= = 2368

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368"

Transkript

1 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540 sekund, v jednotlivých případech to bylo 28, 56, 64, 68, 54, 32, 68, 72, 62, 36. Předpokládáme, že doba výroby výlisku má normální rozdělení. Řešení 1 V tomto případě testujeme střední hodnotu a neznáme rozptyl. Použijeme tedy jednovýběrový t-test. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze H 0 : μ = μ 0 = 30, H 1 : μ > μ 0 = 30 Podle charakteru nerovnosti v alternativní hypotéze vidíme, že jde o jednostranný případ. Pro zjištění testovací hodnoty použijeme tabulku kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti. Podle teorie použijeme testovou statistiku T = X μ 0 n S Známe počet prvků výběru n = 10 a střední hodnotu výběru. Tou je X = = 54 Dále potřebujeme směrodatnou odchylku z výběru S. Vypočteme nejprve rozptyl z výběru. S 2 = 1 10 [(28 54)2 + (56 54) 2 + (64 54) 2 + (68 54) 2 + (54 54) 2 + (32 54) 2 + (68 54) 2 + (72 54) 2 + (62 54) 2 + (36 54) 2 ] = ( 26) ( 22) ( 18) = = = 236,8 Odtud směrodatná odchylka výběru je S = 15,38831 Nakonec vypočteme testovou statistiku dle vzorce uvedeného výše T = 15, = 24 3, = 1, , = 4, ,38831 V tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme hodnotu t 10 1 (1 0,05) = t 9 (1 0,05) = 1,833 Nyní již jen zbývá učinit závěrečné rozhodnutí. Podle teorie na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (pozor testujeme jednostranný případ) T t n 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud T < t n 1 (1 α) V našem konkrétním případě tedy platí první z uvedených možností, neboť T = 4,93197 = 4,93197 > 1,833 = t 9 (1 0,05) Proto hypotézu H 0 zamítáme a přikláníme se k hypotéze H 1. d b 1

2 Příklad 2 Byl proveden náhodný výběr 144 dodaných odlitků. Byla zjištěna jejich průměrná hmotnost x = 344 kg a směrodatná odchylka σ = 52 kg. Chceme testem prokázat, že průměrná hmotnost dodávaných odlitků je větší než 336 kg. Test má být proveden na hladině významnosti α = 0,05. Řešení 2 Formulujeme nulovou hypotézu tedy lze formulovat proti jednostranné alternativní hypotéze. H 0 : μ = 336, H 1 : μ > 336 Vzhledem k tomu, že n = 144 je splněna podmínka dostatečně velkého výběru n 30. Hladina významnosti α = 0,05. Kvantil u 1 α pro pravostranný test najdeme v tabulce kvantilů N(0; 1) rozdělení, u 1 α = 1,645. Máme tedy zadáno μ 0 = 336, X = 344, σ = 52, n = 144, u 1 α = 1,645 Můžeme tedy použít Z-test jednovýběrový test střední hodnoty při známém rozptylu. Podle teorie pro hypotézu H 0 : μ = μ 0 proti alternativní hypotéze H 1 : μ: > μ 0 lze použít testovou statistiku Z = X μ 0 n σ Na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud Z Φ 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud Z < Φ 1 (1 α) Nyní tedy vypočítáme hodnotu testového statistiky, dosadíme Z = X μ n = 144 = 8 σ = = = 1, Při jednostranném testu a dané hladině významnosti je kritický obor dán množinou hodnot vyšších než 1,645. Protože pro hodnotu testového kritéria 1, > 1,645, zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní hypotézy na 5% hladině významnosti. Můžeme tedy s 5% rizikem omylu tvrdit, že průměrná hmotnost přejímaných odlitků je vyšší než 336 kg. Celou situaci lze graficky znázornit tak, jak uvádí obrázek. d b 2

