ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH"

Transkript

1 Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ, Lenk JUKLOVÁ Olomouc 03

2 Oponenti: Mgr. Mrie Chodorová, Ph.D. Mgr. Hn Chudá, Ph.D. Neoprávněné užití tohoto díl je porušením utorských práv může zkládt občnskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. Mrie Ošlejšková, Lenk Juklová, 03 Univerzit Plckého v Olomouci, 03 ISBN

3 ÚVOD ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Konstrukce rotčních kvdrik ze zdných podmínek Příkld Konstrukce rotčního elipsoidu v Mongeově promítání Příkld Konstrukce rotčního prboloidu v Mongeově promítání Příkld 3 Konstrukce rotčního prboloidu v kótovném promítání Příkld 4 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání Příkld 5 Konstrukce jednodílného rotčního hyperboloidu v prvoúhlé xonometrii Příkld 6 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání Řezy rotčních kvdrik Příkld 7 Řez rotčního elipsoidu v Mongeově promítání Příkld 8 Řez rotčního prboloidu v kótovném promítání Průsečíky přímky s rotční kvdrikou Příkld 9 Průsečíky přímky s jednodílným rotčním hyperboloidem, tečná rovin hyperboloidu v Mongeově promítání Příkld 0 Průsečíky přímky s rotčním elipsoidem v xonometrii Příkld Průsečík přímky s dvojdílným hyperboloidem, tečná rovin Příkld Tečné roviny k jednodílnému hyperboloidu procházející nevlstní přímkou Příkld 3 Průsečík přímky s rotčním prboloidem Průniky rotčních kvdrik Příkld 4 Průnik dvojdílného hyperboloidu elipsoidu Příkld 5 Průnik prboloidu protáhlého elipsoidu v xonometrii Příkld 6 Viviniho křivk Osvětlení rotčních kvdrik Příkld 7 Rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu Příkld 8 Středové osvětlení protáhlého elipsoidu Příkld 9 Rovnovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu v xonometrii Příkld 0 Rovnoběžné osvětlení jednodílného hyperboloidu ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ LITERATURA

4 Úvod Sbírk řešených příkldů je doplněním části učebního textu [], byl vyprcován jko diplomová práce []. Vzhledem k tomu, že sbírk nvzuje n učební text, je v ní vynechán teorie potřebná k řešení příkldů, kterou čtenář njde v []. Sbírk je určen především pro posluchče nvzujícího studi deskriptivní geometrie, je určen k procvičení učiv druhé části předmětu Plochy technické prxe, které je věnováno rotčním kvdrikám. Při studiu deskriptivní geometrie se studenti setkjí většinou se zákldními příkldy n rotčních kvdrikách, které jsou řešeny především v Mongeově promítání. Příkldy v jiných projekcích nebo komplexnějšího chrkteru nejsou v litertuře příliš běžné, přípdně je u nich jen zkrácený postup řešení studenti nemjí možnost si ověřit správnost svého řešení. V této sbírce příkldů je tk čtenáři nbídnut možnost prověřit si své znlosti nejen n zákldních úlohách, le vyzkoušet si řešení složitějších úloh nebo řešení příkldů n rotčních kvdrikách v různých projekcích. Kždý příkld obshuje podrobně popsný postup řešení, proto je možné zdání příkldů použít jko prcovní listy k smosttnému procvičení dné problemtiky správnost řešení si ověřit v popisu konstrukce. Čtenář tk může získt okmžitou zpětnou vzbu o správnosti svého řešení, přípdně sndno njít chyby, kterých se při řešení úlohy dopustil. Řešené příkldy mohou tké být vhodnou pomůckou pro učitele deskriptivní geometrie. Příkldy jsou rozvrženy tk, že zdání příkldů je uvedeno n smosttném listu, by bylo možné zdání příkldů kopírovt zdt žákům k vyřešení. Zdání příkldů lze použít k zdání domácí práce, přípdně písemné práce nebo ke společnému řešení úlohy. Text je rozdělen do několik podkpitol podle typu řešených příkldů. Nejprve jsou sestrojovány všechny rotční kvdriky zdné různými prvky příkldy jsou řešeny nejen v Mongeově projekci, le i v dlších prvoúhlých promítáních. V této podkpitole se k řešení příkldů využívá především znlosti vlstností dných rotčních kvdrik. Dlší podkpitol je věnován řezům rotčním kvdrik opět v různých prvoúhlých projekcích. Smosttná podkpitol je věnován konstrukcím průsečíků přímek s rotční kvdrikou. Příkldy jsou řešeny s důrzem n znlosti polárních vlstností rotčních kvdrik, nikoli pouze bodově jko průsečík přímky křivky řezu. Čtvrtá podkpitol rozebírá řešení průniků rotčních kvdrik v různých zobrzovcích metodách. Poslední podkpitol je věnován rovnoběžnému i středovému osvětlení rotčních kvdrik v různých zobrzovcích metodách. Ve všech příkldech sestrojovných v jiné projekci než Mongeově, resp. v Mongeově projekci s osou rotce, která není kolmá k některé z průměten, si čtenář rovněž procvičí konstrukci průmětů kvdrik jko konstrukci meze stínu vrženého v osvětlení dném promítáním. N závěr děkujeme oběm recenzentkám Mgr. Mrii Chodorové, Ph.D., Mgr. Hně Chudé, Ph.D. z cenné rdy připomínky. Olomouc, leden 04 Autorky 4

5 Řešené příkldy. Konstrukce rotčních kvdrik ze zdných podmínek Příkld Konstrukce rotčního elipsoidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte rotční elipsoid, který je zdán osou rotce, bodem R rovníku obecným bodem A plochy. Příkld (postup). Protože je os rotce elipsoidu kolmá k půdorysně, leží rovnoběžky plochy v rovinách rovnoběžných s půdorysnou. Prvním skutečným obrysem plochy je proto rovník r, druhým skutečným obrysem je elips, která je hlvním meridiánem m ležícím v rovině která je rovnoběžná s nárysnou zároveň prochází osou rotce o. Půdorysem rovníku je kružnice r se středem o poloměrem o R, která je zároveň půdorysem rotčního elipsoidu.. Bod A elipsoidu leží n rovnoběžce v rovině rovnoběžné s půdorysnou. Prvním průmětem rovnoběžky je kružnice se středem o poloměrem o A. Sestrojíme body R rovníku r A náležící rovnoběžce, které leží v rovině jsou body hlvního meridiánu m. Bod R je hlvním vrcholem elipsy m. 3. Druhým zdánlivým obrysem elipsoidu je nárys elipsy m. Elips m je určen hlvní osou r s hlvním vrcholem R bodem elipsy A. Elipsu m sestrojíme z těchto prvků pomocí proužkové konstrukce. 5

6 Příkld (řešení) o m A' A R R' r x, A R o m A' R' r 6

7 Příkld Konstrukce rotčního prboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte rotční prboloid, který je zdán osou rotce, tečnou rovinou vrcholem V prboloidu. Určete bod dotyku plochy s rovinou prboloid omezte půdorysnou. Příkld (postup). Os prboloidu je kolmá k půdorysně, rovnoběžky plochy tedy leží v rovinách rovnoběžných s půdorysnou. Prvním skutečným obrysem prboloidu je rovnoběžk plochy, která leží v půdorysně která plochu prboloidu omezuje. Druhým skutečným obrysem je část prboly p (hlvní meridián) sečn, které leží v rovině rovnoběžné s nárysnou procházející osou rotce o.. Tečnou rovinu otočíme kolem osy prboloidu o tk, by po otočení byl kolmá k nárysně. Ke konstrukci využijeme spádovou přímku s roviny, jejíž půdorys prochází bodem V která v dném otočení přejde do přímky 0 s ležící v rovině hlvního meridiánu. Nárys přímky 0 s je pk tečnou k hlvnímu meridiánu p. 3. Obrysem plochy v náryse je část prboly, která je určen vrcholem V, osou o tečnou 0 s, (prbolu sestrojíme s využitím ohniskových vlstností určíme bod dotyku 0 T prboly tečny 0 s ). 4. Bod dotyku T prboloidu tečné roviny leží n rovnoběžce procházející bodem 0 T n spádové přímce s roviny procházející středem V. 5. Půdorysem rovnoběžky je kružnice se středem o poloměrem A o, prvním průmětem prboloidu je kruh ohrničený kružnicí. 7

