Numerické metody zpracování výsledků

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody zpracování výsledků"

Josef Havel
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Numerické metody zpracování výsledků Měření fyzikální veličiny provádíme obvykle tak, že měříme hodnoty y jedné fyzikální veličiny při určitých hodnotách x druhé veličiny, na které měřená veličina závisí. Volíme-li hodnoty x 1, x,..., x n nezávisle proměnné tak, že vytváří aritmetickou posloupnost, říkáme, že je měření ekvidistantní. Při ekvidistantním měření jsou rozdíly mezi po sobě následujícími hodnotami x 1, x, x 3,..., x n konstantní. Ekvidistantní měření se dá numericky lépe zpracovat a dává přesnější výsledky než měření neekvidistantní. A protože při fyzikálních měřeních dáváme vždy přednost měřením ekvidistantním, uvedeme si několik metod zpracování výsledků ekvidistantních měření. Zpracování výsledků postupných měření Metoda postupných měření Nejjednodušším příkladem ekvidistantních měření je měření provedené metodou postupných měření. Metoda postupných měření je patrna na měření doby kyvu t kyvadla. Časové údaje t 1, t,..., t n, odečítané na stopkách po každém desátém kyvu, jsou přímo uměrné počtu kyvů. Mohli bychom nyní dále postupovat tak, že dobu tn, to je dobu n kyvů vydělíme počtem kyvů n 1 a dostali bychom aritmeticky průměrnou dobu jednoho kyvu t = t n/n. Nevýhodou takového postupu je, že se využije jen první a poslední měření a vůbec se nevyužijí měření prostřední. Proto postupujeme 1 / 10

2 tak, že naměřené hodnoty času rozdělíme na dvě (počtem stejné) skupiny a zapíšeme je následujícím způsobem do tabulky : k Naměřené hodnoty Rozdíly členů 1.a. skupiny T k Odchylky od arit. průměru T k (ΔT k ) 1.skupina (k členů).skupina / 10

3 (k+n členů) 1 t 1 t n+1 T 1 = t n+1 -t 1 ΔT 1 = T-T 1 ΔT 1 t t n+ T = t n+ -t 3 / 10

4 ΔT = T-T ΔT 3 4 / 10

5 n t n 5 / 10

6 t n T n = t n -t ΔT n = T-T n ΔT n Aritmetický průměr T = 1/n.Σ.T k Σ.ΔT k = 0 Σ.ΔT k Doba jednoho kyvu t = T/10.n Každý z rozdílů t n+1 -t1,..., t n -t n 6 / 10

7 udává n násobnou hodnotu doby deseti kyvů. V průměru takto vypočítaných rozdílů (jejichž počet je n) se rovnoměrně využijí všechna měření, ale žádná z nich se neopakují. Aritmetický průměr těchto rozdílů je Nejpravděpodobnější hodnota doby deseti kyvů t je doba jednoho kyvu je tedy V dalších sloupcích jsou vypočítané odchylky ΔTk rozdílů Tk od aritmetického průměru T a druhé mocniny těchto odchylek ΔTk. Použitím součtu čtverců odchylek určíme pravděpodobnou chybu 7 / 10

8 Výsledek měření zapíšeme ve tvaru Metoda numerické interpolace Máme-li určit hodnotu y měřené veličiny pro hodnotu argumentu x (x může být např. velikost výchylky měřícího přístroje a nebo jiná veličina, na které veličina y závisí) a když známe jen hodnoty y1 a y pro hodnoty argumentu x1<x a x>x, potom můžeme použít lineární interpolaci vyjádřenou vztahem Lineární interpolaci můžeme použít, když 8 / 10

9 - veličiny x a y jsou lineárně závislé, - závislost mezi veličinami x a y je vyjádřena křivkou, která se velmi neodchyluje od přímky, - závislost mezi x a y je vyjádřena jakoukoli křivkou, ale interpolace se provádí v tak malých intervalech hodnot x, že v nich můžeme závislot považovat za přímkovou. Dost často se stekáváme se situací, kdy závislot y = f(x) je natolik složitá, že nejsou splněny požadavky pro lineární interpolaci. pro tyto případy byly odvozeny různé interpolační vzorce, např. Newtonův interpolační vzorec, který se používá v případě ekvidistantních měření. Podrobnější popis této metody nalezneme ta těchto stránkách encyklopedie Wikipedia. Metoda nejmenších čtverců Je to nejčastěji používaná vyrovnávací metoda. O vyrovnávání měření hovoříme v těch případech, když z naměřených hodnot, zatížených nahodilými chybami, určujeme nejpravděpodobnější hodnotu výsledku. Protože se při fyzikálních měřeních setkáváme s různými úlohami, různé jsou i vyrovnávací metody, které při zpracování fyzikálních měření používáme. Vyrovnávací metody jsou založeny na metodě nejmenších čtverců, která vychází z předpokladu normálního rozložení nahodilých chyb. První tuto metodu popsal Legendre v roce 1806, podle něhož se též nazývá, a první ji použil Gauss. Podstata metody nejmenších čtverců spočívá v tom, že pro nejpravděpodobnější výsledek (aritmetický průměr) opakovaných stejně přesných měření je součet čtverců odchylek od naměřených hodnot minimální. 9 / 10

10 Podrobnější popis této metody nalezneme ta těchto stránkách encyklopedie Wikipedia. Převzato z knihy PROCHÁZKOVÁ, E.: Úvod do teorie a praxe fyzikálního měření I. PF JU České Budějovice, / 10

Podobné dokumenty

Aplikovaná matematika I

Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3