3 Příklad 3 Chceme ověřit, zda výkon pracovníků v jednom podniku je významně vyšší než v druhém, kde se vyrábí stejný typ výrobků. Je znám rozptyl výkonů v obou podnicích σ 1 2 = 20, σ 2 2 = 18. V obou podnicích byl proveden náhodný výběr o rozsahu n 1 = 60, n 2 = 50 pracovníků a vypočteny průměrné výkony za směnu x 1 = 140, x 2 = 137. Test provedeme na 5% hladině významnosti. Řešení 3 Nulovou hypotézou je předpoklad, že se průměrné výkony pracovníků obou podniků neliší, alternativní hypotéza pak bude, že v prvním podniku je výkon vyšší. H 0 : μ 1 = μ 2, H 1 : μ 1 > μ 2 Hypotézu můžeme přeformulovat takto: H 0 : μ 1 μ 2 = 0, H 1 : μ 1 μ 2 > 0 Je zřejmé, že v úloze jde o dva nezávislé výběry. Pro řešení úlohy tedy použijeme dvouvýběrový t-test. Testovací statistikou bude (jde o jednodušší vyjádření toho, co je v teorii bez snížení stupně výběrů) T = X 1 X 2 0 σ σ 2 2 n 1 n 2 Dosadíme a dostaneme T = = = = = = = 0, = 3 0, = 3, Podle teorie na hladině α zamítáme hypotézu H 0 : μ 1 = μ 2 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1 : μ 1 > μ 2, pokud (nezapomeňme, že jde o jednostranný případ) T t n1 +n 2 2(1 α) Nalezneme tedy v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti Potřebnou hodnotu (tabulka končí řádky pro 100 a nekonečno, vybereme ten pro 100). t n1 +n 2 2(1 α) = t (1 0,05) = t 108 (1 0,05) 1,660 Jasně vidíme, že platí T = 3, = 3, > 1,660 t 108 (1 0,05) Protože hodnota testového kritéria převyšuje kritickou hodnotu, zamítáme nulovou hypotézu a považujeme alternativní hypotézu, že v prvním podniku je průměrný výkon za směnu vyšší než v podniku druhém, za prokázanou na zvolené 5% hladině významnosti. d b 3

4 Příklad 4 Chceme posoudit přesnost dvou různých měřících metod. Bylo provedeno 16 nezávislých měření jistého objektu první metodou a 10 měření druhou metodou. Byly zjištěny následující hodnoty výběrových rozptylů: s 1 2 = 11,843, s 2 2 = 6,475 Máme ověřit na hladině významnosti 5%, zda existuje shoda v přesnosti obou měřících metod. Řešení 4 Vzhledem k tomu, že jde o výsledky měření, můžeme považovat rozdělení obou metod za normální. Obě sady měření proběhly na tomtéž objektu. Jsou tedy závislé. Pro řešení tedy můžeme použít případ párového t-testu (s jediným párem náhodná veličina X 1 je výsledek první sady měření a náhodná veličina Y 1 je výsledek druhé sady měření). O středních hodnotách obou měření nemáme žádnou informaci, můžeme předpokládat, že jsou stejné. V úloze zřetelně jde o porovnání rozptylů obou měření. Přitom je zřejmé, že za přesnější považujeme metodu, která má menší rozptyl. Budeme testovat nulovou hypotézu, že rozptyly jsou stejné proti alternativní hypotéze, že rozptyly se liší, neboli H 0 : σ 1 2 = σ 2 2, H 1 : σ 1 2 > σ 2 2 Je zřejmé, že v tomto případě jde o oboustrannou situaci. Vzhledem k předpokladu stejné střední hodnoty obou sad měření nemůžeme použít testovou statistiku z teorie (dostali bychom nulový čitatel). Jako statistiku tedy volíme zjednodušení standardní statistiky na podíl obou výběrových rozptylů. T = σ 1 2 σ 2 2 Nyní vypočítáme hodnotu této statistiky T = 11,843 6,475 = 1, Kritickou hodnotu nalezneme v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α 2 o n stupních volnosti t 1 (1 0,05 2 ) = 12,706 Jelikož hodnota testového kritéria je menší než hodnota kritická, nemůžeme na hladině významnosti 5 % hypotézu H 0 zamítnout. Poznámka Pro testování rozptylu normálního rozdělení na nějakou konkrétní hodnotu se standardně používá metoda uvedená v teoretické části. Na tento konkrétní příklad je ale vhodnější použít statistiku na základě F rozdělení, které je zaměřeno na poměr dvou nezávislých veličin a je velmi často používáno na situaci, kdy má být zkoumána rozdílnost dvou rozptylů. Popis tohoto rozdělení je už ale mimo téma předmětu. d b 4