8 Příkld (řešení) 0 s s n o V Q p r F T 0 T A x, A p V = o 0 T 0 s r T p s 8

9 Příkld 3 Konstrukce rotčního prboloidu v kótovném promítání V kótovném promítní sestrojte rotční prboloid, jestliže je zdán jeho vrchol V, ohnisko F. Prboloid ohrničte rovinou kolmou k ose o prboloidu procházející dným bodem O, který leží n ose prboloidu. Příkld 3 (postup). Protože os o prboloidu není rovnoběžná s průmětnou π, sestrojíme první průmět prboloidu pomocí rovnoběžného osvětlení, jehož směr s je kolmý n průmětnu π. Prvním obrysem plochy pk bude mez p vlstního stínu při osvětlení ve směru promítání. Zvolíme pomocnou průmětnu, která je kolmá k průmětně π prochází osou o prboloidu. V rovině leží meridián m prboloidu. Rovinu sklopíme (pro lepší přehlednost řešení sklopenou rovinu posuneme ve směru s kolmém n osu o ), sklopené útvry oznčíme indexem ve sklopení sestrojíme meridián m, kterým je část prboly ohrničená rovnoběžkou ležící v rovině kolmé k ose o prboloidu procházející bodem O. Ke konstrukci části prboly využijeme ohniskové vlstnosti této kuželosečky.. Druhý průmět rovnoběžky prboloidu se zobrzí jko úsečk. Její krjní body A, B promítneme ve směru osvětlení s, bod A se zobrzí n bod A, který sestrojíme jko průsečík přímky směru osvětlení procházející bodem A s osou o, stejným způsobem zkonstruujeme i bod B. Bod C rovnoběžky leží n sdruženém průměru k AB. Jeho druhý průmět C splývá s druhým průmětem O bodu O. Jeho první průmět C leží n přímce směru osvětlení procházející bodem C vzdálenost C O je rovn poloměru r rovnoběžky, tzn. r = A C. Prvním průmětem rovnoběžky je elips, jejíž vedlejší os je určen body A, B, hlvní poloos je určen body C, O. Podobným způsobem sestrojíme průměty dlších rovnoběžek prboloidu. 3. Mez p vlstního stínu (při osvětlení ve směru promítání) je část prboly. Její druhý průmět p je úsečk L M, kde bod L je dotykový bod prboly tečny t rovnoběžné se směrem osvětlení s. Sestrojíme body meze vlstního stínu P, R jko průsečíky prboly p s rovnoběžkou b prboloidu; v sestrojených bodech P, R se mění viditelnost rovnoběžky b. Pro přesnější vykreslení prboly p můžeme sestrojit stejným způsobem průsečíky s dlšími libovolnými rovnoběžkmi prboloidu. 9

10 Příkld 3 (řešení) z O z V o A s A b o (O) O (z ) O N C O = C b R M = N M B p P = R p F d L t V (o) (V) P B F V (z ) v L 0

11 Příkld 4 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte dvojdílný rotční hyperboloid, jestliže je dán os rotce o, přímk symptotické kuželové plochy p bod A hyperboloidu. Plochu omezte půdorysnou rovinou s ní souměrnou podle středu plochy. Příkld 4 (postup). Protože je os o plochy kolmá k průmětně π, půdorysem plochy je kruh, jehož hrniční kružnice je prvním průmětem rovnoběžky plochy ležící v půdorysně (přípdně v rovině rovnoběžné s půdorysnou souměrné podle středu S plochy). Nárysem plochy bude část hyperboly (omezená půdorysnou rovinou s ní souměrnou podle S) ležící v rovině hlvního meridiánu. Přímk p leží v rovině meridiánu m, rovin je určen osou o přímkou p. Rotcí kolem osy o přejde rovin do roviny hlvního meridiánu. Přímku p ležící v rovině otočíme kolem osy rotce o do roviny, tedy otočená přímk p 0 je rovnoběžná s nárysnou.. Ploch se v náryse zobrzí jko část hyperboly. Otočená přímk p 0 v náryse je symptotou této hyperboly, druhou symptotu r sestrojíme podle p 0 pomocí osové souměrnosti s osou o. 3. Průsečík S symptot r p 0 je středem hyperboly. Přímk rovnoběžná s hlvní osou o procházející bodem A protíná symptoty r p 0 po řdě v bodech K, L. Dá se ukázt, že pro bod A hyperboly tkto sestrojené body K, L pltí: KM. LM =, kde je délk hlvní poloosy hyperboly. Délku můžeme pk konstruktivně zjistit pomocí Eukleidovy věty o odvěsně. (Sestrojíme Thletovu kružnici nd průměrem A L, v ní sestrojíme prvoúhlý trojúhelník A L M, kde bod M leží n kolmici k přímce A L vedené z bodu K zároveň náleží Thletově kružnici; potom vzdálenost AM je rovn velikosti hlvní poloosy hledné hyperboly). 4. Sestrojíme hlvní vrcholy B, C hyperboly, můžeme sestrojit i dlší body hyperboly pro její přesnější vyrýsování. 5. Půdorysem plochy je kruh se středem v bodě o poloměrem odpovídjícím vzdálenosti krjních bodů rovnoběžky plochy ležící v půdorysně od osy o. Odvození podrobný popis konstrukce lze nlézt v [4, s.04-05]

12 Příkld 4 (řešení) o p r A p 0 M K C L S Y' B Y X X' x, A p 0 P 0 o m P p

13 Příkld 5 Konstrukce jednodílného rotčního hyperboloidu v prvoúhlé xonometrii V prvoúhlé xonometrii zdné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte obrys rotčního jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotcí přímky m = MN kolem osy z. Plochu omezte rovinou dnou osmi x, y rovinou s ní rovnoběžnou souměrnou podle středu hyperboloidu. Příkld 5 (postup). Bod T přímky MN, který leží nejblíže k ose rotce, vytvoří rotcí hrdelní kružnici k jednodílného hyperboloidu, jejíž střed S je zároveň středem plochy. Kružnice k leží v rovině rovnoběžné s průmětnou π = (x, y). Situci v prostoru promítneme do průmětny π otočíme ji. V otočení se přímk m zobrzí n přímku m = M N, os z hyperboloidu se v otočení zobrzí do bodu O. N přímce m hledáme bod, který leží nejblíže k ose rotce, tedy v otočení řešíme plnimetrickou úlohu k dné přímce m sestrojujeme kružnici k se středem O tk, by přímk m byl tečnou hledné kružnice k. Bod dotyku kružnice k přímky m oznčíme T určíme jeho xonometrický průmět T n přímce m. Protože rovnoběžk k leží v rovině rovnoběžné s první průmětnou, můžeme sestrojit střed S elipsy k tk, že v první průmětně určíme spojnici T prvního xonometrického průmětu bodu T s bodem O. S touto spojnicí vedeme rovnoběžku bodem T, její průsečík s osou z je hledný střed S rovnoběžky k zároveň i střed hyperboloidu.. Bod M leží v první průmětně, jeho rotcí kolem osy z vznikne rovnoběžk ležící v první průmětně, kterou je ploch omezen. Konstrukci rovnoběžky provedeme nejprve v otočení, tedy sestrojíme kružnici se středem v bodě O poloměrem O M. Axonometrickým průmětem rovnoběžky je elips se středem O, její hlvní os leží n kolmici k ose z vedené bodem O poloměr hlvní osy je O M. Vedlejší osu elipsy sestrojíme s využitím rovnoběžek s osmi x, y vedenými krjními body hlvní osy elipsy (průsečík těchto rovnoběžek je bodem elipsy ) proužkové konstrukce elipsy (konstrukce kružnice v prvoúhlé xonometrii viz npř. [, s. 30]). Stejným způsobem sestrojíme i xonometrický průmět k kružnice k. 3. Osou z proložíme promítcí rovinu λ sklopíme ji do průmětny. Pro větší přehlednost řešení posuneme sklopenou rovinu λ ve směru s kolmém n osu z. Ve sklopené rovině sestrojíme rovnoběžky k, meridián (hyperbolu), ve kterém rovin λ protíná rotční hyperboloid. Tuto hyperbolu sestrojujeme s využitím jejích ohniskových vlstností. 4. Směr s kolmý n osu z je sklopeným směrem osvětlení. Zvolíme libovolnou rovinu, která je kolmá k ose z (zde npř. procházející středem S). Tto rovin protne plochu v rovnoběžce k, která se ve sklopení zobrzí jko úsečk. Krjní body střed této úsečky promítneme ve směru osvětlení s n osu z získáme tk vedlejší osu střed xonometrického průmětu rovnoběžky, kterým je elips. Vzdálenost středu úsečky jejího krjního bodu udává velikost hlvní osy xonometrického průmětu rovnoběžky k (lze využít i průměr otočené rovnoběžky v prvním průmětu). 5. Podobně sestrojíme i xonometrický průmět symptotické kuželové plochy. Bod P n obryse kuželové plochy sestrojíme s využitím polárních vlstností. Bod P tedy bude ležet n tečně vedené z bodu S k elipse. Bod P n obryse hyperboloidu leží n kolmici k ose z procházející bodem P. Tímto způsobem sestrojíme dosttečný počet obrysových bodů rotčního hyperboloidu sestrojíme obrysovou křivku. Body ležící n obrysové křivce jsou zároveň body, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu. 3

