K elektrodynamice pohybujících se těles; od A. Einsteina. I. Kinematická část.

Transkript

1 K elektrodynmice pohybujících se těles; od Einstein Je známo že Mxwello elektrodynmik jk je pojímán dnes ede plikcích n pohybující se těles k symetriím které nejsou souldu s pozoroáním Myslí se tím npř zájemné elektrodynmické působení mezi mgnetem odičem Pozoroný je záisí jen n reltiním pohybu mezi odičem mgnetem le obyklém pojetí jsou od sebe ob přípdy kdy se jedno nebo druhé těleso pohybuje zásdně odděleny Pohybuje-li se mgnet odič je klidu zniká okolí mgnetu elektrické pole s určitou energií které oblstech kde se nchází části odiče ytáří proud le pokud je mgnet klidu pohybuje se odič nezniká okolí mgnetu žádné elektrické pole e odiči šk zniká elektromotorická síl které neodpoídá žádná energie le - shod reltiních pohybů se obou přípdech předpokládá - způsobí elektrický proud o téže elikosti směru jko prním přípdě Podobné příkldy stejně jko nezdřené pokusy zjistit pohyb země ůči sětelnému éteru edou k domněnce že pojmu bsolutního klidu neyhoují žádné lstnosti jeů nejen mechnice le tké elektrodynmice Pro šechny sousty souřdnic pro něž pltí ronice mechniky mjí pltnost tké stejné elektrodynmické optické zákony jk je již dokázáno u eličin prního řádu Chceme tuto domněnku (jejíž obsh bude dále zmíněn principu reltiity ) pozednout n předpokld kromě toho uést jen zdánliě neslučitelný předpokld že sětlo se prázdném prostoru šíří ždy určitou rychlostí jenž je nezáislá n pohyboém stu těles které ho ydáá Tyto d předpokldy postčují k odození jednoduché bezrozporné elektrodynmiky pohybujících se těles se zákldem Mxwelloě teorii těles klidu Zedení sětelného éteru se tomto pojetí ukáže jko ndbytečné když se nepoužije ni bsolutně klidný prostor ybený zláštními lstnostmi ni nebude přiřzen bodům prázdného prostoru e kterém se dějí elektromgnetické procesy žádný ektor rychlosti Rozíjená teorie se opírá - jko kždá jiná elektrodynmik - o kinemtiku tuhého těles protože ýroky kždé tkoé teorie popisují zthy mezi tuhými tělesy (soustmi souřdnic) hodinmi elektromgnetickými jey Nedosttečný důrz n tuto okolnost je prmenem těžkostí se kterými součsná elektrodynmik pohybujících se těles bojuje I Kinemtická část Definice součsnosti Mějme soustu souřdnic níž pltí Newtonoy zákony mechniky Nzýáme ji kůli jzykoému odlišení od později zedených soust souřdnic pro přesnější předstu nehybnou soustou Polohu hmotného bodu který je nehybný zhledem k této soustě souřdnic můžeme určit tuhým měřítkem s použitím euklidoské geometrie yjádřit krtézských souřdnicích Pokud chceme popst pohyb hmotného bodu udáme jeho souřdnice jko funkci čsu Je zřejmé že tkoý mtemtický popis má fyzikální smysl ž tehdy když se předem objsní co zde znmená pojem čs šimněme si že šechny nše úsudky nichž hrje roli čs jsou ždy úsudky o součsných událostech Když npř řekneme: Ten lk sem přijede 7 hodin tk to si znmená: Ukázání mlé ručičky mých hodinek n 7 příjezd lku jsou součsné události ) Mohlo by se zdát že šechny obtíže spojené s definicí čsu se djí překont tím že místo slo čs použijeme ýrz ) Nepřesnost tom že dě události probíhjí součsně n (přibližně) totožných místech která je překlenut bstrkcí zde nebude probírán

