Finální myšmaš. (a) Mohou být v konvexním pětiúhelníku ABCDE všechny úhly EAC, ABD, BCE, CDA, DEB. zároveňtupé?

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Finální myšmaš. (a) Mohou být v konvexním pětiúhelníku ABCDE všechny úhly EAC, ABD, BCE, CDA, DEB. zároveňtupé?"

Transkript

1 Finální myšmaš º ÖÒ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ú ØÒ ¾¼½ V této sérii nejsou úlohy řazeny podle obtížnosti, ale podle témat(v rámci každého tématu je jedna úloha snazší a jedna obtížnější). Pozor, počítají se body za všechny úlohy! ÐÓ ½º (a) Mohou být v konvexním pětiúhelníku ABCDE všechny úhly zároveňtupé? EAC, ABD, BCE, CDA, DEB (¾ Ó Ý) (b) Ukažte, že v konvexním pětiúhelníku, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřníúhlyrůzněvelké,spolusousedí 1 nejmenšíanejvětšíúhel. ÐÓ ¾º (a) Součetkladnýchreálnýchčísel a 1,...,a njealespoň n.dokažte,žeprokaždé k=1,...,n lzevybratněkterých kznich,kterámajísoučetalespoň k. (¾ Ó Ý) (b) Silou n-tice navzájem různých reálných čísel rozumíme počet jejích možných uspořádání (a 1,...,a n)takových,žeprokaždé k=1,...,nplatí a 1 + +a k >0.Jakounejmenšísílu (v závislosti na n) může mít n-tice navzájem různých reálných čísel s kladným součtem? ÐÓ º Je možné rozdělit množinu všech přirozených čísel na (a) konečněmnoho (b) nekonečněmnoho nekonečných množin tak, aby uvnitř každé množiny byla čísla navzájem nesoudělná? (¾ Ó Ý) ÐÓ º (a) Uvnitřtrojúhelníka ABC jedánbod P tak,žeplatí ABP =30, PBC =40, BCP =20 a PCA =30.Ukažte,žepřímka APjekolmánapřímku BC. (¾ Ó Ý) (b) Uvnitřtrojúhelníka ABCjedánbod P tak,žeplatí ABP = PCA = 1 3 ( ABC + BCA ). Ukažte, že AB AC = AC + PB AB + PC. 1 Dvaúhlyspoluvmnohoúhelníkusousedí,pokudjednazestranmnohoúhelníkujezároveň ramenem obou úhlů. 1

2 ÐÓ º (a) Naleznětevšechnaceláčísla ztaková,žeoběčísla z 1az 3 + z 2 + z+1jsoudruhou mocninounějakéhoceléhočísla. (¾ Ó Ý) (b) Nalezněte všechny trojice kladných celých čísel a, b, c tak, aby každá z následujících kvadratických rovnic měla pouze celočíselná řešení: x 2 2ax+b=0, y 2 2by+c=0, z 2 2cz+a=0. ÐÓ º Deltoid je konvexní čtyřúhelník, který je osově souměrný podle alespoň jedné své úhlopříčky. (a) Dokažte,žekaždýtrojúhelníklzerozdělitna3deltoidy. (b) Dokažte,žekaždýkonvexníčtyřúhelníklzerozdělitna7deltoidů. (¾ Ó Ý) ÐÓ º (a) Šavlíkkdysidojistétabulky8 8vepsalčísla1až64(každéprávějednou).Dokažte,že aťužtoudělaljakkoliv,existujívtabulcealespoňčtyřičtverce2 2takové,žesoučetčísel vkaždémznichjealespoň106. (¾ Ó Ý) (b) V poslanecké sněmovně je 200 poslanců, kteří postupně hlasují o n zákonech(poslanec může být buď pro schválení zákona, nebo proti jeho schválení, nebo se může zdržet hlasování). Jeznámo,žeprokaždádvěhlasováníexistujeposlanec,kterývjednomznichhlasovalproa vjednomproti.označme z i početposlanců,kteřísezdrželihlasováníoi-témzákonu.dokažte, že n 2 z i i=1 2

