v mikrosvětě Pavel Cejnar Nahoru, dolů, dokola toť dráhy prvků. Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK, Praha Marcus Aurelius, A.D.

Transkript

1 v mikrosvětě Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK, Praha Nahoru, dolů, dokola toť dráhy prvků. Marcus Aurelius, -80 A.D.

2 Příroda vytváří symetrie Symetrie tvoří přírodu ) Nejdůležitější fyzikální veličiny vyplývají ze symetrií Teorém Noetherové: vztah mezi symetriemi a zákony zachování ) Tvar fyzikálních zákonů je určen symetriemi Typy částic v přírodě a způsob jejich interakce vyplývají ze symetrie

3 Symetrie v matematice a fyzice M.C.Escher (898-97)

4 Co je symetrie? "A thing is symmetrical, if there is something that you can do to it, so that after you have finished doing it, it still looks the same as it did before you did it." H. Weyl ( )

5 Matematika symetrií: teorie grup Leonhard Euler ( ), Carl Friedrich Gauss ( ), Niels Henrik Abel (80-89), Évariste Galois (8-83), Walther von Dyck ( ), Marius Sophus Lie (84-899), Élie Joseph Cartan (869-95), Definice grupy: Grupou nazýváme množinu G { g, g,... }, na níž je definována binární operace ( násobení ) ( g, g ) a g g o g 3 s následujícími vlastnostmi:.. 3. g 3 o ( g ) g o = o g = g g - o g o g = g o g = ( g - 3 o = g ) o g (asociativita) (existence jednotkového elementu) (existence inverzního elementu pro každý element g) Mezi požadované vlastnosti nepatří komutativita! g G g g 3

6 Symetrie čtverce Cyklická grupa Z 4 (diskrétní) 3 3 g g(90º) = g g g(80º) = g Otočení o úhel φ = násobek 90º 3 4 Grupová operace: skládání otočení 3 g 3 g(70º) = g 3 4 g 4 g(360º) =

7 Symetrie kruhu Unitární grupa U() (spojitá) Sophus Lie (84-899) Otočení o úhel φ = [0,360 ) i k Lieova grupa g( j, j,...) = e jkg k Grupová operace: skládání otočení g - ( j) = g(360 g(360 ) = -j) Algebra [ G i, G j ] = k c ijk G k [ a, b] = ab - ba

8 Transformace mezi vztažnými soustavami Matematická reprezentace reality stavový prostor Petr T T Pavel Fázový prostor klasické mechaniky Hilbertův prostor kvantové mechaniky

9 Transformace mezi vztažnými soustavami Matematická reprezentace reality stavový prostor Transformace pozorovatelných: A' = T A T - Petr A Symetrie systému vůči transformaci T nemění se hamiltonián H T T T H ' = H T H T - T H = = H H T Pavel A T komutuje s H existence zachovávající se veličiny!

10 Teorém Noetherové (98) Symetrie systému popsaná Lieovou grupou s n spojitými parametry Emmy Noether (88-935) Existence n zachovávajících se fyzikálních veličin

11 M.C.Escher (898-97) Typy symetrie ve fyzice Časoprostorové symetrie Paritní symetrie Kalibrační symetrie Dynamické symetrie Supersymetrie

12 Časoprostorové symetrie Typ transformace: posunutí v prostoru Pavel Petr Zachovávající se veličina: celková hybnost r p ( p, p, p3)

13 Časoprostorové symetrie Typ transformace: posunutí v čase Petr Pavel 0 t 0 t Zachovávající se veličina: celková energie E

14 Časoprostorové symetrie Typ transformace: rotace v prostoru Pavel Petr Zachovávající se veličina: celkový moment hybnosti r J ( J, J, J3)

15 Prostorové rotace pro bosony a fermiony Nerozlišitelné kvantové částice Bosony (S.Bose, ) Fermiony (E.Fermi, ) Symetrie vůči permutační grupě Bosony vlnová funkce symetrická vůči záměnám Fermiony vlnová funkce antisymetrická vůči záměnám 0º 0º 40º bosony 0º 360º 480º 40º 600º fermiony 0º 70º 360º

16 p = + p = - Časoprostorové symetrie Typ transformace: inverze prostoru y x Petr Pavel x y zrcadlo Zachovávající se veličina: prostorová parita p = + - NE!!! (pro slabé interakce)

17 C.S.Wu (9-997) Experimentální detekce nezachování parity (957) Idea: emitovaná částice spin jádro za zrcadlem jádro spin před zrcadlem emitovaná částice Rozpad beta

