Úvod do teorie měření. (stručný výběr otázek a témat)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do teorie měření. (stručný výběr otázek a témat)"

Transkript

1 Úvod do teorie měření (stručný výběr otázek a témat)

2 Obsah 1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE 2. METROLOGIE 3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI 4. ZÁKLADY TEORIE CHYB 5. NEJISTOTY MĚŘENÍ 6. METODY PRO ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ 7. LITERATURA

3 Trest smrti hrozil tomu, kdo zapomněl nebo zanedbal svoji povinnost zkalibrovat své měřidlo délky při každém úplňku. Takové bylo riziko královských architektů odpovědných za budování chrámů a pyramid pro faraony ve starém Egyptě tři tisíce let před naším letopočtem. První královský loket byl definován jako délka předloktí od lokte ke špičce nataženého prostředníčku vládnoucího faraona, plus šířka jeho ruky. Prvotní měření bylo přeneseno na černou žulu a do ní vytesáno. Pracovníkům na staveništích byly předány žulové nebo dřevěné kopie a architekti byli odpovědni za jejich udržování.

4 Měření Náklady na měření a vážení v dnešní Evropě představují plných 6 % celkového hrubého národního produktu. Metrologie se stala přirozenou součástí našeho každodenního života. Dřevěná prkna i kávu nakupujeme podle velikosti a váhy; měříme odběr vody, elektřiny a tepla, a důsledky toho pociťujeme v našich peněženkách. Váhy v koupelně nám kazí náladu, stejně jako policie kontrolující rychlost jízdy a případné finanční postihy. Množství aktivních látek v lécích, měření krevního vzorku i účinek chirurgova laseru musí být zcela přesné, nemá-li být ohroženo zdraví pacienta.

5 Úvod Kvantitativně formulovaný fyzikální zákon není nic jiného, než matematicky model fyzikálního děje. Model vytváří člověk fyzik, děj probíhá v přírodě nezávisle na pozorovateli. Jde o to, aby pozorováni byla provedena dostatečně přesně a jejich statistické zpracováni kvalitně, aby formulace zákona co nejpřesněji popisovala průběh děje. Při formulaci zákona hraje důležitou roli i syntéza dílčích poznatků vhodné zobecněni. Při jiných podmínkách nebo při přesnějšim měřeni můžeme zjistit méně či více významné odchylky od doposud užívaného zákona. Přikladem může být druhý Newtonův pohybový zákon (1687) a jeho korekce Einsteinovou teorii relativity (1905).

6 Příklad časté chyby měření Při vážení na vzduchu vzniká soustavná chyba měření v důsledku různého vztlaku, má-li předmět jinou hustotu než závaží. Tuto chybu lze korigovat!!

7 1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE Hlavní zásady experimentální práce. Schéma experimentální práce. Protokol o měření. Podmínky měření.

8 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Experimentátor si musí nejprve prostudovat potřebnou teorii zkoumaného jevu, vybrat vhodnou metodu, opatřit si měřici přístroje s potřebnými rozsahy a předpokládanou přesnosti (případně si je ocejchovat), dále vhodné vzorky k měřeni a další pomůcky.

9 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Před vlastnim měřením je také nutné uvážit, jaké vnější faktory mohou ovlivnit měřeni (tomu je nutné mj. podřídit např. umístění přístrojů), je potřebné znát i místní laboratorní podmínky teplotu, tlak, vlhkost, případně rušivé magnetické pole, tepelné, světelné nebo radioaktivní pozadí.

10 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Je rovněž vhodné včas si uvědomit, jakými soustavnými chybami bude měřeni zatíženo (ať již z důvodů použitých přístrojů nebo metody). Nakonec je také nutné věnovat patřičnou pozornost přípravě měřených vzorků a manipulaci s nimi.

11 Vlastní měřeni Na dobrou přípravu navazuje druha etapa vlastni měřeni. Jeho konkrétní průběh závisí na tom, jakou veličinu měříme a jakou použijeme metodu měřeni.

12 Vlastní měřeni Všeobecná doporučeni: před detailním měřením je vhodné proběhnout zhruba celé měřeni, abychom např. věděli, v jakých rozsazích hodnot veličin budeme měřit, zda nevznikají zřetelné extrémy (rezonanční maxima nebo stavy nulového vyváženi). Také si připravíme vhodné tabulky pro zápis hodnot naměřených veličin.

13 Vlastní měřeni Vlastni měřeni je proces, ve kterém se slučuje teoretická příprava s dobrou manuální zručnosti a zkušeností. K měřeni musíme přistupovat s rozvahou, klidem a vyvarovat se zmatkovaní. Jinak lze očekávat nejen neúspěch při experimentu, ale i např. zničeni přístrojů nebo újmu na zdraví.

14 Vlastní měřeni Schopnost dobrého experimentováni získáme jen vhodnou a trpělivou laboratorní prací.

15 Zpracování dat měřeni Tato etapa se bohužel velmi často podceňuje, což znehodnocuje celý proces fyzikálního měření.

16 Zpracování dat měřeni Je mylné představovat si, že experiment sestavený podle všech zásad s vhodnými měřícími přístroji bude dávat pouze přesný a správný výsledek. Jelikož v případě (náhodných) chyb měřeni jde o náhodné veličiny, bude vhodné před vlastními postupy zpracováni dat měřeni stručně uvést základní poznatky o teorii náhodných chyb, jak je zpracovala matematická statistika.

17 Zpracovaní dat měřeni Pochopení základních pojmů matematické teorie náhodných chyb je nezbytné pro úspěšné uskutečňování praktických postupů zpracováni dat fyzikálních měření.

18 2. METROLOGIE Pojem metrologie, rozdělení metrologie. Základní metrologické pojmy. Metrologické činnosti. Metrologické pojmy vztahující se k měření. Pravá hodnota veličiny. Pojem chyba a nejistota měření. Klasifikace chyb a nejistot měření.

