Matematika pro geometrickou morfometrii (4)

Transkript

1 Ján Dupej Laboratoř 3D zobrazovacích a analytických metod Katedra antropologie a genetiky člověka Přírodovědecká fakulta UK v Praze

2 Opakování Warps Na spočtení potřebuji pouze souřadnice vstpních landmarků Principal warpy Tvoří komponenty deformační složky bez ohledu na cílové landmarky 2

3 Opakování - PCA Převod dat do nové báze která maximalizuje variabilitu v prvních komponentách Střed, hlavní komponenty, skóre k 1 k 2 p i p 0 3

4 Opakování PCA Výpočet Konstrukce kovariační matice Hlavní komponenty odpovídají vlastním vektorům Vlastní čísla popisují možství zachycené variability Použití Redukce dimenze pro další metody Separace dat do shluků 4

5 NELANDMARKOVÉ METODY 5

6 Nelandmarkové metody Data Neobsahují výrazné lokální geometrické vlastnosti Obsahují jich mnoho Výběr landmarků silně redukuje množství zachycené informace 8 Mpx fotka = 24 MiB Síť 20k trojúhelníků ~230 KiB CT sken stovky MiB 10 landmarků = 120 B Můžu extrahovat složitější geometrické objekty Práce s hrubými daty 6

7 Geometrická primitiva 2D Body Landmark Čárová Přímka Úsečka spojnice 2 landmarků Lomená čára řetězec landmarků Křivka většinou hladká čára, často aproximována lomenou Plošná Polygony uzavřená lomená čára (jednoduchý = neprotínají se) Uzavřené křivky Nadplochy reprezentují oddělené oblasti 7

8 Geometrická primitiva 3D Body, úsečky, polygony, křivky Roviny Trojúhelníkové sítě Plochy hladké Uzavřené sítě a plochy izoplochy CSG 8

9 Spojitá vs. diskrétní informace Diskrétní Konečně mnoho měření Vejde se do paměti počítače Spojitá Nekonečně měření Libovolné rozlišení Pro každé dva body existuje bod ležící mezi Existují konečné reprezentace spojitých struktur Studium kontur a křivek pro popis tvaru 9

10 Křivky (Parametrická) křivka podmožina R 2 nebo R 3 určená zobrazením f z uzavřené U podmnožiny R do příslušného prostoru y f 0.2 f 0.8 v = x x = f t, f: U R R k R k Zobrazení f bývají spojité, hladké Parametrizace Dle délky oblouku Na 0,1 f 0 x 2D rovinná křivka (plane curve) 3D prostorová (spatial/space curve) 10

11 Plochy Podmnožina R 3 definovaná zobrazením z uzavřené U podmožiny R 2 do R 3 v = x x = f t, f: U R 2 R 3 R 3 Zobrazení f bývají spojité, hladké 11

12 Křivky Úsečka je také křivka (podobně kružnice, elipsa...) f t = ta + b; t 0,1 ; a, b R k Jak definovat libovolnou křivku složitější než úsečka? Analyticky rovnicí Jen speciální typy křivek Pomocí konečně mnoha informací (kontrolní body, koeficienty) a kombinací spojitých funkcí Beziérova křivka, B-spline, Catmull-Rom spline,... Vzorkováním výčet konečného počtu bodů ležících na křivce Ztráta informace Interpolací dopočítám chybějící body Lomená čára lineární interpolace 12

13 Křivka - příklad Chci křivku, která bude: Definována kubickým polynomem f t = at 3 + bt 2 + ct + d p 0 p 0 Začínat v p 0 a končit v p 1 f 0 = d = p 0 Mít v bodech p 0 p 1 tečny p 0 p 1 f x 0 = 3a xt 2 + 2b x t + c x = p 0x Z těchto podmínek můžu sestavit rovnice a získat koeficienty polynomů p 1 p 1 Složitější křivky se sestavují z jednoduchších 13

14 Analýza kontury Hladká hranice, kontura neobsahuje landmarky (jednoznačně definované body) Získání kontury Jak konturu reprezentovat čísly když nemůžu použít landmarky Semilandmarky Body pravidelně rozmístěné na křivce (podle délky nebo úhlu) Transformace na vhodné koeficienty Aproximace nějakou známou křivkou a práce s koeficienty Waveletová / Fourierova transformace vzorkované křivky 14

15 Semilandmarky Dělení podle délky na potřebný počet n úseků Celková délka l = n 1 i=0 p i p i+1 Délka jednoho úseku l 1 = l n 15

16 Semilandmarky Dělení podle úhlu Kdy je vhodné první neho druhé dělení? Položit si otázku jestli mohou existovat dvě křivky které v daném dělení dají stejné semilandmarky. Alternativa sliding semilandmarks FL Bookstein Morphometric tools for Landmark data: Geometry and Biology, Cambridge University Press,

17 Jednoduché transformace Obrovské množství způsobů jak popsat tvar kontury 17

18 Integrální transformace Práce s konturou jako spojitou funkcí Analogie s lineární algebrou, vektorovými prostory Funkce vektor, prostor funkcí vektorový prostor, báze množina bazických funkcí, souřadnice spektrum v = av 1 + bv 2 v f x = a f t g x, t dt v 2 18 v 1 g