5 Příklad 5 Byly získány přesné hmotnosti jednotlivých prvků souboru z náhodného výběru (na jednotce hmotnosti nijak nezáleží): 243,2; 244,8; 253,1; 247,5; 251,0; 251,7; 254,0; 252,5; 252,8; 250,1; 247,3; 250,9; 253,2; 252,7 Máme na 5% hladině významnosti prokázat, že a) před seřízením stroje střední hodnota hmotnosti překračovala 250, b) před seřízením stroje překračovala směrodatná odchylka hodnotu 1, Řešení 5a V tomto případě jde o náhodný výběr z normálního rozdělení. Budeme testovat střední hodnotu a přitom neznáme rozptyl. Pro tuto úlohu tedy uplatníme t-test jednovýběrový test střední hodnoty při neznámém rozptylu. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze H 0 : μ = μ 0 = 250, H 1 : μ > μ 0 = 250 Podle charakteru nerovnosti v alternativní hypotéze vidíme, že jde o jednostranný případ. Pro zjištění testovací hodnoty použijeme tabulku kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti. Podle teorie použijeme testovou statistiku T = X μ 0 n S Známe počet prvků výběru n = 14. Střední hodnotu výběru si vypočteme. n X = 1 n x i i=1 = 1 (243, , , , , , , , , , , , , ,7) = ,8 = 250, ,3 14 Dále potřebujeme směrodatnou odchylku z výběru S. Vypočteme nejprve rozptyl z výběru. S 2 = 1 14 [(243,2 250,3)2 + (244,8 250,3) 2 + (253,1 250,3) 2 + (247,5 250,3) 2 + (251,0 250,3) 2 + (251,7 250,3) 2 + (254,0 250,3) 2 + (252,5 250,3) 2 + (252,8 250,3) 2 + (250,1 250,3) 2 + (247,3 250,3) 2 + (250,9 250,3) 2 + (253,2 250,3) 2 + (252,7 250,3) 2 ] = ( 7,1)2 + ( 5,5) 2 + 2,8 2 + ( 2,8) 2 + 0, , , ,22 + 2,5 2 + ( 0,2) 2 + ( 3,0) 2 + 0, , , , ,25 + 7,84 + 7,84 + 0,49 + 1, ,69 + 4, ,5 + 0, ,36 + 8,41 + 5,76 = 14 = 147,14 = 10,51 14 Odtud směrodatná odchylka výběru je S = 10,51 = 3, Nakonec vypočteme testovou statistiku dle vzorce uvedeného výše 250,3 250 T = 3, = 0,3 3, = 0, , = 0, , V tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme hodnotu d b 5

6 t 14 1 (1 0,05) = t 13 (1 0,05) = 1,771 Nyní již jen zbývá učinit závěrečné rozhodnutí. Podle teorie na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (testujeme jednostranný případ) T t n 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud T < t n 1 (1 α) V našem konkrétním případě tedy platí první z uvedených možností, neboť T = 0, = 0, < 1,771 = t 13 (1 0,05) Proto hypotézu H 0 nemůžeme zamítnout. Nulová hypotéza v tomto případě patří do oboru přijetí. Řešení 5b V tomto případě máme testovat hypotézu o hodnotě rozptylu vůči dané hodnotě, v tomto případě konkrétně máme nulovou hypotézu a jednostrannou alternativní hypotézu H 0 : σ 2 = σ 2 0 = 1, H 1 : σ 2 > σ 2 0 = 1 Podle teorie použijeme statistiku (s 2 je výběrový rozptyl) χ 2 (n 1)s2 = σ 2 0 Na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (pracujeme s jednostrannou alternativní hypotézou) χ 2 2 > χ 1 α (n 1) nebo χ 2 < χ 2 α (n 1) V tomto případě pro nalezení kritických hodnot využíváme tabulku kvantilů χ 2 1 α rozdělení. Výběrový rozptyl s 2 = 10,51 jsme vypočítali v řešení odstavce a tohoto příkladu. Ostatní hodnoty pro výpočet statistiky máme k dispozici přímo. Můžeme tedy dosadit a dostaneme χ 2 (n 1)s2 (14 1) 10, ,51 = = = = 136,63 = 136,63 σ V tabulce kvantilů χ 2 1 α rozdělení nalezneme pro zvolenou hladinu významnosti hodnotu odpovídající n = 14 1 = 13. Tou je 22,36. Zcela zřejmě platí 136,63 > 22,36. Proto můžeme zamítnout nulovou hypotézu a s pravděpodobností 0,95 tvrdit, že variabilita hmotnosti před seřízením byla větší než 1. d b 6