18 Paritní symetrie Typ transformace: inverze prostoru Zachovávající se veličina: prostorová parita NE!!! (pro slabé interakce) Typ transformace: záměna částic za antičástice + inverze prostoru (CP) Zachovávající se veličina: kombinovaná (CP) parita? emitovaná antičástice spin antijádro CP zrcadlo NE!!! (pro slabé interakce) (ale jen velmi malý efekt) jádro spin emitovaná částice

19 produkce: silné interakce K 0 a K 0 nemají určené hodnoty CP-parity: CP K = - K CP K = - K K a K mají určené hodnoty CP-parity: K = K - K K = K + K CP K = + K CP K = - K Při zachování CP by K a K odpovídaly stacionárním módům oscilací. Také rozpady těchto módů zachovávají CP. K fi pp K fi ppp, pmn, pen S Skutečnost: stacionární módy oscilací narušují CP: K S t c» 3 cm S t» K -e K K K + e K -3 K 0 L e».3 0 Proto se dají pozorovat také ππ rozpady mezonu K L (45 eventů z 700). Experimentálně potvrzeno 964 d s mezony d s K oscilace: slabé interakce podivnost= + podivnost= 0 ( ) ( ) -0 s t L» 5. 0 t c» 5m L -8 s 0 rozpad: slabé interakce JW Cronin (93-) VL Fitch (93-) 980 Nobelova cena

20 Paritní symetrie Typ transformace: inverze prostoru Zachovávající se veličina: prostorová parita NE!!! (pro slabé interakce) Typ transformace: záměna částic za antičástice + inverze prostoru (CP) Zachovávající se veličina: kombinovaná (CP) parita NE!!! (pro slabé interakce) (ale jen velmi malý efekt) Typ transformace: záměna částic za antičástice + inverze prostoru + inverze času (CPT) SNAD ANO? Typ transformace: inverze času PRAVDĚPODOBNĚ NE? (pro slabé interakce) (ale jen velmi malý efekt)

21 Proč svět není symetrický vzhledem k CP zrcadlení? Protože kdyby byl, tak by se tomu neměl kdo divit! Narušení CP symetrie je pravděpodobnou příčinou přebytku hmoty nad antihmotou v raném vesmíru.

22 Kalibrační symetrie R.P. Feynman (98-988) Příklad: kvantová elektrodynamika (QED) ( m ) ( mn ) i cyg my - mc yy + - p F Fmn + (- q [ yg m y ] A ) L = h 6 Popisuje pole elektronů a pozitronů Požadavek symetrie vůči transformaci iqq ( x)/ h y fi e y Lokální U() symetrie pro pole nabitých částic A m fi Am + mq Kalibrační symetrie elektromagnetického pole Popisuje pole fotonů Im i ( x ) e q q (x) F = A - mn Re Popisuje interakce elektronů, pozitronů a fotonů e± γ i ( x) e q m n n A m e± Zachovávající se veličina: elektrický náboj m

23 Dynamické symetrie Konkrétní fyzikální systémy mohou mít větší symetrie než jen zmíněné časoprostostorové symetrie: G dynamika G časoprostor r Příklad : Harmonický oscilátor E = p m r z r = k x + i m r p Příklad : Keplerův systém E = E = m r z p r -k r x k r + x U(3) SO(4) SO(3) V r SO(3) r V J.Kepler (57-630)

24 Budoucnost: Supersymetrie? Bosony [x,y]=z foton gluon Z, W selektron sneutrino skvark supergrupa / superalgebra [sudý,sudý]=sudý [sudý,lichý]=lichý {lichý,lichý}=sudý z={x,y} Fermiony fotino gluino Zino,Wino elektron neutrino kvark Komutativitu porušují nejen elementy g(φ), ale i proměnné φ: j f j = j f = -f j f = 0 j f = f j f obyčejné proměnné Grassmanovy proměnné H.G.Grassmann ( )

25 Absence symetrie: Chaos? Ne! I chaos má své skryté symetrie, svou matematiku. Možná ještě mnohem krásnější než sphairos! Podle Empedokla (cca př.n.l.) se reálný svět (Cosmos) rodí střetem světa dokonalého pořádku (Sphairos) se světem naprostého nepořádku (Chaos).

26 I had a feeling once about Mathematics, that I saw it all Depth beyond depth was revealed to me the Byss and the Abyss. I saw, as one might see the transit of Venus or even the Lord Mayor's Show, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation was inevitable: and how the one step involved all the others. It was like politics. But it was after dinner and I let it go! Winston Chirchill, My Early life: