8 Mongeovo promítání

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8 Mongeovo promítání"

Transkript

1 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou třeb vyčíst řdu vlstností původního útvru. všk bod P v jedné průmětně je obrzem nekonečně mnoh bodů (totiž všech, které leží n promítcí přímce se stopníkem P ). Kvůli jednoznčnosti promítání se zvádí buď více promítání n jednu průmětnu, nebo jedno promítání n více průměten. K nejčstěji používným promítáním n dvě průmětny ptří Mongeov projekce. 8. Zobrzení bodu V prostoru 3 E nyní uvžujme dvě nvzájem kolmé průmětny π ; π (půdorysnu nárysnu), jejich průsečnici x = π π nzveme zákldnicí. Libovolný bod 3 = [ x; y; z] E promítneme kolmo do půdorysny kolmo do nárysny. Získáme tk dv průměty bodu - půdorys nárys. Promítcí přímky s ; s bodu při promítání do půdorysny resp. do nárysny jsou n sebe kolmé rovin σ, která je jimi určen, je kolmá n obě průmětny π; π, protože obshuje kolmice n obě tyto roviny. Přímky s ; s jsou různoběžné kolmé n zákldnici, kolmá n zákldnici je tedy i rovin σ s ; s.oznčíme-li = σ x, pk body ; leží n kolmici k zákldnici (podobně i body ; ). Při výše popsném promítání leží průměty bodů ve dvou různých rovinách nším cílem je zobrzit prostorový útvr v jedné rovině. Průmětnu π proto otočíme kolem zákldnice do o průmětny π. Použijeme tedy zobrzení R ( x;90 ), tj. otočíme kolem zákldnice o prvý úhel. Bod se přitom otočí do bodu, který rovněž nzveme půdorys bodu. Je zřejmé, že body ; ; leží n téže přímce kolmé k zákldnici. Uvžujme nopk průmětnu π v ní ležící zákldnici dv body ;, které leží n kolnici k zákldnici. Bod otočíme o prvý úhel okolo zákldnice (v opčném smyslu než v předchozím postupu) dostneme tk bod sestrojíme přímky s ; s procházející body ; kolmé n π ; π. Protože se jedná o různoběžky, mjí společný bod, který oznčme. 9

2 3 Výše uvedeným způsobem jsme sestrojili prosté zobrzení, které kždému bodu E ; π π. Jedná se tedy o bijekci jednoznčně přiřzuje uspořádnou dvojici bodů [ ] 3 M : E π π. Tuto bijekci nzýváme Mongeovým promítáním. Body ; nzýváme sdružené průměty bodu, kolmici, kterou určují, nzýváme ordinál. Velikosti úseček resp. jsou zřejmě rovny vzdálenosti bodu od průmětny π resp. π. Pro bod P π je speciálně P x, pro N π je N x. N připojeném obrázku jsou sestrojeny sdružené průměty bodů s různými polohmi vůči průmětnám. 30

3 8. Zobrzení přímky roviny. Jedn přímk: Průmětem přímky je podle odst. 3 kpt buď přímk, nebo bod. Půdorysný i nárysný stopník přímky má (jko kždý bod v Mongeově projekci) svůj půdorys nárys. Hovoříme pk npř. o půdorysu půdorysného stopníku přímky ( P ), nárysu půdorysného stopníku přímky ( P ), podobně pro nárysný stopník. N připojeném obrázku jsou sestrojeny průměty přímek s různými polohmi vůči průmětnám. Přímk, která je ilustrován prostorově, nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. Dále pltí: b π ; c x; d π ; e x. Vlstnosti průmětů dvou přímek jsou důsledkem odst. 3 kpt Rovnoběžky: Půdorysem nárysem dvou různých rovnoběžek jsou opět rovnoběžky (v jednom z těchto průmětů mohou splynout do jesdné přímky). 3. Různoběžky: Půdorysem nárysem dvou různoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů jsou sdružné průměty téhož bodu (průsečíku), nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým jediná přímk (to v přípdě, že různoběžky leží v promítcí rovině). 4. Mimoběžky: Půdorysem nárysem dvou mimoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů nejsou sdružné průměty téhož bodu, nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým dvě různé rovnoběžky (to v přípdě, že kždá z mimoběžek leží v promítcí rovině). 3