7 Příklad 6 Je známo, že IQ má normální rozdělení. Za střední hodnotu se považuje IQ 100 bodů. Při testu inteligence, kterého se zúčastnilo 10 náhodně vybraných jedinců, byly naměřeny následující hodnoty IQ 65, 98, 103, 77, 93, 102, 102, 113, 80, 94 Ověřte čistým testem významnosti hypotézu, že ve vybraném vzorku je střední hodnota IQ podprůměrná. Řešení 6 Pro jednovýběrový t-test, neboli test o střední hodnotě normálního rozdělení s neznámým rozptylem, používáme testové kritérium T = X μ 0 n S Toto kritérium má v případě platnosti nulové hypotézy Studentovo rozdělení s n 1 stupni volnosti. Jelikož je v zadání příkladu uvedeno, že lze předpokládat normalitu IQ, nemusíme normalitu ověřovat. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze nastavené dle očekávaného výsledku. H 0 µ = 100, H 1 µ < 100 Průměrné IQ 10 testovaných jedinců je Po dosazení X = 1 n x i X = ( ) = = 92,7 Zjištěné průměrné IQ (92,7) je menší než testovaná hodnota (100), což je v souladu s očekáváním, že IQ výběru jedinců bude nižší než průměrné IQ. Alternativní hypotéza tedy byla zvolena vhodně. Proto, abychom mohli určit pozorovanou hodnotu testového kritéria, musíme vypočítat výběrovou směrodatnou odchylku S. Tu vypočítáme jako odmocninu výběrového rozptylu. S 2 = n i=1 (x i X ) 2 Po dosazení S 2 d b 7 n i=1 n 1 = (65 92,7)2 +(98 92,7) 2 +(103 92,7) 2 +(77 92,7) 2 +(93 92,7) (102 92,7)2 +(102 92,7) 2 +(113 92,7) 2 +(80 92,7) 2 +(94 92,7) = ( 27,7)2 +5, ,3 2 +( 15,7) 2 +0, ,3 2 +9, ,3 2 +( 12,7) 2 +1, , , , ,49 + 0, , , , ,29 + 1,69 = 9 = 1896,1 = 210, Odtud vypočteme směrodatnou odchylku výběrového souboru S = 210,6778 = 14,51474 Nyní máme všechny hodnoty pro dosazení do testové statistiky

8 92, ,3 T = 10 = 3, = 0, , = 1, , ,51474 Nyní v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme t n 1 (1 α) = t 10 1 (1 0,05) = t 9 (1 0,05) = 1,833 Vidíme, že T = 1,59043 = 1,59043 < 1,833 = t n 1 (1 α 2 ) Proto podle teorie hypotézu H 0 nezamítáme. S tím souvisí závěr testování, že hypotéza H 0 může platit. Jinak řečeno, rozdíl mezi předpokládanou střední hodnotou IQ a pozorovaným průměrným IQ je statisticky nevýznamný. d b 8