19 Návaznost Návaznost je vlastnost výsledku měření nebo hodnoty etalonu, kterou může být určen vztah k uvedeným referencím zpravidla státním nebo mezinárodním etalonům, přes nepřerušený řetězec porovnání (řetězec návaznosti), jejichž nejistoty jsou uvedeny. Pro průmysl v Evropě se zajišťuje návaznost na nejvyšší mezinárodní úrovni především využíváním akreditovaných evropských laboratoří a národních metrologických institutů..

20 Metrologický systém

21 Kalibrace Základním prostředkem při zajišťování návaznosti měření je kalibrace měřidel. Tato kalibrace zahrnuje určení metrologických charakteristik přístroje. To se provádí pomocí přímého srovnání s etalony. Vystavuje se kalibrační certifikát a (ve většině případů) připevňuje se štítek na kalibrované měřidlo. Na základě těchto informací může uživatel určit, zda je přístroj vhodný pro danou aplikaci.

22 Kalibrace Existují tři důvody, proč je třeba přístroje kalibrovat: 1. Zajistit, aby údaje uváděné přístrojem byly konzistentní s jiným měřením. 2. Stanovit správnost údajů uváděných přístrojem. 3. Zjistit spolehlivost přístroje, tj. zda je možno se na něj spolehnout.

23 Kalibrace Kalibrací přístroje lze dosáhnout následujících skutečností: Výsledek kalibrace umožní buď přičlenění hodnot měřených veličin k indikovaným hodnotám, nebo stanovení korekcí vůči indikovaným hodnotám. Kalibrace může rovněž určit další metrologické vlastnosti, jako je účinek ovlivňujících veličin. Výsledek kalibrace lze zaznamenat v dokumentu, který se někdy nazývá kalibrační certifikát nebo zpráva o kalibraci.

24 Etalony Etalon je ztělesněná míra, měřicí přístroj, měřidlo, referenční materiál či měřicí systém určený k definování, realizaci, uchování či reprodukci jednotky nebo jedné či více hodnot určité veličiny mající sloužit jako reference. Příklad: Metr je definován jako délka dráhy, kterou urazí světlo v časovém intervalu 1/ sekundy.

25 Některé státní etalony ČR a příslušné laboratoře Státní etalon jednotky hmotnosti 1 kg

26 Základní jednotky SI Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí

27 Základní jednotky SI Veličina Jednotka Značka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A termodynamická teplota kelvin K látkové množství mol mol svítivost kandela cd

28 Základní jednotky SI metr délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/ sekundy kilogram hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sévres u Paříže sekunda doba rovnající se periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133 ampér stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá mezi nimi stálou sílu newtonu na 1 metr délky vodiče kelvin kelvin je 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody mol mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku 12 6 C (přesně) kandela kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochromatické záření o kmitočtu hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 1/683 wattu na steradián

29 Doplňkové jednotky Doplňkové jednotky jsou to takové jednotky, o nichž Generální konference pro váhy a míry dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené.

30 Doplňkové jednotky Veličina Jednotka Značka rovinný úhel radián rad prostorový úhel steradián sr radián rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru. steradián prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy.

31 Odvozené jednotky Odvozené jednotky vznikají pomocí fyzikálních definičních vztahů z jednotek základních nebo doplňkových. K vytváření dalších odvozených jednotek mohou být použity odvozené jednotky, které mají samostatný název. Odvozené jednotky jsou koherentní vzhledem k jednotkám základním, resp. doplňkovým. Některé odvozené jednotky jsou uvedeny v tabulce.

32 Odvozené jednotky Jednotka Značka Veličina Fyzikální rozměr m² plošný obsah m² m³ objem m³ m -1 vlnočet m -1 hertz Hz frekvence s -1 m/s rychlost m s -1 rad/s úhlová rychlost rad s -1 m/s² zrychlení m s -2 rad/s² úhlové zrychlení rad s -2 kg/m³ hustota kg m -3 m³/kg měrný objem m³ kg -1 newton N síla m kg s -2 pascal Pa tlak, napětí m-1 kg s-2 pascalsekunda dynamická viskozita m-1 kg s Ω -1 m²/s kinematická viskozita m² s -1 joule J energie, práce, teplo m² kg s -2 watt W výkon m² kg s -3 N m moment síly m² kg s -2 N/m povrchové napětí kg s -2 coulomb C elektrický náboj s A C/m³ hustota elektrického náboje m -3 s A volt V elektrické napětí, potenciál m² kg s -3 A-1 V/m intenzita elektrického pole m kg s -3 A-1 ohm elektrický odpor m² kg s -3 A-2 siemens S elektrická vodivost m-2 kg-1 s³ A² farad F elektrická kapacita m-2 kg-1 s 4 A² C/m² elektrická indukce m -2 s A farad na metr permitivita m-3 kg-1 s 4 A² henry H indukčnost m² kg s -2 A-2 H/m permeabilita m kg s -2 A-2 weber Wb magnetický indukční tok m² kg s -2 A-1 tesla T magnetická indukce kg s -2 A-1 A/m intenzita magnetického pole m -1 A J/K tepelná kapacita m² kg s -2 K-1 J/mol molární vnitřní energie m² kg s -2 mol -1 W/m² hustota tepelného toku kg s -3 W/sr zářivost m² kg s -3 sr-1 lumen lm světelný tok cd sr lux lx osvětlení m -2 cd sr cd/m² jas m -2 cd becquerel Bq aktivita s -1 C/kg ozáření (expozice) kg -1 s A gray Gy dávka m² s -2 Gy/s dávková rychlost m² s -3

33 Násobné a dílčí jednotky Předpona Název Značka Původ Znamená násobek exa E řečtina (exa = šest) peta P řečtina (pente = pět) 1015 tera T řečtina (teras = nebeské znamení) giga G řečtina (gigas = obr) mega M řečtina (megas = veliký) kilo k řečtina (chiliolo = tisíc) mili m latina (mille = tisíc) 0,001 7 mikro µ řečtina (mikros = malý) 0, nano n latina (nanus = trpaslík) 0, piko p italština (piccolo = maličký) 0, femto f dánština (femten = patnáct) atto a dánština (atten = osmnáct) 0, ,