4 Rovin α má v Mongeově projekci dvě stopy půdorysnou p α nárysnou n α. Není-li tto rovin rovnoběžná se žádnou s průměten, jsou obě tyto stopy vlstní. N připojeném obrázku jsou sestrojeny některé roviny. Rovin α (která je znázorněn i prostorově) nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. V tom přípdě je α x = X α α α α rovněž p n = X. Dále pltí β π ; γ x ; δ π (její nárysná stop je nevlstní). 5. Přímk bod v rovině: Sestrojíme-li v rovině α libovolnou přímku, pk pro její půdorysný stopník P pltí P α součsně P π. Znmená to, že P p α. Podobně N n α. Tyto vlstnosti umožňují zrekonstruovt přímku ležící v rovině zdné svými stopmi n zákldě znlosti jednoho průmětu. Rovněž tk bod: známým průmětem (npř. ) proložíme příslušný průmět libovolné přímky (npř. ), která leží v dné rovině Zrekonstrujeme průmět chybějící (zde ) ordinálou tké chybějící průmět bodu (zde ) viz připojený obrázek. Bod tk leží n přímce, přímk v rovině α. Podle xiomu I7 tedy bod leží v rovině α. 3

5 6. Hlvní přímky: Výše uvedeným způsobem se všk postupuje většinou jen v přípdě roviny rovnoběžné se zákldnicí. V přípdě α x se hojně využívá hlvních přímek. Kždým bodem α prochází právě jedn přímk, která leží v rovině α je součsně rovnoběžná s půdorysnou - hlvní přímk první osnovy I h α právě jedn přímk roviny α rovnoběžná s nárysnou - hlvní přímk druhé osnovy II h α. Hlvní přímk první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou stopou, podle je tedy její půdosys rovnoběžný s půdorysem půdorysné stopy. Z nlogického důvodu je nárys hlvní přímky druhé osnovy rovnoběžný s nárysem nárysné stopy. N připojeném obrázku je rekonstruován bod ležící v rovině α pomocí hlvní přímky první osnovy. Zcel nlogicky lze použít též hlvní přímku druhé osnovy. Nárys hlvní přímky druhé osnovy je rovnoběžný s nárysnou stopou, její půdorys se zákldnicí. 7. Spádové přímky: Spádová přímk první osnovy je kolmá k půdorysné stopě roviny. Půdorysná stop roviny je rovnoběžná s půdorysnou (dokonce v ní leží), podle je tedy půdorys spádové přímky první osnovy kolmý n půdorysnou stopu. nlogicky nárys spádové přímky druhé osnovy je kolmý n nárysnou stopu roviny. 8. Rovin určen dvěm přímkmi, třemi body: Je-li rovin určen dvěm přímkmi, sestrojíme jejich stopníky, kterými musejí procházet stopy roviny. N připojeném obrázku jsou sestrojeny půdorysné stopníky přímek ; b, nárysný stopník stčí pk jen jeden. Je-li rovin určen třemi svými body, vezmeme libovolné dvě strny tkto dného trojúhelník plikujeme předchozí konstrukci. 33

