Podobnost a shodnost. Řekneme-li, že trojúhelníky ABC a XY Z jsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají

Transkript

1 Podobnost a shodnost ¾º ÔÓ Þ ÑÒ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½ Řekneme-li, že trojúhelníky a XY Z jsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají v tomto pořadí. ÐÓ ½º ( Ó Ý) lča jednou ve svém sešitě našla narýsované dva trojúhelníky, které se shodovaly ve velikostech všech vnitřních úhlů a v délkách dvou stran, ale přesto nebyly shodné. Nalezněte dva takové trojúhelníky. ÐÓ ¾º ( Ó Ý) Vtrojúhelníku ležíbody, Epořaděnastranách a tak,žetrojúhelníky, a E jsoupodobné. okažte, žepokud jsoupřímky a E rovnoběžné, pak je trojúhelník rovnoramenný. ÐÓ º ( Ó Ý) Naúhlopříčce rovnoběžníku jedánbod Ktak,žepřímka Kprotneúsečku vbodě Xapřímku vbodě Y.okažte,že K 2 = KX KY. Nakružnicisestředem Ozvolmebody, tak,abyplatilo O =60.Nakratšímoblouku zvolmebod M.okažte,žespojnicestředůúseček Ma Ojekolmánaspojnicistředů úseček Ma O. Pepa si nakreslil konvexní čtyřúhelník, v němž současně platilo = a =.okažte,žezúseček, asemupodařísestavitpravoúhlý trojúhelník. Je dán lichoběžník ( ). Středy kružnic opsaných trojúhelníkům a označmepostupně O 1 a O 2,průsečíkpřímek a označme E.okažte,žepřímky EO 1 a EO 2 jsouosověsouměrnépodleosyúhlu E. Konvexní pětiúhelník E má strany E a rovnoběžné a pro jeho vnitřní úhly platí E =. Označme P průsečík úhlopříček a E. okažte, že E = P a = P. Osastrany trojúhelníku protnestranu vbodě M.álenechť Kjeprůsečíkosy úhlu M a kratšího oblouku kružnice opsané trojúhelníku. okažte, že přímka spojující středy kružnic vepsaných trojúhelníkům MK a MK je kolmá na osu úhlu K. 1

2 Podobnost a shodnost ¾º ÔÓ Þ ÑÒ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (105; 67; 1,94; 3,0) lča jednou ve svém sešitě našla narýsované dva trojúhelníky, které se shodovaly ve velikostech všech vnitřních úhlů a v délkách dvou stran, ale přesto nebyly shodné. Nalezněte dva takové trojúhelníky. (Pepa Tkadlec) Uvažujmetrojúhelníky a EF ajejichstrany a, b, c, d, e, ftakové,žečtveřicečísel a, b=d, c=e, ftvořígeometrickouposloupnost.platí a:d=b:e=c:f= k,trojúhelníkysi tedy jsou podobné, a tudíž mají stejné vnitřní úhly. Požadavkům vyhovují například čísla 8, 12, 18, 27. Musíme ještě ověřit, zda mohou tvořit trojúhelníky, tj. jestli nejdelší strana trojúhelníku je kratší než součet zbylých dvou. Vskutku 8+12 >18,12+18 >27,trojúhelníkovánerovnosttedyplatí. Příkladem hledané dvojice trojúhelníků je s délkami stran 8, 12, 18 a EF s délkamistran12,18,27. ÈÓÞÒ Ñ Ý čkoliv stačilo v podstatě jen najít dva vhodné trojúhelníky, správných řešení bylo jen lehce přes půlku. Část z nich uvažovala pravoúhlý trojúhelník a díky Pythagorově větě se pak nemusela řešit trojúhelníková nerovnost. Mnoho z ostatních pohořelo na jejím opomenutí(a snažilo se pak vydávat úsečky o délkách 1, 2, 4 za trojúhelník). alší skupinu pak tvořili ti, kteří zaslali trojúhelníky, které si nebyly podobné či neměly dvě strany stejně dlouhé. Někteří se také omezili na pouhé konstatování vlastností takových trojúhelníků nebo jen na narýsování bez jakéhokoli popisu stran. Na závěr bych ráda podotkla, že když máte nalézt dva trojúhelníky daných vlastností a zadání říká, že existují, pak nemá cenu dokazovat jejich existenci ani neexistenci :)(Pokusů o jedno či druhé bylo dvojciferně.) (nička oležalová) Úloha 2. (100; 75; 2,28; 3,0) Vtrojúhelníku ležíbody, Epořaděnastranách a tak,žetrojúhelníky, a E jsoupodobné. okažte, žepokud jsoupřímky a E rovnoběžné, pak je trojúhelník rovnoramenný. (Martin E.T. Sýkora) õ Ò ÈÓ Ð ÃÖ ØÒÝ Ñ ÓÚ µ Protože E,takvýškatrojúhelníku nastranu jeshodnásvýškoutrojúhelníku E na stranu. Obsahy těchto trojúhelníků jsou tedy shodné, a protože ze zadání víme, že E, jsou shodné i samotné trojúhelníky. íky tomu je koeficient podobnosti k mezi trojúhelníky a stejný jako koeficient podobnosti mezi trojúhelníky a E. 2