34 Násobné a dílčí jednotky Kromě těchto předpon je možno užívat i předpon odstupňovaných po jednom dekadickém řádu. Užívání těchto předpon je dovoleno jen ve zvláštních případech, tj. např. hektolitr (hl) nebo centimetr (cm), kterých se běžně užívalo před zavedením nové normy. Všeobecně se dává přednost užívání předpon odstupňovaných podle třetí mocniny deseti. Předpona Název Značka Původ Znamená násobek hekto h řečtina (hekaton = sto) deka da řečtina (dekas = deset) deci d latina (decem = deset) 0,1 9 centi c latina (centum = sto) 0,01 8

35 Násobné a dílčí jednotky Zásady pro správné používání předpon: 1. Předpony se zásadně týkají mocnin deseti (a nikoli například mocnin dvou) Příklad: Jeden kilobit představuje 1000 bitů a nikoli 1024 bitů 2. Předpony musí být psány bez mezery před značku dané jednotky. Příklad: Centimetr se píše jako cm a nikoli c m 3. Nelze používat kombinaci předpon. Příklad: 10-6 kg musí být psáno jako 1 mg a nikoli 1µkg 4. Předponu nelze psán samostatně. Příklad: 10 9 /m 3 nelze psát jako G/m 3

36 Vedlejší jednotky Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Tyto jednotky nejsou koherentní vůči základním nebo doplňkovým jednotkám SI. Jejich užívání v běžném praktickém životě je ale tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro praxi vhodnější. Bylo tedy nutné (a vhodné) povolit jejich užívání. K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky. Lze používat také jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinované z vedlejších jednotek, např. km h -1 nebo l min -1 apod. Bez časového omezení lze používat poměrových a logaritmických jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva) s výjimkou jednotky neper.

37 Vedlejší jednotky Veličina Jednotka Značka Vztah k jednotkám SI délka astronomická jednotka UA (AU) 1 UA = 1, m parsek pc 1 pc = 3, m světelný rok ly 1 ly = 9, m atomová hmotnostní hmotnost jednotka u 1 u = 1, m tuna t 1 t = 1000 kg čas minuta min 1 min = 60 s hodina h 1 h = 3600 s den d 1 d = s teplota Celsiův C 1 C = 1 K rovinný úhel úhlový stupeň 1 = (π/180) rad úhlová minuta ' 1 ' = (π/10800) rad úhlová vteřina " 1 " = (π/648000) rad grad (gon) g (gon) 1 g = (π/200) rad plošný obsah hektar ha 1 ha = 10 4 m² objem litr l 1 l = 10-3 m³ tlak bar b 1 b = 10 5 Pa energie elektronvolt ev 1 ev = 1, J optická mohutnost dioptrie Dp, D 1 Dp = 1 m -1 zdánlivý výkon voltampér VA jalový výkon var var

38 Skutečná hodnota veličiny je hodnota, kterou měřená veličina nabývá za podmínek existujících v okamžiku, kdy je měřena. Skutečná hodnota je hodnota ideální, protože v reálné světě nemůže být přesně zjištěna. Rozdíl hodnoty x zjištěné měřením fyzikální veličiny a její skutečné hodnoty x 0 se nazývá chyba měření e Takto definovaná chyba měření se nazývá také absolutní chyba, zatímco poměr absolutní chyby a skutečné hodnoty se nazývá relativní chyba

39 Zápis veličiny Každá veličina se vyjadřuje součinem číselné hodnoty její velikosti a její jednotky: A= {A}.[A], kde A je značka veličiny a {A} značka její číselné hodnoty vyjádřené v jednotce [A]. Jednotka fyzikální veličiny je zvolená veličina specifikovaná jako referenční veličina.

40 Jak na chyby Existence náhodných chyb vyvolává potřebu řešení dvou problému: - jakým způsobem určit ze souboru vzájemně odlišných naměřených hodnot výsledek měření, který se nejvíce blíží správné hodnotě měřené veličiny - jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měření od správné hodnoty, tj. jak určit velikost náhodné chyby (velikost nejistoty typu kapitola o nejistotách) zjištěného výsledku opakovaných měření.

41 3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodná veličina a její charakteristiky. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Základní statistický soubor, výběr ze základního statistického souboru. Odhady parametrů základního statistického souboru, konfidenční interval.

42 Základní statistické pojmy Údaje o hodnotě spojitě proměnné veličiny se získávají měřením (např. měřením teploty, hustoty apod.), údaje o hodnotě nespojité (diskrétní) veličiny se získávají čítáním (např. určením počtu částic emitovaných zdrojem ionizujícího záření). Soubory takto zjištěných náhodných kvantitativních údaju se nazývají statistické soubory. Náhodnou veličinu označujeme velkým písmenem (např. X, Y..), jednotlivé hodnoty ze statistického souboru malými písmeny ( např. x i, y j ), celkový počet hodnot ve statistickém souboru symbolem n. Počet případů, v nichž se určitá hodnota x i vyskytne ve statistickém souboru se nazývá absolutní četnost n i, podíl n i / n je relativní četnost f i.

43 Funkce náhodných veličin O chování náhodných veličin lze uvádět pouze pravděpodobnostní výroky. To znamená, že např. četnost výskytu určité hodnoty náhodné veličiny v daném statistickém souboru nemůžeme stanovit s jistotou, ale pouze s určitou pravděpodobností.