6 8. 3 Zákldní polohové úlohy Polohové úlohy, jk sám název npovídá, řeší vzájemnou polohu geometrických útvrů. K zákldním polohovým úlohám ptří: ) Dným bodem vést k dné přímce rovnoběžku b) Dným bodem vést k dné rovině rovnoběžnou rovinu c) Sestrojení průsečnice dvou dných rovin d) Sestrojení průsečíku dné přímky s dnou rovinou ) Dným bodem vést přímku rovnoběžnou s dnou přímkou b : Promítání do půdorysny i nárysny je rovnoběžné. Průmětem rovnoběžek jsou tedy podle.6.4. dv body, nebo dvě rovnoběžky. Průmětem přímky je bod právě tehdy, jedná-li se o promítcí přímku. Půdorysem dvojice přímek kolmých n půdorysnu je tedy dvojice bodů, jejich nárysem pk dvojice kolmic n 7zákldnici. V přípdě kolmic n nárysnu (tento přípd je znázorněn n dlším obrázku vlevo) je nárysem dvojice bodů, půdorysem dvojice kolmic n zákldnici. V přípdě, že přímk má vzhledem k průmětnám obecnou polohu, je půdorysem i nárysem dvojice rovnoběžek (uprostřed). b) Dným bodem vést rovinu α rovnoběžnou s dnou rovinou β : Průsečnice dvojice rovnoběžných rovin s třetí rovinou jsou rovnoběžné. Jestliže tedy pro roviny α; β je α β I α I β α β II α II β π α β π, je tké p p h h ; n n h h. Toho využijeme při řešení úlohy: Dným bodem vedeme I α β h h p, nárysem N jejího nárysného stopníku prochází nárys nárysné stopy hledné roviny (viz připojený obrázek vprvo). c) Nlézt průsečnici r dných dvou rovin α ; β : Nejčstěji ncházíme stopníky průsečnice r α β r α β využíváme skutečnosti, že P p p ; N n n. Je-li některý stopník nepřístupný, využijeme rovinu λ rovnoběžnou s některou z průměten. T protne roviny α ; β : v hlvních přímkách průsečík těchto hlvních přímek leží n hledné průsečnici. Jsou-li nepřístupné ob stopníky, prokládáme podobným způsobem dvě roviny. N připojeném obrázku je ilustrován nepřístupný půdorysný stopník sestrojení průsečnice pomocí roviny λ π 34

7 . d) Nlézt průsečík R dné přímky s dnou rovinou α : Metod promítcí roviny: Přímkou proložíme promítcí rovinu σ sestrojíme její průsečnici r s dnou rovinou α. T protne přímku v hledné průsečíku R. Metod krycí přímky: Půdorysná stop p σ promítcí roviny σ splyne s půdorysem dné přímky rovněž s půdorysem r přímky r. Proto lze stejnou konstrukci zdůvodnit tké tzv. krycí přímkou: Sestrojíme přímku r, jejíž půdorys r se kryje s půdorysem přímky tk, by přímk r ležel v rovině α. Průsečík R přímek ; r je hledný průsečík přímky s rovinou α. Přímku lze nlogickým způsobem pokrýt i v nárysu. N připojeném obrázku je ilustrován promítcí rovin kolmá n půdorysnu pokrytí přímky v půdorysu. Vprvo je znázorněn přípd, kdy rovin není zdán stopmi, le třemi body. Je zvolen přímk r, jejíž půdorys se kryje s půdorysem přímky. Půdorys r protíná strny B ; BC v bodech K; L. Protože r α BC, musí být K B, L BC. 35

8 8. 4 Zákldní metrické úlohy Z kpitoly. 3. víme, že měření úseček úhlů bylo umožněno zvedením shodnosti. Metrické úlohy jsou tedy úlohy, ve kterých využíváme právě xiomy shodnosti. ť už přímo měření úseček úhlů není ničím jiným, než porovnáváním úsečky s jednotkovou úsečkou, popř. úhlu s jednotkovým úhlem, nebo nepřímo: xiomy shodnosti potřebujeme npř. při práci s prvým úhlem (shodnost je totiž skryt v jeho definici viz def ). K zákldním metrickým úlohám ptří: ) Dným bodem vést přímku kolmou k dné rovině b) Dným bodem vést rovinu kolmou k dné přímce c) Sklápění promítcí roviny d) Otáčení obecné roviny ) Dným bodem K sestrojit kolmici k k dné rovině α : Má-li být k α, pk přímk k I musí být kolmá ke všem přímkám roviny α. Protože je speciálně k h α součsně I h α I π, je k h α speciálně pk k p α II. Z téhož důvodu je k h α k n α (viz obrázek vlevo). 36

