6. Jehlan, kužel, koule

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. Jehlan, kužel, koule"

Transkript

1 6. Jehlan, kužel, koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan ( síť, objem, porch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstau taru n-úhelníku. Podle počtu rcholů n-úhelníku má jehlan náze. Stěny toří n ronoramenných trojúhelníků se společným rcholem V (hlaní rchol jehlanu). Boční stěny. ronoramenné trojúhelníky Boční hrany... hrany, které ycházejí z hlaního rcholu Podstané hrany...strany podsta Výška jehlanu...je kolmá k podstaě a prochází jejím středem (Vzdálenost hlaního rcholu od podstay.) Porch jehlanu: S = S p + S Pl... obsah podstay... obsah pláště Objem jehlanu: V = Sp.

2 Síť čtyřbokého jehlanu Příklad : Je dán praidelný čtyřboký jehlan s podstanou hranou délky a = cm a ýškou = 5 cm. Vypočítejte a) ýšku boční stěny b) porch c) objem d) úhlopříčku podstay e) délku pobočné hrany f) úhel, který sírá boční stěna s podstaou Řešení : a) a ýška boční stěny a = = = = 7,8 cm b) S = S p + S pl S = a 4.. a. S = +..7,8 S = , S =, cm c).. V S V..5 V =.44.5 V = 40 cm p d) u = a. u =. u = 6,97 cm e) h délka pobočné hrany h = f) tg a tg h = 5 u 6,97 tg = h = 96,06 h = 9,8 cm = 9 46

3 Příklad : Vypočtěte objem a porch praidelného šestibokého jehlanu, délku podstané hrany cm a délku pobočné hrany 5 cm. Řešení : podstaou jehlanu je praidelný šestiúhelník ABCDEF S střed podstay ( průsečík úhlopříček šestiúhelníku ) V rchol jehlanu a = cm b = 5 cm délka pobočné hrany Pro ASV platí : a + = b + = 5 = 4 cm Pro podstau platí : S P = 6.S a.. Pro S<, který je ronostranný platí : S = S = 4 4. Pro podstau platí : S P = 6.S = 6. 4 =,5. S P =,5. =,8 cm Objem jehlanu SP.,5..4 V = V = V = 8. cm Porch jehlanu : S = S P + S pl S pl = 6.S S obsah boční stěny jehlanu Pro boční stěnu platí : je ronoramenný trojúhelník ýška boční stěny b = (0,5a) + 5 =,5 + = 4,8 cm a. S = S =.4,8 S = 7, cm S pl = 6.S S pl = 6.7, S pl = 4, cm S = S P + S pl S =,8 + 4, S = 66,58 cm Příklad : Máme praidelný čtyřboký jehlan s podstanou hranou a = 0 cm a ýškou = 7 cm. Vypočtěte : a) obsah podstay b) obsah pláště c) porch jehlanu d) objem jehlanu Příklad : Máme čtyřboký jehlan, který má podstau obdélník s rozměry 4 cm, cm. Výška jehlanu je 8 cm. Vypočtěte : a) obsah podstay b) obsah pláště c) porch jehlanu d) objem jehlanu Příklad : Praidelný čtyřboký jehlan má objem 4 dm a podstanou hranu a = 4 dm. Vypočtěte : a) ýšku jehlanu b) ýšku pobočné stěny c) porch jehlanu Příklad 4 : Máme čtyřboký jehlan, jehož podstaou je obdélník se stranami 8 cm a 0 cm. Výška boční stěny na podstanou hranu délky 0 cm sírá s podstaou úhel 65. Vypočtěte : a) obsah podstaty jehlanu b) obsah pláště jehlanu c) porch jehlanu Příklad 5 : Objem jehlanu je 88 cm. Jeho podstaa má rozměry 6,5 mm a 8 cm. Vypočtěte ýšku jehlanu. Příklad 6 : Objem praidelného čtyřbokého jehlanu je 7,5 m, jeho ýška je 7 metr. Vypočtěte : a) obsah čtercoé podstay b) délku strany čterce podstay Příklad 7 : Praidelný osmiboký jehlan má podstanou hranu délky 6cm a ýšku 9 cm. Vypočtěte objem jehlanu. Příklad 8 : Vypočtěte porch praidelného čtyřstěnu ( podstaa a stěny jsou ronostranné trojúhelníky ), jehož hrana má délku 4 m.

4 Příklad 9 : Praidelný čtyřboký jehlan má podstanou hranu délky 7 cm a úhel určený děma protilehlými bočními hranami má elikost 40. Vypočtěte : a) porch jehlanu b) objem jehlanu Příklad 0 : Praidelný čtyřboký jehlan má délku podstané hrany 6 cm a délku boční hrany je cm. Vypočtěte : a) úhel, který sírá boční hrana s roinou podstay b) ýšku jehlanu c) objem jehlanu Příklad : Plášť praidelného čtyřbokého jehlanu se skládá z ronoramenných trojúhelníků, jejichž ramena mají délku 8cm a sírají úhel 56. Vypočtěte : a) délku podstané hrany b) porch jehlanu c) objem jehlanu Příklad : Střecha domu má tar praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou m. Kolik m je třeba na její pokrytí, jestliže sklon střechy 45 a na spoje a odpad počítáme 0% plechu naíc? Příklad : Praidelný čtyřboký jehlan má ýšku 0 dm a objem 666,7 dm. Vypočtěte : a) délku boční hrany jehlanu b) délku podstané hrany Příklad 4 : Praidelný čtyřboký jehlan má ýšku 4 dm a délku boční hrany 8 dm. Vypočtěte : a) porch jehlanu b) objem jehlanu Příklad 5 : Vypočítejte hmotnost těžítka taru praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou délky 4 cm, ýškou 6 cm, je-li zhotoeno z materiálu o hustotě 8 gramů/cm. Příklad 6 : Praidelný čtyřboký jehlan ze dřea má délku podstané hrany shodnou s ýškou tělesa. Vypočtěte délku hrany z níž byl yroben, íte-li, že jeho objem je 4 dm. Příklad 7 : Kolik Kč stála látka na stan taru praidelného čtyřbokého jehlanu, četně podlahy, s podstanou hranou délky metry a s tělesoou ýškou,54 metru, je-li cena m látky 5.- Kč a na překrytí a odpad počítáme 5% látky naíc? Množstí potřebné látky zaokrouhlete na celé m nahoru. Příklad 8 : U praidelného šestibokého jehlanu s délkou podstané hrany 8 cm sírají jeho boční stěny s roinou podstay úhel 50. Kolik litrů zduch pojme? Příklad 9 : Praidelný osmiboký jehlan s délkou podstané hrany 5 dm má sklon bočních stěn pláště s roinou podstay 5. Kolik bude stát natření pláště jehlanu, jestliže doukilogramoá plechoka bary stojí 0.-Kč a íme-li, že gramy bary stojí na natření 8 cm? Hodnotu práce nepočítáme. Příklad 0 : Podstaou praidelného jehlanu je šestiúhelník, kterému můžeme opsat kružnici o poloměru metr. Boční hrana měří metry. Vypočtěte : a) objem jehlanu b) porch jehlanu Příklad : Vrchol ěže je praidelný šestiboký jehlan o podstané hraně,5 metrů a ýšce 5 metrů. Kolik m plechu je třeba na pokrytí rcholu ěže, počítáme-li na odpad 8 %? Příklad : Stožár ysoký 0 metrů je poloině připeněn osmi lany, jejichž délka je 5 metrů. Konce lan jsou od sebe stejně zdáleny. Vypočtěte tuto zdálenost. 4