44 Funkce náhodných veličin Možnosti výskytu určitých hodnot ve statistickém souboru, tj. přirazení pravděpodobností k hodnotám náhodné veličiny, proto popisujeme pomocí rozdělení pravděpodobnosti. Toto rozdělení lze pro spojité i diskrétní veličiny jednoduše popsat pomocí distribuční funkce F(x), která je pro náhodnou veličinu X definována tak, že v bode x 0 je F(x 0 ) rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x 0. Je tedy F (x 0 ) = P(x x 0 ). Je zřejmé, že distribuční funkce je funkce neklesající a platí pro ní lim F( x) = 0 a lim F( x) = 1. x x

45 Funkce náhodných veličin Pro spojitě proměnné veličiny se chování náhodné veličiny nejčastěji popisuje pomocí funkce nazývané hustota pravdepodobnosti f(x). Ta je definována jako derivace distribuční funkce F(x) podle x (pokud tato derivace existuje). Platí df( x) f ( x) = = F'( x) dx

46 Příklad - zadání Uvažujme náhodný pokus realizovaný pomocí zařízení podobného ruletě. Tento pokus spočívá v mnohokrát opakovaném roztočení kruhu, v jeho otáčení vlivem setrvačnosti a konečně v jeho samovolném zastavení působením pasivních odporu. Kruh má na svém obvodu značky dělící obvod v intervalu 0 až 2π, mimo kruh je pevná značka určující, na kterém místě se kruh zastavil. Protože předpokládáme, že každý úhel při zastavení je stejně možný (jako by tomu melo být např. u rulety), představují naměřené hodnoty tohoto úhlu spojitou náhodnou veličinu proměnnou v intervalu 0, 2π.

47 Příklad - řešení Distribuční funkce této náhodné veličiny je pak x F( x) = pro x (0;2π > 2π F( x) = 0 pro x 0 F( x) = 1 pro x 2π Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny pak je x d df( x) = = 2π 1 f ( x) = pro x (0;2π > dx dx 2π f ( x) = 0 pro x 0 a x > 2π

48 Příklad - řešení

49 Příklad Uvažujme náhodný pokus spočívající ve sledování počtu bodu při hodech vrhací kostkou. Množina možných hodnot je 1, 2, 3, 4, 5, 6 a proto počet bodů představuje nespojitou (diskrétní) náhodnou veličinu. Předpokládáme opět ideální vrhací kostku, tj. všechny hodnoty 1 až 6 jsou stejně pravděpodobné.

50 Příklad - řešení Obdobou hustoty pravděpodobnosti je v případě diskrétních veličin pravděpodobnostní funkce p(x). Je to pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty x i a proto ji píšeme ve tvaru p ( xi ) = P( X = xi ) V našem příkladu je pravděpodobnost počtu bodů p(x i ) pro všechna x i stejná a rovná se 1/6. Průběh pravděpodobnostní funkce pro výsledek našeho pokusu je na následujícím obrázku.

51 Příklad - řešení

52 Charakteristiky náhodných veličin Pro posouzení statistických souboru údaju zjištěných měřením nebo čítáním mají největší důležitost informace o poloze údajů ve statistickém souboru a o jejich rozptýlení (variabilitě). V prvním případě jde o určení vhodné střední úrovně, kolem které se hodnoty náhodné veličiny soustřeďují, ve druhém případe jde o určení rozmezí, ve kterém se vyskytují a o způsob jejich rozložení uvnitř tohoto rozmezí.

53 Střední hodnota Polohu hodnot náhodné veličiny X nejlépe charakterizuje střední hodnota, kterou označujeme symbolem E(X) a která je pro spojitě proměnnou veličinu X definovaná Vztahem Symboly a, b v tomto vztahu jsou meze definičního oboru veličiny X.

54 Rozptyl Varianci náhodných veličin nejlépe charakterizuje rozptyl D2, který určujeme ze vztahu

55 Rozdělení pravděpodobnosti Náhodné procesy, jejichž výsledkem jsou statistické soubory náhodných veličin, jsou velmi rozmanité a tomu také odpovídá velký počet funkcí, které vyjadřují jejich rozdělení pravděpodobnosti. Nejčastěji se můžeme setkat v oblasti vyhodnocování fyzikálních měření se s: Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení

56 Rovnoměrné rozdělení Náhodnou veličinu X lze popsat rovnoměrným rozdělením, jestliže všechny hodnoty náhodné veličiny X v daném intervalu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Pro rozsah hodnot náhodné veličiny X vymezený v intervalu a x b jsou distribuční funkce F(x) a rozdělení hustoty pravděpodobnosti f(x) určeny vztahy

57 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Nejčastěji používaný model rozdělení spojité náhodné veličiny a mnoho spojitých náhodných veličin se jím alespoň přibližně řídí. Náhodné veličiny řídící se tímto rozdělením můžeme charakterizovat jako veličiny vzniklé složením vlivu, které jsou nezávislé, kterých je vetší počet a z nichž každá ovlivňuje skutečnou hodnotu náhodné veličiny jen malým příspěvkem.

58 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Náhodná veličina X nabývá hodnot x v intervalu (,+ ) s hustotou pravděpodobnosti

59 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti

60 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Okolnost, že distribuční funkce normálního rozdělení závisí na dvou parametrech je v mnoha případech pro práci s touto funkcí nepříznivá. Zejména je obtížné takovou funkci tabelovat pro různá x a různé kombinace hodnot µ a σ 2. Této závislosti se lze zbavit lineární transformací, která se nazývá normování: u = x µ σ

61 Binomické rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Toto rozdělení popisuje situaci, kdy náhodný jev nastává s pravděpodobností p a kdy n krát nezávisle opakujeme náhodný pokus, při kterém muže náhodný jev nastat a zkoumáme počet x výskytu jevu v sérii techto n nezávislých pokusu. Binomická náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2,, n. Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je

62 Poissonovo rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Vztahuje se k náhodné veličině, která vyjadřuje počet výskytu málo pravděpodobných (řídkých) jevů za daných podmínek (v určitém časovém intervalu, ve vymezené oblasti apod.). Poissonova náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2, a její pravděpodobnostní funkce je

63 Základy matematické statistiky V praxi se vyskytují případy, kdy na základe malého poctu experimentálně získaných hodnot určité veličiny náhodného charakteru se mají stanovit informace o chování této veličiny. Touto problematikou se zabývá matematická statistika.