9 b) Dným bodem K sestrojit rovinu α kolmou k dné přímce k : Využijeme stejných vlstností jko v předchozím přípdě: Bodem K vedeme buď I h α ( I h α k), nebo II h α ( II h α k). Nárys n α nárysné stopy n α roviny α pk prochází nárysem nárysného stopníku přímky I h α (půdorys p α půdprysné stopy p α roviny α prochází půdorysem půdorysného stopníku přímky II h α ). Průměty stop roviny α jsou v obou přípdech kolmé k příslušným průmětům přímky k (viz obrázek vprvo). c) Sklápění promítcí roviny: používáme při konstrukci velikostí úseček odchylek přímek rovin od průměten. Kolmé promítání obecně nezchovává velikosti úseček ni úhlů. Tyto velikosti se zchovjí pouze v přípdě, leží-li úsečk či úhel v rovině rovnoběžné s průmětnou (nebo speciálně přímo v průmětně). Mějme dány body B ; sestrojme velikost úsečky B, odchylky ϕ ; ϕ od průměten. Uvžujme promítcí rovinu σ přímky B, která je kolmá n půdorysnu, otočme ji o kolem půdorysu přímky o prvý úhel, tj. zobrzme ji ve zobrzení R ( ;90 ). sestrojme B B = BB = b ; body [ ];[ ] [ ] [ ] B tkto: [ ] ; [ ] = = ; [ ] z z B. B. viz připojený obrázek vlevo. Díky shodnostem trojúhelníků P P[ ] ; PBB P[ B] B je B = [ ][ B] ; [ ] P = P = ϕ. Sklopení přímky do půdorysny je pk zřejmé ze situce vprvo. Hledná velikost B úsečky B je rovn velikosti [ ][ B ] úsečky [ ][ ] B. Odchylk přímky od půdorysny je pk rovn úhlu ϕ. Zcel nlogicky provedeme sklopení do nárysny. Zde je [ ][ ] [ ]'[ ] B = B = B ' odchylk přímky od nárysny je rovn úhlu ψ. d) Otáčení obecné roviny: používáme při řešení konstrukčních úloh v obecné rovině (viz následující kpitol). N připojeném obrázku je sestrojeno otočení ( ) bodu α do půdorysny kolem půdorysné stopy p α roviny α. Roviny π; α dvojice bodů α ; ( ) π určují osovou finitu mezi rovinmi, jejíž průmět do půdorysny je podle (dohledt) osovou finitou v půdorysně. Tuto finitu určuje půdorys půdorysné stopy p α dvojice. K otáčení dlších bodů roviny α lze tedy použít této finity. odpovídjících si bodů ( ) ; 37

10 8. 5 Plnimetrické úlohy v obecné rovině Příkld. Čtverec v obecné rovině: Sestrojme čtverec BCD v rovině α, je-li rovin dán svými stopmi je znám půdorys úhlopříčky čtverce. Řešení: Jedná se o plnimetrickou úlohu, kterou je třeb řešit v rovině kolmé ke směru promítání rovinu α je tedy třeb otočit buď do půdorysny, nebo do nárysny my budeme otáčet do půdorysny. Pomocí hlvních přímek nejdříve doplníme chybějící nárys úhlopříčky. Dále otočíme bod nebo C do půdorysny v nšem přípdě je otočen bod (poloměr otáčení r zjištěn sklopením bodu ). Dále využijeme skutečnosti, že přímk ( ) definuje směr osové finity mezi rovinmi α ; π, jejímž průmětem do α roviny π je osová finit f p ; ; ( ) ( ) s osou v půdorysné stopě p α roviny α dvojicí odpovídjících si bodů ; ( ). V této finitě sestrojíme bodu C jeho obrz ( C ). Nd úhlopříčkou ( ) ( C ) nyní sestrojíme čtverec ( )( B)( C)( D ). Půdorys BCD hledného čtverce pk setrojíme pomocí finity f : ( B)( D) BD. Nkonec pomocí hlvních přímek doplníme nárys. Příkld. Kružnice v obecné rovině: k S; r v dné rovině α. Sestrojme kružnici ( ) 38