3 Finální myšmaš º ÖÒ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (a) Mohou být v konvexním pětiúhelníku ABCDE všechny úhly zároveň tupé? EAC, ABD, BCE, CDA, DEB (25; 16; 2,40; 2,0) (b) Ukažte, že v konvexním pětiúhelníku, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřníúhlyrůzněvelké,spolusousedí 2 nejmenšíanejvětšíúhel. (PepaTkadlec) (a) Nemohou.Prosporpředpokládejme,žebyvšechnytytoúhlytupébyly.PakBÚNO 3 je BD nejdelší úhlopříčka(případně jedna z nejdelších). V trojúhelníku ABD je(ostře) nejdelší strana naproti největšímu tupému úhlu ABD, proto AD > BD. Tedy AD je ostře větší úhlopříčka, což je spor s předpokladem. (b) Označme pětiúhelník ABCDE, největší úhel je BÚNO u vrcholu E. Speciálně je tedy AED > BCD. Trojúhelníky AED a BCD jsou rovnoramenné, přičemž AE = BC, odkud plyne AD > BD. Dále z těchto trojúhelníků dopočteme CBD = 180 BCD > 180 AED = EAD. 2 2 V trojúhelníku ABD je větší úhel naproti větší straně, proto ABD > BAD. Sečtením dostáváme ABC = ABD + CBD > BAD + EAD = BAE, čiliúheluvrcholu Bnenínejmenší(vzhledemktomu,žejevětšínežúheluvrcholu A).Analogickymůžemeukázat,žeúheluvrcholu Cnenínejmenší,azřejměaniúheluvrcholu Enení nejmenší.nejmenšíúheljetedyujednohozvrcholů A, D,cožjsmechtěliukázat. 2 Dvaúhlyspoluvmnohoúhelníkusousedí,pokudjednazestranmnohoúhelníkujezároveň ramenem obou úhlů. 3 Oblíbenámatematickázkratka bezújmynaobecnosti říká,žemůžemezadánípřeznačit, aby platilo námi požadované, a přitom naše úprava neměla žádný vliv na zbytek úlohy. 3

4 Jakkoli nebyla úloha příliš obtížná, mnoho řešení se nesešlo. V části(a) si někteří špatně přečetli zadání a mysleli si, že vypsané úhly jsou vnitřní úhly pětiúhelníku. Ostatní úlohu většinou víceméně vzorově vyřešili. Část(b) byla složitější, vedle vzorového postupu se často vyskytovala kosinovávěta tajepopravděivevzorovémřešenínamístěprozdůvodnění AD > DB. Největšíprácimialedaljeden ostřílený řešitel,kterýsejalúlohu uhýbat. (Mirek Olšák) Úloha 2. (43; 39; 2,26; 2,0) (a) Součetkladnýchreálnýchčísel a 1,...,a njealespoň n.dokažte,žeprokaždé k=1,...,n lze vybrat některých k z nich, která mají součet alespoň k. (b) Silou n-tice navzájem různých reálných čísel rozumíme počet jejích možných uspořádání (a 1,...,a n)takových,žeprokaždé k=1,...,nplatí a 1 + +a k >0.Jakounejmenšísílu (v závislosti na n) může mít n-tice navzájem různých reálných čísel s kladným součtem? (a) Propohodlídodefinujme a n+1 =0abezújmynaobecnostipředpokládejme,že a 1 a 2 a n > a n+1 =0.Označme itakovýindex,aby a i 1>a i+1.tvrdíme,žeprokaždé k poslouží k-tice {a 1,...,a k }. Skutečně,pro k ije a 1 + +a k 1+ +1= k }{{} k apro k > ije takže a 1 + +a k > n (n k)=k. a k+1 + +a n <1+ +1= n k, }{{} (n k) Â Ò Prolibovolné k nsipředstavmečísla a 1,...,a nnapsanávkruhuauvažmenásledujících n součtů k-ticvzniklých rotací k-tice {a 1,...,a k }: s 1 = a 1 + +a k, s 2 = a 2 + +a k+1,..., s n= a n+a 1 + +a k 1. Každé číslo se vyskytuje v přesně k různých součtech, takže s 1 +s 2 + +s n= k(a 1 + +a n) k n. Toaleznamená,žealespoňjedenztěchto nsoučtůjerovenalespoň k,cožjsmechtělidokázat. (b) Řekneme,žeuspořádání(a 1,...,a n)dané n-ticečíseljesilné,pokudprokaždé k n platí a 1 + +a k 0. Čísla { 1 2, 1 4,..., 1 2 n 1,+1 } sedajísilněuspořádatpřesně(n 1)!způsoby.Prvníčíslo totiž musí být jednička a na pořadí zbylých čísel nezáleží. Dále dokážeme, že pro libovolnou neuspořádanou n-tici čísel s nezáporným součtem je silné alespoňjednozjejích nnavzájem zrotovaných uspořádání (a 1,...,a n),(a 2,...,a n,a 1 ),...,(a n,a 1,...,a n 1 ). To bude znamenat, že jsou jednotlivá uspořádání rozdělena do n-členných skupinek, ve kterých jevždyalespoňjednouspořádánísilné.protobudesilnýchuspořádáníalespoň 1 n n!=(n 1)! a my budeme hotovi. 4