64 Základní soubor je soubor všech možných zjistitelných hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti. Může obsahovat konečný i nekonečný počet hodnot. V případe spojité proměnné náhodné veličiny by rozsah základního souboru mel být nekonečný. Z praktického hlediska ale stačí N tak velké, že další zvyšování N již nepřináší znatelné změny charakteristik. Realizace měření, při kterém je získán soubor naměřených hodnot odpovídající rozsahu základního souboru je často v praxi z důvodu technických, časových i ekonomických nemožná. K dispozici tedy obvykle máme soubor podstatně menší, který představuje určitý výběr ze základního souboru. Aby se charakteristiky takového souboru co nejlépe blížily charakteristikám základního souboru, je třeba aby představoval náhodný výběr.

65 Náhodný výběr Náhodný výběr ze základního souboru je skupina n hodnot náhodné veličiny vybraných nezávisle na sobe a takovým způsobem, aby všechny hodnoty základního souboru mely stejnou možnost být do tohoto výběru pojaty. Náhodným výběrem může mj. být i souhrn hodnot získaných při opakování měření téže veličiny za stejných podmínek. Počet hodnot náhodného výběru n udává rozsah náhodného výběru. Podobně jako má základní soubor své charakteristiky, můžeme analogickými veličinami charakterizovat i náhodný výběr a to například výběrovým průměrem, výběrovým rozptylem, výběrovou směrodatnou odchylkou a výběrovým rozdělením pravděpodobnosti.

66 Charakteristiky náhodného výběru

67 Charakteristiky náhodného výběru To by se mj. projevilo i tím, že charakteristiky obou souboru by byly odlišné, i když rozdíly by byly relativně malé. Totéž by platilo i pro další náhodné výběry ze stále stejného základního souboru. Lze tedy vyslovit tvrzení, že výběrové charakteristiky jsou náhodnými veličinami.

68 Charakteristiky náhodného výběru Například z náhodného výběru rozsahu n odebraného ze základního souboru náhodné veličiny X se vypočítá výběrový průměr x 1. Odběrem dalšího náhodného výběru z téhož základního souboru a stejného rozsahu se stanoví výběrový průměr x 2, z dalšího náhodného výběru x 3 atd. Hodnoty těchto výběrových průměrů nebudou stejné a budou mít náhodný charakter. Výběrový průměr se chová jako náhodná veličina. Stejně se bude chovat výběrový rozptyl s 2.

69 Charakteristiky náhodného výběru Výběrové charakteristiky jsou tedy náhodnými veličinami a lze je popsat rozděleními pravděpodobnosti, která se nazývají výběrová rozdělení. Je zřejmé, že pro práci s výběrovými soubory je nezbytná znalost toho, jaká výběrová rozdělení jsou přirazená k jednotlivým výběrovým charakteristikám.

70 Charakteristiky náhodného výběru Nejvýznamnější výběrová charakteristika je výběrový průměr. Lze dokázat, že platí tvrzení: jestliže náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ(x) a σ(x), potom i hodnoty výběrového průměru budou rozděleny podle normálního rozdělení pravděpodobnosti s parametry µ = µ(x) a σ = σ(x)= σ(x) / sqrt(n)

71 Charakteristiky náhodného výběru

72 Vyhodnocení měření Vraťme se nyní k problému vyhodnocení souboru náhodných veličin získaných měřením fyzikální veličiny ovlivněné náhodnými chybami. Tyto soubory jsou obdobou statistických souboru a mezi jejich základní charakteristiky také patří poloha a rozptyl (variance).

73 Aritmetický průměr Základním ukazatelem polohy statistického souboru (x1, x2,, xn) je aritmetický průměr x, který určujeme pomocí vztahu

74 Směrodatná odchylka statistického souboru Časteji se ale rozptýlení souboru charakterizuje kladnou druhou odmocninou z rozptylu, která se nazývá směrodatná odchylka statistického souboru s. Je určená vztahem

75 Základní charakteristiky souboru

76 4. ZÁKLADY TEORIE CHYB

77 Chyby měření jsou 1. náhodné 2. systematické 3. hrubé řešíme specificky viz dále Na celkové chybě měření se podílejí jak chyby náhodné, tak chyby systematické. Proto chybu měření e často označujeme jako úplnou chybu měření.

78 Co s chybami HRUBÉ CHYBY SYSTEMATICKÉ CHYBY NÁHODNÉ CHYBY IDENTIFIKACE ROZBOR ODSTRANĚNÍ KOREKCE STATISTICKÝ POPIS Ale napřed o nich musíme něco vědět

79 Náhodné chyby Jak získat nejsprávnější odhad skutečné hodnoty měřené veličiny? Za předpokladu, že náš soubor představuje náhodný nevychýlený výběr ze základního souboru, nabízí se možnost považovat za nejsprávnější tu hodnotu, která se v souboru nejčastěji opakuje. Odpovídá ji maximum v normálním Gaussově rozdělení. Z matematického vyjádření tohoto rozdělení lze dokázat, že nejsprávnějším odhadem skutečné hodnoty je aritmetický průměr x ze všech naměřených hodnot x i, = výběrový průměr.

80 Náhodné chyby Dokázat lze i tvrzení, že čím vetší je počet měření, tím více se hodnota aritmetického průměru přiblíží ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Velikost náhodné chyby zřejmě souvisí s tím, jak jsou jednotlivé naměřené hodnoty x i rozptýleny okolo hodnoty aritmetického průměru x. Je zřejmé, že čím přesnějším měřidlem budeme popisované měření délky provádět, tím méně budou naměřené hodnoty rozptýleny kolem hodnoty aritmetického průměru a křivka rozdělení bude štíhlejší.