11 Řešení: Předpokládejme, že rovin je dány svými stopmi. V tom přípdě bývá střed S zdán jedním ze svých průmětů, druhý je třeb sestrojit (viz 4..5 resp. 4..6). Rovinu α všk v tomto přípdě není třeb otáčet. Půdorysem i nárysem hledné kružnice je elips, jejíž hlvní os leží n hlvní přímce první resp. druhé osnovy má délku r. Oznčíme-li koncové body příslušného průměru v půdorysu Q; R (v nárysu U ; V ) z podmínky QR ; α ( UV ; α ) sestrojíme nárysy Q ; R (půdorysy U; V ). Půdorys (nárys) kružnice pk sestrojíme jko elipsu s hlvní osou QR ( UV ), která prochází body U ; V ( Q; R ) v obou přípdech použijeme proužkovou konstrukci. 3 Příkld: V rovině α jsou dány body CS. ; Sestrojte rovnostrnný trojúhelník BC ; ; ležící v α tk, že úsečk CS je jeho výškou. Tomuto trojúhelníku opište kružnici. Řešení: spočívá ve správné posloupnost zákldních úloh tk, jk byly uvedeny v kpitolách Zdnou rovinu je třeb pomocí zdných bodů otočit do některé z průměten. V ní vyřešíme zdnou plnimetrickou úlohu b řešení pk otpčíme zpět do zdné roviny. Předpokládejme, že rovin α je opět dán svými stopmi body CS ; jedním ze svých průmětů. Nejdříve je třeb sestrojit chybějící průměty bodů CS, ; bychom mohli otáčet podle příkldu viz N připojeném obrázku jsme otáčeli do půdorysny, to konkrétně bod S, k otočení bodu C pk byl využit osová finit. B C opíšeme mu V tomto otočení úlohu vyřešíme, tj. sestrojíme rovnostrnný ( )( )( ) kružnici ( k ). Tto úloh je velmi jednoduchá, proto jsme vynechli body poždovné úlohou Trojúhelník otočíme zpět do půdorysny sestrojíme chybějící průmět trojúhelník. Dále otočíme do půdorysny střed ( O ) kružnice opsné její půdors resp. nárys sestrojíme dle předchozího příkldu Některé dlší úlohy Příkld. Je dán bod, který rotuje kolem dné přímky. Sestrojte jeho dráhu. Řešení: Dráhou bodu bude kružnice k, která leží v rovině α ; α. Je tedy třeb sestrojit tuto rovinu, dále bod O α - ten je středem hledné kružnice, pro její poloměr pltí r = O. Dlší postup viz příkld. Dráh bodu se v nšem přípdě dotýká půdorysny v bodě T (půdorys tohoto bodu leží n půdorysné stopě roviny α, nárys n zákldnici), což je ovšem náhod. V podobných úlohách je žádoucí vyřešit i viditelnost. Průsečíky průmětů přímky kružnice nejsou průsečíky skutečných útvrů. N obrázku jsou vyznčeny body T k; U, jejichž půdorysy splynou. Z nárysu je všk zřejmé, že bod 39

12 U má větší z -ovou souřdnici, v půdorysu bude tedy viditelný právě bod U. Viditelnost v nárysu určíme nlogicky. Příkld. Jsou dány trojúhelníky BC ; KLM. Sestrojte jejich zásek. Řešení: Zásek sestrojíme tk, že nlezneme průsečíky dvou strn jednoho trojúhelník s rovinou trojúhelník druhého. Tím prkticky jen dvkrát zopkujeme zákldní úlohu 4.3.d. Viditelnost v půdorysu i v nárysu je řešen pomocí dvou bodů, jejichž půdorysy resp. nárysy splývjí. N prřipojeném obrázku splývjí půdorysy bodů G KL H BC. V půdorysu bude vidět ten z nich, který má větší z-ovou souřdnici. Tu zjistíme z nárysů těchto bodů. Je H G zřejmě z > z, v půdorysu je tedy vidět bod H BC. Z toho je zřejmá i viditelnost osttních bodů. Pro řešení viditelnosti v nárysu jsme zvolili body I B J KL. V nárysu bude vidět ten z nich, který má větší y-ovou souřdnici, tj. bod J (nárysy bodů I; J jsou z nedosttku míst n obrázku bez indexů). Viditelnost dlších bodů je pk opět zřejmá. 40