5 6.. Kužel ( síť, objem, porch ) 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Vznikne rotací praoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho oděsny. Rotací oděsny zniká kruhoá podstaa, rotací přepony plášť kužele. Rozinutý plášť kužele má tar kruhoé ýseče, jejímž poloměrem je strana kužele a jejíž oblouk má délku ronu obodu podstay. Vzdálenost rcholu kužele od podstay je ýška kužele. Porch kužele: S = πr + πrs = πr.(r + s ) r poloměr podstay s strana kužele ýška kužele Objem kužele: V = πr Síť kužele 5

6 Příklad : Je dán kužel o průměru podstay d = 0 cm a ýšce = cm. Vypočtěte : a) obsah pláště b) obsah podstay c) porch kužele d) objem kužele e) stranu kužele f) úhel, který sírá strana kužele s roinou podstay g) úhel, který sírají liboolné dě strany kužele Řešení : a) S pl =.r.s s = r s = 0 s = 5,6 cm S pl =,4.0.5,6 S pl = 489,84 cm b) S p =.r S p =,4.0 S p = 4 cm c) S = S p + S pl S = ,84 S = 80,84 cm d) V.. r. V =.,4.0. V = 56 cm e) s r s = + 0 s = 5,6 cm f) tg tg d 0 tg =, = 50 0 g) - úhel, který sítají liboolné dě strany kužele = = = Příklad : Kužel má objem 46 cm a poloměr podstay 7 cm. Vypočtěte : a) ýšku b) stranu kužele c) obsah podstay d) obsah pláště e) porch kužele f) úhel, který sírá strana kužele s roinou podstay g) úhel, který sírají liboolné dě strany kužele Příklad 4 : Praoúhlý trojúhelník, jehož oděsny mají délky 6 cm a 8 cm, se otáčí kolem sé oděsny. Vypočtěte : a) objemy takto zniklých kuželů b) porchy takto zniklých kuželů c) stranu kužele Příklad 5 : Objem kužele je 07,7 cm. Jeho ýška má 6 cm. Vypočtěte : a) průměr podstay b) stranu kužele c) porch kužele Příklad 6 : Objem kužele je 9,4 cm. Jeho průměr podstay je cm. Vypočtěte : a) ýšku kužele b) stranu kužele c) porch kužele 6

7 Příklad 7: Strana rotačního kužele o elikosti 0 cm sírá s roinou podstay úhel o elikosti = Vypočtěte : a) průměr podstay kužele b) ýšku c) objem kužele d) porch kužele Příklad 8 : U rotačního kužele platí, že numericky je stejný porch a objem ( bez ohledu na jednotky ). Vypočtěte : a) jaký musí platit ztah mezi eličinami poloměr kužele, stranou kužele a ýškou kužele b) jaký musí platit ztah mezi poloměrem podstay a stranou kužele Příklad 9 : Rotační kužel má průměr podstay 5 cm. Strana kužele sírá s osou kužele úhel 0 0. Vypočítejte : a) ýšku kužele b) objem kužele c) porch kužele Příklad 0 : U rotačního kužele jsme naměřili tyto údaje : poloměr podstay 4 cm, ýška kužele 5 cm, strana kužele 8 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Rotační kužel má poloměr podstay 0 cm a stranu kužele 6 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Rotační kužel má ýšku cm a stranu 5 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Je dán praidelný kádr s ýškou 4 cm a hranou podstay 7 cm. Ve směru ýšky je do hranolu yrtán otor taru rotačního kužele s průměrem podstay 4 cm a ýškou 7 cm. Jeho střed podstay je e středu podstay hranolu. Vypočtěte : a) porch tohoto tělesa b) objem tohoto tělesa Příklad 4 : Jak se změní objem rotačního kužele, jestliže : a) ztrojnásobíte poloměr podstay b) zmenšíte ýšku o poloinu c) šestkrát zětšíme průměr podstay Příklad 5 : Ve zmrzlinoém kornoutu taru kužele o průměru 5 cm je 0,5dl zmrzliny. Vypočtěte : a) hloubku kornoutu b) nější porch kornoutu ( počítáme s tím, že tloušťka kornoutu je nuloá ) Příklad 6 : Do kterého měděného kornoutu taru kužele se ejde íce ody? Prní má ýšku 0 cm a délku strany 4 cm, druhý má poloměr podstay 0 cm a ýšku 5 cm. Příklad 7 : Z materiálu o hustotě 000kg/m je zhotoen rotační kužel, jehož hmotnost je,9 kg. Jeho ýška je 5 cm. Vypočtěte : a) poloměr podstay b) porch kužele Příklad 8 : Rotační kužel má porch 8,06 m a poloměr podstay m. Vypočtěte : a) odchylku strany kužele od podstay b) odchylku dou liboolných stran kužele Příklad 9 : Výška rotačního kužele je 56 cm a odchylka dou stran kužele je 4. Vypočtěte : a) průměr podstay b) stranu kužele c) porch kužele Příklad 40 : Nákladní auto ueze 5 m písku. Vejde se na jeho korbu písek, který je složen na hromadě taru kužele o průměru podstay 4 metry a ýšce metr? Příklad 4 : Poměr plošného obsahu podstay k plošnému obsahu pláště rotačního kužele je 4 : 9. Výška kužele je 0 dm. Vypočtěte porch kužele. 7