3 E Zpodobnosti plyne =k azpodobnosti E plyne k =,celkemtedy =k = atrojúhelník jerovnoramenný. ÈÓÞÒ Ñ Ý Většina řešitelů úlohu řešila postupem, na který navádí hinty na chatu našich internetových stránek. Jiní si zapsali podobnost jako shodnost poměrů délek stran podobných trojúhelníků a postupnými úpravami se dostali k rovnosti =. Oba způsoby vedly k řešení. Za originální myšlenku shodnosti podobných trojúhelníků uvedenou ve vzorovém řešení bych chtěl speciálně pochválit Kristýnu Šmídovou a Eduarda atmendijna. Závěrembychchtělupozornitnato,žepokudřekneme,žetrojúhelníky a XYZjsou sipodobné,myslímetím,žejejichvrcholysiodpovídajívtomtopořadí,atedy,že = XYZ.Ikdyžjsmetutoskutečnostvzadánízmiňovali,mnozíjinevzalivpotazaúlohusi zbytečnězkomplikovali. (Martin E.T. Sýkora) Úloha 3. (79; 56; 2,18; 3,0) Naúhlopříčce rovnoběžníku jedánbod Ktak,žepřímka Kprotneúsečku vbodě Xapřímku vbodě Y.okažte,že K 2 = KX KY. (PepaTkadlec) Y K X Trojúhelníky Ka YKjsousinavzájempodobnépodlevěty uu( Ka YKjsou střídavé, K a Y K vrcholové). Odtud plyne vztah K KY = K K. Obdobněitrojúhelníky XKa Kjsoupodobné( XKa Kjsoustřídavé, XK a K vrcholové), což nám dává KX K = K K. 3

4 Porovnáním levých stran obou vztahů dostáváme a to po úpravě dává dokazovanou rovnost. K KY = KX K, ÈÓÞÒ Ñ Ý Řešení byla převážně správná a podobná vzorovému, i když nezřídka zbytečně komplikovaná. Většina nezdařilých pokusů bohužel ztroskotala na nepochopení zadání jejich autoři měli za to, žepřímka Kmusíprotnoutstranu,avyřešilitedypouzepřípad,kdyprocházíbodem. alší řešitelé si všimli, že dokazovaná rovnost připomíná Eukleidovu větu o odvěsně nebo mocnost bodu ke kružnici, a vymysleli si pomocnou konstrukci, na kterou pak to či ono použili. Nikomu z nich se však nepodařilo uspokojivě ukázat, že takovou konstrukci lze opravdu sestrojit. Imaginární bod obdržel Miroslav Psota za jediné správné řešení, které se zásadně odlišovalo od vzorového. (Ondřej ífka) Úloha 4. (97; 74; 3,66; 5,0) Nakružnicisestředem Ozvolmebody, tak,abyplatilo O =60.Nakratšímoblouku zvolmebod M.okažte,žespojnicestředůúseček Ma Ojekolmánaspojnicistředů úseček M a O. (Martina Vaváčková) S 4 S 3 M O r r S 2 S 1 Označme rpolomerkružniceabody S 1, S 2, S 3, S 4 postupnestredyúsečiek O, M, M, O.Pretože O =60 a O = O =r,trojuholník Ojerovnostranný.Pretoaj =r.uvažujmerovnoľahlosťsostredomvbode Oakoeficientom1/2,bod sazobrazína S 1,bod na S 4.teda S 1 S 4 = /2=r/2.nalogickyrovnoľahlosťsostredomvbode M akoeficientom1/2námzobrazíúsečku na S 2 S 3,rovnoľahlosťsostredomvbode a koeficientom1/2zobrazíúsečku OM na S 1 S 2 akonečnerovnoľahlosťsostredomvbode a koeficientom1/2zobrazíúsečku OMna S 3 S 4.ostávame S 1 S 4 = S 2 S 3 = 1 2 =1 2 r=1 2 OM = S 1S 2 = S 3 S 4. Štvoruholník S 1 S 2 S 3 S 4 jetedakosoštvorecavkosoštvorcisúuhlopriečkynasebavždykolmé. 4