14 Příkld 5 (řešení) z v z A F A s u S m N k k S P P' B T O B F' M = M T N m y M N T x m O k 4

15 Příkld 6 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání zobrzte rotční dvojdílný hyperboloid s osou o v obecné poloze vzhledem k průmětnám, který je dný osou o, velikostí hlvní poloosy excentricitou e. Plochu omezte rovinou kolmou k ose o procházející bodem M. Zobrzte řez plochy rovinou ρ. Příkld 6 (postup). Zvolíme třetí průmětnu γ, která prochází osou o kolmo k průmětně π, průmětnu γ sklopíme do π.. Průmětn γ protíná hyperboloid v tvořící hyperbole. Ze zdných prvků sestrojíme ve sklopení hyperbolu (využijeme ohniskových vlstností hyperboly). 3. První průmět hyperboloidu sestrojíme pomocí rovnoběžného osvětlení, jehož směr s je kolmý n π; první obrys hyperboloidu je mezí vlstního stínu při osvětlení ve směru s kolmém k π. Třetím průmětem kružnice k (M, r) hyperboloidu je úsečk, kterou promítneme ve směru osvětlení s do π dostneme půdorys hrniční kružnice plochy (podobně jko v příkldu č.3). Podobným způsobem sestrojíme dlší rovnoběžky hyperboloidu. Mez p vlstního stínu (při osvětlení ve směru promítání) leží mimo ohrničenou oblst, proto není třeb ho v tomto přípdě sestrojovt, můžeme le sestrojit viditelnost plochy. 4. Nárys plochy můžeme sestrojit dvěm způsoby, můžeme použít podobnou konstrukci jko pro sestrojení půdorysu, tzn. sestrojením čtvrté průmětny, kterou sklopíme sestrojíme mez vlstního stínu při osvětlení ve směru kolmém k ν. Nebo můžeme druhý obrys plochy sestrojit jko obálku nárysů rovnoběžek plochy (při řešení jsem použil tohoto druhého způsobu). Rovnoběžky hyperboloidu leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách, z toho důvodu jsou jejich nárysy homotetické elipsy, tkže jejich odpovídjící si spojnice vrcholů hlvních vedlejších os jsou rovnoběžné. Sestrojíme npříkld nárys hrniční rovnoběžky k tk, že nejprve sestrojíme nárys jejího středu M. Rovnoběžk k leží v rovině α kolmé k ose o, jejím půdorysem je elips k, jejíž hlvní os má velikost poloměru rovnoběžky leží n hlvní přímce h první osnovy roviny α. Sestrojíme nárys h hlvní přímky, který bude rovnoběžný se zákldnicí. Nárysem rovnoběžky k bude opět elips, jejíž hlvní os je kolmá k ose o její velikostí je poloměr kružnice k je dále určen krjními body průměru rovnoběžky, kterým prochází přímk h. Elipsu můžeme sestrojit pomocí proužkové konstrukce. 5. Dlší rovnoběžky již lze sestrojovt jednodušeji. Njdeme střed sestrojovné rovnoběžky, hlvní os je kolmá n osu o její velikost je rovn poloměru rovnoběžky. Vedlejší vrcholy sestrojíme pomocí rovnoběžek spojujících hlvní vedlejší vrcholy elips. 5

16 Příkld 6 (řešení) o e B A M k x, h M S A k B M 3 k 3 3 F 3 o A 3 S 3 B 3 o 3 6

17 . Řezy rotčních kvdrik Příkld 7 Řez rotčního elipsoidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte řez rotčního elipsoidu, jehož os je kolmá k půdorysně je zdán meridiánem, rovinou. Příkld 7 (postup). Řezem rotčního elipsoidu je elips, která je souměrná podle roviny procházející osou o kolmo k rovině. Sestrojíme osu s této elipsy řezu, s =. V rovině leží meridián n rotční kvdriky, rovinu otočíme kolem osy o roviny μ rovnoběžné s nárysnou, v otočení určíme průsečíky A, B přímky s meridiánu n. Průsečíky otočené přímky s 0 s meridiánem jsou body A 0, B 0, jejichž zpětným otočením získáme body A, B.. Sestrojíme bod O jko střed úsečky AB. Bod O je zároveň středem řezu. Druhá os h elipsy řezu prochází bodem O, je kolmá k přímce s leží v rovině řezu. Os kvdriky o je kolmá k π, půdorys řezu je tedy souměrný podle roviny, přímk A B je osou elipsy řezu. Rovin je rovinou souměrnosti, proto půdorysy tečen řezu v bodech A, B jsou kolmé k nárysy jsou rovnoběžné se zákldnicí. Druhá os elipsy řezu prochází bodem O leží n přímce h kolmé k s (tedy n hlvní přímce I. osnovy roviny ρ). 3. Vrcholy C, D řezu sestrojíme jko průsečíky hlvní přímky h elipsoidu (resp. jeho rovnoběžky, která leží v rovině procházející bodem O). 4. Nárysem řezu elipsoidu rovinou je elips určená sdruženými průměry A B, C D, půdorysem řezu je elips s osmi A B, C D. Ke konstrukci elipsy řezu v náryse můžeme využít Rytzovu konstrukci. 5. Určíme body n obrysech, ve kterých se mění viditelnost řezu. Druhý obrys leží v rovině μ, rovin μ protíná rovinu řezu v hlvní přímce g druhé osnovy. Přímk g protne hlvní meridián v bodech G, H. V bodech G, H se mění viditelnost řezu v náryse (nárys elipsy řezu se v těchto bodech dotýká nárysného obrysu elipsoidu). 6. V půdoryse je obrysem plochy rovník. Rovníkem proložíme rovinu, rovin protíná rovinu v hlvní přímce f. Společné body E, F přímky f rovníku ptří řezu. V bodech E, F se mění viditelnost řezu v půdoryse (půdorys elipsy řezu se v těchto bodech dotýká zdánlivého půdorysného obrysu elipsoidu). 7

18 Příkld 7 (řešení) s 0 f A 0 o C S O D A G h n s g H B B 0 D F x, B o = s 0= g O A p h C f E = s 8

19 Příkld 8 Řez rotčního prboloidu v kótovném promítání V kótovném promítní sestrojte rotční prboloid, jestliže je zdán jeho vrchol V, ohnisko F. Prboloid ohrničte rovinou kolmou k ose o prboloidu procházející dným bodem O, který leží n ose prboloidu. Sestrojte řez prboloidu rovinou ρ, která je zdná stopou hlvní přímkou. Příkld 8 (postup). Sestrojení prboloidu viz příkld č. 3.. Protože os o prboloidu je různoběžná s průmětnou π, zjednodušíme si konstrukci řezu prboloidu dnou rovinou ρ tím, že osou o proložíme pomocnou průmětnu α, která je kolmá k rovině řezu ρ. Tkto zvolenou rovinu α následně otočíme do průmětny π. Protože rovin řezu ρ je k rovině α kolmá, v otočení se rovin řezu ρ zobrzí jko přímk, což nám usndní konstrukci řezu. 3. Sestrojíme průsečík R osy o s rovinou řezu ρ. Konstrukci provedeme npř. pomocí krycí přímky m, která náleží rovině ρ jejíž první průmět splývá s osou o. Sklopením přímek o, m získáme jejich sklopený průsečík [R], z něhož odvodíme první průmět R. 4. Průsečíkem R osy o s rovinou řezu ρ proložíme přímku k, která je kolmá k rovině ρ. Průmět k přímky k je kolmý n stopu roviny ρ zároveň splývá s průmětem s spádové přímky s roviny ρ. Sestrojíme tedy spádovou přímku s roviny ρ vedenou bodem R kolmou ke stopě roviny ρ. Přímku s sklopíme sklopeným bodem (R) přímky (s) vedeme sklopenou přímku (k) kolmou n (s). N přímce k určíme stopník P k přímk k je tk určen svým stopníkem bodem R. Pomocná rovin α kolmá k rovině řezu ρ je určen osou o přímkou k. Pomocí stopníků přímek o k sestrojíme stopu roviny ρ. 5. Rovinu α otočíme do průmětny (osou otáčení je stop roviny α ). V otočení sestrojíme meridián prboloidu, ve kterém rovin α plochu protíná. K sestrojení meridiánu využijeme npř. otočený vrchol V 0, ohnisko F 0, osu o 0 bod O 0 z těchto prvků sestrojíme prbolu meridiánu pomocí ohniskových vlstností prboly. Rovin řezu ρ se v otočení zobrzí jko přímk p 0 ρ, protože je kolmá k rovině α. Přímku p 0 ρ sestrojíme jko spojnici průsečíku stop p ρ p α rovin ρ α s bodem R Plochou prboloidu prokládáme roviny kolmé k ose o plochy. Kždá tková rovin protíná plochu prboloidu v rovnoběžce rovinu řezu ρ v přímce. Body řezu sestrojíme jko průsečíky rovnoběžky prboloidu průsečnice roviny, ve které dná rovnoběžk leží s rovinou řezu ρ. Sestrojíme body K, L řezu ležící v rovině kolmé k ose o prboloidu procházející ρ bodem O. V otočení do průmětny sestrojíme body K 0, L 0 jko průsečíky přímky p 0 s rovnoběžkou b 0 ležící v rovině B. První průměty bodů K, L sestrojíme jko průsečíky α přímky kolmé ke stopě otáčení p procházející bodem K 0 = L 0 s rovnoběžkou b prboloidu. Protože je prboloid omezený rovinou, jsou body K, L krjními body řezu. 7. Dlší body řezu sestrojíme nlogickým způsobem jko body K, L, zde jsou sestrojeny npř. body M, N. Řezem prboloidu rovinou ρ je část elipsy ohrničená úsečkou KL. Body řezu, ve kterých se mění viditelnost, sestrojíme jko body dotyku křivky řezu obrysové křivky p prboloidu. Protože v tomto přípdě není průsečík stop rovin ρ α dostupný n nákresně, je ke konstrukci je využito průsečíku A hlvních přímek rovin ρ α o stejné kótě následného otočení bodu A do průmětny. 9

20 Příkld 8 (řešení) o 0 0 K = L 0 0 d 0 V 0 F 0 d 0 b 0 z O z V b o = m k = s (k) R 0 O 0 M = N 0 0 D 0 K b s O o [m] L [R] [O] d R P k O (z ) O M (R) ρ S D (s) h (z ) O p p 0 A 0 F d p [V] p N F V (z ) v h (z ) p O A V [o] d 0

21 .3 Průsečíky přímky s rotční kvdrikou Příkld 9 Průsečíky přímky s jednodílným rotčním hyperboloidem, tečná rovin hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte průsečíky přímky m s jednodílným rotčním hyperboloidem, jehož os je kolmá k půdorysně je zdán meridiánem. V jednom z průsečíků přímky s hyperboloidem sestrojte tečnou rovinu. Příkld 9 (postup). Nárys přímky m protne druhý zdánlivý obrys plochy. K řešení využijeme prostorové kolinece. Přímkou m proložíme rovinu ρ kolmou k nárysně. Tto rovin protíná hyperboloid v elipse e. N hyperboloidu zvolíme rovinu α rovnoběžnou s půdorysnou, která protíná hyperboloid v rovnoběžce. Kružnice elips e jsou kuželosečky, které leží n dvou kuželových plochách s vrcholy V W. Vzhledem k tomu, že roviny ρ α jsou kolmé k nárysně, leží body V, W v rovině hlvního meridiánu. Vybereme si jednu z kuželových ploch, npř. s vrcholem V.. V prostorové kolineci se středem V odpovídá elipse e kružnice. V této kolineci sestrojíme obrz m přímky m. N přímce m zvolíme bod K (npř. bod, jehož nárys K je průsečíkem nárysu přímky m nárysu hlvního meridiánu) určíme jeho obrz K, který leží v rovině α n přímce VK. Bod O přímky m leží n průsečnici rovin ρ α, což je os dné kolinece, tkže je v této kolineci smodružným bodem. 3. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m kružnice v prostorové kolineci určíme jejich obrzy X Y n přímce m. Body X Y jsou průsečíky přímky m s hyperboloidem. Podle polohy přímky m vzhledem k průmětnám ploše hyperboloidu určíme viditelnost přímky m. 4. Kždá tečná rovin jednodílného rotčního hyperboloidu je určen dvojicí přímek různých regulů, které se protínjí v dotykovém bodě. Tedy tečná rovin plochy v bodě X je určená tvořícími přímkmi t, u různých regulů hyperboloidu, které bodem X procházejí. Půdorysy přímek t, u sestrojíme jko tečny z půdorysu X bodu X k půdorysu h hrdelní rovnoběžky h. Nárysy přímek sestrojíme npř. jko spojnice bodu X bodů, ve kterých přímky t, u protínjí rovnoběžku, kterou je hyperboloid ohrničen. Můžeme tké určit viditelnost přímek t, u, v náryse se viditelnost n přímce t mění v bodě C, který leží v rovině hlvního meridiánu, přímk u je v náryse vidět celá, protože hlvní meridián plochy neprotíná. V půdoryse se viditelnost přímky t mění v bodě D, ve kterém se přímk t dotýká hrdelní rovnoběžky hyperboloidu, nlogicky sestrojíme bod dotyku E pro přímku u.