5 Uvažmetakovýindex i,žesoučet a 1 +a 2 + +a i jenejmenšímožný.všimněmesi,žepak prokaždé k i+1platí a i+1 + +a k 0,anaopakprokaždé k iplatí a k + +a i 0. Dokážeme,žeuspořádání(a i+1,...,a n,a 1,...,a i )jesilné. Pro k=ijetojasnéapro k i+1jsmesiužvšimli,že a i+1 + +a k jenezáporné.zbývá tedyspočítat,žepro k < ije a i+1 + +a n+a 1 + +a k =(a 1 + +a n) (a k+1 + +a i ) a 1 + +a n 0, a jsme hotovi. S první částí nebyly téměř žádné problémy. Kromě dvou výše popsaných postupů se ještě vyskytlo několik řešení využívajících indukci a celá řada řešení vycházejících z toho, že když je průměr nčíselrovenalespoňjedné,takjeprůměrtěch knejvětšíchznichtakérovenalespoň jedné. S druhou částí to bylo o poznání horší. Z nemnoha úspěšných řešitelů bych chtěl vyzdvihnout Martina Raszyka, který to, že alespoň jedna z rotací je silná, ukazoval velmi pěkně sporem. Ve zkratce: předpokládal, že pro každou rotaci existuje sled se záporným součtem, a postupným navazováním záporných sledů jednoho za druhým se zacyklil, čímž dostal spor s nezáporností celkového součtu. Na závěr všem, kdo nevyřešili část(b), doporučuji rozmyslet si za doma následující úlohu: V n benzinových stanicích rozestavených kolem závodního okruhu je dohromady přesně tolik benzinu, kolik spotřebuje auto na objetí jednoho kola. Dokažte, že auto s prázdnou nádrží může začítujednébenzinkyaobjetcelýokruh(ukaždébenzinkymůženatankovat). 4 (PepaTkadlec) Úloha 3. (49; 42; 2,69; 2,0) Je možné rozdělit množinu všech přirozených čísel na (a) konečně mnoho (b) nekonečně mnoho nekonečných množin tak, aby uvnitř každé množiny byla čísla navzájem nesoudělná? (Mirek Olšák) (a) Všimněme si, že sudá přirozená čísla jsou po dvou soudělná. Kdykoliv tedy rozdělíme množinu všech přirozených čísel na množiny s nesoudělnými prvky, může být v každé této rozkladové množině nejvýše jedno sudé číslo. Protože je však sudých čísel nekonečně mnoho, musí takový rozklad nutně sestávat z nekonečně mnoha množin. Rozklad ze zadání tedy neexistuje. (b) Dokážeme, že bez omezení na počet množin již popsaný rozklad můžeme najít. Ukážeme si několik konstrukcí. õ Ò ÔÓ ØÙÔÒÑ ÙÑ ÓÚ Ò Ñ Ù ÓÚ Ò Ñ ÑÒÓú Ò Přirozená čísla budeme postupně umísťovat do množin M 1,M 2,..., které jsou na začátku prázdné. V n-tém kroku vždy umístíme číslo n následovně: najdeme nejmenší i N takové, ževšechnačíslavm i jsousnnesoudělná(takové ijistěexistuje protožejsmezatímumístili jen n 1čísel,jemožnýmkandidátemnapř. i=n,neboť M njezatímprázdná)aumístíme n do M i.tentokrokprovedemeprokaždé n N. Po provedení výše uvedené konstrukce obsahuje každá z vytvořených množin pouze nesoudělná čísla, protože jsme do nich přidávali pouze čísla nesoudělná s těmi již umístěnými. Zbývá 4 5