81 Náhodné chyby Základem pro kvantitativní vyjádření velikosti náhodné chyby nejlepší odhad směrodatné odchylky základního souboru, který v tomto případe nazýváme směrodatná odchylka s(x) jednoho měření veličiny x, a která je daná vztahem

82 Náhodné chyby

83 Rizika Posuďme praktický význam takového kroku, Jednoduchou integrací funkce f(x) lze ukázat, že plocha pod křivkou normálního rozdělení v intervalech (µ σ,µ +σ ) představuje asi 68% z celkové plochy pod touto křivkou. Pak pro dostatečně velká n platí, že neboli že pravděpodobnost, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží v intervalu je 68 %, resp. že riziko, že správná hodnota leží mimo tento interval je 32 %.

84 Rizika Obdobné tvrzení platí pro interval okolo hodnoty aritmetického průměru který je ovšem užší, protože platí vztah

85 Rizika V řadě případů však je riziko 32% toho, že skutečná hodnota měřené veličiny leží mimo daný interval nepřijatelně velké a interval je proto nutné nějakým definovaným způsobem rozšířit. Pokud je splněn předpoklad o dostatečně velkém počtu měření n (v praxi stačí n nad 50 ), můžeme k tomu využít vlastností normálního rozdělení. Lze odvodit, že pro dvakrát rozšířený interval okolo aritmetického průměru x přibližně platí A riziko, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží vně dvakrát rozšířeného intervalu je 5%.

86 Rizika

87 Rizika Ve velké většině případů ovšem předpoklad o dostatečně velkém počtu měření splněn není a navíc se v laboratorní a technické praxi vyžadují jiné hodnoty rizika, než poskytují uvedené příklady.

88 Náhodné chyby S.k. Řešení se našlo pomocí jiných rozdělení. Byly odvozeny koeficienty t n,α, které jsou funkcí počtu měření n a stanoveného rizika α. Pomocí koeficientu t n,α, které se nazývají Studentovy koeficienty, mužeme stanovit interval spolehlivosti (konfidenční interval):

89 Studentovy koeficienty Jestliže máme k dispozici n opakovaných měření a vypočítáme jejich aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku aritmetického průměru s (x ), leží skutečná hodnota x s pravděpodobností P =1 α v intervalu spolehlivosti. V tabulce uvádíme Studentovy koeficienty pro v praxi nejobvyklejší případy, tj. počet měření od 3 do 20 a obvykle volená rizika 5%, resp. 1%.

90 Studentovy koeficienty

91

92 Příklad

93 Systematické chyby Systematické chyby souvisejí obvykle s použitou metodou či měřícími přístroji nebo se samotným pozorovatelem. Říkáme, že jsou způsobeny kontrolovatelnými vlivy.

Tabulka 1. SI - základní jednotky

Tabulka 1. SI - základní jednotky 1 Veličina Jednotka Značka Rozměr délka metr m L hmotnost kilogram kg M čas sekunda s T elektrický proud ampér A I termodynamická teplota kelvin K Θ látkové množství mol mol N svítivost kandela cd J Tabulka

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Kontrola a měření. 1. Základy metrologie, jednotky SI

Kontrola a měření. 1. Základy metrologie, jednotky SI Kontrola a měření Obsah: 1. Základy metrologie, jednotky SI 2. Teorie chyb 3. Lícovací soustava 4. Statistická měření 5. Měření délek 6. Měření úhlů 7. Kontrola jakosti povrchu 8. Zkoušky bez porušení

Více

Soustava SI, převody jednotek

Soustava SI, převody jednotek Variace 1 Soustava SI, převody jednotek Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Co je fyzika, jednotky

Více

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1 DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-1 Téma: Veličiny a jednotky Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý VÝKLAD SI soustava Obsah MECHANIKA... Chyba! Záložka není definována.

Více

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru Prototyp kilogramu Průřez prototypu metru 1.Fyzikální veličiny a jednotky 2.Mezinárodní soustava jednotek 3.Vektorové a skalární veličiny 4.Skládání vektorů 1. Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny

Více

1 Měrové jednotky používané v geodézii

1 Měrové jednotky používané v geodézii 1 Měrové jednotky používané v geodézii Ke stanovení vzájemné polohy jednotlivých bodů zemského povrchu, je nutno měřit různé fyzikální veličiny. Jsou to zejména délky, úhly, plošné obsahy, čas, teplota,

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr Úvod Fyzikální veličina je jakákoliv objektivní vlastnost hmoty, jejíž hodnotu lze změřit nebo spočítat. Fyzikálním veličinám přiřazujeme určitou hodnotu (velikost). Hodnota dané veličiny je udávána prostřednictvím

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu

264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu 264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 14. července 2000, o základních měřicích jednotkách a ostatních jednotkách a o jejich označování Změna: 424/2009 Sb. Ministerstvo průmyslu a

Více

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D01_Z_OPAK_M_Uvodni_pojmy_T Člověk a příroda Fyzika Úvodní pojmy, fyzikální veličiny

Více

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Mezinárodní soustava jednotek SI Systéme Internationald Unités (Mezinárodní soustava jednotek) zavedena dohodou v roce 1960 Rozdělení Základní jednotky Odvozené

Více

Historie SI. SI Mezinárodní soustava jednotek - Systéme International d Unités

Historie SI. SI Mezinárodní soustava jednotek - Systéme International d Unités Soustava SI 1 Historie SI SI Mezinárodní soustava jednotek - Systéme International d Unités Vznik 1960 6 základních jednotek 1971 doplněna o 7 základ. jednotku mol 7.1.1974 zavedení SI v ČR Od 1.1.1980

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Teorie Do textu doplňte

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

Základy elektrotechniky - úvod

Základy elektrotechniky - úvod Elektrotechnika se zabývá výrobou, rozvodem a spotřebou elektrické energie včetně zařízení k těmto účelům používaným, dále sdělovacími a informačními technologiemi. Elektrotechnika je úzce spjata s matematikou

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek).