22 Příkld 9 (řešení) o m t u K K' C D E Y S e O X V x, t m K' Y' D Y K V C O S X E X' u m'

23 Příkld 0 Průsečíky přímky s rotčním elipsoidem v xonometrii V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průsečíky přímky m s protáhlým rotčním elipsoidem, který je zdný středem S velikostí hlvní osy vedlejší poloosy b. Příkld 0 (postup). Konstrukci rotčního protáhlého elipsoidu v xonometrii provedeme podobně jko v příkldu č. 5.. Přímkou m proložíme rovinu ρ, která je kolmá k průmětně π = (x, y). Rovin ρ protíná plochu elipsoidu v elipse e. K sestrojení elipsy využijeme průmětu elipsoidu do první průmětny π otočení průmětny π kolem její xonometrické stopy do xonometrické průmětny, otočené útvry oznčíme indexem. 3. Průsečíky K, L roviny ρ rovníku elipsoidu jsou body, ve kterých má elips řezu e tečny rovnoběžné s osou z. První průmět roviny ρ splývá s přímkou m, prvním průmětem rovníku elipsoidu je kružnice r. První průměty K, L bodů K, L sestrojíme jko průsečíky přímky m kružnice r. Určíme xonometrické průměty K, L bodů K, L ležící n xonometrickém průmětu rovníku r n přímkách směru otočení. 4. Dlší body řezu A, B sestrojíme jko průsečíky roviny ρ s rovnoběžkmi, b elipsoidu, pro které pltí, že rovin ρ má s dnou rovnoběžkou společný pouze jeden bod, tedy rovin ρ je tečná k rovnoběžkám, b. K sestrojení bodů A, B použijeme průměty rovnoběžek, b do otočené roviny π.využijeme tké promítcí rovinu λ procházející osou z, kterou sklopíme do průmětny (pro větší přehlednost řešení posuneme sklopenou rovinu λ ve směru s kolmém n osu z), v tomto sklopení sestrojíme rovnoběžky, b n nich druhé průměty bodů A, B. Elips řezu e je určen sdruženými průměry AB, KL, hlvní vedlejší osu elipsy e sestrojíme npř. pomocí Rytzovy konstrukce. 5. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m s elipsou řezu e. K přesnému sestrojení průsečíků elipsy e přímky m můžeme využít osovou finitu mezi kružnicí elipsou. Jko osu finity zvolíme hlvní osu elipsy e, sestrojíme kružnici e ze středu elipsy e o poloměru rovném délce hlvní osy elipsy e. Dvojice odpovídjících si bodů v finitě je vedlejší vrchol elipsy C jeho obrz C ležící n kružnici e n přímce vedlejší osy elipsy e.v dné finitě sestrojíme obrz m přímky m určíme jeho průsečíky X, Y s kružnicí e. N přímce m určíme body X, Y, které v dné finitě odpovídjí obrzům X, Y. 6. Určíme viditelnost přímky m vzhledem k poloze elipsoidu. Elips e řezu leží celá ve viditelné části elipsoidu. Body, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu přímky m, jsou průsečíky X, Y elipsy e přímky m. Neviditelná část přímky (procházející elipsoidem) je určen úsečkou X Y, osttní části přímky m jsou viditelné. 3

24 Příkld 0 (řešení) z n b z m' m B b B C' X' K C X r S L e' r S e Y Y' A A S m =p y x y x m A =B K L S =b r 4

25 Příkld Průsečík přímky s dvojdílným hyperboloidem, tečná rovin V Mongeově promítání sestrojte průsečíky přímky m s rotčním dvojdílným hyperboloidem, jehož os o je kolmá k půdorysně je zdán hlvním meridiánem. V jednom průsečíku sestrojte tečnou rovinu plochy. Příkld (postup). Přímkou m proložíme rovinu ρ kolmou k nárysně. Tto rovin protne hyperboloid v hyperbole p.. Zvolíme libovolnou rovinu α kolmou k ose o, tto rovin protíná hyperboloid v kružnici k. Kružnice k hyperbol p jsou kuželosečky, které leží n dvou kuželových plochách s vrcholy V W. Kružnice k hyperbol p jsou souměrné podle roviny μ (rovin hlvního meridiánu), z toho vyplývá, že vrcholy V W kuželových ploch leží v rovině μ. 3. Vybereme si jednu z kuželových ploch (npř. s vrcholem V). V prostorové kolineci se středem V pk hyperbole p odpovídá kružnice k. V tkto určené kolineci sestrojíme obrz přímky m, který bude ležet v rovině α oznčíme ho m. N přímce m zvolíme bod M v kolineci určíme obrz M (bod M zvolíme npř. tk, že jeho nárys bude ležet n průsečíku nárysu hlvního meridiánu plochy n nárysu přímky m, tkto zvolený bod le není bodem hyperboly p). Bod M leží n přímce MV v rovině α. Bod Q ležící n přímce m v rovině α je v dné kolineci smodružný, tzn. Q = Q. Obrz m přímky m sestrojíme jko spojnici bodů M Q. 4. Určíme průsečíky X, Y kružnice k přímky m. V prostorové kolineci se středem V sestrojíme jejich obrzy X, Y, které leží n přímce m (protože prostorová kolinece zchovává incidenci přímek bodů). Body X, Y jsou průsečíky přímky m s hyperboloidem. 5. Stejný postup (jko v bodě 3. 4.) použijeme i při hledání průsečíků Z, A přímky m s druhou částí hyperboloidu (z důvodu přehlednosti jsem pro druhou část hyperboloidu konstrukci nznčil vynechl jsem popisky). 6. Tečnou rovinu τ zkonstruujeme npř. v průsečíku Z přímky m s hyperboloidem.. Tečná τ rovin je určen dvěm přímkmi u, t. Přímk u je tečnou vedenou bodem Z k rovnoběžce z, n které bod Z leží. Přímk t je spojnice bodu Z s vrcholem R kuželové plochy opsné hyperboloidu, která se ho dotýká podél rovnoběžky z. Nárys bodu Z otočíme kolem osy o do bodu Z 0 hlvního meridiánu v bodě Z 0 sestrojíme tečnu t 0 k hlvnímu meridiánu hyperboloidu. Tečn t 0 protíná osu o v bodě R, který je vrcholem dotykové kuželové plochy. Přímk RZ této kuželové plochy je tečnou t k hyperboloidu v bodě Z. Dále sestrojíme tečnu u k rovnoběžce z, která prochází bodem Z. Nárys tečny u splývá s nárysem rovnoběžky z, půdorysem u tečny u je tečn kružnice z v bodě Z. Půdorys přímky u je zároveň hlvní přímkou tečné roviny τ (protože její nárys je rovnoběžný s půdorysnou), stopy tečné roviny τ určené tečnmi t, u sestrojíme pomocí stopníků těchto přímek. 5

26 Příkld (řešení) t 0 t m o n Z 0 Z z A R V S M F X k p M' Q = Q' Y x, u m M' X' Q = Q' X Y Y' m' M V A F =R p Z t k 6

27 Příkld Tečné roviny k jednodílnému hyperboloidu procházející nevlstní přímkou V Mongeově promítání veďte tečné roviny procházející nevlstní přímkou p, p ρ k rotčnímu jednodílnému hyperboloidu, který má osu o kolmou k půdorysně je zdán meridiánem. Příkld (postup). Tečnou rovinu τ procházející nevlstní přímkou p, kde p ρ (tzn. tečná rovin τ je rovnoběžná s rovinou ρ) sestrojíme tk, že určíme přímky k, l ptřící hyperboloidu, které jsou s rovinou ρ rovnoběžné. Vrcholem S symptotické kuželové plochy hyperboloidu proložíme rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ. Půdorysnou stopu roviny sestojíme pomocí hlvní přímky h první osnovy vedené bodem S. Půdorysná stop p protíná rovnoběžku symptotického kužele ležící v půdorysně v bodech A, B rovin protíná symptotický kužel hyperboloidu v přímkách, b, kde = AS, b = BS.. Určíme půdorysy přímek k, l hyperboloidu, jejich první průměty jsou tečnmi ke kružnici r jsou rovnoběžné s půdorysy přímek, b. Přímky k, l protínjí rovnoběžku hyperboloidu ležící v půdorysně v bodech K, L. Nárysy přímek k, l sestrojíme jko přímky procházející nárysy K, L bodů K, L rovnoběžné s přímkmi, b. Půdorysná stop tečné roviny τ prochází průsečíky K, L přímek k, l s půdorysnou, nárysná stop roviny τ je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny ρ. Dotykový bod T tečné roviny τ hyperboloidu sestrojíme jko průsečík přímek k l. 3. Druhou tečnou rovinu τ určenou přímkmi m, n sestrojíme nlogicky jko tečnou rovinu τ. 7

28 Příkld (řešení) p 8 n b o n' n n l m p 8T' F r S T h =h n k M L A K N B x, n N m T' S b B p' p h M r A k T l L p p K 8

29 Příkld 3 Průsečík přímky s rotčním prboloidem V Mongeově promítání sestrojte n přímce m body, které mjí od dného bodu F od první průmětny stejnou vzdálenost. Příkld 3 (postup). Množinou všech bodů v prostoru, které mjí stejnou vzdálenost od pevného bodu F roviny (zde půdorysny), je rotční prboloid. Bod F je ohniskem tohoto prboloidu rovin π je řídící rovinou. Sestrojíme tedy prboloid určený ohniskem F řídící rovinou π. Pro větší názornost omezíme plochu prboloidu libovolnou rovinou kolmou k ose o. Půdorysem plochy je kruh, nárysem je část prboly, kterou sestrojíme s využitím ohniskových vlstností prboly.. Hlednými body X, Y jsou průsečíky přímky m s prboloidem. Přímkou m proložíme rovinu α kolmou k nárysně. Body X, Y jsou společné body přímky m elipsy e, ve které protíná rovin α prboloid. Nárysem elipsy e je úsečk A B, kde A, B jsou průsečíky roviny α hlvního meridiánu prboloidu. Půdorysem řezu je kružnice nd průměrem A B. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m elipsy e nejdříve v půdoryse pk odvodíme průměty bodů v náryse. 3. Určíme viditelnost přímky m vzhledem k prboloidu. 9

