8 Mongeovo promítání

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8 Mongeovo promítání"

Transkript

1 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou třeb vyčíst řdu vlstností původního útvru. všk bod P v jedné průmětně je obrzem nekonečně mnoh bodů (totiž všech, které leží n promítcí přímce se stopníkem P ). Kvůli jednoznčnosti promítání se zvádí buď více promítání n jednu průmětnu, nebo jedno promítání n více průměten. K nejčstěji používným promítáním n dvě průmětny ptří Mongeov projekce. 8. Zobrzení bodu V prostoru 3 E nyní uvžujme dvě nvzájem kolmé průmětny π ; π (půdorysnu nárysnu), jejich průsečnici x = π π nzveme zákldnicí. Libovolný bod 3 = [ x; y; z] E promítneme kolmo do půdorysny kolmo do nárysny. Získáme tk dv průměty bodu - půdorys nárys. Promítcí přímky s ; s bodu při promítání do půdorysny resp. do nárysny jsou n sebe kolmé rovin σ, která je jimi určen, je kolmá n obě průmětny π; π, protože obshuje kolmice n obě tyto roviny. Přímky s ; s jsou různoběžné kolmé n zákldnici, kolmá n zákldnici je tedy i rovin σ s ; s.oznčíme-li = σ x, pk body ; leží n kolmici k zákldnici (podobně i body ; ). Při výše popsném promítání leží průměty bodů ve dvou různých rovinách nším cílem je zobrzit prostorový útvr v jedné rovině. Průmětnu π proto otočíme kolem zákldnice do o průmětny π. Použijeme tedy zobrzení R ( x;90 ), tj. otočíme kolem zákldnice o prvý úhel. Bod se přitom otočí do bodu, který rovněž nzveme půdorys bodu. Je zřejmé, že body ; ; leží n téže přímce kolmé k zákldnici. Uvžujme nopk průmětnu π v ní ležící zákldnici dv body ;, které leží n kolnici k zákldnici. Bod otočíme o prvý úhel okolo zákldnice (v opčném smyslu než v předchozím postupu) dostneme tk bod sestrojíme přímky s ; s procházející body ; kolmé n π ; π. Protože se jedná o různoběžky, mjí společný bod, který oznčme. 9

2 3 Výše uvedeným způsobem jsme sestrojili prosté zobrzení, které kždému bodu E ; π π. Jedná se tedy o bijekci jednoznčně přiřzuje uspořádnou dvojici bodů [ ] 3 M : E π π. Tuto bijekci nzýváme Mongeovým promítáním. Body ; nzýváme sdružené průměty bodu, kolmici, kterou určují, nzýváme ordinál. Velikosti úseček resp. jsou zřejmě rovny vzdálenosti bodu od průmětny π resp. π. Pro bod P π je speciálně P x, pro N π je N x. N připojeném obrázku jsou sestrojeny sdružené průměty bodů s různými polohmi vůči průmětnám. 30

3 8. Zobrzení přímky roviny. Jedn přímk: Průmětem přímky je podle odst. 3 kpt buď přímk, nebo bod. Půdorysný i nárysný stopník přímky má (jko kždý bod v Mongeově projekci) svůj půdorys nárys. Hovoříme pk npř. o půdorysu půdorysného stopníku přímky ( P ), nárysu půdorysného stopníku přímky ( P ), podobně pro nárysný stopník. N připojeném obrázku jsou sestrojeny průměty přímek s různými polohmi vůči průmětnám. Přímk, která je ilustrován prostorově, nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. Dále pltí: b π ; c x; d π ; e x. Vlstnosti průmětů dvou přímek jsou důsledkem odst. 3 kpt Rovnoběžky: Půdorysem nárysem dvou různých rovnoběžek jsou opět rovnoběžky (v jednom z těchto průmětů mohou splynout do jesdné přímky). 3. Různoběžky: Půdorysem nárysem dvou různoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů jsou sdružné průměty téhož bodu (průsečíku), nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým jediná přímk (to v přípdě, že různoběžky leží v promítcí rovině). 4. Mimoběžky: Půdorysem nárysem dvou mimoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů nejsou sdružné průměty téhož bodu, nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým dvě různé rovnoběžky (to v přípdě, že kždá z mimoběžek leží v promítcí rovině). 3

