V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

Transkript

1 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch téhož těles spočítáme zorcem Koule b P f(x) 1 + f (x) dx Koule její části Ronice kružnice se středem S[; ] poloměrem r je dán zthem x + y r Kružnici lze rozdělit n d oblouky, z nichž prní leží poloroině určené kldnými hodnotmi osy y je funkcí s ronicí y + r x, druhý oblouk, jenž leží opčné poloroině jehož body mjí záporné y-oé souřdnice, je popsán ronicí y r x. Bude-li kolem osy x rotot 1/ horního oblouku o ronici y r x, jehož kolmým průmětem do osy x je interl ; r, získáme 1/ koule, jejíž objem spočítáme jko V r (r x ) dx ] r [r x x Objem celé koule o poloměru r je pk dán zthem ) (r r πr V 4 πr Abychom mohli spočítt porch koule, určíme nejpre 1. derici funkce y r x. Tedy y 1 (r x ) 1 ( x) x r x 1

2 Pk je Porch 1/ koule spočítáme 1 + y r P Porch celé koule o poloměru r je 1 + x r x r x r r x r r x r r x dx [r x]r r Kuloá úseč kuloý rchlík P 4πr Kuloá úseč je část koule, kterou můžeme z koule oddělit poté, co jsme ji prot li roinou ρ. Kuloá úseč je tedy těleso. Kuloý rchlík je ploch, kterou je kuloá úseč omezen (bez příslušného kruhu). Názorně si kuloý rchlík můžeme předstit jko čepičku. Při ýpočtu objemu kuloé úseče, přípdně porchu kuloého rchlíku, postupujeme stejně jko při ýpočtu objemu/porchu koule, pouze změníme meze. Pokud je ýšk kuloé úseče, dolní mez bude mít hodnotu r, horní mez zůstáá ron r. V π r r (r x ) dx ] r [r x x r r r r (r ) + ) (r r r + r + r r + r r r +r {}}{ (r ) ) (r (r ) Oznčíme-li ρ poloměr kruhu, kterým je kuloá úseč omezen, je lterntiní tr zorce pro ýpočet jejího objemu Tento tr získáme užitím Pythgoroy ěty V 6 (ρ + ) r ρ + (r ), z čehož lze yjádřit r ρ +

3 Doszením do ýrzu pro objem kuloé úseče získáme ( V ρ + ) ( ρ + ) 6 (ρ + ) Porch kuloého rchlíku (přípdně kuloé úseče) ypočítáme podobně jko porch koule užitém integrálu pouze změníme meze P r r r dx [r x] r r ( r r(r ) ) (r r + r) r Kuloá rst kuloý pás P r Kuloá rst je část koule, kterou můžeme z koule oddělit poté, co jsme ji prot li děm ronoběžnými roinmi ρ σ. Kuloá rst mezi těmito roinmi leží, jedná se o těleso. Kuloý pás je ploch, kterou je kuloá rst omezen (bez obou příslušných kruhů). Výpočet objemu kuloé rsty proádíme nlogicky jko ýpočet objemu koule, opět le musíme změnit meze. Oznčme ýšku kuloé rsty. Má-li dolní mez hodnotu, bude horní mez určen ýrzem +. V π + (r x ) dx ] + [r x x r ( + ) ) (r + r r + Získný ýrz upríme užitím Pythgoroy ěty e tru r ρ 1 +, {}}{ ( + ) r + ) (r kde ρ 1 oznčuje poloměr spodního kruhu, kterým je kuloá rst omezen. Po doszení bude ( (ρ V 1 + ) ) (ρ 1 )