8 Příklad 4 : Z kruhoého plechu o poloměru R ystřihneme čtrtkruhoou ýseč, ze které složíme plášť kužele.vyjádřete : a) poloměr podstay kužele b) ýšku kužele 6.. Komolý jehlan ( síť, objem, porch ) Komolý jehlan znikne jestliže z jehlanu od jeho rcholu seřízneme jehlan, který má ronoběžnou podstau s půodním jehlanem. Porch komolého jehlanu se skládá ze dou podobných podsta a pláště. Plášť komolého jehlanu se skládá z bočních stěn, které mají tar lichoběžníků. Seříznutím praidelného jehlanu znikne praidelný komolý jehlan, jehož plášť je tořen ronoramennými lichoběžníky. Zpraidla značíme : S - obsah dolní podstay V objem celého jehlanu M střed dolní podstay S porch komolého jehlanu V objem komolého jehlanu S obsah horní postay V objem odříznutého jehlanu M střed horní podstay V = V V =..( S + S. S S ) S = S + S + S Pl a) praidelný čtyřboký komolý jehlan 8

9 b) praidelný pětiboký komolý jehlan 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Síť praidelného čtyřbokého komolého jehlanu Příklad : Z praidelného šestibokého jehlanu s ýškou 6 cm a délkou podstané hrany 4 cm byl odříznut praidelný šestiboký jehlan s ýškou 6 cm. Vypočtěte objem a porch zniklého komolého jehlanu ABCDEFGHIJKL, kde GHIJKL je horní podstaa. Řešení : V =..( S + S. S S ) Podstaa se složena z šesti ronostranný trojúhelníků ( S ) a. a.. S = a 4. S = S = 6,9 cm 4 4 S = 6. S S = S = 4,58 cm AM V ~ GM V podle Vuu a a 4 a 6 6 a =,5 cm obdobně ypočítáme S.,5. S = S = 5,84 cm ýška komolého jehlanu = = 6 6 = 0 cm V =.0.(4,5 4,5.5,84 5,84) V = 09,77 cm X střed hrany AB Y střed hrany GH x elikost ýšky ronostranného trojúhelníka dolní podstay y elikost ýšky ronostranného trojúhelníka horní podstay x = a. x = 4. x =,4 cm 9

10 y = a. y =,5. y =, cm Z je průsečík ronoběžky s osou komolého jehlanu procházející bodem Y a úsečky XM XZ = XM - YM XZ =,4, XZ =, cm z XZY XZ + = s s ýška boční stěny, + 0 = s s = 0, cm S Pl = 6. a a. s 4,5.0, S Pl = 6. S Pl = 68,6 cm S = S + S + S Pl S = 4,58 + 5, ,6 S = 5,79 cm Příklad 4: Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podsta 8 cm a 5 cm a ýšku 0cm. Vypočtěte : a) ýšku boční stěny b) elikost boční hrany c) porch tělesa d) objem tělesa e) odchylku boční stěny od spodní podstay f) odchylku dou protilehlých pobočných hran g) odchylku dou edlejších pobočných hran Příklad 44 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podsta 0 cm a 5 cm. Plášť má plošný obsah 540 cm. Vypočtěte : a) porch komolého jehlanu b) objem komolého jehlanu Příklad 45 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podstaných hran,8 cm a, cm a délku boční hrany 4,5 cm. Vypočtěte jeho objem. Příklad 46 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má hranu dolní podstay dlouhou 4 cm, ýšku 9 cm. jeho boční hrany sírají s dolní podstaou úhel 50º. Určete jeho porch a objem Komolý kužel ( síť, objem, porch ) Komolý kužel znikne jestliže z kuželu od jeho rcholu seřízneme kužel, který má ronoběžnou podstau s půodním jehlanem. Porch komolého kužele se skládá ze dou kruhů a pláště. Plášť komolého kužele je ýseč mezikruží. Délka strany komolého kužele je rona rozdílu délek stran celého a odříznutého kužele Výška komolého kužele je rona rozdílu ýšek celého kužele a odříznutého kužele. Zpraidla značíme : S - obsah dolní podstay V objem celého kužele M střed dolní podstay S porch komolého kužele V objem komolého kužele Strana komolého kužele s = S obsah horní postay V objem odříznutého kužele M střed horní podstay r r 0

11 Objem komolého kužele V = V V V =... r r. r r Plášť komolého kužele S Pl =.s.( r + r ) Porch kužele S = S + S + S Pl S =. r r s. r r komolý rotační kužel porch komolého kužele Příklad : Určete obsah pláště m a objem komolého kužele litrech. Dolní podstaa komolého kužele má poloměr 750 mm, horní podstaa má poloměr 450 mm a ýška je 00 mm. V =... r r. r r po přeodu na decimetry V =.,4.. 7,5 7,5.4,5 4,5 V = 500,4 l S Pl =. s. r r po přeodu na metry S,4. 0,75 0,45,.. 0,75 0,45 S Pl = 5,0 m Pl Příklad 47 : Rotační komolý kužel má podstay o poloměru r = 5 mm r = 4,5 cm a ýšku 55 cm. Vypočtěte : a) stranu s komolého kužele b) odchylku strany od roiny podstay c) porch komolého kužele d) objem komolého kužele Příklad 48 : Rotační komolý kužel má poloměr podstay r =0 cm r = 7 cm a ýšku 4 cm. Vypočtěte : a) porch komolého kužele b) objem komolého kužele c) yjádřete tento porch i objem jako násobek čísla Příklad 49 : Z plechu se má zhotoit oteřená nádoba taru komolého kužele o straně 8 cm. Průměr horní části nádoby má být 0 cm, průměr dna 8 cm. Vypočtěte, kolik cm plechu bude zapotřebí.

12 Příklad 50 : Vědro na odu ( bez íka ) je z plechu a má tar komolého rotačního kužele. Průměr dna je 4 cm, horního okraje cm a délka strany je 0 cm. Vypočtěte : a) kolik litrů ody se ejde do ědra b) jakou hmotnost má prázdné ědro, má-li m plechu hmotnost 0,5 kg 6.5. Koule Vznikne rotací kruhu kolem osy kruhu. Koule je množina bodů prostoru, které mají od daného bodu S (střed kruhu) zdálenost menší nebo ronu r (poloměr kruhu). Síť koule neexistuje, nelze ji rozinout do roiny. Porch koule: S = 4πr r poloměr koule Objem koule: V = 4 πr Příklad : Je dána koule o průměru cm. Vypočtěte : a) objem koule b) porch koule V 4.. r S = 4..r 4 V =.,4.6 S = 4.,4. 6 V = 904, cm S = 45,6 cm Příklad 5 : Porch koule je 46 cm. Vypočtěte. a) poloměr koule b) objem koule Příklad 5 : Objem koule je,04 dm. Vypočtěte : a) poloměr koule b) porch koule Příklad 5: Do koule o průměru 0 cm je epsána krychle. Vypočtěte : a) objem koule

13 b) objem krychle c) kolik % z objemu koule činí objem krychle d) záisí počet % otázce c na průměru koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Příklad 54 : Vypočtěte poloměr koule, která má číselně stejně elký objem i porch ( bez ohledu na jednotky eličin )? 6.6. Praoúhlé průměty jehlanu a kužele na dě k sobě kolmé průmětny Opakoání : zobrazení bodu prostoru A bod prostoru A obraz bodu půdorysně A obraz bodu nárysně Po sklopení půdorysny do nárysny je A A kolmá na přímku x. Vzdálenost A od přímky x je zdálenost bodu A od půdorysny. Vzdálenost A od přímky x je zdálenost bodu A od nárysny. Leží-li body půdorysně, pak jejich druhé obrazy leží na přímce x. Leží-li body nárysně, pak jejich prní obrazy leží na přímce x. Příklad : Zobrazte na dě nazájem kolmé průmětny : a) praidelný čtyřboký jehlan, který má elikost podstané hrany a = 4 cm a ýšku tělesa 5 cm. Hrana podstay AB je ronoběžná s roinou nárysny b) praidelný komolý čtyřboký jehlan, který má elikost podstané hrany a = 4 cm, ýška komolého jehlanu =,5 cm, což je poloina ýšky půodního jehlanu. U praidelného čtyřbokého jehlanu proeďte popis šech bodů. U praidelného komolého čtyřbokého jehlanu proeďte kótoání. Postup řešení bodu a: ) narýsujeme druhé obrazy bodů podstay ) narýsujeme druhý obraz rcholu tělesa

14 ) zhledem k tomu, že nebyla zadána zdálenost žádné hrany podstay, umístíme liboolně zdálené body C a D od přímky x, 4) doplníme na čterec prní obraz podstay 5) dorýsujeme prní obrazy rcholu tělesa a průsečíku úhlopříček podstay 6) narýsujeme osy souměrnosti 7) ytáhneme iditelné hrany 8) popíšeme příslušné rcholy Postup řešení bodu b : ) umístíme prní obraz dolní podstay ) ododíme druhý průmět dolní podstay ) narýsujeme druhý průmět teoretického rcholu jehlanu 4) narýsujeme druhý průmět horní podstay 5) ododíme prní průmět horní podstay 6) narýsujeme osy souměrnosti 7) ytáhneme iditelné hrany 8) kótujeme a) b) Příklad 56 : Narýsujte na dě kolmé průmětny praidelný čtyřboký jehlan ABCDV, který má elikost podstané hrany a = 5 cm a ýšku tělesa = 6 cm, který je umístěn : a) podstaa leží půdorysně, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, b) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, c) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, d) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC sírá s nárysnou úhel 0, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, e) podstaa leží nárysně, AB je ronoběžná s půdorysnou, bod A je zdálen od půdorysny 7 cm a bod D má zdálenost od půdorysny menší, 4

15 Příklad 57 : Narýsujte na dě kolmé průmětny praidelný čtyřboký komolý jehlan ABCDEFGH, který má elikost dolní podstané hrany a = 5 cm, elikost horní podstané hrany a = cm a ýšku komolého tělesa = 6 cm, který je umístěn : a) dolní podstaa leží půdorysně, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, b) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, c) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, d) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC sírá s nárysnou úhel 0, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, e) podstaa leží nárysně, AB je ronoběžná s půdorysnou, bod A je zdálen od půdorysny 7 cm a bod D má zdálenost od půdorysny menší, Příklad : Zobrazte na dě nazájem kolmé průmětny : a) rotační kužel, který má průměr podstay d = 4 cm a ýšku 5 cm b) rotační komolý kužel, který má průměr dolní podstay d = 4 cm, horní podstay d = cm ýšku komolého kužele = cm U rotačního kužele proeďte popis šech ýznamných bodů. U komolého rotačního kužele proeďte kótoání. a ) b) Postup řešení bodu a : ) narýsujeme osy souměrnosti ) narýsujeme prní průmět kužele ) ododíme druhý průmět podstay a rcholu 4) popíšeme body Postup při řešení bodu b : ) narýsujeme osy souměrnosti ) narýsujeme prní průměty dolní a horní podstay ) ododíme druhé průměty horní a dolní podstay 4) dorýsujeme druhý průmět komolého kužele 5) kótujeme Příklad 58 : Narýsujte rotační kužel, který má poloměr podstay r = cm a ýšku = cm, který je umístěn : a) kužel leží půdorysně a má střed podstay zdálenost od nárysny cm b) kužel leží ronoběžné roině s půdorysnou, která je zdálena,5 cm, a má střed podstay zdálenost od nárysny cm 5

16 c) rchol kužele leží půdorysně, střed podstay je zdálen od půdorysny cm, od nárysny 4cm, roina podstay kužele leží nad půdorysnou ronoběžné roině d) kužel leží nárysně a střed podstay má zdálenost od půdorysny 5, cm Příklad 59 : Narýsujte komolý rotační kužel, který má poloměr dolní podstay r =,5 cm, poloměr horní podstay r =,5 cm a ýšku = cm, který je umístěn : a) komolý kužel leží půdorysně a má střed dolní podstay zdálenost od nárysny 5 cm b) komolý kužel leží ronoběžné roině s půdorysnou, která je zdálena,5 cm, a má střed dolní podstay zdálenost od nárysny 5 cm c) horní podstaa komolého kužele leží půdorysně, střed dolní podstay je zdálen od půdorysny cm, od nárysny 4cm, roina horní podstay komolého kužele leží nad půdorysnou ronoběžné roině d) komolý kužel leží nárysně a střed dolní podstay má zdálenost od půdorysny 5, cm Souhrnná cičení ) Kolik dm plátna je potřeba na ýrobu stanu taru jehlanu o čtercoé podstaě se stranou délky a =,4 m a ýšce,6 m, počítáme-li 5% na odpad. ) Vypočtěte porch praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou a = 60 cm a ýškou 400 mm. ) Vypočtěte porch praidelného čtyřbokého jehlanu, je-li hrana podstay 6 cm a stěnoá ýška 55 cm. 4) Kolik m je potřeba k pokrytí střechy taru praidelného čtyřbokého jehlanu s podstaou délky, m a tělesoou ýškou, m? 5) Střecha rekreační montoané chaty má tar praidelného čtyřbokého jehlanu s délkou podstané hrany 8 metrů a ýškou 0,9 metrů. Kolik čterečních metrů lepenky je třeba celkem k pokrytí střechy, počítá.li se 0 % na překlady a odpad? 6) Vypočtěte porch praidelného trojbokého jehlanu, který má podstanou hranu 5 cm a ýšku tělesa také 5 cm. 7) Vypočtěte porch praidelného jehlanu, jestliže : a) je čtyřboký s podstanou hranou 8 cm a ýškou stěny cm b) je trojboký s podstanou hranou cm a ýškou stěny 5 cm c) je šestiboký s podstanou hranou 5, cm a ýškou stěny 7,4 cm d) je čtyřboký s podstanou hranou 8 cm a ýškou jehlanu cm e) je šestiboký s podstanou hranou 5 cm a ýškou jehlanu cm. 8) Vypočtěte porch a objem praidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV, je-li dáno : a) AB 5cm, ýška boční stěny s = 5 cm b) AB 4 cm, ýška jehlanu = cm c) AB 4 cm, AV = 6cm d) AB 6 cm, O ABV = 6 cm e) AB 6 cm, O ACV = 6. f) AB 5 cm, S ABV = 6,5 cm g) AB 6 cm, S Pl = 60 cm 9) Vypočtěte objem praidelného trojbokého jehlanu ABCV, je-li dáno : 6

17 a) AB = 8 cm, = cm b) O ABC = cm, = 6 cm c) AB = cm, A = cm, d) S P = cm 5., AV cm 6 e) S P = 7. cm, s = 5 cm 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 0 Vypočtěte porch praidelného trojbokého jehlanu ABCV, je-li dáno : a) AB = 5 cm, s = 6 cm b) AB = 6 cm, = cm c) AB = 0 cm, AV = cm, d) S ABC = 4. cm, AV =,9 cm e) =. cm, AV = 0 cm ) Vypočtěte objem a porch praidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV, je-li dáno : a) AB = 4 cm, s = 4 cm b) S P = 8. cm, s = 7 cm c) S ABV = 85. cm, s = 7 cm d) AV =,5. cm, S P =8. cm e) S ADV = cm, S P = 4. cm ) Je dán praidelný čtyřboký jehlan S = 84 cm a S p = 44 cm. Vypočtěte jeho ýšku. ) Rotační kužel má objem 0. cm a ýšku 5 cm. Vypočtěte jeho porch. 4) Vypočtěte objem a porch rotačního kužele, je-li S P = cm a S Pl =. 5 cm. 5) Vypočtěte objem a porch kužele, je-li : a) S P = 4. cm, =. cm b) S p = 9. cm, s =. cm, c) s =. 0 cm, S Pl = cm, d) d =. 5 cm, S Pl =. 55 cm, e) O p = cm, S Pl = cm, f) S R = cm, = cm, S R obsah osoého řezu kužele g) S R = 5 cm, r =,5 cm h) S R = 4,8 cm, S P =,56. cm i) S R = 6,4 cm, O P = 8. cm j) S R = 6. cm, osoý řez je ronostranný trojúhelník k) S P : S Pl = :, r = cm l) S R : S P =, r = cm m) S R : S Pl = :., = cm n) S P : S = : ( + ), r = cm 7

18 o) S Pl : S =., r = cm 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6) Vypočtěte stranu rotačního kužele, je-li objem kužele,76. cm a poloměr podstay,8 cm 7) Vypočtěte : a) poloměr podstay kužele, je-li V = 4,4. cm, = 5,5 cm, b) ýšku kužele, je-li V =,44. cm, d = 4,8 cm, c) stranu kužele, je-li S = 66,8. cm, r = 5, cm d) ýšku kužele, je-li S = 7,6. cm, r = 6 cm e) stranu kužele, je-li V =,68. cm, =,5 cm. 8) Je dán praidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstanou hranou a a ýškou. Do čterce ABCD je epsán kruh, který toří podstau kužele. Vypočtěte, kolikrát je objem kužele ětší než objem jehlanu, jestliže se ýška kužele roná dojnásobku ýšky jehlanu. 9) Vypočtěte objem a porch koule, je-li : a) poloměr koule cm b) průměr koule cm c) obsah řezu, který prochází středem koule, se roná 9. cm d) obod řezu, který prochází středem koule, se roná. cm e) porch koule cm se číselně roná objemu koule cm 0) Vypočtěte poloměr koule, je-li : a) objem koule 6. cm b) porch koule 00. cm c) koule je opsána krychli o hraně délky. cm d) koule epsána do krychle o objemu 8 cm e) poloměr koule cm se číselně roná porchu cm ) Vypočtěte poloměr koule, jestliže kruh, který znikne jako průnik koule a roiny, která má od středu koule zdálenost ronající se poloině poloměru, má obsah. cm. ) Určete objem dutého tělesa, které má tar rsty mezi děma soustřednými koulemi. Poloměr nější koule ( kuloé plochy ) je cm, tloušťka tělesa je cm. ) Určete porch praidelného komolého jehlanu, je-li a = 4 cm, a = 4 cm a délka boční hrany měří cm. 4 Vypočtěte porch a objem praidelného čtyřbokého komolého jehlanu, je-li dáno : a) hrany podsta 80 mm, 6 cm, ýška tělesa dm, b) hrany podsta 48 cm,,8 dm, ýška boční stěny 6 cm, c) hrany podsta 56 mm,,4 cm, délka boční hrany 5 mm, d) hrany podsta cm, 4 mm, boční hrana sírá s podstaou úhel 60º, e) hrany podsta,6 m, 50 mm, ýška boční stěny sírá úhel s podstaou 7º, f) hrana horní podstay 0cm, ýška boční stěny,5 dm, ýška boční stěny sírá úhel s podstaou 55º, g) hrana dolní podstay 60 mm, ýška boční stěny,7 cm, ýška tělesa,5 cm 5) Vypočtěte ýšku praidelného n- bokého jehlanu, který má objem,5 litru a délky podstaných hran 5 cm, 4 cm : a) n = b) n = 4 c) n = 6 8

19 6) V komolém kuželu označíme elikost úhlu, který sírá strana kužele s podstaou. Vypočtěte jeho porch a objem, platí-li : a) r = 6 cm, d =,8 dm, = 4 cm b) d =, dm, d = cm, s 4,5 cm ( strana kužele ) c) d = 9 mm, r =,6 cm, = 5º d) r = 4, dm, = cm, = 78º, 7) Komolý kužel má objem cm, poloměr dolní podstay 5 dm, poloměr horní podstay4 dm. Vypočtěte obsah pláště. 8) Určete ýšku álce, který má stejný porch jako komolý kužel s poloměry podsta cm, 6 cm a ýškou 8 cm. Poloměr podstay álce je roen delšímu z poloměrů podsta komolého kužele. Výsledky příkladů: a) 00 cm, b) 7 cm, c) 7 cm, d), cm, a) cm, b) 79, cm, c) 05, cm, d) 87 cm, a) 4,5 dm, b) 4,9 dm, c) 5, dm, 4 a) 80 cm, b) 57,9 cm, c) 75,9 cm, 5) 54,9 cm, 6 a),5 m, b) 5,6 m, 7) 5,8 cm, 8) 7,46 m, 9 a) 84, cm, b) 66 cm, 0 a) 67, b) 0, cm, c),4 cm, a) 7,5 cm, b) 6 cm, c) cm, ) 4, m, a), dm, b) 0 dm, 4 a) 77 dm, b) 95 dm, 5) 56 gramů, 6) 9 dm, 7) 65.- Kč 8) 5, litru, 9) bude potřeboat dě plechoky za 40.- Kč, 0 a),5 m, b) 8,4 m, ) 5 m, ) 5, m, a) 9 cm, b),4 cm, c) 5,86 cm, d) 50,6 cm, e) 404,46 cm, f) 5, g) 75 4 a) 40 cm, 0 cm, b) 45 cm, 0cm, c) 0 cm, 5 a) 4 cm, b) 9, cm, c),54 cm, 6 a) 4 cm, b) 4,7 cm, c) 8,655 cm, 7 a) 7,6 cm, b) 9,4 cm, c) 4 cm, d) 66cm, 8 a) r s, b) r + s = 0, 9 a) 68, cm, b) cm, c) 7 870,88 cm, 0) takoý kužel nemůže existoat, protože neplatí ztah a) 56 dm, b) 07 dm, a) 07 cm, b) 678, cm, 9 r s,