30 Příkld 3 (řešení) m o A X e Y B F x, m e X A F = o B Y 30

31 .4 Průniky rotčních kvdrik Příkld 4 Průnik dvojdílného hyperboloidu elipsoidu V Mongeově promítání sestrojte průnik rotčního dvojdílného hyperboloidu rotčního protáhlého elipsoidu s různoběžnými osmi ležícími v nárysně. Příkld 4 (postup). Pro konstrukci obecných bodů průnikové křivky volíme pomocné kulové plochy, které mjí střed v průsečíku R os obou kvdrik. Tyto pomocné kulové plochy protínjí obě kvdriky součsně v kružnicích (rovnoběžkách), které se v náryse zobrzí jko úsečky. Zvolíme si pomocnou kulovou plochu κ. Tto kulová ploch protne elipsoid v rovnoběžkách, b hyperboloid v rovnoběžkách c, d. Nárysy rovnoběžek, b, c, d jsou úsečky ležící n přímkách, b, c, d. Průnikem rovnoběžek c jsou dv body A, A, které ptří průnikové křivce h obou ploch. Jejich nárys se zobrzí do bodu A (nlogicky pltí i pro body B, C, D ).. Postupně volíme dlší kulové plochy se středem v bodě R stejnou konstrukcí jko v bodě. sestrojíme dosttečný počet bodů průnikové křivky (z důvodu větší přehlednosti jsem v řešení vyrýsovl jen jednu kulovou plochu). 3. Průnikovou křivkou je křivk h čtvrtého stupně, jejím nárysem h je část hyperboly, jejíž střed O je středem rovnoběžníku A B C D, který je vepsán hyperbole h. Aby byl hyperbol h jednoznčně určen, sestrojíme její symptoty, při jejich konstrukci využijeme homotetických kvdrik. Některé kulové ploše opíšeme homotetické kvdriky (homotetickou kvdrikou pro elipsoid je opět rotční elipsoid, který vzniká rotci homotetické elipsy, tzn. spojnice hlvního vedlejšího vrcholu tvořících elips obou elipsoidů jsou rovnoběžné; homotetickou kvdrikou pro hyperboloid je rotční kuželová ploch, která vzniká rotcí přímek, které jsou rovnoběžné s symptotmi tvořící hyperboly hyperboloidu). Určíme společné body průmětů kuželové plochy elipsoidu, spojnice těchto bodů určují směry u, v symptot u, v průnikové křivky (hyperboly) elipsoidu dvojdílného hyperboloidu. Hyperbol h je tedy určen symptotmi u, v body A, B, C, D, sestrojíme ji s využitím jejích ohniskových vlstností. Body C, D ptří tzv. przitní části křivky. 3

32 Příkld 4 (řešení) o' h o F b A S F' R B O D c d u v C 3

33 Příkld 4 (řešení) - pokrčování Homotetické kvdriky o' u' o v' 33

34 Příkld 5 Průnik prboloidu protáhlého elipsoidu v xonometrii V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průnik prboloidu protáhlého elipsoidu, jejichž osy jsou vzájemně rovnoběžné leží v bokorysně. Příkld 5 (postup). Axonometrický průmět plochy sestrojíme podobně jko v příkldu č.5.. Situci v prostoru prvoúhle promítneme do průmětny μ (bokorysy), ve které leží osy obou ploch, tuto pomocnou průmětnu μ otočíme kolem její xonometrické stopy do xonometrické průmětny. Pro lepší přehlednost řešení posuneme otočené útvry ve směru kolmém k xonometrické stopě roviny μ. Otočené útvry oznčíme indexem 3. V otočení sestrojíme třetí průměty ploch třetím průmětem elipsoidu je jeho tvořící elips, třetím průmětem prboloidu je jeho tvořící prbol. 3. V otočení sestrojíme třetí průmět průnikové křivky ploch. Osy obou ploch jsou rovnoběžné leží v bokorysně μ, zvolíme libovolnou rovinu α, která je kolmá k osám obou ploch. Rovin α protíná plochy v rovnoběžkách,, jejichž společné body A, B náleží průnikové křivce. Rovin α se v otočení zobrzí jko přímk kolmá ke sklopeným osám ploch, rovnoběžky, se v otočení zobrzí jko úsečky 3, 3. Jejich společné body A, B sestrojíme pomocí sklopení roviny α, tedy úsečkám 3, 3 opíšeme kružnice, jejichž střed leží n průsečíku úsečky osy dné plochy. Průnikové body A 0, B 0 kružnic vrátíme ze sklopení zpátky, tedy průsečík úsečky A 0 B 0 s α 3 je třetím průmětem bodů A, B. Axonometrické průměty bodů A, B sestrojíme jko průsečíky rovnoběžky s přímkou m 3 směru otočení vedenou bodem A Postupně volíme dlší roviny rovnoběžné kolmé k osám obou ploch sestrojíme tk dosttečný počet bodů průnikové křivky. Pro sndnější konstrukci bodů průnikové křivky ploch můžeme otočit půdorysnu π do xonometrické průmětny otočené útvry posuneme ve směru kolmém n osu z oznčíme je indexem. V tomto otočení se rovnoběžky,, ve kterých protíná rovin α (nebo roviny s ní rovnoběžné) obě plochy zobrzí jko kružnice,. První průměty bodů A, B průnikové křivky jsou pk průsečíky kružnic,. Jejich xonometrické průměty leží n rovnoběžce přímce m směru otočení vedenou bodem A. Bod A tedy nemusíme sestrojovt jko průsečík přímky m 3 elipsou, le jko průsečík přímek m 3 m. 5. Průniková křivk ploch je souměrná podle roviny μ, ve které leží jejich osy z z. Rovin μ protíná elipsoid v tvořící elipse prboloid v tvořící prbole, společné body této elipsy C, D prboloidu náleží průnikové křivce zároveň jsou lokálně nejvyšší nejnižší body průnikové křivky. 34

35 Příkld 5 (řešení) z' 3 z 3 F 3 V 3 D 3 C 3 A 0 B 0 ' 3 A = B 3 3 P 3 3 m 3 A 3 F S z' V z Z D S F' V F z z' C (O ) B P O (O ) 3 P Y X y x k A z D ' o m C y x B 35

