Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36"

Transkript

1 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

2 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic 4 Matematické modely (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 2 / 36

3 Co to je derivace? Derivace ve zkratce Geometricky: Derivace je směrnicí tečny ke grafu funkce, tj. f (x 0 ) = tg α. Animace Vyjadřuje rychlost změny Definice Bud f funkce a x 0 D(f ). Existuje-li f (x) f (x 0 ) lim, x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0 a značíme f (x 0 ) nebo df dx. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 3 / 36

4 Co to je derivace? Derivace a pohyb (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 4 / 36

5 Co to je derivace? Derivace a integrál v pohybu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 5 / 36

6 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

7 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x x x x 3 0 = 4x 3 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

8 Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x x x x 3 0 = 4x 3 0. Vzorečky pro derivace: f f konst. 0, x n nx n 1, e x e x, ln x 1 x,... Inverzní operace k derivaci je integrace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

9 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

10 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

11 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? Hledáme funkci, která po zderivování bude 4x 3 Řešení: y = x 4 + konst. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

12 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice pod lupou y = f(x, y)... f (x, y) je směrnice tečny ke grafu řešení y = ϕ(x) Řešení není jednoznačné (výsledek integrálu se liší o konst.) - obecné řešení Počáteční podmínka y(x 0 ) = y 0, tj. integrální křivka projde bodem (x 0, y 0 ) - jednoznačná Cauchyova úloha Partikulární řešení - obecné řešení s jednoznačnou volbou konstanty Diferenciální rovnice vyšších řádů - podle násobnosti derivace (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 8 / 36

13 Diferenciální rovnice Rovnice y = x 2 + y 2 Izokliny = křivky k = x 2 + y 2 (vrstevnice funkce) - směrnice tečny ke grafu integrální křivky Lineární element dif. rce = (x, y, f (x, y)) - směrové pole (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 9 / 36

14 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

15 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

16 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

17 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

18 Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 Počáteční podmínky: y(0) = 0 a dy(0) dt = v 0 y(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + y 0 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

19 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

20 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

21 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

22 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

23 Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L Výsledek (2 poč. podm.): y = y 0 cos ωt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

24 Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36

25 Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt Barometrická rovnice Závislost atmosferického tlaku na nadmořské výšce Stavová rovnice: pv = konst. p 0 p = V V 0 = ρ 0 ρ Dif. rce 1. řádu: dp = ρg dh dp p = ρ 0 p 0 g dh Výsledek: p = p 0 e ρ 0 p 0 gh (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36

26 RLC obvod Diferenciální rovnice Vznik elektromagnetického vlnění (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 13 / 36

27 Systémy diferenciálních rovnic Systém diferenciálních rovnic Definice Uvažujme systém rovnic x 1 =f 1(t, x 1,..., x n ). x n =f n (t, x 1,..., x n ), kde t, x 1,..., x n jsou reálné proměnné, f j : G R pro j = 1,..., n, kde G R n+1. Množina G se nazývá obor systému diferenciálních rovnic. Řešením systému diferenciálních rovnic rozumíme uspořádanou n-tici funkcí (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) G definovanou na intervalu I R takovou, že po dosazení do uvedeného systému dif. rovnic dostaneme identitu pro každé t I. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 14 / 36

28 Systémy diferenciálních rovnic Autonomní rovnice Definice Necht Ω R n je oblast a necht f : Ω R n. Rovnici X = f (X) nazveme autonomní rovnicí (nezávisí na t). Oblast Ω se nazývá fázový prostor, proměnná t čas. Geometrická interpretace řešení X = ϕ(t): Graf funkce ϕ(t) v prostoru R n+1... pohyb Křivka v prostoru R n daná parametricky rovnicím X = ϕ(t)... trajektorie trajektorie je kolmý průmět pohybu do fázového prostoru (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 15 / 36

29 Systémy diferenciálních rovnic Fázový portrét - trajektorie a pohyb Libovolné dvě trajektorie nemají bud žádný společný bod, nebo splývají. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 16 / 36

30 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod Definice Bod X 0 Ω nazýváme singulární bod (stacionární, rovnovážný) rovnice X = f (X), jestliže f (X 0 ) = 0. Rovnice X = f (X) má konstantní řešení X(t) = X 0... X 0 je singulární bod Druhy trajektorií: Singulární body Uzavřené trajektorie (cykly) Trajektorie, které samy sebe neprotínají (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 17 / 36

31 Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Střed: v jistém okolí všechny trajektorie uzavřené Bod rotace: existuje posloupnost uzavřených trajektorií kolem singulárního bodu (nemusí být všechny křivky uzavřené) (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 18 / 36