2 postení mlé ručičky mých hodinek Tkoá definice skutečně stčí když se jedná o určení čsu pouze n místě kde se práě hodiny ncházejí Už le nestčí pokud chceme řdy událostí dějících se n různých místech sázt čse nebo což je totéž čsoě ohodnotit události odehrájící se n místech zdálených od hodin Mohli bychom se zjisté spokojit s tkoým ohodnocením událostí čse že pozorotel ncházející se i s hodinmi počátku souřdnic přiřdí událostem tu polohu hodinoých ručiček při níž k němu dospěje prázdným prostorem sětelné znmení Jk íme ze zkušenosti nedosttek tohoto přiřzení spočíá tom že není nezáislé n místě pozorotele s hodinmi K prktičtějšímu stnoení dospějeme následující úhou Nchází-li se bodě hodiny pk může pozorotel hodnotit čsoě události bezprostředním okolí nlezením součsného postení hodinoých ručiček Nchází-li se bodě B prostoru tké hodiny - dodejme že hodiny přesně stejných lstností jko mjí hodiny které se ncházejí - je možné tké čsoé ohodnocení událostí bezprostředním okolí B pozorotelem B le nemůžeme bez dlší definice událost událost B sronát Ztím máme pouze čs čs B le žádný společný čs pro i B Tento čs můžeme určit jedině tk když definicí stnoíme že sětlo potřebuje stejný čs by dospělo od do B jko čs který potřebuje by dospělo z B do Kdyby byl totiž pprsek yslán z do B čse t byl by B čse B t B održen dorzil by čse t zpět do Oboje hodiny jdou podle definice synchronně když t t = t t B Předpokládáme že tto definice synchronismu je bezrozporná to pro liboolný počet bodů že tedy šeobecně pltí tyto zthy: ) Když jdou hodiny B synchronně s hodinmi tk jdou hodiny synchronně s hodinmi B B ) Když jdou hodiny synchronně nejen s hodinmi B le i s hodinmi C tk jdou synchronně i hodiny B reltině ůči hodinám C Pomocí určité (myšlené) fyzikální zkušenosti jsme tk stnoili co se rozumí synchronně jdoucími hodinmi umístěnými klidu n různých místech tím jsme zřejmě definici součsnosti čsu získli Čs události je s dnou událostí součsný údj hodin které se ncházejí klidu n místě události jdou synchronně (pro šechny odečty čsu) s jinými hodinmi které jsou klidu Stnoíme ještě s ohledem n zkušenost že eličin B = t t je unierzální konstnt (rychlost sětl prázdném prostoru) Důležité je že jsme čs definoli pomocí hodin klidu klidoém systému zhledem k tomu nzeme práě definoný čs pro jeho příslušnost ke klidoému systému jko čs klidoého systému O reltiitě délek čsů Následující úhy se opírjí o princip reltiity princip konstntní rychlosti sětl které zde definujeme ) Zákony podle kterých se mění sty fyzikálních systémů jsou nezáislé n tom e kterém z (ze dou) ůči sobě se ronoměrně přímočře pohybujících systémů jsou upltňoány ) Kždý sětelný pprsek se klidoém souřdném systému pohybuje určitou rychlostí nezáisle n tom zd těleso kterým byl yslán je klidu nebo se pohybuje Zároeň je dráh sětl rychlost = dob přičemž čs je chápán e smyslu definice

3 Nechť je dán tuhá tyč klidu jejíž délk měřená měřítkem roněž klidu je l Předstme si nyní že os tyče je položen do X- oé osy klidoého souřdného systému tyč se pohybuje (rychlostí ) přímočrým pohybem ronoběžně s osou X e smyslu rostoucího x Nyní se ptáme n délku pohybující se tyče kterou zjistíme pomocí následujících dou opercí: ) Pozorotel se pohybuje s dříe uedeným měřítkem poměřuje délku tyče přikládáním měřítk práě tk jk měřil tyč když se ncházel klidu b) Pozorotel klidoém souřdném systému zjišťuje pomocí klidoých hodin synchronizoných podle e kterých bodech klidoého systému se nchází počátek konec měřené tyče určitém čse t zdálenost těchto bodů měřenou již použitým měřítkem klidu je možno tké oznčit jko délku tyče Podle principu reltiity musí délk kterou nzýáme délk tyče pohybujícím se systému nlezená při operci ) být stejná jko délk l klidoé tyče Délk tyče nlezená podle operce b) s yužitím obou nšich principů kterou nzýáme délk (pohybující se) tyče klidoém systému je různá od l Obecně použíná kinemtik předpokládá že pomocí obou opercí určené délky tyče jsou přesně stejné nebo jinými sloy že pohybující se tuhé těleso čsoém úseku t je z geometrického pohledu plně nhrditelné týmž tělesem které je dné poloze klidu Dále mějme doje písmeny ( B) oznčené hodiny které jsou synchronní s hodinmi klidoém systému tj ukzují čs klidoého systému n místech kde se práě ncházejí; jsou tedy synchronní klidoém systému Dále myslíme že se s kždými hodinmi pohybují pozorotelé kteří mjí oboje hodiny udržot synchronizoné podle kritéri čse ) t yrzí sětelný pprsek z čse t B bude održen z B čse t dorzí zpět do S ohledem n princip konstntní rychlosti sětl nlézáme: rb tb t = rb t tb = + přičemž r B je délk pohybující se tyče měřená klidoém systému Pozorotel který se pohybuje s tyčí by tedy prohlásil že oboje hodiny nejsou synchronní ztímco pozorotel klidoém systému by je z synchronní prohlásil idíme tedy že pojmu součsnosti kterým se zbýáme nemůžeme přičítt bsolutní ýznm le že dě události které požujeme z součsné jednom souřdném systému jiném ůči prnímu se reltině pohybujícímu systému jko součsné nechápeme 3 Teorie souřdnicoých čsoých trnsformcí od klidoého systému n systém který se ůči tomuto pohybuje přímočře Nechť jsou klidoém prostoru d souřdné systémy tj d systémy z nichž kždý má tři z jednoho bodu ycházející n sebe kolmé tuhé hmotné osy X-oé osy obou systémů mohou splýt Y-oé Z-oé osy jsou ronoběžné Kždému systému přiřdíme jedny hodiny tuhé měřítko nechť jsou obě měřítk i oboje hodiny obou systémů nzájem přesně stejné Počátku jednoho systému (k) je udělen (konstntní) rychlost e směru rostoucího x druhého klidoého systému (K) tuto rychlost můžeme udělit tké příslušným měřítkům n osách hodinám ) Čs zde znmená čs klidoého systému zároeň polohu ručiček pohybujících se hodin které se n místě o němž je řeč nchází