36 Příkld 6 Viviniho křivk V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průnikovou křivku rotčního válce se středem podstvy S v v půdorysně, výškou v poloměrem podstvy r kulové plochy se středem S k poloměrem r, os rotčního válce je v ose z jedn z povrchových přímek rotčního válce prochází středem S k dné kulové plochy. (Průnikovou křivkou je tzv. Viviniho křivk). Příkld 6 (postup). Plochy sestrojíme podobně jko v příkldě č. 5 pomocí otočení roviny obshující osu rotčního válce střed kuželové plochy.. Osou rotčního válce z osou kulové plochy o je určen rovin α. Tto rovin je kolmá k rovině π určené osmi x, y protíná válec v obdélníku kulovou plochu v kružnici. Situci v prostoru prvoúhle promítneme do roviny α otočíme ji kolem její xonometrické stopy r do xonometrické průmětny, otočené útvry oznčíme indexem V otočení sestrojíme průmět průnikové křivky dného rotčního válce kulové plochy. Plochy protneme rovinu, která je rovnoběžná s rovinou π. Prvoúhlý průmět pomocné roviny do roviny α se v otočení zobrzí jko přímk kolmá ke sklopeným osám obou ploch. Rovin protíná plochy v rovnoběžkách, b, jejichž průsečíky A, B náleží průnikové křivce ploch. Body A 0, B 0 sestrojíme pomocí sklopení roviny, tedy úsečkám 0, b 0 opíšeme kružnice, jejichž střed leží n průsečíku úsečky 0 (resp. b 0 ) osy z 0 (resp. o 0 ) dné plochy. Průnikové body A, B kružnic vrátíme ze sklopení zpátky, tedy průsečík úsečky A B s 3 je průmětem bodů A, B. Pro sndnější konstrukci bodů A, B průnikové křivky dných ploch otočíme půdorysnu π do xonometrické průmětny otočené útvry posuneme ve směru kolmém n osu z oznčíme je indexem.v tomto otočení se rovnoběžky, b, ve kterých protíná rovin (nebo roviny rovnoběžné s rovinou ) obě plochy, zobrzí jko kružnice, b. První průměty bodů A, B průnikové křivky jsou průsečíky kružnic, b. Axonometrický průmět bodů A leží průsečíku přímky m 0 směru otočení roviny α, A 0 m 0 n přímce m směru otočení roviny π, A m bodem A. Anlogicky sestrojíme xonometrický průmět bodu B. 4. Plochmi prokládáme dlší roviny rovnoběžné s rovinou π sestrojíme tk dosttečný počet bodů průnikové křivky. Pro lepší přehlednost jsem v řešení příkldu uvedl jen konstrukci bodů A B průnikové křivky. Dlší body průnikové křivky se sestrojují nlogicky. 5. Průniková křivk ploch je souměrná podle roviny α, ve které leží jejich osy z o tké podle roviny rovnoběžné s rovinou π, která prochází středem kulové plochy. Rovin α protíná rotční válec v obdélníku kulovou plochu v kružnici, společné body C, D tohoto obdélníku kružnice náleží průnikové křivce zároveň jsou lokálně nejvyšší nejnižší body průnikové křivky. Průniková křivk ploch se nzývá Viviniho křivk. 6. Body K, L, M, N, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu průnikové křivky, sestrojujeme jko průsečíky průmětu průnikové křivky řezu xonometrickou průmětnou. Axonometrické průměty obrysových přímek rotčního válce prochází krjními body průměru podstvy rovnoběžného s XY. Proto první průměty bodů K, L, M, N, ve kterých se mění viditelnost průnikové křivky, jsou po dvou krjními body průměru kružnice k rovnoběžném s XY. Bodem K prochází rovnoběžk k válce rovnoběžk k kulové plochy, K je jejich společný bod. Sestrojíme obrz bodu K v otočení podobně jko obecný bod v odstvci 3. odvodíme jeho xonometrický průmět K. Anlogicky sestrojíme i dlší body L, M, N, ve kterých se bude měnit viditelnost průnikové křivky. 36

37 Příkld 6 (řešení) z o r v n Z D K A S k L ' 0 0 y Y N C S v O' B 0 E S' k S' k 0 r M O' E 0 M 0 S 0 v X S 0 k 0 0 A = B K 0 N 0 D 0 L 0 z 0 o 0 C 0 x p x y S = D = E p A K = N S v C B k M = L k 37

38 .5 Osvětlení rotčních kvdrik Příkld 7 Rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu V Mongeově promítání zobrzte rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu, jehož os je kolmá k půdorysně. Sestrojte stín vržený do půdorysny. Příkld 7 (postup). Mezí vlstního stínu prboloidu bude prbol p, protože směr osvětlení není rovnoběžný s osou prboloidu. Vrchol V prboly p je bodem dotyku tečny rovnoběžné se směrem osvětlení světelného meridiánu. Bod V sestrojíme pomocí válcové metody, tedy rovinu λ světelného meridiánu otočíme do roviny rovnoběžné s nárysnou procházející osou prboloidu. Meridián v rovině λ se otočí do hlvního meridiánu přímk s směru osvětlení, která prochází vrcholem prboloidu n ose o, se otočí do přímky 0 s. Sestrojíme tečnu 0 t rovnoběžnou s 0 s, v bodě dotyku dostneme nárys otočeného vrcholu 0 V prboly p. Zpětným otočením bodu 0 V do roviny λ sestrojíme půdorys i nárys bodu V.. Půdorysem prboly p meze vlstního stínu je přímk p, která je kolmá k prvnímu průmětu přímky s prochází půdorysem bodu V. V náryse je prbol určen svým vrcholem V, osou procházející vrcholem rovnoběžnou s o nárysy bodů K, L, ve kterých prbol p protíná rovnoběžku prboloidu ležící v půdorysně. Pro přesnější vyrýsování nárysu prboly p můžeme sestrojit její dlší body jko průsečíky roviny, ve které leží prbol p, s rovnoběžkmi prboloidu. 3. Stín vržený n půdorysnu určíme jko množinu vržených stínů bodů prboly p meze vlstního stínu. Mezí vrženého stínu do průmětny π je prbol p. Sestrojíme nejprve vržený stín vrcholu V prboly p do průmětny π oznčíme ho V. Dále sestrojíme vržený stín P vrcholu P prboloidu do průmětny, sestrojený bod P je ohniskem prboly p. Prbol p meze vrženého stínu n π je určen vrcholem V, ohniskem P body K, L. 38

39 Příkld 7 (řešení) s t o s0 t 0 P F V 0 V p K L x, p K P' V' V p' o 0 V s L 39

40 Příkld 8 Středové osvětlení protáhlého elipsoidu V Mongeově promítání zobrzte středové osvětlení rotčního protáhlého elipsoidu s osou kolmou k π ze středu S. Sestrojte stín vržený do půdorysny. Příkld 8 (postup). Z bodu S sestrojíme k elipsoidu tečnou kuželovou plochu, dotyková elips e bude mezí vlstního stínu. Jedn os elipsy e leží v rovině ρ, která je určen bodem S osou o elipsoidu. Rovin ρ je tké rovinou souměrnosti meze vlstního stínu. Rovin ρ protne plochu elipsoidu v meridiánu m, z bodu S sestrojíme tečny k tomuto meridiánu m s dotykovými body A, B. Body A, B sestrojíme užitím válcové metody, tedy pomocí otočení útvrů ležících v rovině meridiánu m kolem osy o do roviny rovnoběžné s nárysnou. Sestrojíme otočený bod S 0, kterým vedeme tečny k hlvnímu meridiánu elipsoidu sestrojíme dotykové body A 0, B 0, které otočíme zpět do roviny ρ získáme body A, B, které omezují jednu z os elipsy e meze vlstního stínu. Sestrojíme střed O úsečky AB, který je středem elipsy e. Druhá os elipsy e je v půdoryse kolmá n osu A B elipsy e, v náryse je rovnoběžná se zákldnicí. Body C, D, kterými je druhá os elipsy e omezen, leží v rovině rovnoběžky d elipsoidu sestrojíme je v půdorysu jko průnik kolmice k A B vedenou bodem O s půdorysem rovnoběžky d. Sestrojíme elipsu e, v půdorysu je určen hlvní osou C D vedlejší osou A B. V nárysu je elips e určená sdruženými průměry A B, C D, její hlvní vedlejší osu sestrojíme npř. pomocí Rytzovy konstrukce. Body n elipse e, ve kterých se mění její viditelnost, sestrojíme pomocí válcové metody pro hlvní meridián m, tedy jko body dotyku K, L tečen k m vedených z S.. Mezí stínu vrženého n půdorysnu bude část elipsy g. Jejími hlvními vrcholy A, B budou průsečíky přímek SA, SB s půdorysnou. Sestrojíme střed úsečky A B vedlejší osu elipsy g, která bude tímto středem procházet bude kolmá k A B. Sestrojíme ohnisk elipsy g meze stínu vrženého do π. Využijeme větu Quételet Dndelinovu 3 pro konstrukci ohnisek meze vrženého stínu kulové plochy do průmětny π při rovnoběžném osvětlení. Tto vět pltí obdobně i pro středové osvětlení v přípdě, že os rotční kvdriky je kolmá k průmětně π. Využijeme finity mezi kulovou plochou elipsoidem sestrojíme vržené stíny P, Q vrcholů rotčního elipsoidu do průmětny π, která je kolmá k ose o elipsoidu. Body P, Q jsou ohnisk elipsy g meze stínu vrženého do půdorysny. 3 Quételet Dndelinov vět pro středový průmět kulové plochy: Středový průmět kulové plochy n rovinu, která neprochází středem promítání, je kuželosečk. Její ohnisk jsou (vlstní) průměty krjních bodů průměru kulové plochy kolmého k průmětně. Důkz věty lze nlézt npř. v []. 40