6 ověřit, že všechny množiny jsou vskutku nekonečné. Předpokládejme pro spor, že tomu tak není, auvažmenejmenší k Ntakové,žemnožina M k jekonečná.nechť pjenějaképrvočíslovětší nežvšechnyprvky M k.pak p,p 2,...,p k je kpodvousoudělnýchčísel,musítedybýtumístěna v krůznýchmnožinách jednoznichprotomusíbýtumístěnovmnožině M mpronějaké m > k (v M k žádnébýtnemůžeado M 1,M 2,...,M k 1 se nevejdou ).Tojevšakspor,neboťtoto číslojenesoudělnésevšemičíslyvm k,ataksevpříslušnémkrokumuseloumístitdo M k. õ Ò ÔÓ ØÙÔÒÑ ÙÑ ÓÚ Ò Ñ ØÚÓÖ ÓÙ ÓØÓÚ ÑÒÓú Ò Opět budeme umísťovat čísla postupně, nyní bude ovšem n-tý krok probíhat následovně: vezmeme si nejmenší přirozené číslo, které jsme ještě do žádné množiny neumístili(označme ho k), toumístímedomnožiny M naspolusnímtampřidáme n-témocninyvšechprvočíselvětších než k.vzniklémnožiny M i, i N,jsoujistěnekonečnéačíslauvnitřnichjsounavzájemnesoudělná. Protože jsme v každém kroku umísťovali pouze ještě neumístěná čísla, jsou tyto množiny disjunktní, navíc je jejich sjednocením množina všech přirozených čísel, protože každé číslo n bylo umístěno nejpozději v n-tém kroku do nějaké množiny. õ Ò Ô ÑÑ ÔÓÔ Ñ ÑÒÓú Ò ÔÓ Ð Å ÖØ Ò Ê ÞÝ µ Nastíníme ještě jedno řešení, které dává asi nejpřesnější popis toho, jak bude výsledný rozklad vypadat. Z praktických důvodů budeme rozdělovat množinu přirozených čísel bez jedničky označme ji M; jednička je se všemi čísly nesoudělná, a tak ji nakonec můžeme přidat do kterékoliv množiny. Pro x Mdefinujmejehonásledníka x + předpisem x + = x(x 1)+1.Naopakčíslo x M takové, že(x ) + = x,nazvemepředchůdcem x.snadnonahlédneme, žeprovšechna x M platí x + > x,apokudmánějakéčíslopředchůdce,pakjetentourčenjednoznačně.označme BmnožinuvšechčíselzM,kteránemajípředchůdce,aprokaždé b Bdefinujmemnožinu M b = {b,b +,b ++,...}.Pakzjednoznačnosti následníkaapředchůdcejsoutytomnožinypo dvou disjunktní a každé číslo z M bude v jedné takové množině(opakováním operace předchůdce dostatečně mnohokrát musíme dojít k číslu, které předchůdce nemá). Zbývá dokázat, že čísla uvnitř jedné takové množiny jsou nesoudělná. Za tímto účelem uvažme dvělibovolná m,n M b, m < n.pak mmůžemedostatznopakovánímoperacepředchůdce, takže n=n (n 1)+1=n n (n 1)+1= =n n n m(m 1)+1, tedy ndávápodělení mzbytek1,atatodvěčíslajsoutaknesoudělná. Ještě poznamenejme, že čísel bez předchůdce je nekonečně mnoho, jinak bychom dostali spor stvrzením(a). Kdyžjsemsepouštěldoopravovánítétoúlohy,měljsemobavy,žesivřešeníchpřečtuspoustu mlhy onekonečnu.naštěstíjsteměpříjemněpřekvapiliamnohářešeníbylovysloveněradost kontrolovat. Část(a) měl dobře téměř každý, kdo správně pochopil zadání, a část(b) se také ukázala být nepříliš obtížnou. Velmi se mi líbilo, jak se v béčku vyskytlo docela dost různých řešení kromě těch zmíněných ve vzorovém výše a variací na ně ještě bylo oblíbenou metodou rozdělitčíslapodle sadyexponentůvprvočíselnémrozkladu,tedynaprvočísla,jejichmocniny, součiny po sobě jdoucích atd. Tuto techniku však korektně popsal pouze Rado Švarc, ostatní řešitelé jen zběžně nastínili konstrukci množin čísel s dvěma různými prvočíselnými děliteli a prohlásili,žeprovyššípočtysetoprovedeobdobně,zacožjsemudílelpouzedvabody. (Alexander Olin Slávik) 6