9 Příklad 7 Předpokládejme, že pevnost betonu je normální náhodná veličina. Norma předepisuje v daných podmínkách a) minimální průměrnou pevnost 25 MPa b) minimální průměrnou pevnost 24 MPa Určete, zda beton vyhovuje normě. Přípustné riziko omylu je maximálně 1 %. Naměřené hodnoty jsou v příkladu Naměřené hodnoty z příkladu jsou 27,0 24,7 21,4 24,9 28,2 30,9 27,2 25,0 21,9 22,6 27,0 32,3 25,4 27,7 25,6 26,0 23,8 23,1 25,1 31,0 27,2 22,1 18,9 29,5 18,2 26,7 27,0 25,3 22,2 22,5 20,6 30,3 25,3 25,6 28,1 23,2 23,3 18,6 20,0 25,2 22,2 27,9 25,6 22,9 31,6 27,5 21,6 24,5 19,7 26,6 26,5 24,1 29,6 17,6 27,3 24,5 31,0 25,2 27,6 19,8 23,2 23,8 25,6 28,6 29,1 25,7 23,2 23,6 25,6 27,7 28,7 22,5 19,6 29,1 26,8 26,6 24,3 26,3 24,7 26,3 24,6 26,2 23,7 26,0 28,1 28,2 25,9 23,0 21,0 24,0 24,2 23,5 30,5 29,7 26,9 24,4 26,2 23,8 26,0 27,0 Řešení 7 Máme náhodný výběr rozsahu n = 100 z rozdělení N(μ, σ 2 ). Parametry tohoto rozdělení neznáme. Máme určit na hladině významnosti α = 0,01, zda střední hodnota překračuje 25, respektive 24. Budeme postupovat podle teorie. Naším úkolem je tedy testovat střední hodnotu normálního rozdělení při neznámém rozptylu. Budeme testovat hypotézu H 0 μ = μ 0 proti hypotéze H μ > μ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = X μ 0 n S Tato statistika má za platnosti μ = μ 0 rozdělení t(n 1). Za kritický obor pro tento jednostranný test na hladině významnosti α volíme množinu W = {t; t > t(n 1; 1 α)} Řešení a V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 μ = 25 proti hypotéze H μ > 25 Při řešení příkladu jsme nalezli x = 25,37, s = 3, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 25,37 25 n = s 3, = 0,37 3, = 3,7 3, = 1, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(100 1; 1 0,01)} = {t; t > t(99; 0,99)} = {t; t > 2,326} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 μ 25. Naměřené hodnoty neumožňují rozhodnout, zda materiál vyhovuje normě. d b 9

10 Řešení b V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 μ = 24 proti hypotéze H μ > 24 Při řešení příkladu jsme nalezli x = 25,37, s = 3, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 25,37 24 n = s 3, = 1,37 3, = 13,7 3, = 4, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(100 1; 1 0,01)} = {t; t > t(99; 0,99)} = {t; t > 2,326} Protože t W, zamítáme na hladině významnosti 0,01 hypotézu H 0 μ = 24 ve prospěch alternativní hypotézy H μ > 24. Lze konstatovat, že materiál vyhovuje normě. d b 10

11 Příklad 8 Pro určení přesnosti dálkoměru byla desetkrát změřena vzdálenost, jejíž skutečná hodnota je 20 km. Získali jsme následující výsledky v km: 21,1 21,2 20,9 21,0 21,5 21,5 21,0 20,8 20,9 21,0 Zjistěte na hladině významnosti 0,05, zda je přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou menší než 0,5 km. Předpokládáme, že chyba měření je normální náhodná veličina se střední hodnotou 1 km. Řešení 8 Ze zadaných dat vytvoříme výběrový soubor zachycující jednotlivé odchylky v měření. 1,1 1,2 0,9 1,0 1,5 1,5 1,0 0,8 0,9 1,0 Máme náhodný výběr rozsahu n = 10 z rozdělení N(μ = 1, σ 2 = 1). Máme zjistit na hladině významnosti α = 0,05, zda přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou je menší než 0,5. Tomuto požadavku odpovídá situace, zda přesnost dálkoměru vyjádřená rozptylem je menší, než 0,25 na hladině významnosti α = 0,05 (rozptyl je druhou mocninou směrodatné odchylky). Budeme postupovat podle teorie. Naším úkolem je tedy testovat rozptyl normálního rozdělení při známé střední hodnotě. Budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 2 σ 0 proti hypotéze H σ 2 2 > σ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = ns 0 2 σ 2 0 Tato statistika má za platnosti σ 2 2 = σ 0 rozdělení χ 2 (n). Za kritický obor pro tento test volíme množinu W = {t; t > χ 2 (n; 1 α)} V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 0,5 2 proti hypotéze H σ 2 > 0,5 2 2 Máme n = 10, μ = 1.Vypočítáme s 0 podle vzorce Po dosazení a krátkém výpočtu dostaneme n s 0 2 = 1 n (x i μ) 2 i=1 s 0 2 = 1 10 [(1,1 1)2 + (1,2 1) 2 + (0,9 1) 2 + (1 1) 2 + (1,5 1) 2 + (1,5 1) 2 + (1 1) 2 + (0,8 1) 2 + (0,9 1) 2 + (1 1) 2 ] = 1 10 [(0,1)2 + (0,2) 2 + ( 0,1) 2 + (0) 2 + (0,5) 2 + (0,5) 2 + (0) 2 + ( 0,2) 2 + ( 0,1) 2 + (0) 2 ] = 1 10 [0,01 + 0,04 + 0, ,25 + 0, ,04 + 0,01 + 0] = ,61 = 0,061 Realizace t zvolené testové statistiky T po dosazení a jednoduchém výpočtu je 10 0,061 t = 0,5 2 = 0,61 0,25 = 2,44 Kritický obor na dané hladině významnosti α = 0,05 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > χ 2 (n; 1 α)} = {t; t > χ 2 (10; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (10; 0,95)} = {t; t > 18,31} d b 11