4 Pro dlší úpru užijeme Pythgorou ětu r ρ + ( + ), kde ρ oznčuje poloměr horního kruhu omezujícího kuloou rstu. Poronáním prých strn uedených ronostech získáme Úprou lze yjádřit jko ρ 1 + ρ + ( + ) ρ 1 ρ Potom konečně dopočítáme objem V tk, že V (ρ 1 ρ 1 ρ ) (ρ 1 ρ 1 ρ Objem kuloé rsty tedy spočítáme podle zorce V 6 ( ρ 1 + ρ + ) Porch kuloého pásu (přípdně kuloé rsty) spočítáme sndno ) ( ) ρ 1 + ρ + 6 P + r dx [r x] + (r( + ) r) (r + r r) r Kuloá ýseč P r Kuloá ýseč je těleso, které znikne sjednocením kuloé úseče rotčního kužele, jehož rcholem je střed koule. Přitom je podstná kružnice rotčního kužele zároeň hrniční kružnicí omezující kruhoou úseč. Názorně si kuloou ýseč můžeme předstit jko kournout s kopečkem zmrzliny. Objem kuloé ýseče získáme součtem objemu rotčního kužele objemu kuloé úseče. Pro objem rotčního kužele pltí známý zth V k r, kde r oznčuje poloměr podsty kužele je ýšk kužele. Pltnost tohoto zorce ododíme později. 4

5 Objem kuloé úseče jsme yjádřili zthem V u 6 ( ρ + ), přičemž ρ je poloměr podsty kuloé úseče je její ýšk. Oznčuje-li r poloměr koule, je ýšk kužele ron hodnotě r poloměr r podsty kužele je totožný s poloměrem ρ podsty kuloé úseče, tkže je r ρ. Pk je objem kuloé ýseče roen V V k + V u ρ (r ) + π 6 (ρ + ) ρ r πρ + πρ + π 6 ρ r + πρ + π 6 6 Pro dlší úpru užijeme Pythgorou ětu e tru r ρ + (r ), odkud yjádříme Doszením je ρ r V (r )r + π(r ) 6 Objem kuloé ýseče lze tedy spočítt zorcem + π 6 r πr + πr π 6 + π 6 r V πr Rotční kužel Rotční kužel jeho část Podstou rotčního kužele je kruh se středem S poloměrem r, os rotčního kužele je kolmá n roinu podsty, oznčme jeho ýšku, tj. délku úsečky SV. V souřdném systému (, x, y) určeme ronici přímky p, jejíž rotcí kolem osy x rotční kužel znikne. Přímk p prochází bodem [; ]. Proto má její ronice tr y k x, kde k je směrnice přímky pltí, že k tg α. Protože přímk p dále prochází bodem [; r], je k r. Ronice přímky p je tedy y r x 5

6 Přitom užujeme, že kolem osy x rotuje pouze část přímky p úsečk jejímž kolmým průmětem do osy x je interl,. Potom spočítáme objem rotčního kužele r [ ] r V x dx x r 1 πr Pltí tedy známý zorec pro ýpočet objemu rotčního kužele V 1 πr Porch rotčního kužele získáme součtem obshu jeho podsty (r ) obshu pláště. Ododíme pouze zorec pro ýpočet obshu pláště rotčního kužele e tru kde s je délk poršky rotčního kužele. Z ronice přímky p nejpre určíme 1. derici S rs, poté spočítáme 1 + y nebot jsme užili Pythgorou ětu e tru Dále Komolý rotční kužel y r 1 + r s + r + r s s, r S x s [ r dx x s ] r s r s Komolý rotční kužel je část rotčního kužele omezená děm ronoběžnými roinmi, které jsou kolmé n osu kužele. Nejpre určíme ronici přímky p, jejíž rotcí kolem osy x komolý rotční kužel ytoříme. Přímk p prochází děm body [; r 1 ] [; r ], kde r 1 je poloměr spodní podsty, r je poloměr horní podsty je ýšk komolého kužele. Konstnty k q ronici y kx + q přímky p dopočítáme doszením uedených bodů, tkže je q r 1 r k + r 1, odkud k r r 1. Přímk p je tedy popsán ronicí y r r 1 x + r 1 6