7 Úloha 4. (47; 44; 2,89; 2,0) (a) Uvnitřtrojúhelníka ABC jedánbod P tak,žeplatí ABP =30, PBC =40, BCP =20 a PCA =30.Ukažte,žepřímka AP jekolmánapřímku BC. (b) Uvnitřtrojúhelníka ABCjedánbod P tak,žeplatí ABP = PCA = 1 3 ( ABC + BCA ). Ukažte, že AB AC = AC + PB AB + PC. (a) Buď Dprůsečíkpřímek BP a AC, Eprůsečíkpřímek CP a AB.Vtrojúhelníku BCD známe dva úhly a snadno dopočítáme třetí: BDC = =90. Stejnětakvtrojúhelníku BCEdopočteme,žeúhel CEBjepravý.Úsečky CEa BDjsoutedy výškytrojúhelníka ABCa P jejehoortocentrem.přímka AP tedyobsahujevýškuzbodu A, ajetedykolmánapřímku BC. A D E P B C (b) Buď Xbodnapolopřímce ABtakový,že AX = AB + PC.Symbol ωznačíúhel ABP. Zezadánívíme,že3ω= ABC + BCA.Součetúhlů CBPa BCPtedyspočítámejako CBP + BCP = ABC + BCA 2ω= ω. Toznamená,žeúhel BPCmávelikost180 ωstejnějakoúhel PBX.Čtyřúhelník PBXCje tedy(rovnoramenný)lichoběžník,aprotoje AXC = ABP =ω. Označmepodobně Y bodnapolopřímce AC takový,že AY = AC + PB.Stejnějako vpředchozímpřípaděmáme AYB =ω. 7

8 A P B C X Y Trojúhelníky ABY a ACX jsou proto podobné podle věty uu. Dostáváme tedy což bylo dokázati. AB AC = AY AX = AC + PB AB + PC, Většina těch, kteří poslali první část, za nějaký čas více či méně přímo vyúhlila správné řešení a dostala dva body. Imaginární bod jsem strhl za použití nechutně silných nástrojů v podobě Cèvovy věty. Na těžší části úlohy mi řešitelé ukázali několik moc pěkných řešení využívajících podobnost amocnost,zakterádostalizasloužená+i-čka. (Vít Vejtek Musil) Úloha 5. (43; 32; 2,72; 2,0) (a) Naleznětevšechnaceláčísla ztaková,žeoběčísla z 1az 3 + z 2 + z+1jsoudruhou mocninou nějakého celého čísla. (b) Nalezněte všechny trojice kladných celých čísel a, b, c tak, aby každá z následujících kvadratických rovnic měla pouze celočíselná řešení: x 2 2ax+b=0, y 2 2by+c=0, z 2 2cz+a=0. (Míša Hubatová) (a) Nechť zjeceléčíslovyhovujícípodmínkámzezadání.pakplatí z 1=a 2 a z 3 +z 2 +z+1= b 2 pronějaká a,b Z,atudížtaké(z 1)(z 3 +z 2 +z+1)=z 4 1=a 2 b 2.Tedy z 4 a a 2 b 2 jsou dvačtverce 5,kteréselišíojedna.Jedinoutakovoudvojicíjsoučísla0a1,cožnámdává z 4 =1, neboli z { 1,1}.Ovšem z= 1nevyhovuje,neboť z 1nenívtomtopřípaděčtverec.Pro z=1je a=0ab=2,tedy1jejedinýmřešenímúlohy. 5 Čtvercemrozumímedruhoumocninuceléhočísla,tj.číslotvaru k 2 provhodné k Z. 8