5 ÈÓÞÒ Ñ Ý Na úlohu sa dalo nahliadnuť viacerými spôsobmi, či už pomocou podobných trojuholníkov, alebo stredných priečok, ako to robila väčšina z vás. Našlo sa aj pár riešiteľov, ktorí úlohu (vy)riešili pomocou nejakých iných metód, uhlením, prípadne s využitím zhodných zobrazení. Takéto riešenia boli však väčšinou dvakrát dlhšie. Nakoniec pripomínam, že búšiť analytikou do takéhoto roztomilého príkladíku je priam barbarstvo, a každý, kto tak koná, mal by sa nad sebou zamyslieť;-) (Marta Kossaczká) Úloha 5. (69; 49; 3,45; 5,0) Pepa si nakreslil konvexní čtyřúhelník, v němž současně platilo = a =.okažte,žezúseček, asemupodařísestavitpravoúhlý trojúhelník. (Pepa Tkadlec) Označme X průsečík úhlopříček konvexního čtyřúhelníku. Protože je čtyřúhelník konvexní,ležíbod Xuvnitřúsečky,platítedyrovnost X + X =. X Trojúhelníky a X jsou podobné, protože podle zadání platí = a vnitřní úhel u vrcholu mají společný. Z podobnosti plyne: = X, neboli 2 = X. Obdobně i trojúhelníky a X jsou podobné, protože podle zadání platí = amajíspolečnýúheluvrcholu.zpodobnostiplyne: Sečtením těchto dvou rovností dostaneme: = X, neboli 2 = X = ( X + X )= 2. élky úseček, a splňují podmínku obrácené Pythagorovy věty, a proto z nich lze sestrojit pravoúhlý trojúhelník. ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Ô ØÙÔ Místo podobnosti trojúhelníků můžeme také využít úsekového úhlu a z = vyvodit, že je tečna ke kružnici opsané trojúhelníku X. Mocnost bodu k této kružnici pakdávákýženourovnost 2 = X.Obdobněsamozřejměiprodruhoudvojici stejně velkých úhlů. 5