4 Kterémukoli čsu t klidoého systému (K) odpoídá jistá poloh os pohybujícího se systému zhledem k symetrii jsme schopni přijmout že pohyb od K je tkoý že osy pohybujícího se systému čse t (čs t oznčuje ždy čs klidoého systému) jsou ždy ronoběžné s osmi klidoého systému Nyní užujeme prostor systému K měřený měřítky klidu pohybující se systém k s měřítky které se s ním pohybují tk zjišťujeme souřdnice x y z př ξ η ζ Čs t e šech bodech klidoého systému nichž se ncházejí hodiny určíme s pomocí hodin které jsou klidu tomto systému s pomocí sětelného signálu metodou uedenou ; stejně určíme čs τ pohybujícího se systému e šech bodech tohoto systému němž se ncházejí hodiny které jsou ůči němu klidu s použitím sětelných signálů mezi těmito body podle postupu uedeného Ke kždé události klidoého systému se soustou souřdnic x y z t která zcel určuje místo čs přísluší událost systému k dná souřdnicoou soustou ξ η ζ τ Nyní je úkolem yřešit soustu ronic která tyto eličiny spojuje Je zřejmé že ronice musí být lineární kůli homogenitě lstností které u prostoru čsu předpokládáme Jestliže položíme x = x t je zřejmé že bodům které jsou klidu systému k náleží určitý n čse nezáislý systém hodnot x y z Nejdříe určíme τ jko funkci x y z t K tomuto účelu ronicích yjádříme že τ není nic jiného než souhrn údjů od hodin které jsou klidu systému k jsou synchronizoány podle pridl z Z počátku systému k bude čse τ 0 yslán sětelný pprsek podél X-oé osy do x odtud bude čse τ održen do počátku souřdného systému kde dorzí okmžiku τ ; pk tedy musí být: ( τ 0 + τ ) = τ nebo použitím rgumentů funkce τ plikcí principu konstntní rychlosti sětl klidoém systému: x x x τ ( 000 t ) + τ 000 t + + = τ x 00 t + + Z toho yplýá když se zolí x nekonečně mlé τ τ τ + = + + t x t nebo τ τ + = 0 x t šimněme si že bychom místo počátku souřdnic mohli zolit liboolný jiný bod jko ýchozí bod sětelného pprsku proto pltí tto ronice pro šechny hodnoty x y z šimněme si že podobná úh - použitá n osy Η Ζ - ukzuje že se sětlo šíří podél těchto os užoných klidoém systému rychlostí : τ = 0 y τ = 0 z Z těchto ronic plyne že τ je lineární funkcí: τ = t x přičemž je ztím neznámá funkce ϕ() pro stručnost předpokládejme že jsme počátku systému k je τ = 0 t = 0 S pomocí tohoto ýsledku je sndné určit eličiny ξ η ζ prostřednictím ronic yjdřujících že se sětlo (jk to yžduje princip konstntní rychlosti sětl e spojení s principem reltiity) tké měřeno pohybujícím se systému šíří konstntní rychlostí Pro sětelný pprsek yslný čse τ = 0 e směru rostoucí ξ pltí:

5 ξ = τ η = ϕ( )y nebo ζ = ϕ( )z ξ = t x kde β = le nyní se pohybuje sětelný pprsek zhledem k počátečnímu bodu k měřeno klidoém systému rychlostí tkže pltí: x ϕ je ztím neznámá funkce záislá n Jestliže se neděljí žádné = t předpokldy o počáteční poloze pohybujícího se systému o Dosdíme-li tuto hodnotu t do ronice pro ξ tk získáme: nuloém bodě τ tk se n prou strnu těchto ronic připojí ditiní konstnt ξ = x Nyní musíme dokázt že se kždý sětelný pprsek měřeno pohybujícím se systému šíří rychlostí pokud je to jk jsme přijli Obdobným způsobem nlezneme pomocí úhy o sětelných událost sousty klidu; neboť jsme ještě nepodli důkz že princip pprscích pohybujících se podél obou zbylých os: konstntní rychlosti sětl je slučitelný s principem reltiity η = τ = t x čse t = τ = 0 kdy je společný počátek souřdnic obou systémů yšleme z tohoto počátku kuloou lnu která se šíří kde systému K rychlostí Pokud je práě teď lnou zsžen bod (x y y z) pk pltí = t ; x = 0 ; x + y + z = t tedy Tuto ronici trnsformujeme pomocí nšich trnsformčních ronic po jednoduchém ýpočtu obdržíme: η = y ξ + η + ζ = τ ln je tedy tké pohybujícím se systému pozoroán jko kuloá s rychlostí šíření Tímto je dokázáno že ob nše zákldní ζ = z principy jsou spolu slučitelné trnsformčních ronicích které jsme ododili ystupuje Jestliže dosdíme z x jeho hodnotu tk obdržíme: neznámá funkce ϕ záislá n kterou chceme nyní určit Z tímto účelem zedeme ještě souřdný systém K který se τ = ϕ() β t x pohybuje ůči systému k přímočře ronoběžně k ose Ξ tk že se jeho počátek souřdnic pohybuje rychlostí - podél osy Ξ ξ = ϕ( ) β ( x t) okmžiku t = 0 se shodují počáteční body šech tří systémů

6 ϕ l Einstein K elektrodynmice pohybujících se těles l = ϕ ( ) ( ) ϕ ( ) = ϕ( ) Z těchto dříe nlezených zthů yplýá že ϕ ( ) = souřdnic nechť je pro t = x = y = z = 0 čs t systému K tké nuloý Nzěme x y z souřdnice systému K dojím použitím tkže nšich trnsformčních ronic obdržíme: trnsformční ronice přecházejí n: t = ϕ ( ) β ( ) τ + ξ = ϕ( ) ϕ( )t = τ β t x x = ϕ ( ) β ( ){ ξ + τ} = ϕ() ϕ( )x ξ = β ( ) η = ϕ( ) ϕ( ( x t ) y = ϕ )y η = y z = ϕ ( ) ζ = ϕ( ) ϕ( ) z ζ = z zthy mezi souřdnicemi x y z x y z neobshují čs t kde systémy K K musí být tedy ůči sobě klidu je zřejmé že β = trnsformce z K n K musí být identickou trnsformcí Je tedy: ϕ()( ϕ ) = Nyní se ptáme n ýznm ϕ() ezměme část osy Η systému k která je položen mezi body ξ = 0 η = 0 ζ = 0 ξ = 0 η = l 4 Fyzikální ýznm získných ronic pohybujícího se tuhého ζ = 0 Tto část osy Η je tyčí která se pohybuje ůči systému K těles s ním se pohybujících hodin rychlostí kolmo ke sé ose Konce tyče mjí K souřdnice: l y = ϕ() z = Pozorujeme tuhou kouli ) o poloměru R která je klidu ůči x = t 0 pohybujícímu se systému k jejíž střed leží počátku souřdnic k Ronice porchu této koule která se pohybuje ůči systému K x t y = 0 z = 0 rychlostí je: = ξ + η + ζ = R Délk tyče měřeno K je tedy l ϕ() ; tím je dán ýznm funkce ϕ Ronice porchu je souřdnicích x y z čse t = 0 : Z důodů symetrie je zřejmé že délk tyče která se pohybuje kolmo ke sé ose měřená klidoém systému je záislá n této rychlosti le ne n směru smyslu pohybu Nemění se tedy klidoém systému měřená délk pohybující se tyče když změníme s - Z toho plyne: nebo x + y + z = R Tuhé těleso které má při měření klidu tr koule má pohybu - pozoroáno klidoém systému - tr rotčního elipsoidu s osmi ) To je těleso které má klidu tr koule

7 R R R Ztímco se Y-oé Z-oé rozměry koule ( tedy tké kždého tuhého těles liboolného tru) při pohybu nemění jeí se X-oý rozměr poměru : ( ) zkrácený Tedy tím íce čím je ětší Při = se smrští šechny pohybující se předměty - pozoroáno z klidoého systému - n plošný útr Pro ndsětelné rychlosti budou nše úhy beze smyslu; osttně následující úhou zjistíme že rychlost sětl hrje nší teorii fyzikální roli nekonečně elké rychlosti Je zřejmé že stejné ýsledky pltí tké pro těles klidu klidoém systému která jsou pozoroán z pohybujícího se systému Mějme jedny hodiny které jsou-li klidu klidoém systému udájí čs t jsou-li klidu zhledem k pohybujícímu se systému k udájí čs τ Leží počátku souřdnic k jsou tk nsteny že ukáží čs τ Jk rychle jdou tyto hodiny jsou-li pozoroány z klidoého systému? Mezi eličinmi x t τ které se zthují k místu hodin pltí zřejmě ronice: Je tedy τ = t x z čehož plyne že údj hodin (pozoroáno klidoém systému) je z sek nebo znedbáme-li sekundu opožděn o ( ) hodnoty čtrtého yššího řádu o ( ) sek Z toho yplýá zláštní důsledek bodech B jsou klidu ůči K pozoroáno klidoém systému synchronní hodiny když pohybujeme hodinmi rychlostí e směru do B zjistíme po příchodu těchto hodin do B že oboje hodiny již nejsou synchronní nýbrž že hodiny které se pohybují z do B se proti hodinám které se B od zčátku ncházejí zpožďují o t sek (ž n hodnoty čtrtého yššího řádu) jestliže t je čs který potřebují hodiny od do B Je hned idět že tento ýsledek má pltnost tké když se hodiny pohybují z do B po liboolné polygonální trti tké tehdy když se body B shodují Předpokládáme že tento ýsledek dokázný pro polygonální čáru pltí tké pro nepřetržitou křiku Tk obdržíme ětu: Pokud se bodě nlézjí doje synchronní hodiny jedněmi z nich pohybujeme po uzřené křice neměnnou rychlostí ž se rátí zpět do bodu což trá t sek tk jdou tyto hodiny po sém příchodu do zhledem k nepohybujícím se t sek pozdu Usuzujeme z toho že hodiny s hodinám o ( ) nepokojem které se ncházejí n zemském roníku musí jít o elmi málo pomleji než přesně stejné hodiny umístěné z jink stejných podmínek n zemském pólu x = t 5 Teorém o sčítání rychlostí t t τ = = t systému k který se pohybuje podél osy X systému K rychlostí se pohybuje bod podle ronic: ξ = w τ ξ η = wητ

8 ζ = 0 přičemž w ξ w η mjí ýznm konstnt Hledáme pohyb bodu zhledem k systému K Pokud zedeme do pohyboých ronic bodu pomocí trnsformčních ronic odozených 3 eličiny x y z t tk dostneme: w ξ + x = t wξ + y = wη t wξ + z = 0 Zákon o ronoběžníku rychlostí pltí tedy podle nší teorie jen prním přiblížení Dosdíme: dx dy U = + dt dt w = w ξ + w η wy α = rctg ; w α je pk úhel mezi rychlostmi w Po jednoduchém ýpočtu yjde: ( + w + wcosα ) wsinα U = wcosα + Je pozoruhodné že w se projeují e ýsledné rychlosti symetricky Pokud má i w směr X-oé osy ( Ξ -oá os ) obdržíme: x + w U = w + Z této ronice plyne že složením dou rychlostí které jsou menší než znikne ždy rychlost menší než Dosdíme-li totiž = κ w = λ přičemž κ λ jsou kldná menší než tk je: κ λ U = < κλ κ λ + Kromě toho rychlost sětl složením s podsětelnou rychlostí nemůže být změněn tomto přípdě obdržíme: + w U = = w + zorec pro U bychom měli pro přípd že w mjí stejný směr obdržet tké pomocí dou trnsformcí dle 3 Zedeme edle systémů K k které figurují 3 ještě třetí systém k který se pohybuje ronoběžně s k jehož počáteční bod se pohybuje po ose Ξ rychlostí w Tk obdržíme ronice mezi eličinmi x y z t příslušnými eličinmi systému k které se od ronic nlezených 3 liší jen tím že místo zde ystupuje eličin: + w ; w + z toho plyne že tkoouto prlelní trnsformci - jk to musí být - toří jedn grup Nyní máme zeden pro nás potřebný prát dou principů příslušné kinemtiky přejdeme k jejich použití elektrodynmice