7 Přitom kolem osy x rotuje pouze úsečk ymezená n přímce p tk, by jejím kolmým průmětem do osy x byl interl,. Objem komolého rotčního kužele je V ( ) r r ( ) 1 r r x + r 1 1 π x + r 1 dx r r 1 [ (r ) ( ) ] π r 1 r r 1 π + r 1 + r 1 (r r 1 ) (r r 1 ) (r r1) (r + r r 1 + r 1), přičemž jsme užili zorec Je tedy r r 1 (r r 1 ) (r + r r 1 + r 1) V (r 1 + r 1 r + r ) Porch komolého rotčního kužele je roen součtu obshů jeho podst (πr 1 πr ) obshu pláště. Ododíme pouze zorec pro ýpočet obshu pláště komolého rotčního kužele e tru S (r 1 + r ) + (r 1 r ) Nejpre spočítáme 1. derici funkce, kterou je určen přímk p Potom je Dále 1 + y 1 + (r r 1 ) y r r 1 + (r r 1 ) + (r r 1 ) ( ) r r 1 + (r r 1 ) S x + r 1 dx ( ) r r 1 + (r r 1 ) x + r 1 r r 1 + (r r 1 ) (r r 1 ) [ (r ) ] r 1 x + r 1 [ (r ) + (r r 1 ) ( ) ] r 1 r r 1 + r 1 + r 1 r r 1 + (r r 1 ) (r r ) 1 + (r r 1 ) r r (r + r 1 ) 1 7

8 Přitom jsme užili zorec je tké zřejmé, že pltí r r 1 (r r 1 )(r + r 1 ) (r r 1 ) (r 1 r ) Rotční álec Určit objem porch rotčního álce je poronání s předchozími ýpočty už sndné. Válec znikne rotcí přímky p kolem osy x. Přímk p je s osou x ronoběžná protíná osu y bodě [; r], je tedy určen ronicí y r. Přitom kolem osy x rotuje pouze úsečk n přímce p, jejímž kolmým průmětem do osy x je interl ;. Objem rotčního álce spočítáme V r dx [ r x ] r Porch rotčního álce je roen součtu obshů obou podst ( πr ) obshu pláště. Ododíme zorec pro ýpočet obshu pláště rotčního álce. 1. derice funkce, která určuje přímku p, je y. Spočítáme ýrz 1 + y Pk je S r 1 dx [r x] r V r S r Anuloid Užujme kružnici k se středem S poloměrem R e odoroné roině. Ve sislé roině, která prochází bodem S, necht leží kružnice l se středem O poloměrem r. Přitom střed O necht je bodem kružnice k. Jestliže se bod O bude pohybot po kružnici k, ytoří kružnice l nuloid. Názorně si nuloid můžeme předstit jko nfukocí plcí kruh. 8

9 Pro objem porch nuloidu pltí následující zthy: V r R P 4π rr Jejich pltnost ododíme tk, že si předstíme, že nuloid podél kružnice l rozřežeme ntáhneme ho do álce. Objem obsh pláště tkto ytořeného álce bude stejný jko objem porch nuloidu. Podstou álce je kruh s hrniční kružnicí l ýšk álce je ron délce kružnice k, je tedy R. Pk je V r r πr r R P r r πr 4π rr Prdiost předchozí úhy si můžeme demonstrot n zjednodušeném příkldě, kdy mezikruží ntáhneme do obdélník poronáme jejich obshy. Obsh mezikruží je S (R + r) π(r r) [ R + Rr + r (R Rr + r ) ] 4πRr Obsh obdélník je S R r 4πRr, tkže idíme, že se skutečně sobě ronjí. Záěrem přidejme ještě poznámku týkjící se objemu kosého kužele. Užujme kosý kužel, jehož podstou je kruh o poloměru r půdorysně π. Výšk kužele je zdálenost jeho rcholu V od půdorysny π, tj. V 1 V, kde V 1 je půdorys bodu V. Pro objem kosého kužele zůstáá pltnosti zth V 1 πr 9

10 To lze zdůodnit pomocí zjednodušené nlogie, kdy šechny trojúhelníky se zákldnmi délky, umístěnými n přímku p, rcholy ležícími n přímce q, q p, mjí tentýž obsh S, kde je zdálenost přímek p q. 1