20 a) 5 cm, b) 656,69 cm, 4 a) bude 9 krát ětší, b) bude poloiční, c) bude 6 krát ětší, 5 a) 7,6 cm, b) 6,8 cm, 6) do prního ( 686,cm, 66,7 cm ), 7 a) 7,8 cm, b) 6 cm, 8 a) 4, b) 96, 9 a) 4,99 cm, b) 59,98 cm, c) cm, 40) ano, protože písku je 4, m, 4) 005 dm, 4 ) r = 0,5.R = 0,5. 5.R = 0,96.R 4 a) 0, cm, b) 0, cm, c) 5 cm, d) 40 cm, e) 8º 7, f) 5,6º, g) 6, 44) 665 cm, 09,8 cm, 45) 9,75 cm, 46) 757,9 cm, 568,65 cm, 47 a) 6,64 cm, b) 8, c) 69,8 dm, d),4 m, 48 a) 75 cm, b) 97 cm, c) 4, d) 9, 49) 6 cm, 50 a) asi 8 litrů, b),5 kg, 5 a) 4 cm, b) 488 cm, 5 a) dm, b),04 dm, 5 a) 4 87 cm, b) 58 cm d, c) 6,7%, d) nezáisí na průměru V koule = 6 d d d 00 V krychle = x : 6,7 %, ) cm, Souhrnná cičení ) 6,8 dm, bez podlážky 008 dm ; ) cm, ) 5 56 cm, 4),8 m, 5) 7,6 m, 6) 49,8 cm, 7 a) 40 cm, b) 6,7 cm, c) 85,6 cm, d) 44 cm, e) 59,9 cm, 8 a) 6,08 cm, 75 cm, b) 5, cm,,9 cm, c) 8, cm, 6, cm, d),8 cm, 84 cm, e) 64,6 cm, 0 cm, f) 50 cm, 90 cm, g) 48 cm, 96 cm, 9 a) 8,45 cm, b),84 cm, c) cm, d) 0,5 cm, e) 6,8 cm, 0 a) 55,8 cm, b) 5,57 cm, c),5 cm, d) 9,5 cm, e) 8 57,4 cm, a) 7,7 cm, 89,5 cm, b) 07 cm, 69 cm, c) 076 cm, 660,8 cm, d) 7,5 cm, 6, cm, e)67,9 cm,,6 cm, ) 8 cm, ) 46,4 cm, 4) 0,7 cm,,09 cm, 5 a) 4,5 cm, 7,7 cm, b) 9,99 cm, 77,5 cm, c) 5, cm, 5,8 cm, d),9 cm, 9 cm, e) 46,9 cm,,4 cm, f) 4,7 cm, 8,84 cm, g) 9,5 cm, 70,65 cm, h) 8,07 cm, 5, cm, i) 68,67 cm,,8 cm, j) 6, cm, 50,7 cm, k),8 cm, 9,4 cm, l),9 cm,,5 cm, m),4 cm, 0, cm, n),05 cm, 7,6 cm, o),8 cm, 9,4 cm, 6) 5, cm, 0

21 7 a) 4,8 cm, b) 7 cm, c) 8 cm, d), cm, e),7 cm, 8) krát, tedy asi,57 krát ětší než objem jehlanu, 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 9 a),49 cm, 50,4 cm, b) 4, cm, 8, cm, c),04 cm,,04 cm, d) 4,9 cm,,56 cm, e),04 cm,, 04 cm, 0 a) cm, b) 5 cm, c) 4,5 cm, d) cm, e) 0,08 cm, ) 4 cm, ) 48,88 cm, ) 07,89 cm, 4 a) 4 65,64 cm, 5 86,67 cm, b) cm, cm, c) 0,7 cm, 64,75 cm, d),4 cm, 5,6 cm, e) 44,4 dm, 7 74,7 dm, f) 4 00,4 cm, 56,89 cm, g) 90,7 cm, 40,88cm, 5 a) 0,7 cm, b) 8,97 cm, c),46 cm, 6 a) 5 054,4cm, 8,5cm, b) 98,54cm, 4 64,cm, c) 7,4 cm, 94,88 cm, d) 4 50,8 cm, 6560,8 cm 7) 7 069,48 cm, 8) S = 0,4 cm, = cm,

+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa

+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstavu tvaru n-úhelníku. Podle počtu vrcholů n-úhelníku má jehlan název. Stěny tvoří n rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie RNDr. Yetta Bartákoá Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles koule, kuloá plocha a jejich části VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles

Více

S S obsahy podstav S obsah pláště

S S obsahy podstav S obsah pláště Předmět: Ročník: ytořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROÁ 7.. 04 Náze zpacoaného celku: PORCHY A OBJEMY KOMOLÝCH TĚLE, KOULE A JEJÍCH ČÁTÍ PORCH A OBJEM KOMOLÉHO JEHLANU Komolý jehlan: má dě podstay,

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech a dm a b dm má boční hranu délky s dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu.

Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech a dm a b dm má boční hranu délky s dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu. Jehlan obdélníkoou podtaou o rozměrech a dm a b dm má boční hranu délky dm. ypočítejte porch a objem tohoto jehlanu. a = b = = 5 dm 6,5 dm 1,8 dm a = 1,55348557 dm pomocí Pythagoroy ěty z praoúhlého E

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Povrch a objem těles

Povrch a objem těles Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometie RND. Yett Btákoá Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles komolá těles VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles A) Komolý jehln - je těleso, kteé znikne půnikem

Více

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Stereometrie pro studijní obory

Stereometrie pro studijní obory Variace 1 Stereometrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Vzájemné polohy prostorových

Více

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Stereometrie pro učební obory

Stereometrie pro učební obory Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

SMART Notebook verze Aug

SMART Notebook verze Aug SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 3.9.2012 Pro ročník: 6. až 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova:

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

5.2.7 Odchylka přímky a roviny 57 Odchylk přímky roiny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roiny? o by měl definice splňot: podobně jko u osttních ěcí ji musíme přeést n něco co už umíme (si odchylku dou přímek), měl by být jednoznčná,

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

POVRCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU

POVRCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU Projekt ŠABLONY NA GM Gymnázim elké Meziříčí registrční číslo rojekt: CZ..07/.5.00/.098 I- Inoce zklitnění ýky směřjící k rozoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol PORCH A OBJEM HRANOLU A JEHLANU

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Slouží k procvičení aplikace vzorců pro povrch a objem těles ve slovních úlohách

Slouží k procvičení aplikace vzorců pro povrch a objem těles ve slovních úlohách Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Martina Smolinková Datum 11. 1. 2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika

Více

Tělesa můžeme v rovině zobrazit pomocí volného rovnoběžného promítání.