4 Rovin α má v Mongeově projekci dvě stopy půdorysnou p α nárysnou n α. Není-li tto rovin rovnoběžná se žádnou s průměten, jsou obě tyto stopy vlstní. N připojeném obrázku jsou sestrojeny některé roviny. Rovin α (která je znázorněn i prostorově) nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. V tom přípdě je α x = X α α α α rovněž p n = X. Dále pltí β π ; γ x ; δ π (její nárysná stop je nevlstní). 5. Přímk bod v rovině: Sestrojíme-li v rovině α libovolnou přímku, pk pro její půdorysný stopník P pltí P α součsně P π. Znmená to, že P p α. Podobně N n α. Tyto vlstnosti umožňují zrekonstruovt přímku ležící v rovině zdné svými stopmi n zákldě znlosti jednoho průmětu. Rovněž tk bod: známým průmětem (npř. ) proložíme příslušný průmět libovolné přímky (npř. ), která leží v dné rovině Zrekonstrujeme průmět chybějící (zde ) ordinálou tké chybějící průmět bodu (zde ) viz připojený obrázek. Bod tk leží n přímce, přímk v rovině α. Podle xiomu I7 tedy bod leží v rovině α. 3

5 6. Hlvní přímky: Výše uvedeným způsobem se všk postupuje většinou jen v přípdě roviny rovnoběžné se zákldnicí. V přípdě α x se hojně využívá hlvních přímek. Kždým bodem α prochází právě jedn přímk, která leží v rovině α je součsně rovnoběžná s půdorysnou - hlvní přímk první osnovy I h α právě jedn přímk roviny α rovnoběžná s nárysnou - hlvní přímk druhé osnovy II h α. Hlvní přímk první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou stopou, podle je tedy její půdosys rovnoběžný s půdorysem půdorysné stopy. Z nlogického důvodu je nárys hlvní přímky druhé osnovy rovnoběžný s nárysem nárysné stopy. N připojeném obrázku je rekonstruován bod ležící v rovině α pomocí hlvní přímky první osnovy. Zcel nlogicky lze použít též hlvní přímku druhé osnovy. Nárys hlvní přímky druhé osnovy je rovnoběžný s nárysnou stopou, její půdorys se zákldnicí. 7. Spádové přímky: Spádová přímk první osnovy je kolmá k půdorysné stopě roviny. Půdorysná stop roviny je rovnoběžná s půdorysnou (dokonce v ní leží), podle je tedy půdorys spádové přímky první osnovy kolmý n půdorysnou stopu. nlogicky nárys spádové přímky druhé osnovy je kolmý n nárysnou stopu roviny. 8. Rovin určen dvěm přímkmi, třemi body: Je-li rovin určen dvěm přímkmi, sestrojíme jejich stopníky, kterými musejí procházet stopy roviny. N připojeném obrázku jsou sestrojeny půdorysné stopníky přímek ; b, nárysný stopník stčí pk jen jeden. Je-li rovin určen třemi svými body, vezmeme libovolné dvě strny tkto dného trojúhelník plikujeme předchozí konstrukci. 33

6 8. 3 Zákldní polohové úlohy Polohové úlohy, jk sám název npovídá, řeší vzájemnou polohu geometrických útvrů. K zákldním polohovým úlohám ptří: ) Dným bodem vést k dné přímce rovnoběžku b) Dným bodem vést k dné rovině rovnoběžnou rovinu c) Sestrojení průsečnice dvou dných rovin d) Sestrojení průsečíku dné přímky s dnou rovinou ) Dným bodem vést přímku rovnoběžnou s dnou přímkou b : Promítání do půdorysny i nárysny je rovnoběžné. Průmětem rovnoběžek jsou tedy podle.6.4. dv body, nebo dvě rovnoběžky. Průmětem přímky je bod právě tehdy, jedná-li se o promítcí přímku. Půdorysem dvojice přímek kolmých n půdorysnu je tedy dvojice bodů, jejich nárysem pk dvojice kolmic n 7zákldnici. V přípdě kolmic n nárysnu (tento přípd je znázorněn n dlším obrázku vlevo) je nárysem dvojice bodů, půdorysem dvojice kolmic n zákldnici. V přípdě, že přímk má vzhledem k průmětnám obecnou polohu, je půdorysem i nárysem dvojice rovnoběžek (uprostřed). b) Dným bodem vést rovinu α rovnoběžnou s dnou rovinou β : Průsečnice dvojice rovnoběžných rovin s třetí rovinou jsou rovnoběžné. Jestliže tedy pro roviny α; β je α β I α I β α β II α II β π α β π, je tké p p h h ; n n h h. Toho využijeme při řešení úlohy: Dným bodem vedeme I α β h h p, nárysem N jejího nárysného stopníku prochází nárys nárysné stopy hledné roviny (viz připojený obrázek vprvo). c) Nlézt průsečnici r dných dvou rovin α ; β : Nejčstěji ncházíme stopníky průsečnice r α β r α β využíváme skutečnosti, že P p p ; N n n. Je-li některý stopník nepřístupný, využijeme rovinu λ rovnoběžnou s některou z průměten. T protne roviny α ; β : v hlvních přímkách průsečík těchto hlvních přímek leží n hledné průsečnici. Jsou-li nepřístupné ob stopníky, prokládáme podobným způsobem dvě roviny. N připojeném obrázku je ilustrován nepřístupný půdorysný stopník sestrojení průsečnice pomocí roviny λ π 34