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102 Mongeova projekce KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS 2008 1 / 102 Obsah 1 Úvod 2 Zobrazení bodu 3 Zobrazení přímky 4 Určení roviny 5 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou

Více

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60 Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;

Více

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

AXONOMETRIE - 2. část

AXONOMETRIE - 2. část AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

ANALYTICKÁ GEOMETRIE Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH

Více

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE. Mgr. Petra Pirklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budova G, 4. patro

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE. Mgr. Petra Pirklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budova G, 4. patro KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Mg. Pet Piklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budov G, 4. pto SYLBUS. Mongeovo pomítání.. nltická geometie v E 3. 3. Vektoová funkce jedné eálné poměnné. Křivk. 4. Šoubovice - konstuktivní

Více

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem:

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem: Mongeovo promítání základní úlohy polohové (bod, přímka, rovina, bod v rovině, hlavní přímky roviny, rovina daná různoběžkami, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou) Budeme pracovat v rovině nejlépe

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině Mongeovo zobrazení Bod a přímka v rovině Přímka v rovině Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka leží v rovině; Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka

Více

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

3.1.3 Vzájemná poloha přímek 3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY

OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY 1. Základní konstrukce na rotačních plochách, tečné roviny a řezy rotačních ploch. Rotační plochy vznikají rotačním pohybem kolem osy. Máme-li v prostoru dánu přímku o a orientovaný

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Technická univerzit v Liberci Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Pomocný učební text Petr Pirklová Liberec, září 2013

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Fotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012

Fotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie zpracovala Petra Brůžková Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie je geometrický postup, který nám umožňuje určení tvaru, velikosti a polohy reálných objektů na základě fotografického

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny Mongeovo zobrazení Konstrukce stop roviny Způsoby určení roviny Způsoby určení roviny při provádění konstrukcí v Mongeově zobrazení je výhodné pracovat s rovinami, které náme určeny pomocí stop; Způsoby

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen. RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Vzdálenost roviny a přímky

Vzdálenost roviny a přímky 511 Vzdálenost roviny přímky Předpokldy: 510 Př 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti přímky od roviny, nvrhni definici této vzdálenosti Uvžovt o vzdálenosti přímky roviny můžeme pouze v přípdě,

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Test č. 9. Zborcené plochy

Test č. 9. Zborcené plochy Test č. 9 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr Zborcené plochy Při vypracování úloh se využijí následující poučky: a) u plochy jednodílného hyperboloidu a hyperbolického

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.) Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným

Více

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm

Více

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy Lineární perspektiva Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu

Více

Test č. 9. Zborcené plochy

Test č. 9. Zborcené plochy Test č. 9 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2002/2003 Zborcené plochy Při vypracování úloh se využijí následující poučky: a) u plochy jednodílného hyperboloidu

Více

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Mongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek

Mongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek Mongeovo zobrazení Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné totožné a = b Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Polohové úlohy v axonometrii

Polohové úlohy v axonometrii Sestrojte a označte průmět, půdorys, nárys a bokorys přímky p: y=3 a z=2. Sestrojte a popište stopy roviny : x=3 a určete její průsečík R s přímkou p. Sestrojte a označte průmět, půdorys, nárys a bokorys

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Polohové úlohy v axonometrii

Polohové úlohy v axonometrii Přímka p leží v rovině α. Doplňte p a p 2. Bod A leží v rovině α. Doplňte A a A 2. Přímka p leží v rovině α. Doplňte p a p 3. Sestrojte průmět a půdorys bodu A, který leží v rovině ρ. Přímka a leží v rovině.

Více