Soustava SI. SI - zkratka francouzského názvu Système International d'unités (mezinárodní soustava jednotek). Soustava SI SI - zkratka francouzského názvu Systèe International d'unités (ezinárodní soustava jednotek). Vznikla v roce 1960 z důvodu zajištění jednotnosti a přehlednosti vztahů ezi fyzikálníi veličinai

Více

Fyzikální veličiny. Převádění jednotek

Fyzikální veličiny. Převádění jednotek Fyzikální veličiny Vlastnosti těles, které můžeme měřit nebo porovnávat nazýváme fyzikální veličiny. Značka fyzikální veličiny je písmeno, kterým se název fyzikální veličiny nahradí pro zjednodušení zápisu.

Více

VY_32_INOVACE_FY.01 FYZIKA - ZÁKLADNÍ POJMY

VY_32_INOVACE_FY.01 FYZIKA - ZÁKLADNÍ POJMY VY_32_INOVACE_FY.01 FYZIKA - ZÁKLADNÍ POJMY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Fyzikální veličina je jakákoliv

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN. m = 15 kg. Porovnávání a měření. Soustava SI (zkratka z francouzského Le Système International d'unités)

MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN. m = 15 kg. Porovnávání a měření. Soustava SI (zkratka z francouzského Le Système International d'unités) MĚŘENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Porovnávání a měření Při zkoumání světa kolem nás porovnáváme různé vlastnosti těles např. barvu, tvar, délku, tvrdost, stlačitelnost, teplotu, hmotnost, objem,. Často se však

Více

Úvod Fyzika hypotéza Pracovní hypotéza Axiom Fyzikální teorie Fyzikální zákon princip Fyzikální model materiální model

Úvod Fyzika hypotéza Pracovní hypotéza Axiom Fyzikální teorie Fyzikální zákon princip Fyzikální model materiální model 1 Úvod Fyzika je přírodní věda, jež studuje nejobecnější vlastnosti látek a fyzikálních polí. Zkoumá příčinné souvislosti nejobecnějších přírodních jevů a hledá zákony, jimiž se tyto jevy řídí. Vytváří

Více

Mgr. Ladislav Blahuta

Mgr. Ladislav Blahuta Mgr. Ladislav Blahuta Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada ZÁKLADNÍ

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li

Více

Střední od 1Ω do 10 6 Ω Velké od 10 6 Ω do 10 14 Ω

Střední od 1Ω do 10 6 Ω Velké od 10 6 Ω do 10 14 Ω Měření odporu Elektrický odpor základní vlastnost všech pasivních a aktivních prvků přímé měření ohmmetrem nepříliš přesné používáme nepřímé měřící metody výchylkové můstkové rozsah odporů ovlivňující

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. Stanovení základních materiálových parametrů

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. Stanovení základních materiálových parametrů KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE Stanovení základních materiálových parametrů Vzor laboratorního protokolu Titulní strana: název experimentu jména studentů v pracovní skupině datum Protokol:

Více

Měření magnetické indukce elektromagnetu

Měření magnetické indukce elektromagnetu Měření magnetické indukce elektromagnetu Online: http://www.sclpx.eu/lab3r.php?exp=1 V tomto experimentu jsme využili digitální kuchyňské váhy, pomocí kterých jsme určovali sílu, kterou elektromagnet působí

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou.

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 2. Sestrojte graf této závislosti. 2 Teoretický úvod 2.1 Povrchové napětí

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Jakub Michálek 10. dubna 2009 Teorie Pro označení veličin viz text [1] s výjimkou, že teplotní rozdíl značím T, protože značku t už mám vyhrazenu pro čas. Ze

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: II Název: Měření odporů Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 28.11.2008 Odevzdal

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. IV Název: Měření fotometrického diagramu. Fotometrické veličiny a jejich jednotky Pracoval: Jan Polášek stud.

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3)

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) KALIBRACE Chemometrie I, David MILDE Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) Činnost, která za specifikovaných podmínek v prvním kroku stanoví vztah mezi hodnotami veličiny s nejistotami

Více

1. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli z protažení drátu. 2. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli a duralu nebo mosazi z průhybu trámku.

1. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli z protažení drátu. 2. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli a duralu nebo mosazi z průhybu trámku. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli z protažení drátu. 2. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli a duralu nebo mosazi z průhybu trámku. 3. Výsledky měření graficky znázorněte, modul

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

ROZDĚLENÍ SNÍMAČŮ, POŽADAVKY KLADENÉ NA SNÍMAČE, VLASTNOSTI SNÍMAČŮ

ROZDĚLENÍ SNÍMAČŮ, POŽADAVKY KLADENÉ NA SNÍMAČE, VLASTNOSTI SNÍMAČŮ ROZDĚLENÍ SNÍMAČŮ, POŽADAVKY KLADENÉ NA SNÍMAČE, VLASTNOSTI SNÍMAČŮ (1.1, 1.2 a 1.3) Ing. Pavel VYLEGALA 2014 Rozdělení snímačů Snímače se dají rozdělit podle mnoha hledisek. Základním rozdělení: Snímače

Více

505/1990 Sb. ZÁKON. ze dne 16. listopadu 1990. o metrologii. Federální shromáždění České a Slovenské federativní Republiky se usneslo na tomto zákoně:

505/1990 Sb. ZÁKON. ze dne 16. listopadu 1990. o metrologii. Federální shromáždění České a Slovenské federativní Republiky se usneslo na tomto zákoně: 505/1990 Sb. ZÁKON ze dne 16. listopadu 1990 o metrologii Změna: 4/1993 Sb., 20/1993 Sb. Změna: 119/2000 Sb. Změna: 119/2000 Sb. (část) Změna: 137/2002 Sb. Změna: 13/2002 Sb. Změna: 226/2003 Sb. (část)