7 . d) Nlézt průsečík R dné přímky s dnou rovinou α : Metod promítcí roviny: Přímkou proložíme promítcí rovinu σ sestrojíme její průsečnici r s dnou rovinou α. T protne přímku v hledné průsečíku R. Metod krycí přímky: Půdorysná stop p σ promítcí roviny σ splyne s půdorysem dné přímky rovněž s půdorysem r přímky r. Proto lze stejnou konstrukci zdůvodnit tké tzv. krycí přímkou: Sestrojíme přímku r, jejíž půdorys r se kryje s půdorysem přímky tk, by přímk r ležel v rovině α. Průsečík R přímek ; r je hledný průsečík přímky s rovinou α. Přímku lze nlogickým způsobem pokrýt i v nárysu. N připojeném obrázku je ilustrován promítcí rovin kolmá n půdorysnu pokrytí přímky v půdorysu. Vprvo je znázorněn přípd, kdy rovin není zdán stopmi, le třemi body. Je zvolen přímk r, jejíž půdorys se kryje s půdorysem přímky. Půdorys r protíná strny B ; BC v bodech K; L. Protože r α BC, musí být K B, L BC. 35

8 8. 4 Zákldní metrické úlohy Z kpitoly. 3. víme, že měření úseček úhlů bylo umožněno zvedením shodnosti. Metrické úlohy jsou tedy úlohy, ve kterých využíváme právě xiomy shodnosti. ť už přímo měření úseček úhlů není ničím jiným, než porovnáváním úsečky s jednotkovou úsečkou, popř. úhlu s jednotkovým úhlem, nebo nepřímo: xiomy shodnosti potřebujeme npř. při práci s prvým úhlem (shodnost je totiž skryt v jeho definici viz def ). K zákldním metrickým úlohám ptří: ) Dným bodem vést přímku kolmou k dné rovině b) Dným bodem vést rovinu kolmou k dné přímce c) Sklápění promítcí roviny d) Otáčení obecné roviny ) Dným bodem K sestrojit kolmici k k dné rovině α : Má-li být k α, pk přímk k I musí být kolmá ke všem přímkám roviny α. Protože je speciálně k h α součsně I h α I π, je k h α speciálně pk k p α II. Z téhož důvodu je k h α k n α (viz obrázek vlevo). 36

9 b) Dným bodem K sestrojit rovinu α kolmou k dné přímce k : Využijeme stejných vlstností jko v předchozím přípdě: Bodem K vedeme buď I h α ( I h α k), nebo II h α ( II h α k). Nárys n α nárysné stopy n α roviny α pk prochází nárysem nárysného stopníku přímky I h α (půdorys p α půdprysné stopy p α roviny α prochází půdorysem půdorysného stopníku přímky II h α ). Průměty stop roviny α jsou v obou přípdech kolmé k příslušným průmětům přímky k (viz obrázek vprvo). c) Sklápění promítcí roviny: používáme při konstrukci velikostí úseček odchylek přímek rovin od průměten. Kolmé promítání obecně nezchovává velikosti úseček ni úhlů. Tyto velikosti se zchovjí pouze v přípdě, leží-li úsečk či úhel v rovině rovnoběžné s průmětnou (nebo speciálně přímo v průmětně). Mějme dány body B ; sestrojme velikost úsečky B, odchylky ϕ ; ϕ od průměten. Uvžujme promítcí rovinu σ přímky B, která je kolmá n půdorysnu, otočme ji o kolem půdorysu přímky o prvý úhel, tj. zobrzme ji ve zobrzení R ( ;90 ). sestrojme B B = BB = b ; body [ ];[ ] [ ] [ ] B tkto: [ ] ; [ ] = = ; [ ] z z B. B. viz připojený obrázek vlevo. Díky shodnostem trojúhelníků P P[ ] ; PBB P[ B] B je B = [ ][ B] ; [ ] P = P = ϕ. Sklopení přímky do půdorysny je pk zřejmé ze situce vprvo. Hledná velikost B úsečky B je rovn velikosti [ ][ B ] úsečky [ ][ ] B. Odchylk přímky od půdorysny je pk rovn úhlu ϕ. Zcel nlogicky provedeme sklopení do nárysny. Zde je [ ][ ] [ ]'[ ] B = B = B ' odchylk přímky od nárysny je rovn úhlu ψ. d) Otáčení obecné roviny: používáme při řešení konstrukčních úloh v obecné rovině (viz následující kpitol). N připojeném obrázku je sestrojeno otočení ( ) bodu α do půdorysny kolem půdorysné stopy p α roviny α. Roviny π; α dvojice bodů α ; ( ) π určují osovou finitu mezi rovinmi, jejíž průmět do půdorysny je podle (dohledt) osovou finitou v půdorysně. Tuto finitu určuje půdorys půdorysné stopy p α dvojice. K otáčení dlších bodů roviny α lze tedy použít této finity. odpovídjících si bodů ( ) ; 37