9 (b) Přičtenímvýrazu a 2 bkoběmastranámprvnírovnicedostaneme(x a) 2 = a 2 b.jelikož a, bjsouceláčísla,budemítrovnicepouzeceločíselnářešeníprávětehdy,když a 2 bbudečtverec nebo a 2 b <0.Platí a 2 b < a 2,neboť bjekladné.tedyvoboupřípadech a 2 b (a 1) 2, ekvivalentně 2a 1 b. Analogickým postupem získáme z druhé a třetí rovnice podmínky 2b 1 ca2c 1 a.sečtenímtěchtotřínerovnostídostaneme2(a+b+c) 3 a+b+c, cožnámpoúpravědánerovnost a+b+c 3.Protože a 1, b 1, c 1,vyhovujepouze a=b=c=1.vtomtopřípaděmákaždázrovnicdvojnásobnýkořen1. Část(a) dělala kupodivu větší problémy než část(b). Mnozí řešitelé tvrdili, že pokud platí k 2 = xy, k,x,y Z,musíbýtbuď x=y,nebomusíbýtobětatočíslačtverci.tosamozřejmě nenípravda,neboťje-linapříklad k=pq,kde p, qjsourůznáprvočísla,pak k 2 lzenapsatjako p pq 2,přičemž p pq 2 aanijednoztěchtočíselneníčtverec. Část(b)bylabohuželzadanátrochunešťastně.Zeslov rovnicemápouzeceločíselnářešení totiž nebylo jasné, zda rovnice, která nemá žádné reálné kořeny, podmínku splňuje, nebo ne. První(tj. složitější) variantou se zabýval pouze jediný řešitel. Plný počet bodů jsem nakonec udělila i všem těm, kteří správně vyřešili druhou variantu. K části(b) mám ještě jedno konstatování. Před několika lety jsme v semináři začali upřednostňovat celákladnáčísla před přirozenýmičísly,abychomnemuselistálezdůrazňovat,že nuluzapřirozenéčíslonepovažujeme.říkalajsemsitehdy,jakjetofajn,žesetímvševyřeší. Alejakájerealita?Hnedněkolikřešitelůváhá,zdanulaneníkladnéčíslo... (Martina Vaváčková) Úloha 6. (53; 52; 3,74; 4,0) Deltoid je konvexní čtyřúhelník, který je osově souměrný podle alespoň jedné své úhlopříčky. (a) Dokažte, že každý trojúhelník lze rozdělit na 3 deltoidy. (b) Dokažte, že každý konvexní čtyřúhelník lze rozdělit na 7 deltoidů. (a) Označme I střed kružnice vepsané danému trojúhelníku ABC a K, L, M postupně body dotyku kružnice vepsané se stranami AB, BC, CA. Ze symetrie tečen ke kružnici vepsané máme AK = AM adáleplatí IK = IM,protožejdeopoloměrkružnicevepsané.Toznamená, že AKIMjedeltoid.Obdobněukážeme,žeiBLIKa CMILjsoudeltoidy,atedytrojúhelník lze rozdělit na tři deltoidy. C M L I A K B (b) Nejprve ukážeme, že tečnový čtyřúhelník ABCD umíme rozdělit na čtyři deltoidy. Označme I středkružnicevepsanéak,l,m,n jejíbodydotykupostupněsestranami AB, BC, CD, DA.Podobnějakovčásti(a)odůvodníme,že AKIN, BLIK, CMILaDNIMjsoudeltoidy. Nyní rozebereme dva případy. 9

10 Pokud je čtyřúhelník ABCD tečnový, nejprve jej rozdělíme na čtyři deltoidy. Všechny deltoidy jsou tečnové čtyřúhelníky, protože součty protějších stran se rovnají, a tedy můžeme jeden ze čtyř deltoidů rozdělit na čtyři menší deltoidy. Takto získáme celkem sedm deltoidů. C N D M C D P I L A K B A B Pokud čtyřúhelník ABCD není tečnový, nalezneme kružnici, která se dotýká stran AB, AD a jedné ze zbylých dvou stran čtyřúhelníku, a navíc celá leží uvnitř čtyřúhelníku. Taková kružnice určitě existuje, protože při postupném zvětšování malé kružnice dotýkající se AB a AD musíme narazit najednuzestran BC nebo CD.Bezújmynaobecnosti předpokládejme, žetřetí stranou je BC. Protože ABCDnenítečnový,protnetečnaktétokružnicizbodu Dstranu BCvevnitřním bodě P.Čtyřúhelník ABPDjetečnový,atedyhomůžemerozdělitnačtyřideltoidy.Trojúhelník P CD umíme podle části(a) rozdělit na tři deltoidy. Celkem rozdělíme čtyřúhelník ABCD i v tomto případě na sedm deltoidů. Tato úloha patřila k těm lehčím, což se potvrdilo velkým počtem správných řešení. V části(b) jsem se setkal s mnoha různými přístupy, které ale vždy vyžadovaly rozlišení alespoň dvou případů. Právě za opomenutí nějakého speciálního případu jsem nejčastěji strhával body. Kromě vzorového řešení byly oblíbené ještě dva přístupy, které spočívaly ve vyrobení jednoho deltoidu anáslednémrozdělení okrajových trojúhelníkůnazbylýchšestdeltoidů.kvytvořenídeltoidu uvnitř čtyřúhelníku bylo většinou potřeba rozebrat čtyři případy. O něco elegantnější bylo vyrábění deltoidu z trojúhelníku, kdy se musel jen ošetřit případ s rovnostranným trojúhelníkem. (Martin Töpfer) Úloha 7. (28; 16; 1,46; 2,0) (a) Šavlíkkdysidojistétabulky8 8vepsalčísla1až64(každéprávějednou).Dokažte,že aťužtoudělaljakkoliv,existujívtabulcealespoňčtyřičtverce2 2takové,žesoučetčísel vkaždémznichjealespoň106. (Tomáš Šavlík Pavlík) (b) V poslanecké sněmovně je 200 poslanců, kteří postupně hlasují o n zákonech(poslanec může být buď pro schválení zákona, nebo proti jeho schválení, nebo se může zdržet hlasování). Jeznámo,žeprokaždádvěhlasováníexistujeposlanec,kterývjednomznichhlasovalproa vjednomproti.označme z i početposlanců,kteřísezdrželihlasováníoi-témzákonu.dokažte, že n 2 z i i=1 (a) Budeme uvažovat pouze čtverce vzniklé rozdělením tabulky na 16 nepřekrývajících se čtverců2 2(všechčtverců2 2jecelkem49).Odmyslíme-lisitřičtvercesnejvyššímisoučty, 10