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice

Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika v učebně fyziky, interaktivní tabule a i-učebnice Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Práce a energie, tepelné jevy, elektrický proud, zvukové jevy Tercie 1+1 hodina týdně Pomůcky, které poskytuje sbírka fyziky, a audiovizuální technika

Více

13. Další měřicí přístroje, etalony elektrických veličin.

13. Další měřicí přístroje, etalony elektrických veličin. 13. Další měřicí přístroje, etalony elektrických veličin. přednášky A3B38SME Senzory a měření zdroje převzatých obrázků: pokud není uvedeno jinak, zdrojem je monografie Haasz, Sedláček: Elektrická měření

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

DODATEK B PŘEDPIS L 5

DODATEK B PŘEDPIS L 5 DODATEK B PŘEDPIS L 5 DODATEK B POKYNY PRO POUŽÍVÁNÍ MEZINÁRODNÍ SOUSTAVY MĚŘICÍCH JEDNOTEK 1. Úvod 1.1 Mezinárodní soustava měřicích jednotek je úplná koherentní soustava obsahující tři třídy jednotek:

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Věra Fišerová 26.11.2013 Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Při skenování se používá mnoho pojmů.. Shodnost měření, rozlišení, pravdivost měření, přesnost, opakovatelnost, nejistota měření, chyba

Více

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná.

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte tloušťku tenké vrstvy ve dvou různých místech. 2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 3. Okalibrujte

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 24. 7. 212 Název zpracovaného celku: KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Fyzikální veličiny popisují vlastnosti, stavy a změny hmotných

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Chyby spektrometrických metod

Chyby spektrometrických metod Chyby spektrometrických metod Náhodné Soustavné Hrubé Správnost výsledku Přesnost výsledku Reprodukovatelnost Opakovatelnost Charakteristiky stanovení 1. Citlivost metody - směrnice kalibrační křivky 2.

Více

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 55 Kapitola 9 Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 9.1 Úvod Hustota látky ρ je hmotnost její objemové jednotky, definované vztahem: ρ = dm dv, kde dm = hmotnost objemového elementu dv. Pro homogenní

Více

Pracovní list žáka (ZŠ)

Pracovní list žáka (ZŠ) Pracovní list žáka (ZŠ) Účinky elektrického proudu Jméno Třída.. Datum.. 1. Teoretický úvod Elektrický proud jako jev je tvořen uspořádaným pohybem volných částic s elektrickým nábojem. Elektrický proud

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

C p. R d dielektrické ztráty R sk odpor závislý na frekvenci C p kapacita mezi přívody a závity

C p. R d dielektrické ztráty R sk odpor závislý na frekvenci C p kapacita mezi přívody a závity RIEDL 3.EB-6-1/8 1.ZADÁNÍ a) Změřte indukčnosti předložených cívek ohmovou metodou při obou možných způsobech zapojení měřících přístrojů. b) Měření proveďte při kmitočtech měřeného proudu 50, 100, 400

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

Účinky elektrického proudu. vzorová úloha (SŠ)

Účinky elektrického proudu. vzorová úloha (SŠ) Účinky elektrického proudu vzorová úloha (SŠ) Jméno Třída.. Datum.. 1. Teoretický úvod Elektrický proud jako jev je tvořen uspořádaným pohybem volných částic s elektrickým nábojem. Elektrický proud jako

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 1. 4. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 1. 4. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 1. 4. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Úvod

Více

1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 295 do 345 K metodou bublin.

1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 295 do 345 K metodou bublin. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 295 do 35 K metodou bublin. 2. Měřenou závislost znázorněte graficky. Závislost aproximujte kvadratickou

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÉ REPUBLIKY. Profil aktualizovaného znění: Titul původního předpisu: Zákon o metrologii

SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÉ REPUBLIKY. Profil aktualizovaného znění: Titul původního předpisu: Zákon o metrologii Page 1 of 17 Titul původního předpisu: Zákon o metrologii SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÉ REPUBLIKY Profil aktualizovaného znění: Citace pův. předpisu: 505/1990 Sb. Částka: 83/1990 Sb. Datum přijetí: 16. listopadu

Více

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454 Zpracováno v rámci OP VK - EU peníze školám Jednička ve vzdělávání CZ.1.07/1.4.00/21.2759 Název DUM: Měření fyzikálních

Více

1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek

1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek 1 Pracovní úkoly 1. Změřte průběh intenzity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek (a) v zapojení s nesouhlasným směrem proudu při vzdálenostech 1, 16, 0 cm (b) v zapojení se

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Úloha č.2 Vážení. Jméno: Datum provedení: TEORETICKÝ ÚVOD

Úloha č.2 Vážení. Jméno: Datum provedení: TEORETICKÝ ÚVOD Jméno: Obor: Datum provedení: TEORETICKÝ ÚVOD Jednou ze základních operací v biochemické laboratoři je vážení. Ve většině případů právě přesnost a správnost navažovaného množství látky má vliv na výsledek

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

ρ = měrný odpor, ρ [Ω m] l = délka vodiče

ρ = měrný odpor, ρ [Ω m] l = délka vodiče 7 Kapitola 2 Měření elektrických odporů 2 Úvod Ohmův zákon definuje ohmický odpor, zkráceně jen odpor, R elektrického vodiče jako konstantu úměrnosti mezi stejnosměrným proudem I, který protéká vodičem

Více

T0 Teplo a jeho měření

T0 Teplo a jeho měření Teplo a jeho měření 1 Teplo 2 Kalorimetrie Kalorimetr 3 Tepelná kapacita 3.1 Měrná tepelná kapacita Měrná tepelná kapacita při stálém objemu a stálém tlaku Poměr měrných tepelných kapacit 3.2 Molární tepelná

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

6 Měření transformátoru naprázdno

6 Měření transformátoru naprázdno 6 6.1 Zadání úlohy a) změřte charakteristiku naprázdno pro napětí uvedená v tabulce b) změřte převod transformátoru c) vypočtěte poměrný proud naprázdno pro jmenovité napětí transformátoru d) vypočtěte

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více