19 Fourierova transformace Báze transformace g x, t = e 2πixt = cos 2πxt + i sin (2πxt) Spektrum je komplexní funkce Předpokládá se periodická funkce Diskretizace + použití amplitudového spektra f n = 1 N N 1 k=0 a k e 2iπ N kn a k = Použití na kontury Transformace do jiných souřadnic FT odděleně na složky vektoru souřadnic N 1 n=0 f n e 2iπ N kn 19

20 FT komponenty 20

21 Polární transformace Chci z vektorové funkce vytvoťit 1D funkci a mít jedno spektrum r θ r θ 21

22 Cirkulární harmonické Reprezentace funkce získané polární transformací Kombinace bázických funkcí Báze Y n θ P 0 x = 1 P 1 x P n+1 x = x f θ = a i Y i θ = P n θ cos θ i=0 = 2n+1 xp n x np n 1 x n+1 22

23 Circular Harmonics ukázka 23

24 Waveletová transformace Podobný princip jako FT Hlavní rozdíl je v použité bázi Není jedna kanonická báze jako u FT, pouze předpis jak mají vypadat, pro každou úlohu může být vhodná jiná Báze FT je lokalizovaná ve spektru, u WT je lokalizovaná ve spektru i čase Mateřská funkce + posun a škálování = wavelet 24

25 WT příklady bází Haar Morlet Daubeschies Mexican hat 25

26 Výhody WT Lépe reprezentuje data obsahující ostré hrany Koeficienty lépe odrážejí vliv jednotlivých landmarků Signál nemusí být periodický (uzavřené křivky) Možnost volby báze Méně výpočetně náročná 26

27 METODY NA TROJÚHELNÍKOVÝCH SÍTÍCH 27

28 Registrace Cíl nalezení korespondencí pro statistickou analýzu S pomocí landmarků Deformace + hledání nejbližších bodů Bez landmarků Iterative Closest Point rigidní TPS-RPM elastická Coherent Point Drift rigidní/afinní/elastická Rigidní zarovnání, spojování meshů Elastická zobrazení rozdílů 28

29 Srovnání tvarů Vzdálenosti ve směru osi kamery mezi rigidně zarovnanými meshi RapidForm Zjištění rozdílů mezi skupinami může produkovat zavádějící výsledky 29

30 Dense Mesh Correspondence Statistická analýza meshových dat Stejný algoritmus jako u komerčního produktu MorphoStudio 3.0 Rozšířeno o další funkcie (lineární regrese, asymetrie, export...) Hutton: Dense Surface Models of the Human Face, Ph.D. Thesis, Biomedical Informatics Unit, Eastman Dental Institute, University College London 2004 Princip hledání korespondencí napříč množinou meshů, pak analýza pomocí PCA Morphome3cs DC editor / filter Umí několik typů úloh 30

31 Dense Mesh Correspondence 1. Landmarky kvůli zarovnání meshů 2. GPA rigidní zarovnání meshů 3. Volba base mesh 4. TPS deformace přiblížení meshů k base 5. Hledání korespondencí vrcholů Nejnáročnější část výpočtu, pro každý vrchol se hledá nejbližší bod na base meshi Urychlení vhodnou datovou strukturou (grid, kd-tree) 6. Oprahování 7. Převod topologie 8. PCA s na korespondujících vrcholech 31

32 Dense Mesh Correspondence A B B 32

33 Dense Mesh Correspondence A B B 33

34 Dense Mesh Correspondence Base mesh je zdeformován na jedince Použije se topologie base meshe ale tvar jedince je zachován Korespondující body mají stejný význam Pozorování stejné náhodné proměnné Semilandmarky Použití: Studium variability Lineární modelování tvaru regrese (MLR) Alometrie závislost tvaru na velkosti Analýza lokálních změn tvaru Asymetrie Párová analýza stav před/po terapii 34

35 DCA PCA Studium variability na trojúhelníkových sítích Hlavní komponenty představují črty (features) Drastická redukce dimenze Průměrný tvar 35 Průměr PC1 PC2 PC3 PC4

36 DCA ukázka 36

37 DCA Asymetrie Odchylky od přesné bilaterální symetrie 1. DCA jako obvykle 2. DCA na meshi a jejím zrcadlovým odrazem Barevná mapa ukazuje vzdálenosti (se znaménkem) od korespondujícího zrcadleného bodu Individuální asymetrie a i 37

38 DCA Asymetrie Direkcionální asymetrie Tendence skupiny +1.5mm d = 1 n a i Fluktuační asymetrie Odchylka jedince od DA f i = a i,1 d 1, a i,k d k 0mm FA i = k j=1 f i,j -1.5mm 38

39 UKÁZKY 39

40 DCA Morphome3cs PC2 PC1 40

41 Asymetrie Morphome3cs Krajíček V., Dupej J., Velemínská J., Pelikán J: Morphometric Analysis of Mesh Asymmetry, Journal of WSCG, Vol. 20, No. 1, pp , ISSN , Union Agency 2012 Dupej J., Krajíček V., Velemínská J., Pelikán J., Analysis of Asymmetry in Triangular Meshes, Proceedings of the 33rd Conference on geometry and graphics, (accepted),

42 Křivky Morphome3cs Velemínská J., Krajíček V., Dupej J., Goméz-Valdés J.A., Velemínský P., Šefčáková A., Pelikán J., Sánchez-Mejorada G., Brůžek J.: Geometric morphometrics and sexual dimorphism of the greater sciatic notch in adults from two skeletal collections: the accuracy and reliability of sex classification, Am J Phys Anthropol. 42