obr. 16.) tečně T K křiky K jkožto bodu křiky H rychlost & 8 ; 1 tečně T L křiky i, pk obdržíme rychlost bodu po křice A se pohybujícího, když jko přípdě předcházejícím (článek 1.) body ;, 1, 3 x edeme ronoběžky l, s x respekt, ku tečnám r<?, TH; tyto ronoběžky protínjí se koncoém bodě rychlosti, která zároeň jest tečnou T A ytořené trjektorie A. Střed křiosti křiky -4, sestrojíme jko dříe se zřetelem ku rychlostem ^^ l, jkými se bod respekt.

22 101 křikách G, H pohybuje, ku středům křiosti SG, s n křiek těchto pomocí bodů, \. Ponědž se křiky G, H neposoují jko dříe dráhách přímých, nýbrž respekt, křikách K, Z, budou se při tomto pohybu tečny TK, T L tudíž i body T, 3 Y kolem bodů otáčeti. Rychlost x K, s kterou se při otáčení tečny T K kol bodu bod ^1 pohybuje, obdržíme, když s bodu spustíme n spojnici středu křiosti s K křiky K s bodem x kolmici K, kteráž přímku kolmo bodě ^ n tečnu TK ztýčenou protíná bodě K. Když tuto konstrukci pro bod x se zřetelem ku středu křiosti SL křiky L opkujeme, obdržíme, spustíce s bodu n spojnici středu křiosti s L s bodem z x kolmici L, přímce U^UL _L TL rychlost 3 L bodu 3 x. Prní z těchto posledně stnoených dou rychlostí ^ K bude míti z následek, že se bod posoune do polohy tk K1 že ' K X$. A K, druhá pk rychlost 3 ^, že se bod L 3 pošine do polohy L, tk že 3 1jf L 3 l L. Vedeme-li tkto docílenými body K, L respekt, ronoběžky T', T H ku tečnám TG, T H, pk obdržíme jejich průsečíku bod ', který s bodem určuje rychlost tohoto bodu. Vztýčíme-li dále bodu kolmici ku tečně TA edeme-li bodem ronoběžku ' ku této tečně, pk obdržíme bod \ Spustíme-li konečně bodem n přímku kolmici s Á, pk protíná tto přímk normálu N A V hledném středu křiosti s A křiky A. Tto konstrukce má tké úplnou pltnost i tom zláštním přípdě, kdy křik K=/7 zároeň křik L~G, když tedy křik G se křice H křik H křice G posouá pohyb tkoý z složený pohyb trnslční požoti můžeme. Konstrukce se tomto zláštním přípdu znčně zjednoduší bude s onou pro týž přípd e článku 8. uedenou úplně souhlsiti. Zároeň jest ptrno, že křiku A můžeme pokládti z orthogonálný průmět průsečnice dou ploch posouání, které

23 10 jsou ytořeny děm roinnými křikmi 6r, H, jichž roiny s průmětnou ronoběžný jsou, které se posoují po dou ku této roině kolmých křikách šrouboých, jichž zákldními křikmi jsou křiky K, Z. Pomocí uedené konstrukce tečny poloměru křiosti, můžeme pk sestrojiti roinu křiosti průsečnice obou ploch posouání jkož i středu křiosti této křiky. Jkožto příkld uedeme následní zláštní přípd: Kružnice G ~~ H posouá se součsně e dou různých kružnicích, tk že jeho střed s$ -~~ s H stejně eliké kruhoé trjektorie Ks G, L,s H (obr. 17.), tomto bodě se dotýkjící, stejnoměrně probíhá. Rychlosti, kterými se kružnice G H posoují, nechť jsou poměru 1:. N zákldě tohoto ýtrného zákon sestrojíme sndno trjektorii A průsečíku křiek O, H. Konstrukce tečny poloměru křiosti proeden obr. 17. pro průsečík. Předeším byly sestrojeny bodu příslušící respekt, s křikmi Ks. LJS H shodné dráhy kruhoé K, L, pk byl zolen rychlost l' 1 tečně T K, rychlost sl tečně TL učiněn dle podmínky ron -^ ^1. Abychom tečnu TA sestrojili, sestrojíme body -\ ^- 1 respekt ku tečnám T K, T L ronoběžky J J tf, * 1^, které se bodě protínjí. Tento bod určuje s bodem rychlost bodu jkož i tečnu T A křik A. Dále sestrojíme body, ď se zřetelem n rychlosti ď;x, V i šerými se bod pohybuje respekt, křikách G, H n středy křiosti s G, s H těchto křiek ododíme dále rychlosti A K s x L n zákldě dříe uedených konstrukcí. Sestrojíce n zákldě těchto určených rychlostí body m L? obdržíme pomocí přímek těmito body respekt, edených T \\ T, T' H \\T H bod «;. Yztýčíme-li dále bodě kolmici " ku tečně TA edeme bodem ronoběžku ' k této tečně, pk obdržíme bod > jest-li konečně z bodu spu-

24 10:-* stíme n přímku kolmici s A, obdržíme průsečíku této přímky s normálou NA žádný střed křiosti křiky A. (Dokončení). O soustách orthogonálných ploch. Npsl Edurd Weyr. (Dokončení.) 3. Krásily theorem Dupinů, že se plochy tří orthogonálných soust protínjí e sých křioznčných črách, lze utořením differencilné ronice těchto čr přímou její integrcí následujícím způsobem dokázti. Buďte sousty orthogonlné dány ronicemi (1); oznčme literou G mtici - připomeňme, že pplikcí této o [x, y, z) mtice n soustu dx, dy, dz ptrně obdržíme soustu dg, du^ d, t. j. že G (dx, dy, dz) = (dç, d, d), že tedy (6) (dx, dy, dz) G _1 (dę, d\i, d). Ašk z ronosti 3 (Q, fr ) D(x, y, z) přímo ychází ronost ъ (ж, y, SÌ j P, 0, 0 0, M, 0 0, 0, N 9n Q1 Qs V,, I',, 3 f yl p- І Q ^ ftjm-, VjN- fí M- i N- ft 3 N-, Vł N-- 1,0, 01 0, 1, 0, 0, 0, 1