10 8. 5 Plnimetrické úlohy v obecné rovině Příkld. Čtverec v obecné rovině: Sestrojme čtverec BCD v rovině α, je-li rovin dán svými stopmi je znám půdorys úhlopříčky čtverce. Řešení: Jedná se o plnimetrickou úlohu, kterou je třeb řešit v rovině kolmé ke směru promítání rovinu α je tedy třeb otočit buď do půdorysny, nebo do nárysny my budeme otáčet do půdorysny. Pomocí hlvních přímek nejdříve doplníme chybějící nárys úhlopříčky. Dále otočíme bod nebo C do půdorysny v nšem přípdě je otočen bod (poloměr otáčení r zjištěn sklopením bodu ). Dále využijeme skutečnosti, že přímk ( ) definuje směr osové finity mezi rovinmi α ; π, jejímž průmětem do α roviny π je osová finit f p ; ; ( ) ( ) s osou v půdorysné stopě p α roviny α dvojicí odpovídjících si bodů ; ( ). V této finitě sestrojíme bodu C jeho obrz ( C ). Nd úhlopříčkou ( ) ( C ) nyní sestrojíme čtverec ( )( B)( C)( D ). Půdorys BCD hledného čtverce pk setrojíme pomocí finity f : ( B)( D) BD. Nkonec pomocí hlvních přímek doplníme nárys. Příkld. Kružnice v obecné rovině: k S; r v dné rovině α. Sestrojme kružnici ( ) 38

11 Řešení: Předpokládejme, že rovin je dány svými stopmi. V tom přípdě bývá střed S zdán jedním ze svých průmětů, druhý je třeb sestrojit (viz 4..5 resp. 4..6). Rovinu α všk v tomto přípdě není třeb otáčet. Půdorysem i nárysem hledné kružnice je elips, jejíž hlvní os leží n hlvní přímce první resp. druhé osnovy má délku r. Oznčíme-li koncové body příslušného průměru v půdorysu Q; R (v nárysu U ; V ) z podmínky QR ; α ( UV ; α ) sestrojíme nárysy Q ; R (půdorysy U; V ). Půdorys (nárys) kružnice pk sestrojíme jko elipsu s hlvní osou QR ( UV ), která prochází body U ; V ( Q; R ) v obou přípdech použijeme proužkovou konstrukci. 3 Příkld: V rovině α jsou dány body CS. ; Sestrojte rovnostrnný trojúhelník BC ; ; ležící v α tk, že úsečk CS je jeho výškou. Tomuto trojúhelníku opište kružnici. Řešení: spočívá ve správné posloupnost zákldních úloh tk, jk byly uvedeny v kpitolách Zdnou rovinu je třeb pomocí zdných bodů otočit do některé z průměten. V ní vyřešíme zdnou plnimetrickou úlohu b řešení pk otpčíme zpět do zdné roviny. Předpokládejme, že rovin α je opět dán svými stopmi body CS ; jedním ze svých průmětů. Nejdříve je třeb sestrojit chybějící průměty bodů CS, ; bychom mohli otáčet podle příkldu viz N připojeném obrázku jsme otáčeli do půdorysny, to konkrétně bod S, k otočení bodu C pk byl využit osová finit. B C opíšeme mu V tomto otočení úlohu vyřešíme, tj. sestrojíme rovnostrnný ( )( )( ) kružnici ( k ). Tto úloh je velmi jednoduchá, proto jsme vynechli body poždovné úlohou Trojúhelník otočíme zpět do půdorysny sestrojíme chybějící průmět trojúhelník. Dále otočíme do půdorysny střed ( O ) kružnice opsné její půdors resp. nárys sestrojíme dle předchozího příkldu Některé dlší úlohy Příkld. Je dán bod, který rotuje kolem dné přímky. Sestrojte jeho dráhu. Řešení: Dráhou bodu bude kružnice k, která leží v rovině α ; α. Je tedy třeb sestrojit tuto rovinu, dále bod O α - ten je středem hledné kružnice, pro její poloměr pltí r = O. Dlší postup viz příkld. Dráh bodu se v nšem přípdě dotýká půdorysny v bodě T (půdorys tohoto bodu leží n půdorysné stopě roviny α, nárys n zákldnici), což je ovšem náhod. V podobných úlohách je žádoucí vyřešit i viditelnost. Průsečíky průmětů přímky kružnice nejsou průsečíky skutečných útvrů. N obrázku jsou vyznčeny body T k; U, jejichž půdorysy splynou. Z nárysu je všk zřejmé, že bod 39