12 Vzhledem k tomu, že t W, není možno zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Z toho plyne, že přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou je menší než 0,5 km. Dálkoměr tedy vyhovuje požadavku přesnosti. Riziko omylu je maximálně 5%. d b 12

13 Příklad 9 Při odběru 30 vzorků posypového materiálu na dálnici byl získán následující soubor poměrných hodnot obsahu určité chemikálie vzhledem k normovanému předpisu: 0,91 1,08 0,72 1,07 1,14 0,62 1,06 1,20 0,76 1,19 0,96 0,73 0,83 0,55 0,79 1,34 0,60 1,19 1,35 1,13 0,67 0,77 0,48 0,83 1,78 2,25 1,21 0,89 0,83 1,07 Předpokládáme, že realizace pochází z normálního rozdělení. Ověřme na hladině významnosti 0,01, zda: a) střední hodnota obsahu je menší než 0,9 b) směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4 Řešení 9 Máme náhodný výběr rozsahu n = 30 z rozdělení N(μ, σ 2 ) jehož parametry neznáme. Máme zjistit na hladině významnosti α = 0,01, zda: a) střední hodnota obsahu je menší než 0,9 b) směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4 Pro obě úlohy budeme postupovat podle teorie. Řešení a Prvním naším úkolem je testovat střední hodnotu normálního rozdělení při neznámém rozptylu. Budeme testovat hypotézu H 0 μ = μ 0 proti hypotéze H μ > μ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = X μ 0 n S Tato statistika má za platnosti μ = μ 0 rozdělení t(n 1). Za kritický obor pro tento jednostranný test na hladině významnosti α volíme množinu W = {t; t < t(n 1; 1 α)} Konkrétně tedy budeme testovat hypotézu H 0 μ = 0,9 proti hypotéze H μ < 0,9 Vypočítáme střední hodnotu výběru podle vzorce n Dosadíme a vypočteme x = 1 n x i i=1 μ = x = 1 [0,91 + 1,08 + 0,72 + 1,07 + 1,14 + 0,62 + 1,06 + 1,20 + 0,76 + 1,19 + 0,96 + 0, ,83 + 0,55 + 0,79 + 1,34 + 0,60 + 1,19 + 1,35 + 1,13 + 0,67 + 0,77 + 0,48 + 0,83 + 1,78 + 2,25 + 1,21 + 0,89 + 0,83 + 1,07] = = 1 Výběrový rozptyl vypočteme podle vzorce Dosadíme s 2 = 1 n 1 (x i X ) 2 n i=1 d b 13