11 vostatníchzbydevsoučtualespoň = =1378.Kdybymělkaždýzezbylých třináctičtvercůsoučetnejvýše105,dohromadybymělysoučetnejvýše13 105=1365,cožnení možné. Tedy mezi nimi existuje čtverec, který má součet alespoň 106. (b) Spočtěme si, kolika způsoby by mohli hlasovat nehlasující poslanci(například v nějakém dodatečném hlasování) pokud se zdrželo z i poslanců, mohli hlasovat celkem 2 z i způsoby. Aprotožeprokaždédvarůznézákonyexistujeposlanec,kterýojednomhlasovalproaojednom proti, nemohou být žádná dvě hlasování ani po přidání všech kombinací nehlasujících poslanců shodná.dostávámetedy n i=1 2z irůznýchzpůsobůhlasování,přičemžvšechmožnýchzpůsobů hlasováníje2 200.Tedy n 2 z i i=1 (a) Klíčembylovšimnout si,že není třeba pracovat sevšemi 49 čtverci, ale stačí vzít 16 hlavních čtverců.mnozítoopomnělizmínit,zacožjsemstrhávalbody.zanejkratšísprávné řešení chci pochválit Mira Stankoviče shoduje se se vzorovým. Mnoho dalších řešitelů využilo postupného snižování odhadu pro součet jednoho, dvou, tří a čtyř čtverců, což bylo též správně. (b) Došlatřisprávnářešení,zaněžchválímMartinaHoru,AnhDung Tondu LeaRada Švarce. Většina ostatních se snažila maximalizovat počet nehlasujících poslanců. Cílem však byloukázatplatnosthorníhoodhadupro n i=1 2z i. (Jakub Roman Klemsa) 11

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie B

Návody k domácí části I. kola kategorie B Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

Syntetická geometrie II

Syntetická geometrie II Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Každé pole tabulky 68 68 máme obarvit jednou ze tří barev (červená, modrá, bílá). Kolika způsoby to lze učinit tak, aby každá trojice

Více

67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018

67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018 67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. Určete počet cest délky 14, které vedou po hranách sítě na obrázku z bodu do bodu. élka každé hrany je jedna.. Je dán rovnoběžník,

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

3. série. Nerovnosti. Téma: Termínodeslání:

3. série. Nerovnosti. Téma: Termínodeslání: Téma: Termínodeslání: 3. série Nerovnosti º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Óݵ Nechť a, b jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníka, c buď délka jeho přepony. Dokažte, že prokaždépřirozenéčíslo nvětšíneždvaplatí c

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008 Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o

Více

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických

Více

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016 65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A . ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Vzorové řešení 6. série

Vzorové řešení 6. série Vzorové řešení 6. série Úloha 6.1. Konečně v Hloupětíně roztál všechen sníh a Kouma s Ňoumou se vydali na první jarní výlet na hrad Ftipín. U vstupu do hradu našli tento nápis: Ten, kdo středověký problém

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a2 + a +. Řešení. Budeme se nejprve

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu

Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu 4.1 Před mnoha a mnoha lety bylo postaveno město Hloupětín, které mělo tři části. Všechny části byly obehnány hradbou ve tvaru rovnostranného trojúhelníka, tak

Více

3. podzimní série. ... {z }

3. podzimní série. ... {z } 3. podzimní série Téma: Kombinatorika Datumodeslání: º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Monča potřebuje zatelefonovat Pepovi, avšak nemá u sebe svůj telefonní seznam PraSátek. Zná však předvolbu 723 a vzpomněla si,

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek

Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Geometrická zobrazení

Geometrická zobrazení Geometrická zobrazení ½º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º ÔÖÓ Ò ¾¼½½ ÐÓ ½º Nastraně Dčtverce Djedánbod E.Osaúhlu Eprotnestranu vbodě F.Dokažte, že E = F + DE. ÐÓ ¾º V rovině jsou dány body a. Uvažme všechny konvexní