12 U má větší z -ovou souřdnici, v půdorysu bude tedy viditelný právě bod U. Viditelnost v nárysu určíme nlogicky. Příkld. Jsou dány trojúhelníky BC ; KLM. Sestrojte jejich zásek. Řešení: Zásek sestrojíme tk, že nlezneme průsečíky dvou strn jednoho trojúhelník s rovinou trojúhelník druhého. Tím prkticky jen dvkrát zopkujeme zákldní úlohu 4.3.d. Viditelnost v půdorysu i v nárysu je řešen pomocí dvou bodů, jejichž půdorysy resp. nárysy splývjí. N prřipojeném obrázku splývjí půdorysy bodů G KL H BC. V půdorysu bude vidět ten z nich, který má větší z-ovou souřdnici. Tu zjistíme z nárysů těchto bodů. Je H G zřejmě z > z, v půdorysu je tedy vidět bod H BC. Z toho je zřejmá i viditelnost osttních bodů. Pro řešení viditelnosti v nárysu jsme zvolili body I B J KL. V nárysu bude vidět ten z nich, který má větší y-ovou souřdnici, tj. bod J (nárysy bodů I; J jsou z nedosttku míst n obrázku bez indexů). Viditelnost dlších bodů je pk opět zřejmá. 40

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102 Mongeova projekce KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS 2008 1 / 102 Obsah 1 Úvod 2 Zobrazení bodu 3 Zobrazení přímky 4 Určení roviny 5 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem:

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem: Mongeovo promítání základní úlohy polohové (bod, přímka, rovina, bod v rovině, hlavní přímky roviny, rovina daná různoběžkami, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou) Budeme pracovat v rovině nejlépe

Více

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině Mongeovo zobrazení Bod a přímka v rovině Přímka v rovině Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka leží v rovině; Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny Mongeovo zobrazení Konstrukce stop roviny Způsoby určení roviny Způsoby určení roviny při provádění konstrukcí v Mongeově zobrazení je výhodné pracovat s rovinami, které náme určeny pomocí stop; Způsoby

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy Lineární perspektiva Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.) Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

Mongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek

Mongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek Mongeovo zobrazení Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné totožné a = b Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

9.5. Kolmost přímek a rovin

9.5. Kolmost přímek a rovin 9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této

Více

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

11. Rotační a šroubové plochy

11. Rotační a šroubové plochy Rotační a šroubové plochy ÚM FSI VU v Brně Studijní text. Rotační a šroubové plochy. Rotační plochy Rotační plochy jsou plochy, které lze získat rotačním šablonováním křivky. Jejich rovnice je tedy tvaru

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY INTERAKTIVNÍ ÚLOHY MONGEOVA PROMÍTÁNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Petra Konjatová Učitelství pro 2. stupeň ZŠ,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení Výfučtení: Geometrické útvry zorzení V geometrii očs nrzíme n to, že některé geometrické orzce vykzují jistou symetrii. Popřípdě můžeme slyšet, že nějké dv útvry jsou si podoné. V tomto Výfučtení udeme

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY

NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY 1. PERSPEKTIVNÍ KRABIČKA Perspektivní krabička je krabička, většinou bez víka, s malým otvorem na jedné straně, uvnitř pomalovaná různými obrazci. Když se do krabičky

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta: Zborcené plochy Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- becném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 Recenzenti: doc Ing Ld Vňtová,

Více

Aplikace deskriptivní geometrie

Aplikace deskriptivní geometrie INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013 Aplikace deskriptivní geometrie

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více