6 ÈÓÞÒ Ñ Ý Většina řešení byla v pořádku, ale občas bych ocenil větší množství slovního popisu. Někteří řešitelékončilitím,žeukázalirovnost = 2,aleužnezdůvodnili,pročje tím pádem úloha vyřešena. Nejvíce mě zklamalo, že se našlo i několik řešitelů, kteří nepochopili zadání a místo obecného důkazu řešili nějaký jeden konkrétní případ(obvykle pro čtverec). (Martin Töpfer) Úloha 6. (42; 25; 2,57; 4,0) Je dán lichoběžník ( ). Středy kružnic opsaných trojúhelníkům a označmepostupně O 1 a O 2,průsečíkpřímek a označme E.okažte,žepřímky EO 1 a EO 2 jsouosověsouměrnépodleosyúhlu E. (PepaTkadlec) ÚNO můžeme předpokládat, že > ; rovnost nastat nemůže, jelikož při ní by neexistoval bod E, a při opačné nerovnosti provedeme přeznačení. íky rovnoběžnosti a platí =, označme velikost tohoto úhlu ε. Je-li ε=90,pakjsoutrojúhelníky, pravoúhléao 1 E, O 2 E,tvrzeníze zadánítedytriviálněplatí.předpokládejmedále,žetomutaknení,tedy ε 90, O 1 / Ea O 2 / E. Úhel O 1 je(vzhledemkekružniciopsanétrojúhelníku )středovýmúhlemspříslušnýmobvodovýmúhlem,vtomtéžvztahujsouiúhly O 2 a.protožezmiňované obvodové úhly mají stejnou velikost ε, mají stejnou velikost i středové úhly, neboli O 1 = O 2.Ztéhoždůvodutaképlatí,žeúhly O 1 E, O 2 E jsouvždyopačně orientované obajsoubuďvněúhlu E(pokud ε >90 ),nebodonějobazasahují(pokud ε <90 ).íkytomunámprodůkazosovésouměrnostipřímek EO 1, EO 2 podleosyúhlu E stačíukázat O 1 E = O 2 E. Předněsivšimněme,žetrojúhelníky O 1, O 2 jsouobarovnoramennésestejněvelkýmiúhlyprotizákladně,jsoutedypodobné(sus)aje EO 1 = O 1 = O 2 = EO 2.álejsoupodobnéitrojúhelníky EaE(díky ),takže E : E = E : E ;označímetentopoměr k.ještěsivšimneme,že = E E E E = k E k E = k, E E ovšemdíkypodobnosti O 1 a O 2 mámetaké O 2 : O 1 = : = k. Trojúhelníky EO 2 a EO 1 jsoutedypodobnédlevěty sus,zčehoždostávámepožadovanou rovnost O 1 E = O 2 E. E ε ε O2 O 1 6

7 ÈÓÞÒ Ñ Ý Úloha nebyla nijak zvlášť obtížná, ale velká většina řešitelů získala pouhé čtyři body kvůli přílišnémuupnutíkjednékonfiguracibodů,,,,typickyktakové,jakojeznázorněnana obrázkuvýše.potésejalivíceméněsprávnědokazovatrovnost O 1 E = O 2 E,ovšem již nezdůvodnili, že tyto úhly jsou opačně orientované, bez čehož požadovanou osovou souměrnostještědokázanounemáme.spřípadem ε=90 sitakynikdopřílišhlavunelámal,ačkoliv vtétosituacijevelmiošemetnéargumentovattrojúhelníkem EO 1 apodobnými(protakovéto trojúhelníky např.neplatívěta uu).pouzefrantišekouf amartinraszykpodalidostatečně důkladný rozbor situace, čímž si vysloužili plný počet bodů. Konečně ntonín Češík a Miroslav Stankovič poslali zajímavé řešení využívající geometrických zobrazení, čímž se výše provedeným diskusímelegantněvyhnuliavysloužilisi+i. (lexander Olin Slávik) Úloha 7. (34; 15; 2,18; 1,0) Konvexní pětiúhelník E má strany E a rovnoběžné a pro jeho vnitřní úhly platí E =. Označme P průsečík úhlopříček a E. okažte, že E = P a = P. (lčaskálová) Stačíukázat E = P,druhárovnostsedokážeanalogickyprohozenímbodů a abodů Ea. Úsečky E a jsou rovnoběžné a opačně orientované, proto existuje záporná stejnolehlost sestředemvp,kterázobrazí na a Ena.íkyrovnosti E = atomu,že bod ležímezirovnoběžkami E,,sevtétostejnolehlostizobrazíoblouk Enaoblouk. E P áleobrazbodu označme,pakbody, P, ležínajednépřímceapodoblouk E sevestejnolehlostizobrazínapodoblouk.těmtopodobloukůmprotoodpovídajístejné obvodovéúhly,atak = E,cožjsmechtělidokázat.Ještědodejme,žebod neležínapodoblouku,protoželežívopačnépoloroviněurčenépřímkou E. ÈÓÞÒ Ñ Ý Řešenísevzásadědělilanadvatypy víceméněvzorová(za5bodů)ata,cotvrdila,žetakový pětiúhelník nutně musí být osově souměrný(za 0 bodů). Pak ještě dorazilo několik delších řešení pomocí sinových vět. Žádné z nich se ale nedokázalo dobře popasovat se skutečností, že funkce kosinus není prostá, za což jsem strhával jeden bod. (Mirek Olšák) 7

