Matematika pro geometrickou morfometrii

Transkript

1 Matematika pro geometrickou morfometrii Václav Krajíček Department of Software and Computer Science Education Faculty of Mathematics and Physics Charles University Přednáška 3

2 Opakování Prokrustovská analýza/transformace/registrace Idea: Pokud nalezneme takové posunutí, otočení a zvětšení, které minimalizuje vzájemnou vzdálenost eliminujeme rozdílnou polohu a velikost Rozklad na dva problémy (dvojice a množina) Minimalizujeme vzdálenost od průměru (ne vzájemnou!) Zachování jednotkové velikosti!

3 Prokrustovská analýza Norma a stopa matice Dosazení A =trace A T A YH X =trace Y T Y X T X 2 trace X T YH Maximalizace posledního členu a SVD trace X T YH =trace USV T H =trace SV T HU =trace SQ trace SQ max Q je jednotková, protože tak maximalizuje stopu X T Y =USV T Q=V T HU =I H =VU T je u g n fu to č ro P Co musíme udělat

4 Opakování Teorie tvaru Souřadnice {poloha a velikost} = Tvarové proměnné Leží na zakřivené ploše (hemisféře) ve vzdálenosti 1 od počátku v mnohorozměrném prostoru Vzdálenosti mezi tvary Prokrustovská vzdálenost Částečná PV ~ eukleidovská vzdálenost proměnných PV ~ vzdálenost na zakřivené ploše (oblouk) Úplná PV ~ nejkratší vzdálenost bez ohledu na velikost Úplná PV + referenční tvar Kendáluv prostor Projekce do tečné roviny v bodě referenčního tvaru Použití eukleidovské vzdálenosti, statistických metod

5 Opakování Zobrazení rozdílů mezi tvary pomocí TPS Prokrustovsky zarovnané objekty se liší tvarem Zobrazení posunu landmarků jedince proti referenčnímu i mimo landmarky pomocí referenční mřížky Prostor mezi landmarky TPS interpolace

6 TPS - odvození Soustava rovnic 1, p jx, p jy,u 1j,,U nj TPS x p j =a 0x 1 a 1x p jx a 2x p jy i=1 n w ix U p i p j =q jx 3 další podmínky a 0x, a 1x, a 2x,w 1x,,w nx [1 p1x p1y U 1j U nj 1 p nx p ny U nj U nn p 1x p nx p 1y p ny ][ a0x a 1x a 2x w 1x 0 w nx]=[q0x q nx 0 0 ] n+3 neznámých n podmínek daných

7 Warps V podstatě parametrický model tvaru odvozený z TPS Principal warps, Partial warps Příklad Vlastní vektory bending energy matrix E Setříděné nejvýraznější navzájem kolmé směry lokálních deformací P=[0 0; 0 1; 1 1; 1 0; ]; Q=[0 0; 0 1; 1 1; 1 0; ]; M M 1 w=m 1 x váhy landmarky M E 1 x= x Vlastní vektor/principal warp

8 Warps - příklad Na spočtení M^-1 potřebuji pouze souřadnice vstupních landmarků, P E=[ ] Principal warp-y v 1 =[ ] v 2 =[ ] Tvoří komponenty deformační složky bez ohledu na cílové landmarky

9 Warps - model Konkrétní exemplář získáme z Afinní transformace vstupních landmarků Lineární kombinace warpů Q=PA v 1 k 1 T v 2 k 2 T i U p i x Koeficienty k se spočítají ze znalosti vstupních (P) a výstupních landmarků (Q), tedy z TPS koeficientů Nazývají se partial warps scores a tvoří tvarové proměnné Je možné vizualizovat vliv jednotlivých warpů na tvar odděleně (nastavením ostatních k i =0)

10 Warps dekompozice [k 1x,k 1y ] [k 2x,k 2y ]

11 Warps - terminologie Ukázka tpsrelw Relative warps PCA na koeficientech partial warps Vysvětlení i příklad později

12 Analýza konečných prvků Spojitá deformační funkce (TPS, nebo jiná) nenabízí přímo žádnou míru (číslo) hodnotící deformaci, nebo lokální změnu velikosti Motivace v mechanice kontinua 1) Popis oblasti mezi landmarky jako celku konečné (uzavřené) prvky (většinou) trojúhelníkového tvaru 2) Přiřazení hodnoty popisující rozdíly v tvaru, nebo velikosti FESA Finite Element Scaling Analysis

13 Konečné prvky

14 Mechanika kontinua Je možné dodefinovat spojitou transformační funkci a analyzovat ji prostředky mechaniky kontinua (Cheverud & Richtsmeier 1986) Strain tensor F = i, j = 1 2 u ut Rozklad na dvojici tenzorů velikosti a deformace F =S T Redukce každého tensoru na jediná skalár (lokální rozdíl velikostí, lokální rozdíl tvarů)

15 FESA na meshích Velikost je dána poměrem ploch odpovídajících si trojúhelníků Tvar je dán poměrem velikostí vlastních vektorů deformační matice P=QA=[ x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3]=[ x1 y1 x 2 y 3][ a b 2 x 3 y c d ]

16 Statistický model tvaru Model matematický popis jevu z reálného světa Příklad: Reálné příklady ho mohou více či méně splňovat Model tvaru lebky může být jeden vhodný reprezentant Splňuje dokonale pouze on sám, extrémy jsou daleko Může to být průměrný reprezentant ze zkoumané populace Nesplňuje ho nikdo, ale všichni jsou mu dostatečně blízko Průměr + tolerance Parametrický model Takový model může popisovat i nemožné exempláře Každý konkrétní exemplář odpovídá číselné konfiguraci

17 Statistický model tvaru Zohledňuje tendence vyskytující se v pozorované množině exemplářů, vzorku {P 1, P 2,, P n } F k 1,,k m Takový model dokáže popsat nekonečně velkou populaci generování exemplářů Matematický nástroj Analýza hlavních komponent (Principal component analysis - PCA) Jeden exemplář se skládá z příspěvků různých komponent Hledáme komponenty, které nejvíc přispívají do každého exempláře ve vzorku

18 PCA Obrázkem Hlavní komponenta Matematicky Komponenta Vzorek Vzorky Hodnoty k i PCA score v 1 =[v 1,1,, v 1,n ] {v 1,, v n } P=P 0 v i k i P j {k j,1,, k j,n } Komponenty jsou seřazeny podle míry přispění!

19 PCA Obvyklejší obrázek Méně důležité P=P 0 a v 1 b v 2 P P 0 Největší, nejdůležitější