32 Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Ohnisko: existuje okolí takové, že každá trajektorie procházející v tomto okolí se limitně blíží do singulárního bodu (otočí se nekonečně mnohokrát) Uzel: stejná vlastnost jako u ohniska, ale trajektorie se otočí konečně mnohokrát - vlastní nebo nevlastní uzel (na obr. jen 4 polotečny) Sedlo: existuje pouze konečný počet trajektorií blížících se k singulárnímu bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 19 / 36

33 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 20 / 36

34 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 21 / 36

35 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 22 / 36

36 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D Střed: pro vlastní číslo s nulovou reálnou částí. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 23 / 36

37 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 3D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 24 / 36

38 Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 3D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 25 / 36

39 Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Jak se změní řešení rovnice při malé změně počátečních podmínek? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 26 / 36

40 Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Definice Řešení X 0 (t) rovnice X = f (t, X) se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke ε > 0 δ(ε) > 0 takové, že pro t 1 t 0 platí, že libovolné řešení X(t) rovnice X = f (t, X) splňující podmínku, že X(t 1 ) X 0 (t 1 ) < δ je definováno pro všechna t t 1 a pro všechna t platí, že X(t) X 0 (t) < ε. Trajektorie začínající v δ okolí nevyjde s rostoucím časem z ε okolí Silnější než ljapunovská stabilita (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 27 / 36

41 Modely Matematické modely Zjednodušené zobrazení zkoumané skutečnosti Matematické modely: stochastické (prvky náhodné veličiny) x deterministické statické (nezávislé na čase) x dynamické deterministické matametické modely: diskrétní (diferenční rce) x spojité (diferenciální rce) Matematické modelování Sestavení modelu (vlastnosti a zákonitosti objektu) Matematická analýza modelu, teoretické důsledky Souhlas se skutečností přijetí modelu Analýza modelu, případná modernizace modelu, určení hodnot parametrů v modelu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 28 / 36

42 Matematické modely Modely existence dvou živočišných druhů N 1... velikost 1. populace, N 2... velikost 2. populace N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 + γ 1 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 + γ 2 N 1 N 2 Znaménka γ 1, γ 2 : Symbióza, kooperace Predátor - kořist Konkurence Neutralismus (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 29 / 36

43 Matematické modely Konkurence Zajímá nás N 1 0, N 2 0. Substituce γ 1 = α 12, γ 2 = α 21. N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 α 12 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 α 21 N 1 N 2 Substituce: a = α 12 ε 1, b = α 21 α 11, c = ε 2 ε 1. N 1 = (1 N 1 an 2 )N 1 N 2 = (c bn 1 N 2 )N 2 Singulární body: (0, 0), (0, c), (1, 0), ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab ). (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 30 / 36

44 Matematické modely Konkukrence - druhy Slabá konkurence: b < c, ac < 1 Silná konkurence: b > c, ac > 1 Dominance 2. druhu: b < c, ac > 1 Dominance 1. druhu: b > c, ac < 1 Jakobián: ( 1 2N1 an J = 2 an 1 bn 2 c bn 1 2N 2 ) Dosazení bodu a určení vlastních čísel typ singulárního bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 31 / 36

45 Matematické modely Slabá konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b uzel 1 ab )... stabilní (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 32 / 36

46 Matematické modely Silná konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... sedlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 33 / 36

47 Matematické modely Dominance 2. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 34 / 36

48 Matematické modely Dominance 1. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 35 / 36

49 Literatura Matematické modely Přednáška doc. RNDr. Josefa Kalase, CSc.: Diferenciální rovnice a spojité modely, MU. Kalas, Josef - Ráb, Miloš. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno : MU, s. ISBN Kalas, Josef - Pospíšil, Zdeněk. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno : MU, s. ISBN X. Diferenciální rovnice - příklady z praxe: (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 36 / 36

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Základní elektronické obvody

Základní elektronické obvody Základní elektronické obvody Soustava jednotek Coulomb (C) = jednotka elektrického náboje q Elektrický proud i = náboj, který proteče průřezem vodiče za jednotku času i [A] = dq [C] / dt [s] Volt (V) =

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů

Nelineární systémy. Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů Nelineární systémy Fázové portréty Hezké příklady nelineárních systémů Numerická konstrukce fázových portrétů Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic existuje mnoho programů Můžeme je použít

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Modelování výnosové křivky a modelování úrokových nákladů státního dluhu Kamil Kladívko Odbor řízení státního dluhu a finančního majetku Úrokové náklady portfolia státního dluhu 2 Úrokové náklady státního

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

Vlastnosti konvoluce. ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Vlastnosti konvoluce. ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz Systémy Vlastnosti lineárních systémů. Konvoluce diskrétní a spojitý čas. Vlastnosti konvoluce Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz 1 Systémy obecně: spojení komponentů, zařízení nebo

Více