8 Úloha 8. (27; 13; 2,30; 1,0) Osastrany trojúhelníku protnestranu vbodě M.álenechť Kjeprůsečíkosy úhlu M a kratšího oblouku kružnice opsané trojúhelníku. okažte, že přímka spojující středy kružnic vepsaných trojúhelníkům MK a MK je kolmá na osu úhlu K. (lča Skálová) Trojúhelník Mjerovnoramenný,neboť Mležínaoseúsečky.Spolusvyužitímfaktu,že přímka MK je osa úhlu M, dostáváme: = 1 2 (180 M )= 1 2 M = MK = MK. Z rovnosti = MK plyne rovnoběžnost přímek a MK. Nyníukážeme,žetrojúhelníky MKa KMjsoupodobnépomocívěty uu.jakjižvíme, platí MK = MK. ruhou rovnost úhlů dostaneme takto: KM =180 K =180 KM M = =180 KM MK = KM. (V první rovnosti jsme využili, že čtyřúhelník K je tětivový.) Označme I (resp. J) střed kružnice vepsané trojúhelníku MK (resp. KM). Protože MKa KMjsoupodobné,jsoutaképodobnétrojúhelníky MIa KMJ.Ztohoplyne M : IM = KM : JM.Zároveňplatí,že I(resp. J)ležínaoseúhlu MK(resp. KM), aproto IMJ = IMK + KMJ =( MK + KM )/2= MK,takžespolu s rovností poměrů délek stran dostáváme, že IMJ je také podobný trojúhelníkům MK a KM. Uvažme spirálnípodobnost 1 s 1 (resp. s 2 ) zobrazující trojúhelník MK (resp. IMJ)na podobný trojúhelník IMJ(resp. KM) se středem v M a úhlem otočení MI(resp. KMJ). Protože MI = KMJ,majíúhlyotočení s 1 a s 2 stejnouvelikost.prospirálnípodobnost platí, že(orientovaný) úhel mezi přímkou a jejím obrazem je roven úhlu příslušného otočení. Tovnašempřípaděznamená,žeorientované 2 přímky KaJIsvírajístejnýorientovanýúhel (MIdle s 1 )jakoorientovanépřímky JIa K(KMJdle s 2 ).Přímka JIjeprotorovnoběžná sosouúhlumeziorientovanýmipřímkami Ka K.Konečnětatoosaúhlujekolmánaosu vedlejšíhoúhlu tedyúhlu K.Přímka IJjetakkolmánaosuúhlu K,cožjsmechtěli dokázat. 1 Spirálnípodobnostjesloženístejnolehlostiaotočenípodlestejnéhostředu. 2 Uorientovanýchpřímekberemevpotazpořadívrcholů,kteréjiudávají.Napříkladorientovanápřímka Kje jiná (opačná)nežorientovanápřímka K. 8

9 ÈÓÞÒ Ñ Ý Sešlo se 26 řešení, z toho 12 bylo dobře. Správná řešení většinou využívala počítání úhlů a posléze nějakou variantu spirální podobnosti. Elegancí při použití spirální podobnosti vynikla řešení Eduarda atmendijna a Miroslava Psoty, za což si jmenovaní vysloužili +i. alší +i dostaljakubsvobodazavelmiodlišnýpřístupvyužívající mrkvovo-salámové a ismarckovo lemma,nebolioriginálněpojmenovanéúvahyošvrčkověbodu. 3 RadovanŠvarcvesvémřešení využíval dokonce kruhovou inverzi. Nesprávná řešení obvykle obsahovala pouze jeden konkrétní příklad v podobě obrázku, byť pečlivě narýsovaného, případně nějaká pozorování, která ale nebyla dostatečně odůvodněná. (Pepa Svoboda) 3 Švrčkůvbodpříslušejícívrcholu vtrojúhelníku jestředoblouku kružniceopsané trojúhelníku, neobsahujícího bod. 9