41 Příkld 8 (řešení) S 0 S o B 0 L B Q' B' C O D d K A 0 A P x, S 0 C A 0 e A' P' B o B 0 O A D S 4

42 Příkld 9 Rovnovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu v xonometrii V prvoúhlé xonometrii zdné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu, jehož os je rovnoběžná s xonometrickou osou z. Rotční prboloid je zdán meridiánem ležícím v promítcí rovině. Sestrojte stín prboloidu vržený do průmětny π. Příkld 9 (postup). Axonometrický průmět plochy sestrojíme nlogicky jko v příkldu č. 5.. (Kuželová metod osvětlení.) Sestrojíme mez m vlstního stínu prboloidu, kterou je část prboly. N libovolně zvolených rovnoběžkách prboloidu sestrojíme body meze vlstního stínu pomocí kuželové metody osvětlení. Npříkld rovnoběžce k opíšeme kuželovou plochu. Nejprve sestrojíme průmět kuželové plochy do promítcí roviny, ve sklopení roviny do průmětny se obrysové površky t, u kuželové plochy zobrzí jko tečny k meridiánu prboloidu v bodech T, U rovnoběžky k. Vrchol kuželové plochy ležící v průsečíku přímek t, u n ose prboloidu oznčíme W sestrojíme jeho xonometrický průmět W. Vrchol W prboloidu promítneme ve směru promítání s do roviny α rovnoběžky k, získáme tk bod W, ze kterého sestrojíme tečny k rovnoběžce k. Dotykové body K, L tečen vedených z bodu W k rovnoběžce k jsou hlednými body, které ptří mezi vlstního stínu prboloidu. Podobným způsobem sestrojíme body meze vlstního stínu i n dlších libovolných rovnoběžkách plochy zkonstruujeme bodově prbolu m meze vlstního stínu. 3. Sestrojíme bod M, ve kterém se mění viditelnost křivky m meze vlstního stínu. Rovinu meze vlstního stínu promítneme do promítcí roviny ve sklopení do průmětny sestrojíme první průmět m meze vlstního stínu. První průmět bodu M určíme jko průsečík prboly m s úsečkou p, která je prvním průmětem obrysové prboly p v xonometrické rovině. Axonometrický průmět M bodu M leží n obrysové prbole p prboloidu v xonometrické rovině n přímce vedené z bodu M kolmé k ose prboloidu. 4. Vrchol A prboly m meze vlstního stínu sestrojíme pomocí válcové metody osvětlení. Do průmětny otočíme světelnou rovinu λ, která prochází osou rotce je kolmá k rovině meze vlstního stínu, tedy v otočení se mez m vlstního stínu prboloidu zobrzí jko přímk. V otočené světelné rovině sestrojíme osu [o], vrchol [V] ohnisko [F] světelného meridiánu. Těmito prvky je světelný meridián jednoznčně určen (pro dlší řešení není nutné křivku světelného meridiánu v otočení vykreslovt). V otočení sestrojíme průmět roviny meze m vlstního stínu, který se v otočení zobrzí jko přímk [m]. Sestrojíme tké otočený směr [s] osvětlení. Ke konstrukci otočených prvků využijeme finity, jejíž osou je xonometrická stop r světelné roviny, směr odpovídjících si bodů je dán npř. dvojicí V [V], jejichž spojnice je kolmá n osu finity r. K nenrýsovné prbole meridiánu [m] vedeme tečnu [s ] rovnoběžnou s otočeným směrem otočení [s] sestrojíme její dotykový bod [A]. S využitím zmíněné finity sestrojíme xonometrický průmět A, který je vrcholem prboly m meze vlstního stínu. 5. Vržený stín do průmětny π sestrojíme bodově. Body meze hlvního stínu promítáme n průmětnu π. Tedy npř. bodem L vedeme rovnoběžku s xonometrickým průmětem směru osvětlení s, půdorysným průmětem L bodu L vedeme rovnoběžku s půdorysným průmětem s směru osvětlení. Průsečík L + tkto vedených rovnoběžek je bodem meze stínu vrženého do průmětny. Z důvodu přehlednosti řešení jsem uvedl konstrukci vrženého stínu jen pro bod L, osttní body se sestrojí nlogicky. 4

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Kartografické projekce

Kartografické projekce GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce

KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce KARTOGRAFIE Kartografie se zabývá zobrazováním zemského povrchu. Zemský povrch (geoid) nahrazujeme plochou kulovou a tu zobrazujeme. Délky zmenšujeme v daném měřítku. Na kulové ploše zavádíme souřadný

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Prùniky tìles v rùzných projekcích

Prùniky tìles v rùzných projekcích UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

Aplikace deskriptivní geometrie

Aplikace deskriptivní geometrie INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013 Aplikace deskriptivní geometrie

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva

Více

Analytická geometrie v rovině

Analytická geometrie v rovině nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.

Více

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta: Zborcené plochy Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- becném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles ZS 2008 1 / 39 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

Více

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102 Mongeova projekce KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS 2008 1 / 102 Obsah 1 Úvod 2 Zobrazení bodu 3 Zobrazení přímky 4 Určení roviny 5 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou

Více

11. Rotační a šroubové plochy

11. Rotační a šroubové plochy Rotační a šroubové plochy ÚM FSI VU v Brně Studijní text. Rotační a šroubové plochy. Rotační plochy Rotační plochy jsou plochy, které lze získat rotačním šablonováním křivky. Jejich rovnice je tedy tvaru

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou

Více

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava 1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Literatura: (1)Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní

Více

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy Lineární perspektiva Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

Masarykova univerzita v Brnì Pøírodovìdecká fakulta Katedra Matematiky. PRÙNIKY TÌLES V KOLMÉ AXONOMETRII (sbírka pøíkladù) Bakaláøská práce

Masarykova univerzita v Brnì Pøírodovìdecká fakulta Katedra Matematiky. PRÙNIKY TÌLES V KOLMÉ AXONOMETRII (sbírka pøíkladù) Bakaláøská práce Masarykova univerzita v Brnì Pøírodovìdecká fakulta Katedra Matematiky PRÙNIKY TÌLES V KOLMÉ AXONOMETRII (sbírka pøíkladù) Bakaláøská práce Martin Brauner Brno 2006 Vedoucí bakaláøské práce: doc. RNDr.

Více

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině Mongeovo zobrazení Bod a přímka v rovině Přímka v rovině Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka leží v rovině; Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka

Více

Deskriptivní geometrie 0A5

Deskriptivní geometrie 0A5 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004 Recenzenti: doc Ing Ld Vňtová,

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL 4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky

Více

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37 Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Vzdálenost roviny a přímky

Vzdálenost roviny a přímky 511 Vzdálenost roviny přímky Předpokldy: 510 Př 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti přímky od roviny, nvrhni definici této vzdálenosti Uvžovt o vzdálenosti přímky roviny můžeme pouze v přípdě,

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.) Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným

Více

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny Mongeovo zobrazení Konstrukce stop roviny Způsoby určení roviny Způsoby určení roviny při provádění konstrukcí v Mongeově zobrazení je výhodné pracovat s rovinami, které náme určeny pomocí stop; Způsoby

Více

II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY

II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY 1. Základní úlohy 1.1 Základní pojmy Topografická plocha je omezující plocha části zjednodušeného zemského povrchu. Při jejím zobrazování se obvykle používá kótované promítání.

Více

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

ZBORCENÉ PLOCHY. Zobrazení, které každému bodu X regulární přímky p přiřadí tečnou rovinu plochy v bodě X je projektivní, tj. zachovává dvojpoměr.

ZBORCENÉ PLOCHY. Zobrazení, které každému bodu X regulární přímky p přiřadí tečnou rovinu plochy v bodě X je projektivní, tj. zachovává dvojpoměr. ZBORCENÉ PLOCHY Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V obecném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více