Tělesa můžeme v rovině zobrazit pomocí volného rovnoběžného promítání. 9. Hranol 6. ročník 9. Hranol 9.1. Volné rovnoběžné promítání Tělesa můžeme v rovině zobrazit pomocí volného rovnoběžného promítání. Zásady : 1) Plochy, které jsou rovnoběžné s naší rýsovací plochou zobrazujeme

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II 5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Povrchy a objemy těles I

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Povrchy a objemy těles I Název projektu: Spokojená škola Číslo projektu: OPVK.CZ.1.07/1.2.33/02.0039 Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 9.09 Povrchy a objemy těles I Pracovní list je zaměřen na procvičení vzorců povrchů a

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles ZS 2008 1 / 39 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů

Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů 1) Zapiš matematickými symboly: bod A leží na přímce p bod M leží v průsečíku přímek k, m 2) Je dána přímka p, bod K

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm.

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. 8 cm u s = 11,3137085 cm pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ABC u t = 13,85640646 cm opět pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ACA'

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace Přehled příkladů 1) Valiý pohyb, zákon zachoání energie ) Těžiště tělesa nebo moment setračnosti ýpočet integrací - iz http://kf.upce.cz/dfjp/momenty_setracnosti.pdf Nejčastější chyby: záměna momentu setračnosti

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles

Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Vzorové příklady k přijímacím zkouškám. 1) Doplňte číselné řady o další dvě čísla. a) 3, 6, 12, 24, 48, 96,... b) 875, 764, 653, 542, 431,...

Vzorové příklady k přijímacím zkouškám. 1) Doplňte číselné řady o další dvě čísla. a) 3, 6, 12, 24, 48, 96,... b) 875, 764, 653, 542, 431,... Vzorové příklady k přijímacím zkouškám ) Doplňte číselné řady o další dvě čísla. a), 6,, 4, 48, 96,... b) 87, 764, 6, 4, 4,... c), 6, 8,,, 0, 6,... d),,, 7,,, 7, 9,,... e) ; ; ; ; ; 8 ) Doplňte číslo místo.

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny 5..9 zdálenost bodu od roiny ředpokldy: 508 Opkoání z minulé hodiny (definice zdálenosti bodu od přímky): Je dán přímk p bod. zdáleností bodu od přímky p rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Příklady na 13. týden

Příklady na 13. týden Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Autor: Jana Krchová Obor: Matematika. Hranoly

Autor: Jana Krchová Obor: Matematika. Hranoly Převeď na jednotky v závorce: Hranoly a) 0,5 cm 2 (mm 2 ) = 8,4 dm 2 (cm 2 ) = b) 2,3 m 2 (dm 2 ) = 0,078 m 2 (cm 2 ) = c) 0,09 ha (a) = 0,006 km 2 (a) = d) 4 a (m 2 ) = 540 cm 2 (m 2 ) = e) 23 cm 3 (mm

Více

4. 5. Pythagorova věta

4. 5. Pythagorova věta 4. 5. Pythgoro ět Pythgoro ět - úod Pythgoro ět popisuje zth, který pltí mezi délkmi strn proúhlém trojúhelníku. Vět zní: Geometrická definice: Obsh čterce sestrojeného nd přeponou (nejdelší strnou) proúhlého

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPO

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPO Stereometrie je mtemtiká ění isiplin zýjíí se prostoroými útry jejih zthy. Je to geometrie prostoru. 1. HRANOL ) kolmý hrnol pětioký hrnol trojoký hrnol kár Horní post hrnolu Boční stěny toří plášť hrnolu

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 15. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Přednáška trvala 80 minut a skončila

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

Základní stereometrické pojmy

Základní stereometrické pojmy ákladní stereometrické ojmy (ákladní ojmy a jejich modely) uer dvojče 01 a) hrací kostka, krabice; cihla, akvárium; c) trám, komín; d) střecha kostelní věže, svíčka (vhodného tvaru) e) střecha nad válcovou

Více

Příklady pro 8. ročník

Příklady pro 8. ročník Příklady pro 8. ročník Procenta: 1.A Vyjádřete v procentech: a) desetina litru je % b) polovina žáků je % c) pětina výměry je % d) padesátina délky je % e) tři čtvrtiny objemu je % f) dvacetina tuny je

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Povrchy a objemy těles II

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Povrchy a objemy těles II Název projektu: Spokojená škola Číslo projektu: OPVK.CZ.1.07/1.2.33/02.0039 Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 9.10 Povrchy a objemy těles II Pracovní list je zaměřen především na výpočty povrchů a

Více

Smíšený součin

Smíšený součin 7..14 Smíšený součin Předpoklady: 713 Je dán ronoběžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho objem umíme spočítat stereometrikým zorem: V = S. p Ronoběžnostěn je také určen třemi ektory a, b a R O P b N M a L jeho

Více

Stereometrie. Obsah. Stránka 924

Stereometrie. Obsah. Stránka 924 Obsah 6. tereometrie... 95 6.1 Polohové úlohy... 95 6.1.1 Řezy těles... 95 6.1. Průnik přímky s rovinou... 94 6.1. Průnik přímky s povrchem tělesa... 947 6. Metrické úlohy... 951 6..1 Vzdálenost dvou bodů...

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_15 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Matematika 9. ročník

Matematika 9. ročník Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: SVFMFRIH) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou zakresleny dva

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

3.3. Operace s vektory. Definice

3.3. Operace s vektory. Definice Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.

Více

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou čtyři červené

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

S = 2. π. r ( r + v )

S = 2. π. r ( r + v ) horní podstava plášť výška válce průměr podstavy poloměr podstavy dolní podstava Válec se skládá ze dvou shodných podstav (horní a dolní) a pláště. Podstavou je kruh. Plášť má tvar obdélníka, který má

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Pravoúhlá axonometrie. tělesa

Pravoúhlá axonometrie. tělesa Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

VÝPOČET SPOTŘEBY MATERIÁLU

VÝPOČET SPOTŘEBY MATERIÁLU PROGRAM DALŠÍHO VZDĚLÁVÁNÍ KLEMPÍŘ STAVEBNÍ (36-053-H) OBOR KLEMPÍŘ STAVEBNÍ (36-99-H/09) STUDIJNÍ TEXT K VZDĚLÁVACÍMU MODULU VÝPOČET SPOTŘEBY MATERIÁLU (KÓD MODULU KS6) Učebnice vznikla v rámci projektu

Více