14 s 2 = [(0,91 1)2 + (1,08 1) 2 + (0,72 1) 2 + (1,07 1) 2 + (1,14 1) 2 + (0,62 1) 2 + (1,06 1) 2 + (1,20 1) 2 + (0,76 1) 2 + (1,19 1) 2 + (0,96 1) 2 + (0,73 1) 2 + (0,83 1) 2 + (0,55 1) 2 + (0,79 1) 2 + (1,34 1) 2 + (0,60 1) 2 + (1,19 1) 2 + (1,35 1) 2 + (1,13 1) 2 + (0,67 1) 2 + (0,77 1) 2 + (0,48 1) 2 + (0,83 1) 2 + (1,78 1) 2 + (2,25 1) 2 + (1,21 1) 2 + (0,89 1) 2 + (0,83 1) 2 + (1,07 1) 2 ] Odtud = 1 29 [( 0,09)2 + (0,08) 2 + ( 0,28) 2 + (0,07) 2 + (0,14) 2 + ( 0,38) 2 + (0,06) 2 + (0,20) 2 + ( 0,24) 2 + (0,19) 2 + ( 0,04) 2 + ( 0,27) 2 + ( 0,17) 2 + ( 0,45) 2 + ( 0,21) 2 + (0,34) 2 + ( 0,40) 2 + (0,19) 2 + (0,35) 2 + (0,13) 2 + ( 0,33) 2 + ( 0,23) 2 + ( 0,52) 2 + ( 0,17) 2 + (0,78) 2 + (1,25) 2 + (0,21) 2 + ( 0,11) 2 + ( 0,17) 2 + (0,07) 2 ] = 1 [0, , , , , , , , , , , , , , , , ,16 + 0, , , , , , , , , , , , ,0049] = ,9222 = 0, σ = s = σ n 1 = s 2 = 0, = 0, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 n = 1 0,9 s 0, = 0,1 0, , = 0, , = 1, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(30 1; 1 0,01)} = {t; t > t(29; 0,99)} = {t; t > 2,462} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 μ = 0,9 ve prospěch alternativní hypotézy. Můžeme tedy na hladině významnosti 0,01 konstatovat, že střední hodnota obsahu je menší než 0,9. Řešení b Druhým naším úkolem je testovat zda směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4. Tento test budeme realizovat prostřednictvím testu, zda rozptyl obsahu je menší než 0,16 (směrodatná odchylka je odmocninou rozptylu). Budeme tedy testovat rozptyl normálního rozdělení při neznámé střední hodnotě. Postupovat budeme podle teorie. Budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 2 = σ 0 proti hypotéze H σ 2 2 > σ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku (n 1)S2 T = σ 2 0 Tato statistika má za platnosti σ 2 2 = σ 0 rozdělení χ 2 (n). Za kritický obor pro tento test volíme množinu W = {t; t > χ 2 (n 1; 1 α)} V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 = 0,4 2 proti hypotéze H σ 2 > 0,4 2 Máme n = 30.Vypočítali jsme s 2 = 0, již v řešení první úlohy d b 14

15 Realizace t zvolené testové statistiky T po dosazení a jednoduchém výpočtu je (30 1) 0, t = 0,4 2 = 3,9222 0,16 = 24,51375 Kritický obor na dané hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > χ 2 (n 1; 1 α)} = {t; t > χ 2 (30 1; 1 0,01)} = {t; t > χ 2 (29; 0,99)} = {t; t > 49,59} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 σ 2 0,4 2 ve prospěch alternativní hypotézy. Můžeme tedy na hladině významnosti 0,01 konstatovat, že směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4. d b 15

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Obecný postup 1. Určení statistické hypotézy 2. Určení hladiny chyby 3. Výpočet

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10.

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10. PARAMETRICKÉ TESTY Testujeme rovnost průměru - předpokladem normální rozdělení I) Jednovýběrový t-test 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz 6. Testování statistických Testování statistických Princip: Ověř ěřování určit itého předpokladu p zjišťujeme, zda zkoumaný výběr r pochází ze základnz kladního souboru, který mám určit ité rozdělen lení

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů

STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů 1) Test na velikost rozptylu Test na velikost rozptylu STATISTICA nemá. 2) Test na velikost střední hodnoty V menu Statistika zvolíme nabídku Základní

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů 1) Test na homoskedasticitu Nalezneme jej v několika submenu. Omezme se na submenu Základní statistiky a tabulky základního menu Statistika. V něm

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Vymezení důležitých pojmů. nulová hypotéza, alternativní hypotéza testování hypotézy hladina významnosti (alfa) chyba I. druhu, chyba II.

Vymezení důležitých pojmů. nulová hypotéza, alternativní hypotéza testování hypotézy hladina významnosti (alfa) chyba I. druhu, chyba II. Testování hypotéz 1. vymezení důležitých pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test 4. t-test pro nezávislé výběry 5. t-test pro závislé výběry Vymezení důležitých pojmů nulová

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Příklad 81b. Předpokládejme, že výška chlapců ve věku 9,5 až 10 roků má normální rozdělení N(mi;sig2)

Příklad 81b. Předpokládejme, že výška chlapců ve věku 9,5 až 10 roků má normální rozdělení N(mi;sig2) Příklad 1. Za předpokladu, že výška dětí ve věku 10 let má normální rozdělení s rozptylem 38, určete pravostranný 99% interval spolehlivosti, ve kterém bude ležet neznámá střední hodnota výšky dětí, jestliže

Více

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M4 ZÁKLADY TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Proč neparametrické testy? Pokud provádíte formální analýzu či testování hypotéz (zejména provádíte-li

Více

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více