Více

Návody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B

Návody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B Návody k úlohám domácí části I kola 59 ročníku MO kategorie B Soutěžní úloha 1 Na stole leží tři hromádky zápalek: v jedné 009, ve druhé 010 a v poslední 011 Hráč, který je na tahu, zvolí dvě hromádky

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB

Více

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48 Matematický KLOKAN 007 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Lucka, Radek a David mají dohromady 30 míčů. Jestliže Radek dá 5 míčů Davidovi, David dá 4 míče Lucce a Lucka dá míče Radkovi, budou mít oba chlapci

Více

Jardelot s Kennylotem uvádějí. OHNĚM a MEČEM

Jardelot s Kennylotem uvádějí. OHNĚM a MEČEM Jardelot s ennylotem uvádějí OHNĚM a MEČEM Příklad. (Rytířská porada) Na koncil do amelotu přijelo n 4 rytířů, kteří se posadili kolem kruhovéhostolu.podlevelikostijejichmečejimbylapřidělenačísla1,2,...,n.dvojici(a,b)rytířůsčísly

Více

1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019

1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019 Váhy 1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019 Vážením na rovnoramenných vahách zjistíme, která strana je těžší, resp. že jsou obě stejně těžké. Na misky vah můžeme dávat i více než jeden předmět.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie 1. Určete všechny trojice (a, b, c) přirozených čísel, pro které platí a + 4 b = 8 c. Řešení. Danou rovnici můžeme přepsat jako a +

Více

Klauzurní část školního kola kategorie A se koná

Klauzurní část školního kola kategorie A se koná 56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin

Více

A A A A B B B A A A A B B B A A A A B B B A A A A Obr. 1

A A A A B B B A A A A B B B A A A A B B B A A A A Obr. 1 1. Na některé pole čtvercové šachovnice n n (n 2) postavíme figurku a pak s ní táhneme střídavě šikmo a přímo. Šikmo znamená na pole, které má s předchozím společný právě jeden bod. Přímo znamená na sousední

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 66. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Najděte všechny trojice celých čísel (a, b, c) takové, že každý ze zlomků má celočíselnou hodnotu. a b + c, b c + a, c a + b 2. Je dána

Více

10 Přednáška ze

10 Přednáška ze 10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz? Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla

Více

1. série. Iracionální čísla. Téma: Datumodeslání: Dokažte, že 0, (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální.

1. série. Iracionální čísla. Téma: Datumodeslání: Dokažte, že 0, (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální. Téma: Datumodeslání: 1. série Iracionální čísla ¾½º Ò ½ ½º ÐÓ Ó µ Dokažte, že 0,12345678910111213... (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální. ¾º ÐÓ Ó µ Dokažte,že 2+ 3+ 4+ 5jeiracionálníčíslo.

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.

Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií. Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória

Více

Antirovnoběžnost. Michal Kenny Rolínek. Ocojde?

Antirovnoběžnost. Michal Kenny Rolínek. Ocojde? Antirovnoběžnost Michal Kenny Rolínek ØÖ غ Příspěvekvysvětlujeprincipantirovnoběžnostinamnohaúloháchzčeských i zahraničních soutěží. Ukazuje i využití antirovnoběžnosti v moderní geometrii trojúhelníka.

Více

68. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie A

68. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie A 68. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie 1. Označme x 1, x 2 ne nutně různé kořeny dané rovnice. Podle Viètových vzorců platí x 1 + x 2 = p a x 1 x 2 = q. Z

Více

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou?

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 2. V růžovém království se platí mincemi v hodnotě 3 a 7. Určete největší částku, která se nedá pomocí

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 59. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A. Dokažte,žerovnice x +p x =qx sreálnýmiparametry p, qmávoborureálných číselčtyřiřešení,právěkdyžplatí p+ q +

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

4.3.2 Koeficient podobnosti

4.3.2 Koeficient podobnosti 4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram 4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme

Více

Podobnost a shodnost. Řekneme-li, že trojúhelníky ABC a XY Z jsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají

Podobnost a shodnost. Řekneme-li, že trojúhelníky ABC a XY Z jsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají Podobnost a shodnost ¾º ÔÓ Þ ÑÒ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½ Řekneme-li, že trojúhelníky a XY Z jsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají v tomto pořadí. ÐÓ ½º ( Ó Ý) lča jednou ve svém

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více